微分方程PPT(罗兆富等编)第七章-特征线法、达朗贝尔公式和分离变量法课件.ppt 90页

第七章特征线法、达朗贝尔公式第一节特征线法第二节达朗贝尔公式反射法和分离变量法第三节分离变量法简介 的一阶齐次线性偏微分方程的通解,其中ai(i=1,2,…,n)是自变量x1,x2,…,xn的n(n≥2)元连续函数,且不全为零.第一节特征线法一、一阶(拟)线性偏微分方程的通解1.一阶齐次线性偏微分方程考虑形如(7.1.01)方程(7.1.01)的通解可通过求解一个常微分方程组而得到,通常称这种求解方法为特征线法. 第一节特征线法一、一阶(拟)线性偏微分方程的通解1.一阶齐次线性偏微分方程考虑形如(7.1.01)设u=u(x1,x2,…,xn)是方程(7.1.01)的一个解,则由全微分法则,有(7.1.02)(7.1.03) (7.1.04)(7.1.03)我们称(7.1.03)为(7.1.01)的特征方程组,由特征方程组(7.1.03)确定的空间曲线称为特征曲线.由于特征方程组(7.1.03)是一个包含n-1个方程的常微分方程组,所以它有n-1个首次积分我们的目标是通过求(7.1.03)的首次积分(7.1.04)来求一阶齐次线性偏微分方程(7.1.01)的通解.偏微分方程(7.1.01)的解与它的特征方程(7.1.03)的首次积分之间的关系有如下的定理. (7.1.04)假设已经得到特征方程组(7.1.03)的n-1个首次积分(7.1.04),定理7.1则一阶齐次线性偏微分方程(7.1.01)的通解为(7.1.01)(7.1.05)其中是任意连续可微n-1元函数.证明:设(7.1.06)是特征方程组(7.1.03)的一个首次积分.因为函数a1,a2,…,an不同时为零,所以不妨设这样特征方程组(7.1.03)等价于下面标准形式的常微分方程组 (7.1.07)因此(7.1.06)也是(7.1.07)的一个首次积分.再由第三章第一节定理3.1知,有恒等式两端乘以an,得(7.1.08)这就证明了函数是特征方程组(7.1.03)的一个首次积分的充要条件为恒等式(7.1.08)成立. (7.1.08)(7.1.01)比较是特征方程组(7.1.03)的一个首次积分的充要条件是:是一阶齐次线性偏微分方程(7.1.01)的解.因此,若是一阶齐次线性偏微分方程(7.1.01)的任意一个解,则它是特征方程组(7.1.03)的一个首次积分.再由第三章第一节定理3.5,它可由特征方程组(7.1.03)的n-1个首次积分(7.1.04)来表达其中是任意连续可微n-1元函数.■ 注:当n=2时,方程(7.1.01)成为(7.1.09)其特征方程组为它有一个首次积分则方程(7.1.09)的通解为(7.1.10)其中是任意连续可微一元函数. 注:当n=3时,方程(7.1.01)成为(7.1.11)其特征方程组为它有两个首次则方程(7.1.11)的通解为(7.1.12)其中是任意连续可微二元函数.积分 例1.用特征线法求解一阶齐次线性偏微分方程解:根据前面的讨论,写出特征方程组首次积分!所以方程的通解为■其中是任意连续可微一元函数. 例2.求解交通流线性关系模型解:根据前面的讨论,写出特征方程组首次积分!所以方程的通解为■其中是任意连续可微一元函数.再注意到初始条件p(x,0)=f(x),得从而得到方程的解为 例3.用特征线法求解一阶齐次线性偏微分方程解:根据前面的讨论,写出特征方程组首次积分!所以方程的通解为■其中是任意连续可微二元函数. 2.一阶非齐次拟线性偏微分方程的一阶齐次拟线性偏微分方程的通解,其中ai(i=1,2,…,n),b都是n+1个变元x1,x2,…,xn,u的连续函数,且不全为零.考虑形如(7.1.13)设V(x1,x2,…,xn,u)=0是方程(7.1.13)的一个隐函数形式的解,注意到u是x1,x2,…,xn的函数,由隐函数求导法,得到(7.1.14)(7.1.15) (7.1.13)(7.1.15)由(7.1.15)可见,若将V视为关于x1,x2,…,xn,u的函数,(7.1.15)就成为关于未知函数V的一阶齐次线性偏微分方程.这就证明了,若V(x1,x2,…,xn,u)=C是一阶非齐次拟线性偏微分方程(7.1.13)的一个隐函数形式的解,则n+1元函数V(x1,x2,…,xn,u)是一阶齐次线性偏微分方程(7.1.15)的解. (7.1.13)(7.1.15)反过来,假设n+1元函数V(x1,x2,…,xn,u)是(7.1.15)的解,且Vu≠0,所确定的隐函数u=u(x1,x2,…,xn)是方程(7.1.13)的解.则由(7.1.15)和(7.1.14)可以推出由方程 (7.1.13)(7.1.15)这样,求解方程(7.1.13)的问题就化成了求解(7.1.15)的问题.(7.1.16)为了求解(7.1.15),先写出其特征方程组为 (7.1.15)(7.1.16)为了求解(7.1.15),先写出其特征方程组为(7.1.17)其中是任意连续可微n元函数.于是(7.1.15)的通解由特征方程组(7.1.16)的n个首次积分(7.1.17)表达为我们也称(7.1.16)是一阶非齐次拟线性偏微分方程(7.1.13)的特征方程组.上述过程写成定理就是 定理7.2假设函数ai(x1,x2,…,xn,u)(i=1,2,…,n)和b(x1,x2,…,xn,u)在某区域G内连续可微,a1,a2,…,an在G内不同时为零.则V(x1,x2,…,xn,u)=0(Vu≠0)是一阶非齐次拟线性偏微分方程(7.1.13)的一个隐函数形式的解的充要条件是:n+1元函数V(x1,x2,…,xn,u)是一阶齐次线性偏微分方程(7.1.15)的解.(7.1.13)(7.1.15) (7.1.13)(7.1.15)注:一阶线性非齐次偏微分方程(7.1.18)为一阶非齐次拟线性偏微分方程的特殊情况,其解法完全与求解方程(7.1.13)的解法相同. 例4.求偏微分方程的通解.解:根据前面的讨论,写出特征方程组(1)(2)所以方程的通解为■其中是任意连续可微二元函数.若解出u,得到方程的通解为g是任意可微函数. 例5.求偏微分方程的通解.解:根据前面的讨论,写出特征方程组(1)(2)所以方程的通解为■其中是任意连续可微二元函数.若解出u,得到方程的通解为g是任意可微函数. 例6.求偏微分方程的通解.解:写出特征方程组(1) 例6.求偏微分方程的通解.解:写出特征方程组(2)所以方程的通解为其中是任意连续可微二元函数.■ 二、一阶(拟)线性偏微分方程的初值问题当需要求出一阶(拟)线性偏微分方程的初值问题的解时,可以先求出其通解,再由初始条件确定其任意函数从而求出其特解,如前面的例题2.但在许多情况下,要由初始条件确定出通解中的任意函数很困难,甚至是不可能的.因此,我们下面研究如何直接求解一阶(拟)线性偏微分方程的初值问题. 1.一阶线性偏微分方程的初值问题为求形如(7.1.19)的一阶线性偏微分方程(其中a,b,f,g是自变量x,y的连续函数)在初始条件(7.1.20)下的解.我们与前面一样直接写出其特征方程组(7.1.21)由(7.1.21)中的第一、二项相等,得到一个常微分方程设其通解为(7.1.22) (7.1.23)(7.1.21)由(7.1.21)中的第一、二项相等,得到一个常微分方程设其通解为再由(7.1.21)的第一、三项相等得另一个方程(取第二和三项相等,解法完全相同)(7.1.22) (7.1.23)再由(7.1.21)的第一、三项相等得另一个方程(取第二和三项相等,解法完全相同)(7.1.24)(7.1.25)方程(7.1.25)是一阶线性常微分方程,设其通解为(7.1.26)(7.1.22) (7.1.26)(7.1.22)(7.1.27)再由初始条件(7.1.20)确定出(7.1.27)中的常数C1,就得到一阶线性偏微分方程(7.1.19)在初始条件(7.1.20)下的特解了.(7.1.20) 例7.用特征线法求解一阶线性偏微分方程解:根据前面的讨论,我们写出常微分方程组■ 例8.用特征线法求解一阶线性偏微分方程解:根据前面的讨论,我们写出常微分方程组■ 考虑形如的一阶拟线性偏微分方程的解,其中a,b,c是变量x,y,u的连续可微函数.(7.1.28)(7.1.29)设u=u(x,y)是方程(7.1.28)的一个解,类似于线性方程的情形(7.1.19),我们依然有(7.1.30)若令(7.1.30)中的等式最后等于dt,我们得到常微分方程组2.一阶拟线性偏微分方程的初值问题 考虑形如(7.1.28)(7.1.29)(7.1.30)若令(7.1.30)中的等式最后等于dt,我们得到常微分方程组(7.1.31)我们称(7.1.31)是方程(7.1.28)特征方程,称特征方程(7.1.31)确定的曲线为特征曲线.通常将初始条件(7.1.21)改写成(7.1.32)或(7.1.32)"2.一阶拟线性偏微分方程的初值问题 (7.1.32)或(7.1.32)"(7.1.33)则在初始条件(7.1.32)下解常微分方程组(7.1.31),得到方程(7.1.28)的解的参数表示由(7.1.33)的前两式解出代入第三式，就得到方程(7.1.28)的自变量为x,y的解为叙述一阶拟线性偏微分方程解的存在唯一性定理,我们将初始条件写成一般形式或 定理7.3若函数f(s),g(s),h(s)连续可微,且若在点(x0,y0,u0)=(f(s0),g(s0),h(s0))处的行列式且a(x,y,u),b(x,y,u),c(x,y,u)在点(x0,y0,u0)=(f(s0),g(s0),h(s0))的附近连续可微,则初值问题在参数s=s0的一个邻域内存在唯一解.这样的解称为局部解.(7.1.34)■ 例9.用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程解:根据前面的讨论,我们写出常微分方程组 初值问题的参数表示的解■ 例9.用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程解:写出特征方程组注:本题也可先求出通解,再求出特解.(1)(2)第一个首次积分!第二个首次积分! 例9.用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程注:本题也可先求出通解,再求出特解.第一个首次积分:第二个首次积分:所以方程的通解为其中是任意其中g是任意可微函数.连续可微二元函数.若解出u,得到方程的通解为■ 例10.用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程解:根据前面的讨论,我们写出常微分方程组参数表示的解由前两式解出s,t,代入第一式,得解■ 例11.用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程解:根据前面的讨论,我们写出常微分方程组 于是,得到问题的参数形式的解由前两式消去s,t,得问题的解■ 例12.求解人口模型解:我们分r>t和rt时,解特征方程组 积分并注意到初始条件,得由消去初始值σ,τ,得 例12.求解人口模型解:我们分r>t和r0),则函数(7.2.18)是问题(II)(即(7.2.15))的解.显然,问题(7.2.17)的解可由达朗贝尔公式给出(7.2.19)将(7.2.19)代入(7.2.18)就得到问题(II)的解(7.2.20) 综上所述,问题(7.2.13)的解为(7.2.21)(7.2.13) 例2.求解初值问题解:在公式(7.2.21)中代入得到初值问题的解为(7.2.13)(7.2.21) ■ 四、高维波动方程三维波动方程描述声波、电磁波和光波等在空间的传播,称这类波为球面波;二维波动方程描述平面上薄膜的振动和浅水面上波的传播等现象,称它们为柱面波.下面我们不加推导地写出这些波动方程的初值问题的求解公式.三维波动方程的初值问题(7.2.22)的球对称解为 三维波动方程的初值问题(7.2.22)的球对称解为其中积分是在以(x,y,z)为球心、at为半径的球面上的球面积分.称(7.2.23)为三维波动方程的初值问题(7.2.22)解的基尔霍夫(Kirchhoff)公式.基尔霍夫公式(7.2.23)在球面坐标系中的表达式为 二维波动方程的初值问题的解为其中积分是在以(x,y)为圆心、at为半径的圆域Σat上的二重积分.(7.2.26)公式(7.2.26)在极坐标系中的表达式为(7.2.25) (7.2.27)其中公式(7.2.27)称为二维波动方程的初值问题(7.2.25)解的泊松(Poisson)公式. 本节结束！ 第三节分离变量法简介分离变量法又称为傅里叶(Fourier)方法,是解决有界问题的一个有效方法,是求解初边值问题最常用和最基本的一种方法,它适用于波动方程、热传导方程、位势方程,以及很多形式更为复杂的方程和方程组的求解.这种方法的基本思想是,把方程中未知的多元函数分解成若干个一元函数的乘积,从而将求解偏微分方程的问题转化为求解若干个常微分方程的问题. 下面,我们将依次介绍分离变量法在求解下述三种方程中的简单应用：1.有界弦的波动方程；2.有界杆的热传导方程；3.有界区域上的位势方程.一、有界弦的波动方程(7.3.01)考虑混合问题(初、边值问题)(7.3.02)(7.3.03) 设方程(7.3.01)具有可分离变量且满足齐次边界条件条件(7.3.02)的非零特解(7.3.01)(7.3.02)(7.3.03)(7.3.04)其中X(x),T(t)分别是x,t二阶连续可微函数.(7.3.06)(7.3.07)(7.3.05)我们首先求出常微分方程边值问题的非零解.(7.3.09)(7.3.08) (7.3.09)常微分方程边值问题(7.3.09)称为固有值问题或特征值问题;使得固有值问题有非零解的值,称为固有值或特征值;与固有值相对应的非零解,称为固有函数或特征函数.方程(7.3.07)的通解随而不同.下面我们分三种情形讨论.(1)当<0时,方程(7.3.07)的通解为由边界条件(7.3.08),得A=0,B=0,故当<0时,初值问题(7.3.09)只有零解X(x)=0.舍去! (2)当=0时,由边界条件(7.3.08),得A=0,B=0,故当=0时,初值问题(7.3.09)只有零解X(x)=0.舍去!方程(7.3.07)的通解为(2)当>0时,方程(7.3.07)的通解为由边界条件(7.3.08),得(7.3.09)(7.3.07)(7.3.09)固有值!固有函数!(7.3.06) 方程(7.3.06)的通解为(7.3.12)其中Cn,Dn是任意常数.于是我们得到方程(7.3.01)的满足齐次边界条件(7.3.02)的可分离变量的特解：根据叠加原理,我们得到级数形式的解(7.3.13)(7.3.06) 再由初始条件(7.3.03)来确定系数Cn,Dn.(7.3.14)(7.3.13)(7.3.03)这样(7.3.15)用分别乘以(7.3.14)和(7.3.15)并从0到l积分,得(7.3.16)将(7.3.16)代入(7.3.13),得到混合问题的形式解. 形式解(7.3.13)是否是波动方程(7.3.01)的(古典)解呢?(7.3.13)(7.3.03)(7.3.01)(7.3.02)我们有如下结论.定理7.6设是定义在[0,l]上的实函数,且四阶连续可微、三阶连续可微,满足相容性条件则初边值问题(7.3.01)～(7.3.03)的(古典)解存在,且可表示为级数(7.3.13),其中系数由(7.3.16)式确定.■ 解:分离变量u(x,t)=X(x)T(t),例1.求解下列定解问题则固有值和固有函数! 固有值!固有函数! 所以 所以,定解问题的解为Q.E.F. 解:分离变量u(x,t)=X(x)T(t),例2.求解下列定解问题则固有值和固有函数! 固有值!固有函数! 所以 所以,定解问题的解为Q.E.F. 二、有界杆的热传导方程分离变量法不仅可用来解有界弦振动的定解问题,也可用来解其它方程的某些定解问题,且其基本步骤也相同.例3.求长为l的均匀细杆热传导问题的解.解:分离变量u(x,t)=X(x)T(t),则固有值和固有函数! 固有值!固有函数! 所以,定解问题的解为其中Q.E.F. 解:分离变量u(x,y)=X(x)Y(y),例4.求解二维拉普拉斯方程的边值问题则固有值和固有函数!三、有界区域上的拉普拉斯方程 固有值!固有函数! 所以所求解为其中是任意常数.(*)由(*)和边界条件,有用乘以上式并从0到a积分,得Q.E.F. 本节结束！