高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题二十二 数学思想在解题中的应用(二).pdf 13页

专题二十二数学思想在解题中的应用(二)1．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x＜3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)＝()．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．335B．338C．1678D．2012答案：B[由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.]2．方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同．在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()．A．60条B．62条C．71条D．80条b2答案：B[显然方程ay＝b2x2＋c表示抛物线时，有ab≠0，故该方程等价于y＝x2＋ac.a(1)当c＝0时，从{－3，－2,1,2,3}中任取2个数作为a，b的值，有A25＝20种不同的方法，当a一定，b的值互为相反数时，对应的抛物线相同，这样的抛物线共有4×3＝12条，所以此时不同的抛物线共有A25－6＝14条．(2)当c≠0时，从{－3，－2,1,2,3}中任取3个数作为a，b，c的值有A35＝60种不同的方法；当a，c的值一定，而b的值互为相反数时，对应的抛物线相同，这样的抛物线共有4A23＝24条，所以此时不同的抛物线有A35－12＝48条．综上所述，满足题意的不同的抛物线有14＋48＝62条，故选B.]x1＋x213．函数f(x)在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有f≤[f(x1)＋f(x2)]，(2)2则称f(x)在[a，b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题：①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的；②f(x2)在[1，3]上具有性质P；③若f(x)在x＝2x1＋x2＋x3＋x4处取得最大值1，则f(x)＝1，x∈[1,3]；④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有f(4) 1≤[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)]．其中真命题的序号是()．4A．①②B．①③C．②④D．③④答案：D[取函数f(x)＝Error!则函数f(x)满足题设条件具有性质P，但函数f(x)的图象是不连续的，故①为假命题，排除A、B；取函数f(x)＝－x,1≤x≤3，则函数满足题设条件具有性质P，但f(x2)＝－x2,1≤x≤3就不具有性质P，故②为假命题，排除C.应选D.]4．下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．解析　此框图依次执行如下循环：π第一次：T＝0，k＝1，sin＞sin0成立，a＝1，T＝T＋a＝1，k＝2，2＜6，继续循环；2π第二次：sinπ＞sin不成立，a＝0，T＝T＋a＝1，k＝3,3＜6，继续循环；23π第三次：sin＞sinπ不成立，a＝0，T＝T＋a＝1，k＝4,4＜6，继续循环；23π第四次：sin2π＞sin成立，a＝1，T＝T＋a＝2，k＝5,5＜6，继续循环；25π第五次：sin＞sin2π成立，a＝1，T＝T＋a＝3，k＝6,6＜6不成立，跳出循环，输出T2的值为3.答案　31．分类讨论思想的考查重点为含有参数的函数性质问题、与等比数列的前n项和有关的计算推证问题、直线与圆锥曲线的位置关系不定问题等，在选择、填空、解答题中都会涉及到分类讨论的思想方法．2．等价转换思想的应用在高考试题中处处可见，是解高考试题常用的数学思想．(1)分类与整合思想实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．利用好分类与整合思想可以优化解题思路，降低问题难度．复习中要养成分类与整合的习惯，常 见的分类情形有：概念分类型，运算需要型，参数变化型，图形变动型．(2)转化与化归思想是高中数学学习中最基本、最重要的思想方法，它无处不在．比如：在解析几何中，通过建立坐标系将几何问题划归为代数问题.必备知识分类与整合思想在解某些数学问题时，我们常常会遇到这样一种情况：解到某一步之后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的．当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究．这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究的基本方向是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起，这种“合—分—合”的解决问题的思想，就是分类与整合思想．化归与转化思想在解决一个问题时人们的眼光并不落在结论上，而是去寻觅、追溯一些熟知的结果，由此将问题化难为易，化繁为简，化大为小，各个击破，达到最终解决问题的目的，这种解决问题的思想就是化归与转化思想．必备方法1．分类讨论的几种情况[来源:Zxxk.Com](1)由数学的概念、图形的位置等引发的分类讨论：数学中的概念有些就是分类的，如绝对值的概念；(2)由数学的定理、法则、公式等引发的分类讨论：一些数学定理和公式是分类的，如等比数列的求和公式等；(3)由参数变化引发的分类讨论：当要解决的问题中涉及参数时，由于参数在不同范围内取值时，问题的发展方向不同，这就要把参数划分的几个部分分类解决；(4)问题的具体情况引发的分类讨论：有些数学问题本身就要分情况解决，如概率计算中要根据要求，分类求出基本事件的个数；(5)较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决．2．化归转化思想的几种情况 (1)化为已知：当所要解决的问题和我们已经掌握的问题有关系时，把所要解决的问题化为已知问题；(2)化难为易：化难为易是解决数学问题的基本思想，当我们遇到的问题是崭新的，解决起来困难时，就要把这个问题化为我们熟悉的问题，熟悉的问题我们有解决的方法，就是容易的问题，这是化难为易的一个方面；(3)化繁为简：在一些问题中，已知条件或求解结论比较繁，这时就可以通过化简这些较繁的已知或者结论为简单的情况，再解决问题，有时把问题中的某个部分看做一个整体，进行换元，这也是化繁为简的转化思想；(4)化大为小：在解答综合性试题时，一个问题往往是由几个问题组成的，整个问题的结论，是通过这一系列的小问题得出的，这种情况下，就可以把所要解决的问题转化为几个小问题进行解决.由数学概念、法则、公式而引起的　　分类讨论数学中的很多概念都是通过分类定义的，数学中的一些定理、公式、法则往往有一些严格的限制条件，故高考常常在这些知识点中命题．【例1】设函数f(x)＝Error!若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是()．A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)[审题视点][听课记录][审题视点]分a＞0，a＜0讨论求解．1C[当a＞0时，由f(a)＞f(－a)，得log2a＞loga，211即log2a＞log2，即a＞，解得a＞1；aa1当a＜0时，由f(a)＞f(－a)，得log(－a)＞log2(－a)，2 11即log2－＞log2(－a)，则－＞－a，解得－1＜a＜0.(a)a所以a∈(－1,0)∪(1，＋∞)．]有许多核心的数学概念是分类的，比如：直线斜率、指数函数、对数函数等，与这样的数学概念有关的问题往往需要根据数学概念进行分类，从而全面完整地解决问题．【突破训练1】若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析　则函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象与函数y＝x＋a的图象有两个交点．由图象可知，当0＜a＜1时，两函数只有一个交点，不符合；当a＞1时，因为函数y＝ax(a＞1)的图象过点(0,1)，而直线y＝x＋a的图象与y轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．答案　(1，＋∞)由参数的变化而引起的分类讨论由于参数的取值不同会导致所得结果不同，所以某些含有参数的问题如函数性质的运用、求最值、一元二次方程根的判断、直线斜率等，在求解时要根据参数的变化进行分类讨论．1－a【例2】已知函数f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)．x1(1)当a≤时，讨论f(x)的单调性；21(2)设g(x)＝x2－2bx＋4，当a＝时，若对任意x1∈(0,2)，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，4求实数b的取值范围．[审题视点][听课记录][审题视点](1)根据解题需要，要对二次项系数、根的大小分类讨论．(2)将问题转化为g(x)在[1,2]上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值，则可借助(1)问的结论求得f(x)在(0,2)上的最小值，根据二次函数的对称轴与给定区间(1,2]的关系讨论求g(x) 的最小值即可求b的范围．1－a解(1)因为f(x)＝lnx－ax＋－1，x1a－1ax2－x＋1－a所以f′(x)＝－a＋＝－，x∈(0，＋∞)．xx2x2令h(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)．①当a＝0时，h(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)，所以当x∈(0,1)时，h(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增．②当a≠0时，令f′(x)＝0，1即ax2－x＋1－a＝0，解得x1＝1，x2＝－1.a1(ⅰ)当a＝时，x1＝x2，h(x)≥0恒成立，此时f′(x)≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递2减．11(ⅱ)当01>0，2a当x∈(0,1)时，h(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；1当x∈1，－1时，h(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增；(a)1当x∈－1，＋∞时，h(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减．(a)1(ⅲ)当a<0时，由于－1<0，ax∈(0,1)时，h(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增．综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增；1当a＝时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；211当00，此时与(*)矛盾；②当b∈[1,2]时，因为g(x)min＝4－b2≥0，同样与(*)矛盾；117③当b∈(2，＋∞)时，因为g(x)min＝g(2)＝8－4b，解不等式8－4b≤－，可得b≥.2817综上所述，b的取值范围是，＋∞.[8)求解时，要结合参数的意义，对参数的不同取值或不同取值范围进行分类讨论，分类要合理，要不重不漏，要符合最简原则．3【突破训练2】已知函数f(x)＝ax3－x2＋1(x∈R)，其中a＞0.2(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；11(2)若在区间－，上，f(x)＞0恒成立，求a的取值范围．[22]3解　(1)当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋1，f(2)＝3.f′(x)＝3x2－3x，f′(2)＝6，所以曲线y＝2f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－3＝6(x－2)，即y＝6x－9.(2)f′＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．1令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.a以下分两种情况讨论：11①若0＜a≤2，则≥.a2当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：11x－，000，(2)(2)f′(x)＋0－f(x)极大值11当x∈－，时，[22]f(x)＞0等价于Error!即Error!解不等式组得－5＜a＜5.因此0＜a≤2.11②若a＞2，则0＜＜.a2 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：11111x－，000，，(2)(a)a(a2)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值11当x∈－，时，[来源:学科网][22]f(x)＞0等价于Error!即Error!22解不等式组得＜a＜5或a＜－.因此2＜a＜5.22综合①②，可知a的取值范围为0＜a＜5. 转化与化归思想的应用转化与化归思想非常普遍，常考查特殊与一般、常量与变量、正与反或以换元法为手段的转化．【例3】已知函数f(x)＝x3＋2x2－ax＋1.若函数g(x)＝f′(x)在区间(－1,1)上存在零点，则实数a的取值范围是________．[审题视点][听课记录][审题视点]很显然，函数g(x)是二次函数，二次函数在一个开区间上存在零点，情况是很复杂的，但这个二次函数可以把参数分离出来，这样就把问题转化为求一个具体的函数的值域．解析　g(x)＝f′(x)＝3x2＋4x－a，g(x)＝f′(x)在区间(－1,1)上存在零点，等价于3x2＋4x＝a在区间(－1,1)上有解，等价于a的取值范围是函数y＝3x2＋4x在区间(－1,1)上的值域，44不难求出这个函数的值域是－，7.故所求的a的取值范围是－，7.[3)[3)4答案　－，7[3]在高考中，转化与化归思想占有相当重要的地位，在解题时注意依据问题本身所提供的信息，利用动态思维，去寻求有利于问题解决的化归与转化的途径和方法．【突破训练3】函数f(x)＝sinx＋cosx＋sin2x的最小值是________．π解析　令t＝sinx＋cosx＝2sinx＋，(4)15则t2＝1＋sin2x，且t∈[－2，2]，∴f(t)＝t2＋t－1＝t＋2－，(2)415故当t＝－∈[－2，2]时，函数f(x)的最小值为－.245答案　－4突破转化与化归的瓶颈转化的一种方式是变换研究对象，将问题转移至新对象的知识背景中，从而使非标准 型问题、复杂问题简单化，进而变得容易处理．通过引进新的变量，可以将分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者将条件与结论联系起来，或者使题目的形式变得熟悉，从而将复杂的计算或证明题简化．【示例】设函数fn(x)＝xn＋bx＋c(n∈N＋，b，c∈R)．1(1)设n≥2，b＝1，c＝－1，证明：fn(x)在区间，1内存在唯一零点；(2)(2)设n＝2，若对任意x1，x2∈[－1,1]，有|f2(x1)－f2(x2)|≤4，求b的取值范围；1(3)在(1)的条件下，设xn是fn(x)在，1内的零点，判断数列x2，x3，…，xn，…的增(2)减性．[来源:Zxxk.Com][满分解答](1)b＝1，c＝－1，n≥2时，fn(x)＝xn＋x－1.111∵fnfn(1)＝－×1＜0，(2)(2n2)1∴fn(x)在，1内存在零点．(2)1又当x∈，1时，fn′(x)＝nxn－1＋1＞0，(2)1∴fn(x)在，1上是单调递增的，(2)1∴fn(x)在，1内存在唯一零点．(4分)(2)(2)当n＝2时，f2(x)＝x2＋bx＋c.对任意x1，x2∈[－1,1]都有|f2(x1)－f2(x2)|≤4等价于f2(x)在[－1,1]上的最大值与最小值之差M≤4.据此分类讨论如下：b(i)当＞1，即|b|＞2时，|2|M＝|f2(1)－f2(－1)|＝2|b|＞4，与题设矛盾．b(ii)当－1≤－＜0，即0＜b≤2时，2bbM＝f2(1)－f2－＝＋12≤4恒成立．(2)(2)b(iii)当0≤－≤1，即－2≤b≤0时，2bbM＝f2(－1)－f2－＝－12≤4恒成立．(2)(2) 综上可知，－2≤b≤2.(8分)注：(ii)，(iii)也可合并证明如下：用max{a，b}表示a，b中的较大者．b当－1≤－≤1，即－2≤b≤2时，2bM＝max{f2(1)，f2(－1)}－f2－(2)f2－1＋f21|f2－1－f21|b＝＋－f2－22(2)b2＝1＋c＋|b|－－＋c(4)|b|＝1＋2≤4恒成立．(8分)(2)1(3)法一　设xn是fn(x)在，1内的唯一零点(n≥2)，(2)1fn(xn)＝xn＋xn－1＝0，fn＋1(xn＋1)＝xn＋1＋xn＋1－1＝0，xn＋1∈，1，于是有fn(xn)＝0＝(2)fn＋1(xn＋1)＝xn＋1＋xn＋1－1＜xn＋n1＋xn＋1－1＝fn(xn＋1)，1又由(1)知fn(x)在，1上是递增的，故xn＜xn＋1(n≥2)，(2)所以，数列x2，x3，…，xn，…是递增数列．(12分)1法二　设xn是fn(x)在，1内的唯一零点，(2)fn＋1(xn)fn＋1(1)＝(xn＋n1＋xn－1)(1n＋1＋1－1)＝xn＋n1＋xn－1＜xn＋xn－1＝0，则fn＋1(x)的零点xn＋1在(xn,1)内，故xn＜xn＋1(n≥2)，所以，数列x2，x3，…，xn，…是递增数列．(12分)老师叮咛：本题主要考查函数的零点、导数与不等式，以及数列的单调性的判断和恒成立问题的处理，意在考查转化思想和分类讨论思想的运用.第1问利用函数零点存在定理，1结合函数的单调性，得出函数在区间，1上的零点个数.第2问结合分类讨论思想，得出(2)函数在区间[－1，1]上的最值，把恒成立问题转化为简单的解不等式问题，不会转化是一个 重要的失分点.第3问，看成单纯的数列问题，无法将新问题与第2问中的结论联系起来，导致解题走入死胡同.a【试一试】已知函数f(x)＝x＋(a∈R)，g(x)＝lnx.x(1)求函数F(x)＝f(x)＋g(x)的单调区间；gx(2)若关于x的方程＝f(x)－2e(e为自然对数的底数)只有一个实数根a的值．x2a解　(1)函数F(x)＝f(x)＋g(x)＝x＋＋lnx的定义域为(0，＋∞)．xa1x2＋x－a∴F′(x)＝1－＋＝.x2xx21①当Δ＝1＋4a≤0，即a≤－时，得x2＋x－a≥0，则F′(x)≥0.4∴函数F(x)在(0，＋∞)上单调递增．1②当Δ＝1＋4a＞0，即a＞－时，令F′(x)＝0，得x2＋x－a＝0，4－1－1＋4a－1＋1＋4a解得x1＝＜0，x2＝.221－1＋1＋4a(i)若－＜a≤0，则x2＝≤0.42∵x∈(0，＋∞)，∴F′(x)＞0，∴函数F(x)在(0，＋∞)上单调递增．－1＋1＋4a(ii)若a＞0，则x∈0，时，F′(x)＜0；(2)－1＋1＋4ax∈，＋∞时，F′(x)＞0，(2)－1＋1＋4a－1＋1＋4a∴函数F(x)在区间0，上单调递减，在区间，＋∞上单调(2)(2)递增．综上所述，当a≤0时，函数F(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；[来源:学科网]－1＋1＋4a当a＞0时，函数F(x)的单调递减区间为0，，(2)－1＋1＋4a单调递增区间为，＋∞.(2)gxlnxalnx(2)由＝f(x)－2e，得＝x＋－2e，化为＝x2－2ex＋a.x2x2xxlnx1－lnx令h(x)＝，则h′(x)＝.xx2令h′(x)＝0，得x＝e. 当0＜x＜e时，h′(x)＞0；当x＞e时，h′(x)＜0.∴函数h(x)在区间(0，e)上单调递增，在区间(e，＋∞)上单调递减．1∴当x＝e时，函数h(x)取得最大值，其值为h(e)＝.e而函数m(x)＝x2－2ex＋a＝(x－e)2＋a－e2，当x＝e时，函数m(x)取得最小值，其值为m(e)＝a－e2.11gx∴当a－e2＝，即a＝e2＋时，方程＝f(x)－2e只有一个实数根．eex2