讲古代故事与解中考数学题 7页

§讲古代故事与解中考数学题一、“鲁班造锯”与类比联想“鲁班造锯”是同学们熟悉的一个古代故事，当“鲁班的手不慎被一片小草割破后，他仔细观察，发现小草叶子的边缘布满了密集的小齿，使他顿受启发和联想，终于发明了锯子，这种根据两类事物在某些方面的相同或相似之处，把一类事物迁移到另一类事物中去，认识新事物或做出新发现的思维方法叫类比联想法.例1(河北省中考题)山形操作过程(本题中四个矩形的水平方向的边长均为a,竖直方向的边长均为b),在图1中线段击A]A2向右平移1个单位到凡B1B2,得到封闭图形A1A2B2B1,在图2中将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3,得到封闭图形A1A2A3B3B2B1O(1)在图3中，请你类似地画岀一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用料线画出阴影.(2)请你分别写出上述-:个图形屮除去阴影部分后剩余部分的面积，Si=_,s2=_,s3=(3)联想与探索:如图4,在一块矩形的草地上，有一条弯曲的水泥小路(小路任何地方的水平宽度都是一个单位)，请你猜想空白部分表示的草地面积是多少?并说明你的猜想是止确的.解析:(1)画图略. (2)Si=a-b-lXb=ab-b.将图2阴影部分从人A2B2处分割成口A1A2B2B1和A2A3B3B2.类比联想图1的求法，剩余部分的面积等于矩形面积减去两平行四边形面积的•即s2=ab-(lXhi+1Xh2)=ab-lXb=ab-b.同理可求出S3=ab一b・(3)将图4与图3类比，猜想它的面积可能仍然是S4=ab-b.因弯曲小路不是规则图形，不能用分割成若干规则图形的方法求面积.但是，由于小路任何地方的水平宽度都是1个单位•所以可将“小路”沿着左右两个边界剪去，将右侧的草地向左平移一个单位，得到一个纵向宽是b,水平方向的长度是a・l的矩形草地•则草地的面积S4=(a-l)b=ab-b.解后语:初中数学中很多题目有形同、有质似，有特例、有推广……若我们运用类比联想的思考方法，不少貌似生疏，困难的题目都能转化为容易的题目•本题让学生在操作过程中通过类比联想，探究在变化中求定值，在运动中找规律•培养了学生的创新精神，提高了学生的创造能力，这也是《新课标》的一个重要特点.二、"割圆求周”与极限思想三国时期的数学家刘徽始创了用正多边形的周长去逼近圆的周长求出了圆周率"的值是3.14,这种“割圆术”实际上就是数学中的极限思想•即当人们观察到一系列近似解演变的趋势不断向一定值逼近时，凭直觉猜想这一定值就是所求的精确解•下而一例运用极限思想，可变无限为有限，使所求问题迎刃而解.例2(南通市中考题)数学课上，李老师讲了我国古代数学家刘徽在公元三世纪用“创圈术”求得二的近似位为3.14后，出了一道计1111 24816•-A・■亠“算题：“求1/2+1/4+1/8+1/6…的值”•王龙经过认真思考后，很快求出了结果，受到老师和同学们的赞扬，请你写出他的解答过程解析:由于和式有无限项，通分逐个相加，加到猴年马月才能得出结果啊!若我们仔细观察一下和式的特征，从第二项起，第一项都是它前一项的一半，类似于“割圆求周”的极限思想，用一条线段表示总量1,则二分之一条线段表示1/2,四分之一条线段表示1/4…，依次类推，构造出如图5所示的线段图，从图上我们可以直观的看到1/2+1/4+1/8+1/6・・・=1.解后语:这是一道求无穷递缩等比数列和的高中数学题，让考生运用已有的数学思想和方法去解决•考查了学生观察、迁移、猜想、探究能力，这类“高中知识卜"移”的试题已频频出现在各地的中考试卷中.三、“曹冲称象”与等价变换曹操要称大象的重量，聪明的曹冲想出用石头代替船上的大象，抓住船下沉到同一刻度时，船上所装象和石头等重这一关键，称出了大象的重量•曹冲称象的思维方法在数学中叫做等价变换法例3（河北省中考题）某工件形状如图6所示，圆弧BC的度数为60°,AB=6cm,点B到点C的距离等于AB,ZBAC二30°,则工件的面积等于_cn?解析:在图6中，弧BC的度数为60°,ZBAC二30°“易知A、B、C三点共圆，且圆心在弦BC的中垂线m上，又AB=BC,可知AC不是直径，作AE//BC,交m于0点，则0为圆心，设BC交m于D点，连结OB、0C, 根据等积变形的原则，将求工件的面积（图中阴影部分）等价变换为求扇形OBC的面积，因ZBOD=30°,所以OB二2BD=6cm.则匸件面积S=S扇形obc=霧J“•62=6^（01112）.解后语:对于非特殊位置、形状的图形，在求其面积时，可将其图形进行等价变换，变为易求面积的特殊图形，进而化难为易，另外数学中的配方法，待定系数法等都是这种等价变换思想的具体应用.四、“灌水取球”与巧设辅助相传文彦博小时候和伙伴们一起玩耍，小皮球不慎落人很深的树洞中，其它小孩纷纷用手去掏，而他不同凡响，想出灌水取球的妙法,他在这里实际上用了一种辅助的方法:灌水•当数学问题中因缺少条件而难以解决时，可以巧妙地增设辅助量，使其在原条件的基础上作适当的补充或延伸，从而让原题获解•这就是解数学吋常用的辅助策略例4（东莞市中考A题）如图7,正方形ABCD的边长为1,一直线与AB交于E,与AD交于F,已知AABE的面积为正方形ABCD面积的6/25,五边形EBCDF的周长为正方形ABCD周长的9/10,求ZXAEF的周长.解析:设AE=x,AF=y,在RtAAEF中EF=J?*7•因所以*劈二备即矽寺⑴ 又卩“奶=币P正方macQ，所以（1・兀）・（1*）+Jd斗才*1+1=丽＞＜4"2）化简得2巧■手（**）+吉=0,（3）把⑴代人（3）得％+厂#・⑷.,-72把（4）代入（2）得y?v=i＞故△佃尸的周长ny+厶=y+1=25解后语:解数学题时，有时需要引人一些参数，其目的在于通过参数来铺路架桥，以便顺利完成解题任务•几何题中适当添加辅助线,往往会使问题迎刃而解;代数题中，适当引人辅助元素（辅助量、辅助式、辅助函数、辅助方程、辅助图形）能起到化难为易的作用，因此这种设而不求的方法在解数学题时有着十分广泛的应用.五、“草船借箭”与逆向思维为了与曹操交战，诸葛亮立下军令状，三天内完成制造十万支狼牙箭的任务，在直接制造无法完成的情况下，他借助草船，轻而易举地得到对方曹操“送”来的十万支狼牙箭•请葛亮解决问题的思维方法是正向思考难以进展时，改换思考角度，去做与习惯性思考完全相反的探索，收到了意想不到的效果，这就是人们在思考问题中的逆向分析法.例5（宁波市中考题）解关于二的方程劣x3-6x2+9x-2=0.解析:直接求解此方程难度很大，但是根据方程屮各项系数的特点,逆向思考，改变方程的形式，将常数3看作未知数，把x看作已知数,则原方程可变形为以3为未知数的二次方程，即xX32—（2x2+1）X3+（x3+l）=0则[3-(x+l)][3x-(x2-x+1)]=0MP(x-2)(x2-4x+1)=0所以：x-2=0,x2-4x+1=0解这两个方程可得:x=2,x=2-d,x=2■点解后语:有些数学题，若用正向思维求解时，往往会一条道走到 黑，这时不仿把问题倒过来想想，往往会获得意外的成功•数学中的逆向运用公式、法则、规律、方法以及反证法等都是逆向思维的具体应用.六、“砸缸救人”与打破常规司马光砸缸救人是同学们熟悉的又一个古代故事，当一个小朋友掉进人水缸里，其它小朋友想到的是让“人离开水”，在无法把落水小孩救起吋便惊慌失措，而司马光不同凡响，想到的是让“水离开人”，在紧要关头把缸砸破，让水流出去，救活了小朋友，这就是一种打破常规，具有创新思维的方法.例6(杭州市屮考题)如图8,某人站在篮球架前4m处投篮，已知球离地Im,球篮M离地3m,若篮球必须从地面上一次弹起穿过球篮，作出此人应将篮球投在地面什么位!上(设篮球肴地后沿直线运动).解析:假设篮球着地点在E点，如图9,要使球投人篮屮，连接CE、AE,则Z1=Z2,又因AB丄MN,CD丄MN,所以△ABE-ACED,因此BE:ED=AB:CD=3:1,即点E为BD±离D较近的4等分点，根据平行线分线段成比例定理，通过4等分线段BD就可以确定出篮球落地点E. 图9图10以上解析完全正确，若我们打破常规把物理中的光学模型迁移到数学中来，作图过程简洁明快，把地面MN看成是一块平面镜，点A和点C看成是位于平面镜前不同位置的两点，若要使C点发出的光线经平面镜反射后恰好经过A点，则正确的光路图同学们都会作・(1)过C点作MN的垂线并延长到F,使DF=CD;⑵连接AF交MN于E点，则人应将篮球投在地面上的E点，篮球就能从地面上一次弹起穿过球篮•如图10.解后语:打破常规，灵活运用物理知识解决数学问题，不仅可以沟通数理间的内在联系，还可以培养学生思维的灵活性，不过在应用跨学科知识解决数学问题时，问题的转化是难点，相关模型的建立是重点，具有准确的分析能力是关键•因此只要抓住关键，冲破难点，突出重点，就能不断提高自身解决数学问题的能力.