贝尔不等式及其违反的全量子理论 62页

2018届硕士学位论文贝尔不等式及其违反的全量子理论作者姓名张海峰指导教师梁九卿教授学科专业凝聚态物理研究方向自旋电子学培养单位理论物理研究所学习年限2015年9月至2018年6月二○一八年六月 山西大学2018届硕士学位论文贝尔不等式及其违反的全量子理论作者姓名张海峰指导教师梁九卿教授学科专业凝聚态物理研究方向自旋电子学培养单位理论物理研究所学习年限2015年9月至2018年6月二○一八年六月 ThesisforMaster’sdegree,ShanxiUniversity,2018BellnequalityandtheulluantumheoryiolatedbyItStudentNameHaifengZhangSupervisorProfJiuqingLiangMajorCondensedMatterPhysicsFieldofResearchSpintronicsDepartmentInstituteofTheoreticalPhysicsResearchDuration2015.09-2018.06June,2018 目录目录中文摘要...........................................................IABSTRACT............................................................III第一章绪论...........................................................11.1引言.............................................................11.2贝尔不等式.......................................................2第二章自旋为1/2和自旋为1纠缠态的贝尔不等式........................52.1贝尔不等式.......................................................52.2贝尔不等式推广的经典证明.........................................52.3自旋相干态.......................................................62.3.1自旋为1/2的自旋相干态.......................................72.3.2自旋为1的自旋相干态.........................................82.4自旋1/2的态.....................................................92.4.1自旋1/2的贝尔不等式.........................................92.4.2自旋1/2时的CHSH不等式.....................................152.5自旋１的态......................................................162.6自旋宇称效应....................................................192.7双光子偏振的贝尔不等式..........................................222.8本章小结........................................................24第三章自旋平行极化与反平行极化的统一不等式.........................273.1自旋平行与反平行的统一的不等式.................................273.2统一不等式的破坏值与态的系数的关系.............................293.3一般混合态的统一贝尔不等式：...................................313.4本章小结.......................................................32第四章总结与展望...................................................33参考文献.............................................................35攻读学位期间取得的研究成果及参与科研的项目...........................41 贝尔不等式及其违反的全量子理论致谢................................................................43个人简况及联系方式...................................................45承诺书...........................................................47学位论文使用授权声明.................................................49 ContentsContentsChineseAbstract.................................................................................................................IABSTRACT....................................................................................................................IIIChapter1Preface.............................................................................................................11.1Introduction.................................................................................................................11.2Bellinequalities..........................................................................................................2Chapter2TheBellinequalityoftheentangledstatewithspin-1/2andspin-1....52.1Bellinequalities..........................................................................................................52.2TheclassicalproofofextendedBellinequality..........................................................52.3Spincoherentstates.....................................................................................................62.3.1Spincoherentstatewithspin-1/2.........................................................................72.3.2Spincoherentstatewithspin-1............................................................................82.4Thestatewithspin-1/2.............................................................................................92.4.1BellInequalitywithspin-1/2................................................................................92.4.2CHSHInequalitywithspin-1/2..........................................................................152.5Thestatewithspin-1/2..............................................................................................162.6Spinparity.................................................................................................................192.7TheBellinequalitywithtwo-photonpolarized........................................................222.8Thechaptersummary................................................................................................24Chapter3Theuniforminequalitieswithspinparallelpolarizationandanti-parallelpolarization...........................................................273.1Theuniforminequalitieswithspin-parallelandanti-parallel...................................273.2Therelationshipbetweenthedestructionvalueoftheunifiedinequalityandthecoefficientofthestate..............................................................................................293.3TheuniformBellinequalitywithgeneralmixedstate..............................................313.4Thechaptersummary................................................................................................33Chapter4Conclusionandoutlook........................................33 贝尔不等式及其违反的全量子理论References.........................................................................................................................35Reaearchachievements....................................................................................................41Acknowledgment..............................................................................................................43Personalprofiles...............................................................................................................45Letterofcommitment.......................................................................................................47Authorizaitonstatement..................................................................................................49 中文摘要中文摘要根据量子概率统计推导出的贝尔不等式，将其推广到任意自旋平行极化的普通双边纠缠态。对于自旋单态的原始贝尔不等式的形式，在自旋平行的时候进行了修正，然而由Clauser-Horne-Shimony-Holt(CHSH)提出的不等式没有改变。在自旋为1/2时贝尔不等式的违反源于量子非局域的关联。然而在两粒子自旋为1时，不论是自旋平行还是反平行情况下贝尔不等式总是保持满足的。自旋极化为反平行时的自旋宇称效应(Mod.Phys.Lett.B28,145004)在平行的情况下仍然成立。在自旋为整数时，量子非局域性没有导致不等式的违反，这是由于由量子统计平均非局域干涉效应的消失。对于自旋为半整数时，贝尔不等式的违反是由于存在非平凡的贝尔相位测量结果导致的。可以将自旋平行与反平行态对应的两种贝尔不等式形式写成一个统一的不等式。统一不等式的基本性质与原不等式的基本性质是相同的，统一不等式的最大破坏值也是为2，其对应的态为最大纠缠态。自旋为1时统一形式的不等式同样不违反。然而在混合态时，混合态的各组分所占的概率大小以及态的系数都会直接影响到关联平均值的大小。在自旋极化平行与反平行的两种纠缠态混合时，若两种态的概率各1/2，在态的系数为特殊定值时关联平均值为零。混合态的形式影响了粒子的关联。关键词：贝尔不等式；纠缠；Berry项；相干态；自旋极化。I 贝尔不等式及其违反的全量子理论II ABSTRACTABSTRACTBellinequalities(BIs)derivedintermsofquantumprobabilitystatisticsareextendedtogeneralbipartite-entangledstatesofarbitraryspinswithparallelpolarization.TheoriginalformulaofBellforthetwo-spinsingletisslightlymodifiedintheparallelconfiguration,while,theinequalityformulatedbyClauser-Horne-Shimony-Holtremainsnotchanged.TheviolationofBIsindeedresultedfromthequantumnon-localcorrelationforspin-1/2case.However,theinequalitiesarealwayssatisfiedforthespin-1entangledstatesregardlessofparallelorantiparallelpolarizationsoftwospins.Thespinparityeffectoriginallydemonstratedwiththeantiparallelspin-polarizations(Mod.Phys.Lett.B28,145004)stillexistsfortheparallelcase.Thequantumnon-localitydoesnotleadtotheviolationforintegerspinsduetothecancellationofnon-localinterferenceeffectsbythequantumstatistical-average.AgaintheviolationofBIsseemsaresultofthemeasurementinducednontrivialBerry-phaseforhalf-integerspins.ThetwoBellinequalitiescorrespondingtospin-parallelandanti-parallelstatescanbewrittenasaunifiedinequality.Thebasicpropertiesoftheunityinequalityarethesameasthoseoftheoriginalinequality.,andthemaximumviolationofvalueoftheunityinequalitynotchange,is2,thecorrespondingstateisthelargestentangledstate.Theunifiedinequalityisalsonotviolatedwhenthespinis1.However,theprobabilityvalueofthecomponentsinthemixedstateandthecoefficientsofthestatewilldirectlyaffectthecorrelationaveragevalue.Whentwotypesofentanglementstates,spin-polarizedparallelandanti-parallel,aremixed,iftheprobabilitiesofthetwostatesareeach1/2,thecorrelationaverageiszerounderthecoefficientsofthespecificstate.Themixedstateaffectsthecorrelationofparticles.Keywords:Bell’sinequality;entanglement;Berryphase;spin-coherentstate;spin-polarizaionIII 贝尔不等式及其违反的全量子理论IV 第一章绪论第一章绪论1.1引言非局域性是量子力学中的最奇特的特征,它和基于相对论因果关系的经典场理论有着根本性的不同。量子纠缠作为量子力学的最显著的特征之一，量子纠缠已经成为量子计算和量子信息的技术突破的重要源泉[1-3]。因贝尔不等式而知名的贝尔理论证明了量子纠缠态的存在而且没有经典部分与之对应，并且为非局域关联的定量测量提供了可能性。贝尔不等式是由经典统计理论中的局域实论和隐参量假设下推导出来的。也就是说贝尔假设在实空间中的物理体系不能立刻影响有实际距离的物体，即爱因斯坦相对论中信息的传播不能超过光速，而且量子力学上表现出来的不确定性是由实验上未知的某个或者某些参量因素的影响导致的。原贝尔不等式的多种扩展之前也已经有很多研究[4,5]并且有很多值得关注的理论与实验[1,2,6-10]。目前绝大数的实验中利用特殊的纠缠态为贝尔不等式的违反提供了实验证据[5-9,11-15]，证明了局域实在论不适用于量子体系的研究。非局域性的深入应用主要是应用在量子信息的时空分离，这是在经典体系中无法完成的。非局域性已经成为量子信息学科[16-24]的一个重要源泉[2,10]。然而，目前在双边以及多边纠缠体系中仍然存在很多未知问题。虽然目前的实验看似对非局域特性提供了强有力的支持，然而内在的物理原理还是非常模糊的[25]，并且在许多方面所涉及的最原始的争论仍然存在没法完全解释的地方。为了理解贝尔不等式在量子上之所以不成立的最基本物理原理，我们利用纠缠态的密度算符，根据量子概率统计来计算关联测量输出值[26]。为了确定贝尔不等式的违反是哪一部分造成的，我们将密度算符分成局域部分跟非局域部分，其中局域部分和非局域部分的关联结果是非常明确的。纠缠态的两组分之间缺少量子干涉时，密度算符的局域部分描述的是经典概率的统计；纠缠态密度算符的非局域部分描述的就是量子干涉项。在独立测量假设下贝尔不等式经确定是来自于密度算符的局域部分[27]。也就是说贝尔不等式的违反是源自于两粒子纠缠态的非局域关联结果。在贝尔不等式的违反中已经证实了有自旋宇称效应：在自旋为半整数的自旋纠缠态时贝尔不等式是违反的，但是在自旋为整数时贝尔不等式是不违反的。此外，经过分析可知在自旋纠缠态中贝尔不等式的违反是因为berry项的影响，这个berry项是由两个自旋的测量反转关系引起的。我们首次确立了两种非局域之间的关系，以及所谓的非局域动力学作为量子态的几何相位解释[26]。一个很自然的问题就是自旋宇1 贝尔不等式及其违反的全量子理论称效应是不是仅存在于反平行自旋极化粒子态中，在其它形式的态中自旋宇称效应是否还存在？对于这个问题在我们的首次工作中，考虑了自旋平行极化的双边量子纠缠态的形式，经计算发现平行极化的量子纠缠态不适用于原贝尔不等式，因为自旋反平行极化的关联平均值有一负号而自旋平行极化纠缠态的关联平均值没有负号。因此我们对原贝尔不等式进行了适当的修正，使修正后的不等式适用于自旋平行极化的量子纠缠态。然而平行极化的量子纠缠态对于Clauser-Horne-Shimony-Holt(CHSH)不等式仍然成立。在后来的工作中我们还给出了一个适用于两种纠缠态的统一不等式，这个不等式完美的适用于任意自旋平行极化纠缠态和反平行纠缠态，解决了之前两种纠缠态中各自不等式互不适用的问题。对于给出的统一不等式我们从经典的隐参量假设理论上进行了推导和量子理论上进行了验证性证明，以及不等式的破坏值与初态系数之间的关系的推导和最大破坏值的证明。在自旋1/2时随着纠缠态其中一组份系数的增加或减小不等式的最大破坏值将不断减小，也就是说随着纠缠态趋于经典态贝尔不等式也将趋于不违反，统一不等式的最大破坏值为2，其对应的初态为最大纠缠态。两种纠缠态组成的混合态，对于混合态的形式直接影响自旋关联平均值。当混合态的各组分概率为1/2时和纠缠态的系数为iic-ecos-c和ccesin时关联平均值为零。13241.2贝尔不等式自从量子力学诞生以来一直有很多问题备受争议。最著名的当属上个世纪以爱因斯坦为首的一派和以波尔为首的哥本哈根派就量子力学的完备性问题进行的长达几十年的激烈争论。早在1935年时，由A.Einstein,B.Podolsky,N.Rosens三人在文献中提出了由两个自由粒子体系组成的纠缠态[27,28]的概念，史称EPR佯谬，同年纠缠一词出现在薛定谔的一篇文献中。当时此理论的提出是为了说明量子力学的不完备性，时至今日我们再来看时此理论的提出恰恰说明了当时量子力学理论是正确的并且助推了量子信息、量子通信等领域的发展。纠缠态最奇特之处是：当处在纠缠态上的两个粒子，对两个粒子测量之前粒子的状态完全不能确定，但是对1粒子进行测量后则2粒子的态的信息就会立即完全确定，即使两个粒子距离很大这一信息的传递也不需要耗费时间来完成。也就是说纠缠叠加态上的两个粒子有着明确的关联性，即使两个粒子相处的距离足够远。对于纠缠态所展示的这种非局域的特性，以爱因斯坦为代表的一派坚决坚持相对论中的信息传递速度不能超过光速，也就是说当两个粒子相距很远时，对1粒子进行测量其测量结果不会立即影响到对2粒子的状2 第一章绪论态，绝不可能存在超距作用。由此爱因斯坦等人认为量子力学是不完备的。对于量子实验结果表现出的不确定性，对此哥本哈根派提出了概率性的解释。当时反对派就猜想自然界中还存在着一种或多种不为人知的变量，这种变量称之为隐变量[29]。对于这些隐变量，由于实验条件的限制，在实验上没法直接探测到。但这些隐变量的存在又同时会影响到实验的探测结果。也就是说正是由于这些隐变量的存在才会存在实验结果的不确定性。这一假设也算是十分合理的，因为人类对整个宇宙的物理认知还是十分有限的，而且实验水平也是在不断提高中，有很多未知的科学等待着人类的探索。当时他们认为可能正是因为这种隐变量的存在的影响才有了量子力学中表现出来的不确定性。但是哥本哈根派坚决认为量子力学是完备的，量子力学上的概率解释是正确的。就这样形成了两派互相争论的局面。但是当时因为各种原因以及当时实验设备的限制，使得在很长一段时间内的争论仅限于认识论和哲学范围。直到1964年贝尔基于局域隐参量假设理论发表了一篇题为《ONTHEEINSTEINPODOLSKYROSENPARADOX》的文章[30]。在文章中根据局域隐变量的假设推导出了一个不等式，也就是著名的贝尔不等式。这个不等式要求对两个处在自旋极化纠缠态上的粒子在空间任意方向同时进行自旋值的关联测量。对于在任意三个不同a,b,c空间方向上分别进行自旋关联测量，根据贝尔理论其测量结果一定满足贝尔不等式。贝尔不等式首次为实验上证明局域隐参量的存在提供了一个可操作方法。在文献中贝尔提出了一个著名的结论：“任何定域隐变量理论都不可能重现量子力学的全部的统计预言[30]"。贝尔不等式中的隐变量假设下的局域性和实在性理论与量子力学中的非局域性和概率性等理论是格格不入的。由于贝尔不等式是基于局域隐参量假设下推导出来的且能在实验上进行实现验证，所以只要实验上验证贝尔不等式不成立也就等于局域实在性理论的不成立，也就是说量子理论的正确性。但是由于实验条件的限制，后来由Clauser-Horne-Shimony-Holt四人根据贝尔理论给出了一个更便于实验观察的不等式[31]，后来人们称之为CHSH不等式。CHSH不等式是从四个不同的空间方向分别进行自旋关联测量。后来的多数相关实验都是基于CHSH不等式进行的。以及后来魏格纳根据概率关联提出的一个新不等式。魏格纳不等式是在自旋单态下对两个粒子直接用一个自旋平行极化向上的基矢来进行概率关联测量[32]，同样是分别在空间a,b,c三个方向上进行概率关联测量。在理论工作上基于各种不等式人们都进行了不断的推广和应用，人们在双粒子不同态以及多粒子纠缠上都进行了大量的工作[33-40]。3 贝尔不等式及其违反的全量子理论然而随着实验技术的不断发展，在上个世纪70年代开始人们就试着利用双光子偏振纠缠态来进行实验验证[41]贝尔不等式的违反。在这之后出现了大量针对于贝尔不等式的违反以及后来推广的各种不等式（例如CHSH不等式魏格纳不等式等）的验证性实验[42-48]，但是在此期间的实验或多或少的都存在不同的实验漏洞。随着实验技术上不断发展实验条件不断改善，对于实验中存在的各种漏洞也在不断的完善。直到2015年由荷兰代尔夫特科技大学的科学家R.Hanson团队利用相距1.3千米自旋电子无漏洞验证了贝尔不等式的违反性[49]，以及之后的大贝尔实验都验证了量子理论的正确性。这里需要重点说的是我国中国科技大学科学家潘建伟团队在2017年首次通过量子卫星[50]利用双光子偏振，在相距1200公里的范围内再次验证了贝尔不等式的违反。这是我国乃至世界科技的重大进步。以及由单体单自由度到多体多自由度的隐形传输实验都验证了量子力学的非局域理论的正确性。在量子秘钥分配以及隐形传输的实验[51-55]上我国实验水平也是走在世界前列的。但是目前所有实验要么是利用自旋为1/2电子的自旋或者是利用光子的垂直与水平偏振以及角动量纠缠等来验证贝尔不等式的破坏性，这些都属于利用双态系统所做的实验。目前还没有直接利用自旋为1的光子自旋极化纠缠态来做这个贝尔实验的。对于双态体系和多态体系的贝尔不等式在理论上是有明显的不同，这也是量子纠缠中存在的神秘性。这里最后需要强调的是在自旋为1的自旋极化纠缠态中利用自旋相干态计算出来的自旋关联平均值符合贝尔不等式，但这并不能说是在自旋为1时量子理论中的非局域理论不成立，对于这一现象或许存在更深层的物理内涵。4 第二章自旋为1/2和自旋为1纠缠态的贝尔不等式第二章自旋为1/2和自旋为1纠缠态的贝尔不等式2.1贝尔不等式贝尔等人认为现有的量子理论是不完备的，所有的不确定性来源于目前未知的一些参量，这些参量称之为隐参量。实验上表现出来的随机性行为正是由于这些未知的隐参量所导致的。贝尔认为任何定域隐参量理论都不可能重现量子力学的全部统计预言[30]。贝尔和爱因斯坦等人坚持定域性和实在性，以此为基础贝尔推导出了两个处在自旋单态上的粒子必定满足一个不等式：也就是现在著名的贝尔不等式：|P(a,b)-P(a,c)|1+P(b,c)（2.1）2.2贝尔不等式推广的经典证明原始的贝尔不等式:|P(a,b)-P(a,c)|1+P(b,c)是利用了隐参量假设在1自旋单态，--，情况下证明得到的。这里自然就会出现一个问题就2是在其他态的形式中原贝尔不等式还是否适用。本节中我们的工作就是利用隐参量的方法将贝尔不等式推广到初态为任意系数的自旋极化平行纠缠态：c1，c2-，-时所适用的不等式。这里的c1和c2是纠缠态的系数，满足归一化要求。对两个处在自旋纠缠态上的粒子进行自旋关联测量时，可以设1粒子在任意空间a方向进行投影测量的结果记为A(a,),其中是隐参量。这个测量结果将会依赖a方向的选取和隐变量的值。在实验上对粒子的自旋极化进行测量，测量结果为自旋向上时标记为1，测量结果为自旋向下时记为-1；即有A(a,)=±1。同理在空间任意b方向上对自旋的测量结果有B(b,)=±1。对任意空间a,b两个方向进行同时测量，得到的自旋极化关联平均值为：Pa,bdAa,Bb,（2.2）其中是含隐变量的概率密度，满足归一化条件：()d1；P(a,b)表示的就是在空间a，b方向上进行的关联测量平均值。对于初态为自旋极化平行的纠缠态，测量结果将会有A(a,)=B(a,)，因此可以得到：5 贝尔不等式及其违反的全量子理论Pa,bdAa,Bb,dAa,Ab,这里值得注意的是：自旋极化平行与反平行的纠缠态在关联测量时的区别在于自旋极化反平行纠缠态时关联测量结果有A(a,)=−B(a,)，以及自旋关联平均值为Pa,bdAa,Bb,-dAa,Ab,。很明显关联平均值在两种初态时相差一个负号。对处在自旋极化纠缠态上的两个粒子三个方向上进行自旋关联测量有：Pa,b-Pa,cdAa,Ab,dAa,Ac,dAa,Ab,1-Ab,Ac,因为A(a,)=±1，B(a,)=±1，d=1。所以：Pa,b-Pa,c1-dAb,Ac,1-Pb,c即：P(a,b)-P(a,c)1-P(b,c)（2.3）这个不等式我们可以与原贝尔不等式来比较：P(a,b)-P(a,c)1P(b,c)，差别只在于不等式右边，一个是1加关联平均值一个是1减关联平均值。因为在两种初态下自旋关联平均值相差一个负号，而不等式的左边带有绝对值所以这个负号不影响不等式的左边形式，因此只有不等式的右边形式发生了变化。2.3自旋相干态2.2结中的推导是在经典统计理论下的推导得到的，然而我们需要在量子理论上来验证不等式的成立与否。在量子上计算贝尔不等式的时候其中需要用到一个非常关键的地方就是自旋相干态。这里的自旋相干态指的是一种宏观量子态，它有确定的经典量子对应。自旋相干态定义为在空间任意给定方向上的最大自旋本征态：Sˆnsn，其中Sˆ为自旋态的自旋算符，s为自旋算符对应的自旋本征值，nsincos,sinsin,cos为空间任意方向。自旋相干态则可用Dicke态表示为[59]：6 第二章自旋为1/2和自旋为1纠缠态的贝尔不等式1ssmsm2s2ism()nesmcossin,（2.4）mssm221ssmsm2s2ism()()nesmcossin,（2.5）mssm22其中，这里n是空间中任意给定的方向，s为自旋量子数，m是对应的自旋磁量子数，是方位角，是极化角。在下面计算粒子自旋极化关联平均值的时候就是将自旋极化纠缠的初态投影到自旋相干态上计算的。2.3.1自旋为1/2的自旋相干态为了便于2.4和2.5章节中的计算，在这里我们给出自旋相干态在自旋为1/2和自旋为1时的表示形式。在z表象下，这里的ˆ表示为泡利算符，设任意空间方向表示为n，矢量n与z轴的极化角表示为，矢量n在x，y平面内的方位角表示为，由此空间矢量n可以表示为nsincos,sinsin,cos，则自旋为1/2的自旋算符在n方向上的投影为：010i10ˆnsincossinsincos10i001cossincosisinsinsincosisinsincosicossineisinecos设n的本征值为n，本征态为，有：nn求解得：cos21(,)n1isine2sin21(,)n2icose27 贝尔不等式及其违反的全量子理论由此可得，在空间中任意n方向上自旋为1/2时，自旋向上和自旋向下的态分别表示为：nninncossine-（2.6）22nnin-nsin-cose-（2.7）22其中n表示为空间任意方向，+n和-n分别表示在空间n方向上测量结果为自旋向上和自旋向下；，-分别表示在z表象中自旋向上和自旋向下的态。2.3.2自旋为1的自旋相干态由2.3.1章节中自旋为1/2时的计算可知：在z表象下，任意空间n方向的单位矢量表示为n(sincos,sinsin,cos)，则自旋为1的自旋算符在n方向上的投影为：0100-i011ˆn101sincosi0-isinsin220100i01002cossinei01ii000cossine0sine2i00-10sine2cos设n的本征值为n，本征态为，有：nn求解得：ii1cos1cosee22sinsin1122ii1cos1cosee22由此可得，在空间中任意n方向上自旋为1时，自旋向上和自旋向下的态分别表示为：2n1in2ri2nncosesin0sine-（2.8）2n228 第二章自旋为1/2和自旋为1纠缠态的贝尔不等式2n1in2ni2n-nsin-esin0cose-（2.9）2n222.4自旋1/2的态不论贝尔不等式还是CHSH不等式等多数不等式的由来都是在自旋为1/2的自旋单态下推导的。在2.2章节中我们已将自旋单态下的贝尔不等式利用经典隐参量假设的办法推广到自旋极化平行的纠缠态中，并得到一个新形式的不等式。在本小节中我们将贝尔不等式和CHSH不等式用量子力学的计算办法将不等式推广到任意自旋极化平行的纠缠态中。主要利用的是将自旋纠缠初态投影到任意方向上的自旋相干态中，利用密度矩阵来计算自旋的关联平均值。并且将密度矩阵分成局域部分和非局域部分，这样计算出来的关联平均值就有局域部分和非局域部分。这样做的好处就在于可以很容易看出是哪一部分导致了贝尔不等式的破坏。2.4.1自旋1/2的贝尔不等式对于自旋为1/2的双粒子，自旋极化反平行纠缠态贝尔不等式的违反，已经过了很长时间的实验和理论的验证[56-58]。原贝尔不等式最初是从初态为自旋单态：1，---，时推导出来的，但是原贝尔不等式不适用于其它态的情况。2现在我们用量子的计算办法将不等式推广到初态为任意系数自旋平行的纠缠叠加态：c，c-，-（2.10）1222其中态的系数满足归一化条件：cc1；分别表示在表象下自旋12z为1/2时自旋向上和自旋向下的本征态；。通常我们可以将自旋极化zii平行纠缠态的两个任意系数取为：cecos，cesin，其中和是12两个实参数。这里我们将自旋平行极化纠缠态的密度算符分成两部分：lcnlc。其中lc，nlc分别表示为：22cossin----（2.11）lc2i2isincosesincose--（2.12）nlc这里的lc，nlc我分别将它们称之为密度算符的局域部分和非局域部分，也就是密度矩阵中的对角线部分和非对角线部分。将密度算符分成这两部分的好处是在接下来的证明过程中我们可清楚的看到贝尔不等式的违反和成立是由哪部分造成的。9 贝尔不等式及其违反的全量子理论首先计算的是两粒子的自旋关联平均值的大小。贝尔测量是对处在自旋极化纠缠态上的两个粒子在空间任意a,b两个方向分别进行的独立测量，这个测量结果是自旋投影算符的本征值，即:aaa和bbb（2.13）则由（2.6）和（2.7）可知，自旋为1/2时在空间n方向上的测量基矢用自旋相干态来表示为：nninncossine-22nnin-nsin-cose-22这里的表达式通常被称为南极和北极规范的自旋相干态[59]。这里的nsinrcosr,sinrsinr,cosr，n=ab是空间单位极化矢量。对两个处在自旋极化纠缠叠加态上的粒子进行贝尔测量（空间a,b方向），我们选择四个自旋测量基矢分别表示为：1a,b，2a,-b，3-a,b，4-a,-b（2.14）基矢1代表的意思是在空间任意a方向上对1粒子进行自旋测量并且测量结果为自旋向上，且同时在空间任意b方向上对2粒子进行自旋测量并且测量结果为自旋向上。为了计算两粒子的自旋关联平均值，然后我们可以定义两个粒子的自旋关联算符为：a,bab关联算符在基矢（2.13）下进行独立测量，可以很容易得到关联算符的矩阵元分别为：11a,ba,baba,b122a,ba,-baba,-b-133a,b-a,bab-a,b-144a,b-a,-bab-a,-b1即：11a,b44a,b1，22a,b33a,b-1（2.15）10 第二章自旋为1/2和自旋为1纠缠态的贝尔不等式然后根据量子统计平均理论，两粒子的自旋关联平均值可以表示成：Pa,bTrˆa,blcnlc11442233（2.16）这里将密度矩阵元分为局域部分和非局域部分：lcnlc（2.17）111111其中：lc22a,bcossin----a,b（2.18）11nlc2i2ia,bsincosesincose--a,b11（2.19）然后可以利用自旋为1/2的自旋相干态的（2.6）和（2.7）式来计算密度矩阵元的局域部分和非局域部分，有：lc22a,bcossin----a,b112ababcoscoscoscoscos2222sin2sinaeiasinbeibsinaeiasinbeib222222a2b22a2bcoscoscossinsinsin2222lc22a,-bcossin----a,-b2222a2b22a2bcoscossinsinsincos2222lc22-a,bcossin-----a,b3322a2b22a2bcossincossincossin2222lc22-a,-bcossin-----a,-b4422a2b22a2bcossinsinsincoscos2222则由（2.16）式可得自旋关联平均值的局域部分为：11 贝尔不等式及其违反的全量子理论lclclclclcPab1144223322a2b22a2b22a2bcoscoscossinsinsinsincoscos22222222a2b22a2b22a2bcossinsin-coscossinsinsincos22222222a2b22a2b-cossincossincossin22222a2b2a2b2a2b2a2bcoscossinsincossinsincos222222222a2a2b2bcossincossin2222coscosab即：lcPcoscos(2.20)abab这里需要强调一下的是在初态为自旋单态的时候计算出来的结果是：lcP-coscosabab与自旋平行纠缠态计算出来的结果有个负号的差别，正是由于这个负号的存在才导致了原贝尔不等式不适用于自旋平行的纠缠态。这个区别与2.2小结中的隐参量假设下的推导结果一致，都是相差一个负号。同样对于自旋关联平均值的非局域部分为：nlc2i-2ia,bsincose--sincose--a,b112iababiabsincosecoscossinsine2222-2iabab-iabsincosecoscossinsine22221nlcsincossinsincos2abab442nlc2i-2ia,-bsincose--sincose--a,-b222iababiab-sincosecoscossinsine2222-2iabab-iab-sincosecoscossinsine22221nlc-sincossinsincos2abab33212 第二章自旋为1/2和自旋为1纠缠态的贝尔不等式则对于非局域部分的自旋关联平均值的密度矩阵元有：nlcnlcnlcnlc(2.21)11442233则根据(2.19)式非局域部分自旋关联平均值为：nlcnlcnlcnlcnlcP2sincossinsincos2abab11442233ab(2.22)lc将上面(2.20)式所得到的Pcoscos自旋关联平均值的局域部分带入新不abab等式（2.4）式，有：Pa,b-Pa,cPb,clclclc|coscos-coscos|coscosabacbc当cosacosb-cosacosc0时，有：Pa,b-Pa,cPb,clclclccoscoscoscoscosabcbccoscoscoscosbcbccos1coscosbcc1当cosacosb-cosacosc0时，有：Pa,b-Pa,cPb,clclclccos-coscoscoscosabcbccoscoscoscoscbbccoscos1cosbcc1综上，可以得到：Pa,b-Pa,cPb,c1。lclclc即:Pa,b-Pa,c1-Pb,c(2.23)lclclc由此可以知道：自旋极化平行纠缠态的局域部分的关联平均值的结果符合经典统计方法得到的贝尔不等式。也就是说密度算符的局域部分对应的是经典统计物理部分。对于这一点也是能够非常容易理解，因为密度矩阵的对角线部分不包含量子上的干涉项，只有经典项。由(2.20)和(2.22)式的结果可知在自旋1/2时，总的关联平均值为：13 贝尔不等式及其违反的全量子理论Pa,b-Pa,cPb,ccoscos2sincossinsincos2ababab-coscos-2sincossinsincos2acacabcoscos2sincossinsincos2abbcbc为了研究极化角对不等式的影响，在这里我们可以将初态的系数和测量的方位角取特定值，专门研究极化角对不等式的影响。我们可以取和2ab2n，4n为整数，上式得：Pa,b-Pa,cPb,ccoscossinsin-coscossinsinababacaccosbcoscsinbsinc（2.24）对于2.34式我们能够很容易找到很多角度证明其不小于1，也就是说可以存在很多极化角使得不等式在量子计算上不成立。3例如当，，0时，2.34式等于：abc42Pa,b-Pa,cPb,c2222-01--1-00110222221对比2.33式，可以清楚的看到正是由于非局域项的存在才使得贝尔不等式在量子理论上不成立。接下来我们将引入一种更为奇特的矢量表示方法。由(2.20)和(2.22)式的结果lcnlcPcoscos和P2sincossinsincos2可知：当ababababab和22n，n是整数时，得：ab4Pa,bcosacosbsinasinbcosab(2.25)14 第二章自旋为1/2和自旋为1纠缠态的贝尔不等式对于(2.35)式的结果，可以清楚得到这个结果就是空间a，b两个方向上的两个单位矢量的点乘，这里的ab就是两个空间单位矢量之间的夹角。由此我们可以得到一个非常著名的量子关联关系：Pa,bab(2.26)这里的a,b分别是空间任意单位极化矢量。这里需要注意的是此关系是在自旋平行极化纠缠态下得到的，与自旋反平行极化纠缠态的关系相差一个负号：Pa,b-ab这个结果与之前的经典统计和量子计算结果都保持一致。由此也验证了我们从经典统计上推导出来的不等式的正确性。由(2.26)式我们可以得到：当矢量b与矢量c相互垂直，矢量a与矢量b-c相平行时，不等式有最大违反值：Pa,b-Pa,cPb,clclclcabacbcabcbc2(2.27)2.4.2自旋1/2时的CHSH不等式在贝尔提出贝尔不等式之后，由Clauser-Horne-Shimony-Holt根据贝尔理论体系，初态为自旋单态时，在a、b、c、d四个空间方向上的两两关联得到了一个更便于实验观察的不等式：PabPacPdb-Pdc2。由2.4.1结中的2.20式可知，对于CHSH不等式其关联平均值的局域部分，可得：ｌｃPCHSH＝PｌｃabPｌｃacPｌｃdb-Pｌｃdccoscoscoscoscoscos-coscosabacdbdccoscoscoscoscoscosabcdbc2cosb2ｌｃ即：PCHSH2(2.28)这里的（2.28）式表明CHSH不等式在量子计算上局域部分是成立的。15 贝尔不等式及其违反的全量子理论对于总的关联平均值，则CHSH不等式有：PPabPacPdb-PdcCHSHcoscoscoscoscoscos-coscosabacdbdc2sincossinsincos22sincossinsincos2abbacc2sincossinsincos2-2sincossinsincos2dbdbdcdccoscossinsincoscossinsinababacaccosdcosbsindsinb-cosdcoscsindsinc对于这个三角函数的处理我们可以借鉴(2.25)式的处理办法，将其化为单位矢量的点乘。由(2.36)式可得：PPabPacPdb-PdcCHSHabacdb-dcabcdb-c(2.29)这里的a、b、c、d为四个空间单位极化矢量，当矢量b与矢量c垂直，矢量a与矢量b+c平行，矢量d与矢量b-c平行时，可以得到：PCHSHPabPacPdb-Pdcabcdb-c22(2.30)综上可知在由局域隐参量假设所得到的不等式在自旋为1/2时，量子上所计算得到的结果是违反的。自旋1/2时，量子理论上不等式的违反关键在于关联平均值的非局域部分。2.5自旋１的态对于自旋为1/2时，量子计算上贝尔不等式违反的最大值符合实验上的所得到的结果。但是其现在所做的实验都没有涉及到自旋为1的量子纠缠态。这里就自然会有个问题：对于自旋为1的三态系统贝尔不等式还会破坏么？这里我们将自旋为1/2的量子纠缠态对应的不等式推广到自旋为1的量子纠缠态上。对于自旋为1的初态，这里我们仍然选择自旋极化平行的量子纠缠叠加态：c，c-，-。与自旋为1/2时的计算一样，都是将初态为自旋极化的12纠缠态投影到自旋相干态上来计算关联概率平均值。由(2.4)和(2.5)式可知自旋为1的自旋相干态表达式为：2n1in2r2inncossine0sine-2n2216 第二章自旋为1/2和自旋为1纠缠态的贝尔不等式2n1in2n2in-nsin-sine0cose-n222这里有s11；，0分别表示在表象中自旋极化向上和自旋极zz化向下以及自旋极化为0的态。这里只需要将自旋极化初态投影到自旋相干态上即可得到密度矩阵元的具体表达式。与自旋为1/2时一样，同样将密度矩阵元分成局域部分跟非局域部分：lcnlc111111对于密度矩阵元的局域部分的计算值为：lc22a,bcossin----a,b1124a4b24a4bcoscoscossinsinsin2222lc22a,-bcossin----a,-b2224a4b24a4bcoscossinsinsincos2222lc22-a,bcossin-----a,b3324a4b24a4bcossincossincossin2222lc22-a,-bcossin-----a,-b4424a4b24a4bcossinsinsincoscos2222则根据自旋关联平均值的计算公式（2.25）式可得，在自旋极化平行纠缠叠加态时的局域部分的关联平均值为：17 贝尔不等式及其违反的全量子理论lclclclclcP--1122334424a4b24a4bcoscoscossinsinsin222224a4b24a4b-coscossinsinsincos222224a4b24a4b-cossincossincossin222224a4b24a4bcossinsinsincoscos222224a4a4b4bcoscos-sincos-sin222224a4a4b4bsincos-sincos-sin22224a4a4b4bcos-sincos-sin2222coscosablc即：Pcoscos(2.31)ab由此我们可以得知自旋为1和自旋为1/2时的局域部分的自旋关联平均值是相等的，lc都是Pcoscos。ab然后我们计算自旋为1时对于非局域部分的密度矩阵元为：nlc2i-2ia,bsincose--sincose--a,b112i2a2bi22a2bi2bsincosecoscosesinsine2222-2i2a2bi22a2bi2bsincosesinsinecoscose2222122sincossinsincos2baba8nlc2i-2ia,-bsincose--sincose--a,-b22122sincossinsincos2baba818 第二章自旋为1/2和自旋为1纠缠态的贝尔不等式nlc2i-2i-a,bsincose--sincose---a,b33122sincossinsincos2baba8nlc2i-2i-a,-bsincose--sincose---a,-b44122sincossinsincos2baba8因此我们可以看到在自旋为1时，四个非局域部分的密度矩阵元的结果却是相等的，即：nlcnlcnlcnlc122cossinsinasinbcos2ab112233448(2.32)由关联平均值的计算公式2.26式，可以得到自旋为1时非局域部分的关联平均值为：lcnlcnlcnlcnlcP0(2.33)11223344很明显，这个非局域部分的关联平均值的大小不同于2.4节中自旋为1/2时非局域部分的关联平均值。对于自旋为1和自旋为1/2非局域部分关联平均值的不同我们给出如下解释：对于自旋1/2的态是由于自旋极化测量的反转导致了有个负号的出现，以至于在关联平均值的非局域部分导致了这个非零的berry项。在自旋为1的情况下，这个berryi2项因子仅仅是一个平凡项e1，因此，非局域的干涉作用使得相同和相反自旋lc极化测量相互抵消了。总的关联输出结果只来自于局域部分P，即：lcPabPabcosacosb(2.34)因此，由(2.43)和(2.43)式的推导我们可以得出：局域隐变量理论推导得出的贝尔不等式和CHSH不等式在自旋为1的时候都不违反。2.6自旋宇称效应自选宇称效应是本章节中的工作重点。经计算可得，在两粒子处在自旋平行极化纠缠态或反平行纠缠态时，关联平均值的非局域部分的关系是：nlcnlc2snlcs22s331s11，也就是说当自旋值为整数时其四个密度矩阵元是相等的，即在自旋值为整数时自旋关联平均值的非局域部分等于零；当自旋值为半整数时其四个密度矩阵元中第二个等于第三个且等于负的第一个和第四个，即自旋关联平均值的非局域部分不为零。也就是说在贝尔猫态时，自旋值为整数时的自旋关联19 贝尔不等式及其违反的全量子理论平均值的测量结果是满足贝尔不等式的，自旋值为半整数时的自旋关联平均值的测量结果是不满足贝尔不等式，我们把这种现象称之为自旋宇称效应。对于两个自旋为s的粒子，其初态为自旋平行极化的宏观量子纠缠态定义为：cs,scs,s(2.35)和自旋为1/2时一样我们将其密度算符分成局域部分和非局域部分。局域部分的密度算符为：lc22ˆcoss,ss,ssins,ss,s(2.36)非局域部分的密度算符为：nlc2i2iˆsecossins,ss,secossins,ss,s(2.37)其中这里的s被称为宏观量子态：sˆsss。在这里最小不确定关z112222系sˆz2sˆxsˆy是被满足的。所以就是贝尔猫态。我们假设在宏观量子态上的测量是受到限制的，称之为自旋相干态a，并且sˆaasa。sss这些自旋相干态可以由s产生：aRˆs(2.38)s这里的产生算符为：Reiamsˆ(2.39)由(2.13)和(2.14)可知自旋相干态用dicke态表示的严格的形式为：1s2s2smsmismaasaaemmssm1s2s2s-msmisma-asaaemmssm这里的cos，sin。对两个自旋为s的处于自旋极化纠缠态上的粒子进22行自旋关联贝尔测量，相应的局域部分密度矩阵元分别为：lc22a,bcossssssin-s-s-s-sa,b1124s4s24s4scossinabablc22a,-bcossssssin-s-s-s-sa,-b2224s4s24s4scossinabablc22-a,bcossssssin-s-s-s-s-a,b3324s4s24s4scossinabab20 第二章自旋为1/2和自旋为1纠缠态的贝尔不等式lc22-a,-bcossssssin-s-s-s-s-a,-b4424s4s24s4scossinabab因此这个局域部分的自旋关联平均值为：lclclclclcPsab1144223324s4s24s4s24s4s24s4scossincossinabababab24s4s24s4s24s4s24s4s-cossin-cossinabababab4s4s4s4s4s4s4s4s--abababab4s4s4s4s4s4s---abbabb4s4s4s4s--aabb即：lc4s4s4s4sPsaba-ab-b(2.40)这里需要注意的是这个结果是自旋为s时，初态为自旋平行极化纠缠态时局域部分的自旋关联平均值；与初态为自旋为s时的自旋极化反平行纠缠态的自旋关联平均4s4s4s4s值有个负号的差别（自旋为s反平行时为：--）。aabb对上面的结果观察我们可以得到：因为s值为整数或者是半整数，则4s为偶数，所以4s4s4s4s0cos1，0sin1，所以-1cos-sin1，因此可以得到4s4s4s4s-1-1。由于-1-1的取值范围和-1cos1的取值范围都相aaaa同，因此在这里我们只关注其取值范围时我们可以用-1cos1来代替4s4s-1-1。因此对于贝尔不等式，自旋为s的问题也就回到了自旋为1/2aa和自旋为1的问题。由此在自旋为s时，对于在a,b,c,d四个方向测量的CHSH不等式的局域部分，有：lclclclcPabPacPdb-Pdcsssscoscoscoscoscoscoscoscosabacbddccosacosbcosccosdcosbcosc2cos或2cosbc2(2.41)然而在高自旋极化平行纠缠态时，贝尔不等式也应修改为：lclclc|P(a,b)-P(a,c)|1-P(b,c)(2.42)sss自旋为s的自旋平行极化纠缠叠加态的非局域部分密度矩阵元的值为：nlcnlc2s2s2s2s2sincoscos2s21144aabbab21 贝尔不等式及其违反的全量子理论nlcnlc2s2s2s2s2s-12sincoscos2s22233aabbab(2.43)由此我们可以得到：nlcnlc2snlcs22s331s11(2.44)nlc这里值得我们注意的是在非局域部分内相反方向的自旋极化的密度矩阵元和s22nlcnlcnlcs33与相同方向的自旋极化密度矩阵元s11和s44做比较，当自旋值为半整数时两部分相差一个负号，当自旋为整数的时候两部分是相等的。这里我们附加了一i2s2s个几何相位因子（e1）。在非局域部分中这个几何项因子的存在来自于自旋极化测量的反转，而且这个项因子可以直接利用自旋相干态的内积计算而得出。isA[59,60]事实上，berry项因子e自然的存在于两个相干态的内积中：11nn2isA12nne(2.45)122这里的A是一个由单位矢量n1，n2扩展的区域，也是球面上的北极。有上面(2.44)式我们可以很容易观察到，在自旋为s的自旋极化纠缠态中的非nlcnlcnlcnlc局域部分密度矩阵元，与，的差别仅在于berry项s22s33s11s442s因子1。作为一个结论就是在贝尔猫态的关联测量中自旋值为整数的关联平均值的非局域密度矩阵元的各项贡献相互抵消。在自旋为整数的时候berry项因子是个nlcnlc平凡项而有，但是在自旋为半整数的时候Berry项因子中出现了个负号s11s22nlcnlc而导致-，因此关联平均值的非局域项不为零。因此在任意自旋为s的s11s22时候有自旋宇称效应：自旋值为半整数时，贝尔不等式在量子上是违反的；自旋值为整数时，贝尔不等式在量子上是成立的。2.7双光子偏振的贝尔不等式基于实验中很多都是利用的双光子的水平和竖直偏振来构造双光子偏振纠缠态来验证贝尔不等式的违反性。这里我们将给出其理论推导。在利用双光子的偏振的实验中其中纠缠初态为：cosHHsinVV。这里的H，V分别代表光子的水平偏振和竖直偏振。则在任意空间，方向用双光子偏振基矢VV来测量初态的双光子偏振关联平均值为：2PVV(2.46)VV这里的初态中的水平和竖直偏振投影到方向测量基矢上的表达式为：VcosHsinV(2.47)22 第二章自旋为1/2和自旋为1纠缠态的贝尔不等式HsinHcosV(2.48)则对于两个光子偏振四个基矢下的关联平均值分别为：2PVVVV2VVcossinHcosVsinHcosViVVsinecosHsinVcosHsinV2sinsinHHsincosHVVVcoscossinVHcoscosVVcoscosHHcossinHViVVsinesincosVHsinsinVV2icoscoscossinecsinsin2222221coscoscossinsinsinsin2sin2cos42PHVHV2HVcossinHcosVsinHcosViHVsinecosHsinVcosHsinV2222221cossincossincossin-sin2sin2cos42PVHVH2VHcossinHcosVsinHcosViVHsinecosHsinVcosHsinV2222221coscossinsinsincossin2sin2cos42PHHHH2HHcossinHcosVsinHcosViHHsinecosHsinVcosHsinV2222221cossinsinsincoscossin2sin2cos423 贝尔不等式及其违反的全量子理论根据自旋1/2和自旋为1的计算可知，这里的光子竖直偏振的测量结果可以定义为+1，光子水平偏振的测量结果定义为-1。则在计算总的偏振关联的时候，在竖直和水平偏振的基矢关联上同样会出来一个负号。则总的偏振关联测量平均值为：PPPPPHHVVHVVH2222221coscoscossinsinsinsin2sin2cos42222221cossinsinsincoscossin2sin2cos42222221-cossincossincossin-sin2sin2cos42222221-coscossinsinsincossin2sin2cos4222222coscoscos2sinsincos2cossincos222sincoscos2sin2sin2cos22coscos2cos2sincos2cos2sin2sin2coscos2cos2sin2sin2cos即：Pcos2cos2sin2sin2cos（2.49）观察上面的计算我们可知双光子偏振纠缠关联平均值就等于自旋1/2极化纠缠关联平均值，区别仅在于角度上，因为光子的水平偏振和竖直偏振是相互垂直的而自旋极化的两个方向则是一个平角。因为这两种纠缠态都属于双态系统，所以关联平均值的结果相同，因此实验上验证贝尔不等式的破坏多数用的就是双光子偏振纠缠态。2.8本章小结本章的主要工作重点在于将贝尔不等式推广到自旋平行极化纠缠态中，并且在极化平行纠缠态中的自旋宇称效应依然成立。本章节的第一部分主要是利用最原始的经典统计的方法推导自旋平行极化纠缠态中贝尔不等式的形式。之后是利用量子计算办法计算贝尔不等式的情况。本章中主要利用的方法是将密度矩阵算符分成局域部分和非局域部分，这样可以非常便利的将自旋极化关联平均值分为局域部分和非局域部分，从而清楚的看到贝尔不等式的违反正是由于非局域部分的存在造成的。24 第二章自旋为1/2和自旋为1纠缠态的贝尔不等式在计算自旋关联平均值的时候还用到了自旋相干态的形式，利用自旋相干态可以非常方便的计算自旋为s的关联平均值。本章中计算了自旋为1/2和自旋为1时的自旋关联平均值。当自旋为1时经计算自旋极化关联平均值的非局域部分为0，也就是只有局域部分的值，这导致了在自旋为1的时候贝尔不等式在量子上是成立的。当初态为自旋极化平行的纠缠态和自旋反平行的纠缠态时关联平均值的局域部分相差一个负号，这也导致了贝尔不等式在两种初态的形式的不同，但是不同初态的自旋宇称效应都成立，也就是说初态不影响自旋宇称效应。自旋宇称效应指的是在双粒子自旋纠缠态中自旋值为半整数时贝尔不等式将会违反，当自旋为整数的时贝尔不等式在量子上成立。对于自旋宇称效应的解释是由于自旋测量反转导致几何项因子产生了影响。本章中由于实验中多是用光子偏振纠缠的初态来验证贝尔不等式的违反，由此给出了双光子偏振纠缠的理论计算推导，经计算可知双光子水平偏振和竖直偏振纠缠态的关联平均值与自旋为1/2时双粒子纠缠态的结果一样，因为它们都是双态系统。25 贝尔不等式及其违反的全量子理论26 第三章自旋平行极化与反平行极化的统一不等式第三章自旋平行极化与反平行极化的统一不等式3.1自旋平行与反平行的统一的不等式1由第二章的内容可知在自旋单态（，---，）和自旋极化平行2纠缠态c，-c-，中所用到的不等式是有差别的，两个不等式在不同12初态的条件下互相不适用。为了解决这个问题，在这里就需要用一个新的不等式。这里我们将给出一个统一的新不等式，它能够很好的适用于两种初态的形式。新不等式为：PabPacPbc1（3.1）对于新不等式，我们将跟之前自旋平行极化纠缠态中的不等式一样，将从经典的隐参量理论以及量子理论两方面做出给出证明过程：在经典统计隐参量理论上，对于两粒子自旋平行极化与反平行极化的纠缠态：c，--c-，和c，-c-，，在a,b两个方向上对两个1212粒子进行自旋关联测量时，其期望值为：Pa,bdAa,Bb,（3.2）这里的是概率分布，是隐参量。两个粒子的自旋测量结果为自旋向上和自旋向下，将其分别标记为：Aa,1，Bb,1。对于自旋极化反平行和平行的两种初态，两个粒子的自旋测量输出值分别有Aa,Ba,和Aa,Ba,，因此可以分别得到：Pa,b-dAa,Ab,和Pa,bdAa,Ab,。因此对于反平行纠缠态可以有：Pa,b-Pa,c-dAa,Ab,Aa,Ac,-dAa,Ab,1Ab,Ac,1Pb,c1Pb,c对于平行纠缠态可以有：27 贝尔不等式及其违反的全量子理论Pa,b-Pa,cdAa,Ab,Aa,Ac,dAa,Ab,1Ab,Ac,1-Pb,c1Pb,c即：PabPacPbc1（3.3）对于上面的证明过程主要源于1Pb,c和1-Pb,c都小于等于1Pb,c。所以就可以把两种不等式统一成一种。因此新不等式在经典统计理论中自旋极化平行和反平行纠缠叠加态两种初态下都成立。接下来就需要在量子理论上做相应的计算。由第二章中的计算我们可以得知，在自旋为1/2的时候有：两粒子的初态为c，--c-，时，关联平均值12局域部分和非局域部分分别为：lclclclclcP-coscosab11442233abnlcnlcnlcnlcnlcP2sincossinsincos2abab11442233ab（3.4）两粒子的初态为c，-c-，时，关联平均值局域部分和非局域部分分12别为：lclclclclcPcoscosab11442233abnlcnlcnlcnlcnlcP2sincossinsincos2abab11442233ab（3.5）由第二章的结果我们可以知道贝尔不等式的破坏主要是因为关联平均值的非局域部分的存在而引起的，在局域部分是成立的，因此在这里我们也主要关注关联平均值的局域部分。则，分别将两种初态下得到的关联平均值的局域部分带入新不等式有：lclclcPabPacPbc-coscoscos-coscos（3.6）abcbccosacosbcosccosbcosc或者是：lclclcPabPacPbccosacosbcosccosbcosc（3.7）28 第三章自旋平行极化与反平行极化的统一不等式很显然我们可以观察上面的（3.4）和（3.5）式可以得出两种情况在新不等式中是一样的。因为此式各项都是带有绝对值，而两种初态下得出的关联平均值的非局域部分只相差一个负号，所以加上绝对值之后两种形式就统一了。为了验证不等式是成立的，我们只需要保证（3.16）式取最大值，其只要保证最大值小于等于1就可以保证统一的不等式是成立的。设cosa1，则式子的第一项可取最大值，则有：lclclcPabPacPbccosbcosccosbcosc（3.8）下面需要将(3.8)式中的两个绝对值去掉，当cosbcosc0，cosbcosc0时，可得：lclclcPabPacPbccoscoscoscosbcbccos1-cos1-cos-1bcc1-cos1cos1cb又因为cosbcosc0，cosbcosc0则：0cosb1，0cosc1；或者-1cosb0，-1cosc0则可以得到：1-cosc1cosb11clclc因此：PabPacPbc1成立：同理我们可以得到其他的三种情况：当cosbcosc0，cosbcosc0时；或cosbcosc0，cosbcosc0；或cosbcosc0，cosbcosc0；lclclc这三种情况时PabPacPbc1都成立。综上所述我们可知新不等式PabPacPbc1在经典统计理论上和量子理论上都适用于两粒子自旋平行极化纠缠态和自旋反平行极化纠缠态，因此我们可以说新得到的不等式是普适的。3.2统一不等式的破坏值与态的系数的关系29 贝尔不等式及其违反的全量子理论由前面第二章的计算我们可以知道在自旋为1/2的时候贝尔不等式是破坏的，在这里我们定义一个贝尔不等式的值：贝尔值，也就是不等式的破坏值：PPabPacPbc（3.9）这里当贝尔值P小于等于1的时候说明统一的不等式是成立的；当贝尔值大于1的时候说明统一的不等式是破坏的，贝尔值越大不等式的破坏度越大。对于这个值有很重要的意义，它既可以描述贝尔不等式的破坏度，也可以描述量子力学理论中的量子纠缠度。下面我们给出两粒子初态系数与贝尔值之间的关系以及计算贝尔值的最大值。在初态为自旋极化平行纠缠态时c，-c-，有：12lcPcoscos（3.10）ababnlcP2sincossinsincos2bababa（3.11）将两粒子的极化关联平均值带入新给出的贝尔不等式有：PabPacPbccoscos2sincossinsincos2ababab-coscos2sincossinsincos2acacaccosbcosc2sincossinbsinccos2bc这里我们主要关注的是贝尔值与初态系数之间的关系，因此我们可以取特定的极化3角和方位角，根据第二章的结论可取：当a，b，c0时，也就是42前面我们提到的极化单位矢量b与c垂直，极化单位矢量a与b-c平行时，有：PabPacPbc110-2sincos1cos2ab221112sincos0cos2ac22012sincos10cos2bc21sincoscos2ab22当cos2ab1时有：211PabPacPbcsincossin2122230 第三章自旋平行极化与反平行极化的统一不等式1即：PabPacPbcsin21（3.12）2因为-1sin21，所以当时，贝尔值有最大为2。对于最大值的大小4与第二章所得到的结论是一致的。3.3一般混合态的统一贝尔不等式：前面所有的计算推导都是用的两粒子自旋极化纠缠的纯态，在这里我们将研究混合态时不等式的特征。在这里我们用到的混合态为自旋值为1/2的自旋极化平行与极化反平行的纠缠态的混合：c，--c-，（3.13）112c，-c-，（3.14）234其中反平行纠缠态所占概率为设为P，则平行纠缠态的概率为1-P。则其混合态的密度矩阵为：mP111P22（3.15）0P1；当P取趋于0或趋于1时混合态趋于纯态。在这种混合态下其关联概率平均值的大小同样等于各纯态关联平均值之和。由式子（3.13）和（3.14）我们可以得到：lcPm-Pcoscos1Pcoscosababab（3.16）12PcosacosbnlcPmP2sincossinsincos2-ab11ab1ab（3.17）1P2sin2cos2sinsincos22baba当初态的系数c1c3，c2c4，cos21a-b=cos22ab=1时有：nlcPm2sincossinsin（3.18）ab11ab在这种情况下混合态关联平均值的非局域部分与各组分的概率不相关。ii当初态的系数为c-ecos-c，ccesin，cos2-=13241abcos22ab=1时有：nlcPm12P2sincossinasinb（3.19）ab在这种情况下总的关联概率为：31 贝尔不等式及其违反的全量子理论lcnlcPmPmPmabab12Pcoscos12P2sincossinsinabab12Pcosacosb2sincossinasinb因此在这种情况下，当混合态各组分的概率各为1/2的时候总的关联概率为;lcnlcPmPmPm0（3.20）abab也就是说由两种纠缠纯态组成的混合态的系数和各组分的概率值直接影响了自旋关联平均值，这也将会直接影响不等式的破坏值。3.4本章小结在这一章中主要解决的问题是当自旋极化平行与反平行纠缠态下的贝尔不等式形式不统一的问题。本章给出了一个适用于两种不同初态的统一不等式。在这一章节中我们还给出了在统一不等式中的初态系数与破坏值的关系。在特定极化角和方位角下统一不等式定义的贝尔值在0到2之间，其最大破坏值与之前不等式的情况相同。当贝尔值为2时说明初态处在最大纠缠态上。在本章的最后还给出了由两种纠缠纯态组成的混合态关联平均值的计算，混合态的形式将直接影响关联平均值的大小。当两粒子的关联平均值为零时说明两种纠缠态组成的混合态中的两个粒子不关联。32 第四章结论总结与展望第四章总结与展望利用态密度算符计算量子关联平均值的方法有个便利之处就是可以将关联测量结果分成局域部分和非局域部分。其中非局域部源自于叠加态各组分的量子干涉。利用非局域部分可以进行独立计算，并且能够看出为什么贝尔不等式能够违反和贝尔不等式是怎样违反的。对于自旋极化平行与反平行双边纠缠态的局域部分关联值之间相差一个负号。因此在双粒子自旋平行极化纠缠态中的不等式与原贝尔不等式有个负号的差别，但是对于双粒子自旋平行极化纠缠态的CHSH不等式没有变化。对于自旋宇称效应在双粒子自旋平行极化纠缠态中仍然成立，仍然是当自旋值为半整数时贝尔不等式破坏，当自旋值为整数时贝尔不等式在量子上成立。对于贝尔不等式在半整数自旋时违反我们可以理解为是因为自旋测量反转导致了非局域项中几何项因子产生了影响。贝尔不等式的违反来自于非局域结果中的一个几何项因子。虽然原贝尔不等式的形式依赖于初态的形式但是自旋宇称效应是独立的不受初态的选取而受影响。在自旋为1的纠缠态时贝尔不等式不违反可以直接利用轨道角动量的纠缠来验证[60-63]。对于双粒子自旋极化平行和反平行的两种纠缠态，有两种不同形式的不等式。但是可以将两种形式的不等式给统一起来。统一不等式的最大违反值跟各自形式下的最大违反值是相同的，都是2。不等式的最大违反值反映的是初态处于最大纠缠态上，但是这里同样存在一个问题就是贝尔不等式的违反值不能完美的反映初态的纠缠度。当确定了测量方向时随着初态一个系数的变大，也就是说随着纠缠初态趋于经典态时，不等式的违反值也将不断减小。对于混合态所得到的关联平均值的大小与混合态的形式有关，混合态的形式能直接影响量子干涉项和非干涉项的关联平均值。基于以上工作内容接下来可以再将证贝尔不等式推广到不同形式的纠缠叠加态上甚至是任意纠缠叠加态的形式中，以及可以研究多粒子不同形式的纠缠态的贝尔不等式。研究混合态的形式对贝尔不等式违反值的影响，探究混合态和自旋关联值之间的关系。此外目前对于纠缠态的纠缠熵还没有一种完美的形式来描述，贝尔不等式的违反值能一定程度的描述纠缠态的纠缠度和纠缠熵，但是目前的不等式的形式不能完美的描述。下一步工作可以基于贝尔不等式理论来探究它与纠缠态的纠缠度之间的关系。基于这个问题我们可以适当地将不等式推广，来探究它与纠缠态的纠缠度之间的关系，使之完美的描述纠缠态的纠缠度。除此之外，还可以基于单光33 贝尔不等式及其违反的全量子理论子态的具体表达形式来构造一个纠缠叠加态，利用构造出来的纠缠叠加态来计算贝尔不等式的纠缠态的动力学问题。34 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攻读学位期间获得的研究成果及成果与科研的项目攻读学位期间取得的研究成果及参与科研的项目HaifengZhang,JianhuaWang,ZhigangSong,L.-F.Wei,J.-Q.Liang,Spin-parityeffectinviolationofbell"sinequalitiesforentangledstatesofparallelpolarization,ModernPhysicsLettersB,2017,31,1142.41 贝尔不等式及其违反的全量子理论42 致谢致谢时光匆匆一晃而过，在这不长不短的三年里，学习，进步，成长，充实着自己的每一天。阳春三月，坐在这里悠悠回顾往事，感慨万千。同时这也说明了研究生生活末尾的步伐已经慢慢踏进，自己的学生时代也将依稀结束。三年的研究生生活将成为我人生中最美好最宝贵的经历。在此我要对在我这三年里给予我帮助和支持的老师，同学和亲人们表达我最真诚的感谢。在这里首先要对我的导师梁九卿教授表达我最诚挚的感谢与最崇高的敬意！能够有幸成为梁老师的学生以及能够梁老师得到谆谆教导是我人生中的最大的荣幸。梁老师在工作上有着激情满满精益求精不断钻研进取的精神，梁老师的工作精神时时刻刻的影响着我们这些年轻人，我所取的每一步都离不开梁老师的细心指点耐心教诲；在做学问上梁老师有着严谨的治学态度，渊博的只和独特的思维模式，梁老师的独特精准的认知使得我们受益匪浅；在生活中，梁老师有着宽广的胸怀，严以待人的高尚风范，平日里他朴实无华生活作风与平易近人的亲和力，使得我们倍感亲切。梁老师的科学精神与生活态度都在我脑海里产生了深深的烙印指引着我前进的步伐。在我研究生三年学习中，不论从论文的选题还是问题的每一步的解决上梁老师都给与了我耐心的指导，在此再次向梁老师表达我的感激之情。其次还有感谢在我研究生学习阶段的各位任课老师，感谢李志坚，陈君，张志才，闫维贤，姜晓庶等任课老师对我的教育和培养。感谢他们对我的传道受业解惑，在此向他们表达我的真诚的谢意。在此还要感谢刘妮老师和太原师范学院的赵秀琴老师对我学业上的大力支持与帮助。此外还要感谢张超，白雪敏，吉瑞等师兄师姐对我的真诚指点和热心帮助；感谢三年舍友许凯凯，侯海燕，李长丰的相处与相伴；感谢张瑞江，白磊，马俊芳，田康康，胡蕊，任晋萍，王蕾，王凤梅等学友的无私交流与帮助，感谢古燕师妹对本论文的整理给予的大力协助。愿我们的友谊天长地久亘古不变友谊长存。最后在此也向在背后一直默默支持我的父母和哥哥表达我深深的谢意是你们这么多年来对我的无私奉献才有了我今天的成长与进步。张海峰2018年3月于山西大学理论研究所43 贝尔不等式及其违反的全量子理论44 个人简况及联系方式个人简况及联系方式姓名：张海峰性别：男籍贯：山东省沂源县学习经历：2015年9月至2018年6月在山西大学理论物理研究所攻读硕士学位联系方式：15735174871电子邮箱：1679191666@qq.com45 贝尔不等式及其违反的全量子理论46 承诺书承诺书本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立完成的，学位论文的知识产权属于山西大学。如果今后以其他单位名义发表与在读期间学位论文相关的内容，将承担法律责任。除文中已经注明引用的文献资料外，本学位论文不包括任何其他个人或集体已经发表或撰写过的成果。作者签名：20年月日47 贝尔不等式及其违反的全量子理论48 学位论文使用授权声明学位论文使用授权声明本人完全了解山西大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关机关或机构送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等手段保存、汇编学位论文。同意山西大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播论文的全部或部分内容。保密的学位论文在解密后遵守此协议。作者签名：导师签名：20年月日49 贝尔不等式及其违反的全量子理论50