高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题十三 空间线面位置关系的推理与证明.pdf 14页

专题十三空间线面位置关系的推理与证明1.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．[来源:学&科&网]求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明　(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.本问题主要以解答题的形式进行考查，重点是空间线面平行关系和垂直关系的证明，而且一般是这个解答题的第一问．首先要学会认识几何图形，有一定的空间想象能力，对照着已知条件逐一判断．其次要熟悉相关的基本定理和基本性质，要善于把空间问题转化为平面问题进行解答．高考试题 一般是利用直线与平面平行或垂直的判断定理和性质定理，以及平面与平面平行或垂直的判定定理和性质定理，把空间中的线线位置关系、线面位置关系和面面位置关系进行相互转化，这就要求同学们对平行与垂直的判定定理和性质定理熟练掌握，并在相应的题目中用相应的数学语言进行准确的表述．必备知识平行关系的转化两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图．解决平行问题时要注意以下结论的应用(1)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面．(3)一条直线与两平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交．(4)平行于同一条直线的两条直线平行．(5)平行于同一个平面的两个平面平行．(6)如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线必与它们的交线平行．垂直关系的转化与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图．在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面，当题目中有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化．必备方法1．证明平行、垂直问题常常从已知联想到有关判定定理或性质定理，将分析法与综合法综合起来考虑． 2．证明面面平行、垂直时，常转化为线面的平行与垂直，再转化为线线的平行与垂直．3．使用化归策略可将立体几何问题转化为平面几何问题．4．正向思维受阻时，可考虑使用反证法．5．计算题应在计算中融入论证，使证算合一，逻辑严谨．通常计算题是经过“作图、证明、说明、计算”等步骤来完成的，应不缺不漏，清晰、严谨．空间点、线、平面之间的位置关系此类问题涉及的知识面较广，综合性较强，常考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质，考查学生分析、解决问题的能力，难度中档．【例1】►如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD11＝∠FAB＝90°，BC綉AD，BE綉AF，G、H分别为FA、FD的中点．22(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？[审题视点][听课记录][审题视点]要证明四边形BCHG是平行四边形，只要证明GH綉BC或GB綉HC即可；要证明C，D，E，F共面，可通过证明四边形CDEF中至少有一组对边平行或两边的延长线相交即可．1(1)证明　由题意知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH綉AD.21又BC綉AD，故GH綉BC.所以四边形BCHG是平行四边形．2(2)解C、D、F、E四点共面．理由如下： 1由BE綉AF，G是FA的中点知，BE綉GF，所以EF綉BG.2由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面．又点D在直线FH上，所以C、D、F、E四点共面．法二　由题设知FA，AB，AD两两互相垂直，如图，以A为坐标原点，以射线AB为x轴正方向，以射线AD为y轴正方向，以射线AF为z轴正方向，建立直角坐标系Axyz.(1)证明　设AB＝a，BC＝b，BE＝c，则由题设得A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，b,0)，D(0,2b,0)，E(a,0，c)，G(0,0，c)，H(0，b，c)．→→→→所以GH＝(0，b,0)，BC＝(0，b,0)，于是GH＝BC.又点G不在直线BC上，所以四边形BCHG是平行四边形．(2)解C，D，F，E四点共面．理由如下：→→由题设知F(0,0,2c)，所以EF＝(－a,0，c)，CH＝(－a,0，c)，→→EF＝CH，又C∉EF，H∈FD，故C，D，E，F四点共面．解决空间线面位置关系的组合判断题常有以下方法：(1)借助空间线面位置关系的线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，肯定或否定某些选项，并作出选择．【突破训练1】给出下列关于互不相同的直线m，l，n和平面α，β的四个命题：①若m⊂α，l∩α＝A，点A∉m，则l与m不共面；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；④若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β. 其中为真命题的是________(填序号)．解析　③中l∥m或l，m异面，所以③错误，其他正确．答案　①②④线线、线面位置关系此类问题多以多面体为载体，求证线线、线面的平行与垂直，在解答题中往往作为第一问，难度一般不大，适当添加辅助线是解题的常用方法，考查学生灵活应用线线、线面的平行与垂直的相互转化能力．【例2】如图所示，正三棱柱A1B1C1ABC中，点D是BC的中点，BC＝2BB1，设B1D∩BC1＝F.求证：(1)A1C∥平面AB1D；(2)BC1⊥平面AB1D.[审题视点][听课记录][审题视点]本题可先挖掘正三棱柱中有关的线面平行及垂直关系，第(1)问可利用“线线平行”或“面面平行”，第(2)问可利用“线线垂直”来证“线面垂直”．证明　(1)连接A1B，设A1B与AB1交于E，连接DE.∵点D是BC中点，点E是A1B中点，∴DE∥A1C，∵A1C⊄平面AB1D，DE⊂平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2)∵△ABC是正三角形，点D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵平面ABC⊥平面B1BCC1，平面ABC∩平面B1BCC1＝BC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥平面B1BCC1， ∵BC1⊂平面B1BCC1，∴AD⊥BC1.2∵点D是BC的中点，BC＝2BB1，∴BD＝BB1.2BDCC12∵＝＝，∴Rt△B1BD∽Rt△BCC1.BB1BC2∴∠BDB1＝∠BC1C.∴∠FBD＋∠BDF＝∠C1BC＋∠BC1C＝90°.∴BC1⊥B1D.因为B1D∩AD＝D，∴BC1⊥平面AB1D.将立体几何问题转化为平面几何问题，是解决立体几何问题的很好途径，其中过特殊点作辅助线，构造平面是比较常用的方法．当然，记住公式、定理、概念等基础知识是解决问题的前提．【突破训练2】如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.证明：(1)AA1⊥BD；(2)CC1∥平面A1BD.证明(1)因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以BD⊥D1D，取AB的中点G，连接DG，在△ABD中，由AB＝2AD得，AG＝AD，又∠BAD＝60°，所以△ADG为等边三角形．因此GD＝GB，故∠DBG＝∠GDB，又∠AGD＝60°，所以∠GDB＝30°，故∠ADB＝∠ADG＋∠GDB＝60°＋30°＝90°所以BD⊥AD.又AD∩D1D＝D， 所以BD⊥平面ADD1A1，又AA1⊂平面ADD1A1，故AA1⊥BD.(2)连接AC，A1C1，设AC∩BD＝E，连接EA1，因为四边形ABCD为平行四边形，1所以EC＝AC，2由棱台定义及AB＝2AD＝2A1B1知，A1C1∥EC且A1C1＝EC，所以四边形A1ECC1为平行四边形，因此CC1∥EA1，又因为EA1⊂平面A1BD，CC1⊄平面A1BD，所以CC1∥平面A1BD. 面面位置关系此类问题多以多面体为载体，结合线线、线面的位置关系，涉及的知识点多，综合性强，通常考查面面位置关系的判定及性质，考查学生的推理论证能力．【例3】►如图所示，在四棱锥PABCD中，△PAB为正三角形，且面PAB⊥面ABCD，四边形ABCD是直角π梯形，且AD∥BC，∠BCD＝，AD＝1，BC＝2，E为棱PC的中点．4(1)求证：DE∥平面PAB；(2)求证：平面PAB⊥平面PBC.[审题视点][听课记录][审题视点](1)证明线面平行只需在平面内找一条和该直线平行的直线即可，也可转化为经过这条直线的平面和已知平面平行；(2)证明面面垂直，只需在一个平面内找到另一个平面的垂线．(1)证明　如图所示，取线段BC的中点F，连接EF、FD.在△PBC中，E、F分别为PC、CB的中点，∴EF∥PB.在直角梯形ABCD中，F为CB的中点，1∴BF＝BC＝1.2又∵AD∥BC，且AD＝1，∴AD綉BF.∴四边形ABFD是平行四边形，∴FD∥AB.又∵EF∩FD＝F，PB∩BA＝B，∴平面EFD∥平面PAB.又∵DE⊂平面EFD，∴DE∥平面PAB. (2)证明　在直角梯形中，CB⊥AB，又∵平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，∴CB⊥平面PAB.∵CB⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.[来源:学科网]解决空间两个平面位置关系的思维方法是“以退为进”，即面面问题退证为线面问题，再退证为线线问题，充分利用面面、线面、线线相互之间的转化关系．【突破训练3】如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.证明(1)如图，在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.平面图形的折叠问题此类问题通常是把平面图形折叠成空间几何体，并以此为载体考查线线、线面、面面位置关系及有关计算．考查学生的知识迁移能力和空间想象能力，难度较大． 1【例4】如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP，D是AP的2中点，E、F分别为PC、PD的中点，将△PCD沿CD折起得到四棱锥PABCD.(1)G为线段BC上任一点，求证：平面EFG⊥平面PAD；(2)当G为BC的中点时，求证：AP∥平面EFG.[审题视点][听课记录][审题视点](1)转化为证EF⊥平面PAD；(2)转化为证平面PAB∥平面EFG.证明(1)在直角梯形ABCP中，1∵BC∥AP，BC＝AP，D为AP的中点，2∴BC綉AD，又AB⊥AP，AB＝BC，∴四边形ABCD为正方形．∴CD⊥AP，CD⊥AD，CD⊥PD.在四棱锥PABCD中，∵E，F分别为PC、PD的中点，∴EF∥CD、EF⊥AD，EF⊥PD.又PD∩AD＝D、PD⊂面PAD、AD⊂面PAD.∴EF⊥面PAD.又EF⊂面EFG，∴面EFG⊥面PAD.(2)法一　∵G、F分别为BC和PC中点，∴GF∥BP，∵GF⊄面PAB，BP⊂面PAB，∴GF∥面PAB.由(1)知，EF∥DC，∵AB∥DC，∴EF∥AB，∵EF⊄面PAB，AB⊂面PAB，∴EF∥面PAB.∵EF∩GF＝F，EF⊂面EFG，GF⊂面EFG.∴面EFG∥面PAB.∵PA⊂面PAB，∴PA∥面EFG.法二　取AD中点H，连接GH、HE. 由(1)知四边形ABCD为平行四边形，又G、H分别为BC、AD的中点，∴GH∥CD.由(1)知，EF∥CD，∴EF∥GH.[来源:学#科#网Z#X#X#K]∴四点E、F、G、H共面．∵E、H分别为PD、AD的中点，∴EH∥PA.∵PA⊄面EFGH，EH⊂面EFGH，[来源:学#科#网Z#X#X#K]∴PA∥面EFGH，即PA∥面EFG.(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．【突破训练4】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.(1)求证：AB⊥DE；(2)求三棱锥EABD的侧面积．(1)证明　在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，∴BD＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠DAB＝23.∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD.又∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面EBD.又∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE.(2)解　由(1)知AB⊥BD.∵CD∥AB，∴CD⊥BD，从而DE⊥BD.在Rt△DBE中，∵DB＝23，DE＝DC＝AB＝2，1∴S△DBE＝DB·DE＝23.2又∵AB⊥平面EBD，BE⊂平面EBD，∴AB⊥BE.1∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE＝AB·BE＝4.2∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD， 而AD⊂平面ABD，∴ED⊥AD，1∴S△ADE＝AD·DE＝4.2综上，三棱锥EABD的侧面积S＝8＋23.证明线面关系，严禁跳步作答证明线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，但分析问题时不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上，通过证明线面垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的．【示例】在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．(1)求证：EF∥平面ABC1D1；(2)求证：EF⊥B1C.[满分解答](1)连接BD1，如图所示，在△DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，则EF∥D1B，∵D1B⊂平面ABC1D1，EF⊄平面ABC1D1，∴EF∥平面ABC1D1.(6分)(2)∵ABCDA1B1C1D1为正方体，∴AB⊥平面BCC1B1.∴B1C⊥AB.又B1C⊥BC1，AB⊂平面ABC1D1，BC1⊂平面ABC1D1且AB∩BC1＝B，∴B1C⊥平面ABC1D1， 又∵BD1⊂平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1.又EF∥BD1，∴EF⊥B1C.(12分)老师叮咛：本题失分原因主要有两点：一是推理论证不严谨，在使用线面位置关系的判定定理、性质定理时忽视定理的使用条件，如由EF∥D1B就直接得出EF∥平面ABC1D1；二是线面位置关系的证明思路出错，如本题第(2)问的证明，缺乏转化的思想意识，不知道证明线线垂直可以通过线面垂直达到目的，出现证明上的错误．解这类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等．【试一试】如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥底面ABCD，M为SA的中点，N为CD的中点．证明：(1)平面SBD⊥平面SAC；(2)直线MN∥平面SBC.证明(1)∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵SA⊥底面ABCD，∴BD⊥SA.∵SA∩AC＝A，∴BD⊥平面SAC.又∵BD⊂平面SBD，∴平面SBD⊥平面SAC.(2)如图，取SB中点E，连接ME，CE.∵M为SA中点，1∴ME∥AB且ME＝AB.2又∵ABCD是菱形，N为CD的中点，11∴CN∥AB且CN＝CD＝AB.22∴CN綉ME. ∴四边形CNME是平行四边形，∴MN∥CE.[来源:学#科#网]又MN⊄平面SBC，CE⊂平面SBC，∴直线MN∥平面SBC.