理力11(动力学-李卓球)-达朗贝尔原理 60页

第11章达朗贝尔原理（动静法）动力学篇1 §11.1惯性力·达朗贝尔原理惯性力FmaFIFN令有——惯性力m作用在质点上的主动力、约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系。质点的达朗贝尔原理惯性力大小等于质点的质量与加速度的乘积，方向与质点加速度的方向相反。——动静法达朗贝尔原理＼惯性力·达朗贝尔原理 3、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力。4、应用达朗贝尔原理建立平衡方程求解1、分析质点所受的主动力和约束力；2、分析质点的运动，确定加速度；质点达朗贝尔原理的投影形式应用达朗贝尔原理求解质点动力学问题的步骤..＼惯性力·达朗贝尔原理＼质点的达朗贝尔原理3 如图所示一圆锥摆。质量m=0.1kg的小球系于长l=0.3m的绳上，绳的一端系在固定点O，并与铅直线成θ=60º角。如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力F的大小。Olθ例题11-1例题第11章达朗贝尔原理4 例题11-1例题第11章达朗贝尔原理5 以小球为研究的质点。质点作匀速圆周运动，只有法向加速度，在质点上除作用有重力mg和绳拉力F外，再加上法向惯性力FI，如图所示。取上式在自然轴上的投影式，有：根据达郎贝尔原理，这三力在形式上组成平衡系，即解：OlθenetebmgFFI例题11-1例题第11章达朗贝尔原理6 解得：OlθenetebmgFFI例题11-1例题第11章达朗贝尔原理7 质点系的达朗贝尔原理质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和它的惯性力在形式上组成平衡力系。作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。达朗贝尔原理＼惯性力·达朗贝尔原理 汽车连同货物的总质量是m，其质心C离前后轮的水平距离分别是b和c，离地面的高度是h。当汽车以加速度a沿水平道路行驶时，求地面给前、后轮的铅直反力。轮子的质量不计。例题11-2ABCcbh例题第11章达朗贝尔原理9 取汽车连同货物为研究对象。汽车实际受到的外力有：重力mg，地面对前、后轮的铅直反力FNA，FNB以及水平摩擦力FB(注意：前轮一般是被动轮，当忽略轮子质量时，其摩擦力可以不计)。解：因汽车作平动，其惯性力系合成为作用在质心C上的一个力FI=Ma。于是可写出汽车的动态平衡方程ABCcbhFIaFBmgFNAFNB例题11-2例题第11章达朗贝尔原理10 于是可写出汽车的动态平衡方程由式(1)和(2)解得ABCcbhFIaFBmgFNAFNB例题11-2例题第11章达朗贝尔原理11 如图所示，滑轮的半径为r，质量为m均匀分布在轮缘上，可绕水平轴转动。轮缘上跨过的软绳的两端各挂质量为m1和m2的重物,且m1>m2。绳的重量不计，绳与滑轮之间无相对滑动，轴承摩擦忽略不计。求重物的加速度。OABr例题11-3例题第11章达朗贝尔原理12 例题11-3例题第11章达朗贝尔原理13 以滑轮与两重物一起组成所研究的质点系。作用在该系统上的外力有重力m1g，m2g，mg和轴承约束力FN。OABraam1gmgm2gFNy解：已知m1>m2，则重物的加速度a方向如图所示。在系统中每个质点上假想地加上惯性力后，可以应用达郎贝尔原理。重物的惯性力方向均与加速度a的方向相反，大小分别为：例题11-3例题第11章达朗贝尔原理14 滑轮边缘上各点的质量为mi，切向惯性力的大小为，方向沿轮缘切线，指向如图所示。当绳与轮之间无相对滑动时，at=a;法向惯性力的大小为方向沿半径背离中心。或OABraam1gmgm2gFNymi应用对转轴的力矩方程，得例题11-3例题第11章达朗贝尔原理15 因为解得OABraam1gmgm2gFNymi例题11-3例题第11章达朗贝尔原理16 电动绞车安装在梁上，梁的两端搁在支座上，绞车与梁总重W，如图所示。绞盘与电机转子固定在一起，转动惯量为J。绞车以加速度a提升重物。已知重物质量为m，绞盘半径为R。求由于加速提升物而对支座A，B的附加压力。ABxyal1l2l3mgWα例题11-4例题第11章达朗贝尔原理17 取梁和绞车、重物组成质点系。作用于质点系的外力有重力mg，绞车与梁一起的重力W，约束力FA和FB。方向如图所示，其余不动的部分没有惯性力。ABxyal1l2l3mgFIWFAFBαMI解：重物作平移，其惯性力系的合力通过重心，合力的大小为FI=ma，方向与加速度方向相反；应用达郎贝尔原理解本题，需对质点系加惯性力。设绞盘的质心与轴心重合，于是惯性力系简化为一力偶——惯性力偶，力偶矩的大小为例题11-4例题第11章达朗贝尔原理18 解得：支座约束力、重力、惯性力系在形式上组成平衡力系，可列出平衡方程：ABxyal1l2l3mgFIWFAFBαMI例题11-4例题第11章达朗贝尔原理19 附加压力（或附加动约束力）决定于惯性力系，只求附加压力时，列方程不必考虑重力。上式中前两项为支座静约束力，后一项为附加动约束力，由于加速提升重物而对支座A，B的附加压力等于动约束力，分别为ABxyal1l2l3mgFIWFAFBαMI例题11-4例题第11章达朗贝尔原理20 §11.2刚体惯性力系的简化惯性力系主矢惯性力系主矩aC刚体作平动aiMirCCO平移刚体的惯性力系可简化为通过质心的合力，其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向与加速度方向相反。FIi达朗贝尔原理＼刚体惯性力系的简化 刚体定轴转动ωriαyzOxmi切向惯性力法向惯性力xiziyi记——对z轴的惯性积θi达朗贝尔原理＼刚体惯性力系的简化＼刚体定轴转动22 ωriαijkyzOxmixiziyiθi对于刚体有质量对称面（如垂直于z轴）达朗贝尔原理＼刚体惯性力系的简化＼刚体定轴转动23 图为一电动卷扬机构的示意图。已知起动时电动机的平均驱动力矩为M，被提升重物的质量为m1，鼓轮质量为m2，半径为r，它对中心的回转半径为ρO。试求起动时重物的平均加速度a和此时轴承O的动约束力。xyαMrm1gaOm2g例题11-5例题第11章达朗贝尔原理24 例题11-5例题第11章达朗贝尔原理25 由平面力系平衡方程被提升的重物作平动，惯性力系可简化为一通过质心的合力，其大小为鼓轮作定轴转动。故惯性力系向轴心可简化为一力偶，其力偶矩的大小为xyαMFIMIOrm1gaOFOxFOym2g解：例题11-5例题第11章达朗贝尔原理26 建立平衡方程得由此解出xyαMFIMIOrm1gaOFOxFOym2g例题11-5例题第11章达朗贝尔原理27 刚体作平面运动（平行于质量对称面）有质量对称平面的刚体，平行于此平面运动时，刚体的惯性力系可简化为在此平面内的一个力和一个力偶。这个力通过质心，其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，其方向与质心加速度的方向相反；这个力偶的矩等于刚体对过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反。达朗贝尔原理＼刚体惯性力系的简化＼刚体平面运动28 均质圆盘质量为mA，半径为r。细长杆长l=2r，质量为m。杆端A点与轮心为光滑铰接，如图所示。如在A处加一水平拉力F，使轮沿水平面滚动。问F力多大能使杆的B端刚刚离开地面？又为保证纯滚动，轮与地面间的静滑动摩擦系数应为多大？mAgmgFABC例题11-6例题第11章达朗贝尔原理29 例题11-6例题第11章达朗贝尔原理30 细杆刚离地面时仍为平动，而地面约束力为零，设其加速度为a。以杆为研究对象，杆承受的力并加上惯性力如图所示，其中FIC=ma。整个系统承受的力并加上惯性力如图，其中FIA=mAa,由方程得解出ABCFICmgFAxFAya解：按动静法列出方程mAgmgFABCFIAFICMI例题11-6例题第11章达朗贝尔原理FNFs31 为求摩擦力，应以圆轮为研究对象。由方程，得地面摩擦力解得mAgmgFABCFNFIAFICMIFs≤mAgFAFNFIAMIFs例题11-6例题第11章达朗贝尔原理32 再以整个系统为研究对象，由方程，得由此，地面摩擦系数AFNFIAFICmAgmgFBCMIFs≥mAgFAFNFIAMIFs例题11-6例题第11章达朗贝尔原理33 用长l的两根绳子AO和BO把长l，质量是m的匀质细杆悬在点O(图a)。当杆静止时，突然剪断绳子BO，试求刚剪断瞬时另一绳子AO的拉力。OlllBAC（a）例题11-7例题第11章达朗贝尔原理34 例题11-7例题第11章达朗贝尔原理35 绳子BO剪断后，杆AB将开始在铅直面内作平面运动。由于受到绳OA的约束，点A将在铅直平面内作圆周运动。在绳子BO刚剪断的瞬时，杆AB上的实际力只有绳子AO的拉力F和杆的重力mg。解：在引入杆的惯性力之前，须对杆作加速度分析。取坐标系Axyz如图(c)所示。aA=anA+atA=aCx+aCy+atAC+anACOllBACmgFθ（b）OxyαBACθ（c）利用刚体作平面运动的加速度合成定理，以质心C作基点，则点A的加速度为例题11-7例题第11章达朗贝尔原理36 在绳BO刚剪断的瞬时，杆的角速度ω=0，角加速度α≠0。因此又anA=0，加速度各分量的方向如图(c)所示。把aA投影到点A轨迹的法线AO上，就得到anAC=AC·ω2=0atAC=lα／2这个关系就是该瞬时杆的运动要素所满足的条件。即（1）OllBACmgFθ（b）OxyαBACθ（c）例题11-7例题第11章达朗贝尔原理37 杆的惯性力合成为一个作用在质心的力FIC和一个力偶MIC，两者都在运动平面内，FIC的两个分量大小分别是FICx=maCx,FICy=maCy力偶矩M*C的大小是MIC=JCz´α旋向与α相反(如图b)。OxyαBACθOllBACmgFθxy（b）（c）例题11-7例题第11章达朗贝尔原理38 由动静法写出杆的动态平衡方程，有且对于细杆,JCz´=ml2／12。联立求解方程(1)～(4)，就可求出（2）（3）（4）OxyαBACθOllBACmgFθxy（b）（c）例题11-7例题第11章达朗贝尔原理39 §14-4绕定轴转动刚体的轴承动约束力第十四章达朗贝尔原理（动静法）ωαyzOxFIRMIRFRMOFAyFAxAFBzFByFBxB刚体绕定轴转动时，避免出现轴承动约束力的条件是：转轴通过质心，刚体对转轴的惯性积等于零。概念:惯性主轴中心惯性主轴 转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力理想情况§14-4绕定轴转动刚体的轴承动约束力第十四章达朗贝尔原理（动静法）41 偏心情况转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力§14-4绕定轴转动刚体的轴承动约束力第十四章达朗贝尔原理（动静法）42 偏角情况转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力§14-4绕定轴转动刚体的轴承动约束力第十四章达朗贝尔原理（动静法）43 一般情况转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力§14-4绕定轴转动刚体的轴承动约束力第十四章达朗贝尔原理（动静法）44 转子的静平衡§14-4绕定轴转动刚体的轴承动约束力第十四章达朗贝尔原理（动静法）45 转子的静平衡§14-4绕定轴转动刚体的轴承动约束力第十四章达朗贝尔原理（动静法）46 转子的静平衡§14-4绕定轴转动刚体的轴承动约束力第十四章达朗贝尔原理（动静法）47 转子的动平衡§14-4绕定轴转动刚体的轴承动约束力第十四章达朗贝尔原理（动静法）48 转子的动平衡§14-4绕定轴转动刚体的轴承动约束力第十四章达朗贝尔原理（动静法）49 转子的动平衡§14-4绕定轴转动刚体的轴承动约束力第十四章达朗贝尔原理（动静法）50 设匀质转子重W，质心C到转轴的距离是e，转子以匀角速度ω绕水平轴转动，AO=a，OB=b(图a)。假定转轴与转子的对称平面垂直，求当质心C转到最低位置时轴承所受的压力。(a)baezCOBA(a)例题14-8例题第十四章达朗贝尔原理51 例题14-8例题第十四章达朗贝尔原理52 解:轴Oz是转子在点O的主轴之一。可见惯性力对点O的主矩在垂直于Oz的平面上两轴的投影MICx和MICy恒等于零。又α=0，这样MICz也等于零。因此转子的惯性力合成为作用于点O的一个力FIC，大小等于方向沿OC。当质心C转到最低位置时，轴上实际所受的力如图b所示。(a)(a)baezCOBA(a)baezCOBA(b)WFBFA例题14-8例题第十四章达朗贝尔原理53 根据动静法写出动态平衡方程由式(1)和(2)解得两轴承所受的力分别和FA，FB的大小相等而方向相反。(a)baezCOBA(b)WFBFA例题14-8例题第十四章达朗贝尔原理54 如图所示，电动机的定子质量为m1，安装在水平的基础上，转轴O与水平面距离为h。转子质量为m2，其质心为C，偏心距OC=e，运动开始时质心C在最低位置。转子匀角速度ω转动，求基础对电动机的约束力。xyωm1gm2gCOhφ例题14-9例题第十四章达朗贝尔原理55 以电机整体为研究对象。除受重力m1g和m2g之外，基础及地脚螺钉对电机作用约束力向点A简化为一力偶M与一力F(图中Fx和Fy)。其方向与质心C的加速度aC相反。因aC沿OC连线指向中心O，所以F*沿OC而背离O点。xyωm1gm2gFIFyFxMACOhφ解：对质点系加惯性力。转子绕定轴O以角速度ω匀速转动，惯性力系简化为一个通过O点的力，大小为例题14-9例题第十四章达朗贝尔原理56 因转子匀速转动，φ=ωt，代入上面方程组中，解得：根据达郎贝尔原理，作用于质点系的主动力、约束力与惯性力在形式上组成平衡力系，可列出平衡方程：xyωm1gm2gFyFxMFIACOhφ例题14-9例题第十四章达朗贝尔原理57 飞轮质量为m，半径为R，以匀角速度ω转动。设轮缘较薄，质量均匀分布，轮辐质量不计。若不靠考虑重力的影响，求轮缘横截面的张力。例题14-10例题第十四章达朗贝尔原理58 取四分之一轮缘为研究对象，如图所示。将轮缘分成无数微小的弧段，每段加惯性力建立平衡方程令，有xyθ∆θRABOFAFB解：例题14-10例题第十四章达朗贝尔原理59 由于轮缘质量均分布，任一截面张力都相同。再建立平衡方程同样解得例题14-10例题第十四章达朗贝尔原理xyθ∆θRABOFAFB60