高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题七 三角恒等变换与解三角形.pdf 12页

专题七三角恒等变换与解三角形31．已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝()．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　355A．－B．－3955C.D.93312答案：A[将sinα＋cosα＝两边平方，可得1＋sin2α＝，sin2α＝－，所以(－sin3335α＋cosα)2＝1－sin2α＝，因为α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0，所以－sinα＋cos3155α＝－，所以cos2α＝(－sinα＋cosα)(cosα＋sinα)＝－，选A.]3312．若tanθ＋＝4，则sin2θ＝()．tanθ11A.B.5411C.D.[来源:学&科&网Z&X&X&K]3211＋tan2θ答案：D[∵tanθ＋＝＝4，∴4tanθ＝1＋tan2θ，tanθtanθ2sinθcosθ2tanθ2tanθ1∴sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝＝.]sin2θ＋cos2θ1＋tan2θ4tanθ23．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝()．77A.B．－2525724C．±D.2525答案：A[因为8b＝5c，则由C＝2B，得sinC＝sin2B＝2sinBcosB，由正弦定理得cossinCc447B＝＝＝，所以cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝2×2－1＝，故选A.]2sinB2b5(5)2514．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－，则b＝________.41解析　由余弦定理，得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×－，解得b＝4.(4)答案　4 1．对于三角恒等变换，高考命题以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点．2．对于解三角形，重点考查正弦定理、余弦定理两公式在解三角形中的应用，通过三角形中的边、角关系和相关公式的灵活运用来考查学生分析问题、解决问题的能力以及数学运算能力.1．在三角恒等变换过程中，准确地记忆公式，适当地变换式子，有效地选取公式是解决问题的关键．2．在解三角形的试题时，要弄清楚三角形三边、三角中已知什么，求什么，这些都是解决问题的思维基础，分析题设条件，利用正、余弦定理进行边与角之间的相互转化是解决问题的关键.必备知识[来源:Z§xx§k.Com]两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.tanα±tanβ(3)tan(α±β)＝.1∓tanαtanβ二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.2tanα(3)tan2α＝.1－tan2α1－cos2α1＋cos2α(4)降幂公式：sin2α＝，cos2α＝.22正弦定理及其变形abc＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．sinAsinBsinC变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.abcsinA＝，sinB＝，sinC＝.2R2R2R a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.余弦定理及其推论a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.b2＋c2－a2a2＋c2－b2推论：cosA＝，cosB＝，2bc2aca2＋b2－c2cosC＝.2ab变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.面积公式111S△ABC＝bcsinA＝acsinB＝absinC.222必备方法1．“变角”是三角变换的灵魂，因此要注意分析条件与所求之间角的联系，常考察是否具有和、差、倍、半关系或互余、互补关系．如2β与β是倍角关系．此外，根据条件与α＋ββ所求中的角的特点，常要对角进行恰当的配凑，如：β＝(α＋β)－α，＝α－－2(2)α－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．(2)2．要充分把握三角函数的变换规律．三角变换时，需会用“切化弦”“弦化切”“辅助角”“1的代换”等技巧，追求“名、角、式”(三角函数名、角度、运算结构)的统一，其中角的变换是三角变换的核心．3．在三角形内求值、证明或判断三角形形状时，要用正、余弦定理完成边与角的互化，一般是都化为边或都化为角，然后用三角公式或代数方法求解，从而达到求值、证明或判断的目的．解题时要注意隐含条件．4．解三角形的应用问题时，要将条件和求解目标转化到一个三角形中，然后用正、余弦定理或三角公式完成求解，同时注意所求结果要满足实际问题的要求，还要注意对不同概念的角的正确理解与应用，如俯角、仰角、方位角、视角等.利用三角恒等变换进行三角函数的化简、求值 三角恒等变换是三角运算的核心和灵魂，常考查：①三角恒等变换在化简、求值等方面的简单应用；②三角恒等变换与三角形中相关知识的综合、与向量的交汇性问题，多以解答题形式出现，难度中档．π【例1】已知函数f(x)＝2cosωx＋(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π.(6)(1)求ω的值；π56516(2)设α，β∈0，，f5α＋π＝－，f5β－π＝，求cos(α＋β)的值．[2](3)5(6)17[审题视点][听课记录][审题视点](1)由T＝10π可得ω的值；(2)化简所给的已知条件，求得cosα、sinβ的值，将cos(α＋β)展开，代入数据即可．π2π1解(1)∵f(x)＝2cosωx＋，ω＞0的最小正周期T＝10π＝，∴ω＝.(6)ω51π(2)由(1)知f(x)＝2cosx＋，(56)π5π65π16而α，β∈0，，f5α＋＝－，f(5β－)＝，[2](3)561715ππ6∴2cos5α＋＋＝－，[5(3)6]515ππ162cos5β－＋＝，[5(6)6]17π38即cosα＋＝－，cosβ＝，(2)5173415于是sinα＝，cosα＝，sinβ＝，5517∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ4831513＝×－×＝－.51751785(1)给值求角的本质还是给值求值，即欲求某角，也要先求该角的某一三角函数值．(2)由于三角函数的多值性，故要对角的范围进行讨论，确定并求出限定范围内的角．(3)要仔细观察分析所求角与已知条件的关系，灵活使用角的变换，如α＝(α＋β)－β，α α＋βα－β＝＋等．22π2π3π【突破训练1】已知cosx－＝，x∈，.(4)10(24)(1)求sinx的值；π(2)求sin2x＋的值．(3)π3π解(1)因为x∈，，(24)πππ所以x－∈，，4(42)ππ72于是sinx－＝1－cos2x－＝.(4)(4)10ππsinx＝sinx－＋[(4)4]ππππ＝sinx－cos＋cosx－sin(4)4(4)4722224＝×＋×＝.1021025π3π(2)因为x∈，，(24)43所以cosx＝－1－sin2x＝－1－2＝－.(5)5247sin2x＝2sinxcosx＝－，cos2x＝2cos2x－1＝－.2525πππ24＋73所以sin2x＋＝sin2xcos＋cos2xsin＝－.(3)3350三角函数与解三角形以三角形为载体，以三角变换为核心，结合正(余)弦定理考查解斜三角形是高考的一个热点问题．根据所给式子、三角形的特点合理选择正弦或余弦定理是解题的关键，综合考查学生逻辑分析和计算推理能力．【例2】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已cosA－2cosC2c－a知＝.cosBbsinC(1)求的值；sinA1(2)若cosB＝，b＝2，求△ABC的面积S.4[审题视点] [听课记录][审题视点](1)根据所给式子和第(1)问式子的特征，采用边化角较为简单；(2)借用第(1)1问的结果可知a、c间的关系，再结合cosΒ＝，b＝2，利用余弦定理可求解．4abc解(1)由正弦定理，设＝＝＝k，sinAsinBsinC2c－a2ksinC－ksinA2sinC－sinA则＝＝，bksinBsinBcosA－2cosC2sinC－sinA所以＝.cosBsinB即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．又A＋B＋C＝π，所以原等式可化为sinC＝2sinA，sinC因此＝2.sinAsinC(2)由＝2，得c＝2a.sinA1由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝，41得4＝a2＋4a2－4a2×，解得a＝1，从而c＝2.4115又因为cosB＝，且0＜B＜π，所以sinB＝.44111515因此S＝acsinB＝×1×2×＝.2244在含有三角形内角的三角函数和边的混合关系式中要注意变换方向的选择．正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程，在解三角形的试题中方程思想是主要的数学思想方法，要注意从方程的角度出发分析问题．ππ【突破训练2】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝，bsin＋C4(4)π－csin＋B＝a.(4)π(1)求证：B－C＝；2(2)若a＝2，求△ABC的面积．πππ(1)证明　由bsin＋C－csin＋B＝a，应用正弦定理，得sinBsin＋C－sinCsin(4)(4)(4) π＋B＝sinA，(4)22222sinBsinC＋cosC－sinCsinB＋cosB＝，(22)(22)2整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，即sin(B－C)＝1，3π由于0＜B，C＜π，从而B－C＝.423π5ππ(2)解　B＋C＝π－A＝，因此B＝，C＝.488π由a＝2，A＝，4asinB5πasinCπ得b＝＝2sin，c＝＝2sin，sinA8sinA815ππππ1所以△ABC的面积S＝bcsinA＝2sinsin＝2cos·sin＝.288882易错点拨第(2)问考生往往在遇到非特殊角的情况下思维受阻，导致丢分，遇到这种情况时要学会分析推测或用转化法使解题进行下去．向量与解三角形的综合考查解三角形问题常以向量为载体，解题时通常先利用向量知识将有关向量关系式转化为三角形中的边角关系，然后再借助解三角形的知识求解，难度中档偏低．π【例3】►在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，A＝，(1＋3)c＝2b.6(1)求角C；→→(2)若CB·CA＝1＋3，求a，b，c.[审题视点][听课记录]π[审题视点](1)由(1＋3)c＝2b及A＝可利用正弦定理将边的关系转化为角的关系；(2)6→→将向量关系式CB·CA＝1＋3转化为三角形中的边角关系，再利用解三角形的知识求解．b13sinB解(1)由(1＋3)c＝2b，得＝＋＝，c22sinC π5π5πsinπ－－CsincosC－cossinC(6)66则有＝sinCsinC1313＝＋＝＋，2tanC222π得tanC＝1，即C＝.4→→(2)由CB·CA＝1＋3，推出abcosC＝1＋3.π2而C＝，即得ab＝1＋3，42则有Error!解得Error!解答这一类问题，首先要保证向量运算必须正确，否则，反被其累，要很好的掌握正、余弦定理的应用条件及灵活变形，方能使问题简捷解答．→→→→→【突破训练3】在△ABC中，已知2AB·AC＝3|AB|·|AC|＝3BC2，求角A，B，C的大小．解　设BC＝a，AC＝b，AB＝c，→→→→由2AB·AC＝3|AB|·|AC|，3得2bccosA＝3bc，所以cosA＝，2π→→→又A∈(0，π)，因此A＝，由3|AB|·|AC|＝3BC2，63得bc＝3a2，于是sinC·sinB＝3sin2A＝.45π3所以sinC·sin－C＝，(6)4133sinC·cosC＋sinC＝，(22)4因此2sinC·cosC＋23sin2C＝3，πsin2C－3cos2C＝0，即sin2C－＝0.(3)π5πππ4π由A＝知0＜C＜，所以－＜2C－＜，66333πππ2π从而2C－＝0，或2C－＝π，即C＝或C＝，3363π2ππππ2π故A＝，B＝，C＝或A＝，B＝，C＝.636663 正、余弦定理的实际应用由于正、余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形应用问题中的测量问题、航海问题等常常是高考的热点，其主要要求是：会利用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题．【例4】如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．[审题视点][听课记录][审题视点]第(1)问实质求BC；第(2)问运用正弦定理可求解．解(1)依题意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解得BC＝28.所以渔船甲的速度为14海里/时．(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，ABBC由正弦定理，得＝，sinαsin120°312×ABsin120°233即sinα＝＝＝，BC281433所以sinα的值为.14 (1)三角形应用题的解题要点：解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中寻找出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得出所要求的量，从而得到实际问题的解．(2)有些时候也必须注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等．正确理解和掌握方位角、俯角、仰角对于解决三角形应用题也是必不可少的．[来源:学科网]【突破训练4】如图，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°且AB＝100米．(1)求sin75°；(2)求该河段的宽度．解(1)sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°12326＋2＝×＋×＝.22224(2)因为∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，所以∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝60°.ABBC由正弦定理得＝，sin∠ACBsin∠CABABsin75°所以BC＝.sin60°如图，过点B作BD垂直于对岸，垂足为D,则BD的长就是该河段的宽度．在Rt△BDC中，因为∠BCD＝∠CBA＝45°，BDsin∠BCD＝，BC所以BD＝BCsin45° ABsin75°＝·sin45°sin60°6＋2100×42＝×322256＋23503＋3＝＝(米)．33503＋3答：该河段的宽度为米．3转化与化归在解三角形中的应用解三角形问题是历年高考的热点，常与三角恒等变换相结合考查正弦、余弦定理的应用，解题的实质是将三角形中的问题转化为代数问题或方程问题，在此过程中也常利用三角恒等变换知识进行有关的转化．可以说，三角形问题的核心就是转化与化归．【示例】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.[满分解答](1)由acosC＋3asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0.因为B＝π－A－C，所以3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.π1由于sinC≠0，所以sinA－＝.(6)2π又0＜A＜π，故A＝.(6分)31(2)△ABC的面积S＝bcsinA＝3，故bc＝4.2而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.(12分)老师叮咛：本题较容易，得分率较高.考查了考生利用正、余弦定理及三角公式进行转 化的能力.其中，第1问利用正弦定理将边化成角，结合三角恒等变换知识整理出角A.第2问根据三角形的面积公式得到关于b，c的等式，再由余弦定理用a和角A表示出b，c的关系，从而求解.【试一试】在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sinC＝2sinA.(1)求AB的值；π(2)求sin2A－的值．(4)ABBC解　(1)在△ABC中，根据正弦定理，＝.sinCsinAsinC于是AB＝·BC＝2BC＝25.sinA(2)在△ABC中，根据余弦定理，得AB2＋AC2－BC225cosA＝＝.[来源:学,科,网Z,X,X,K]2AB·AC55于是sinA＝1－cos2A＝.[来源:学科网ZXXK]54从而sin2A＝2sinAcosA＝，53cos2A＝cos2A－sin2A＝.5πππ2所以sin2A－＝sin2Acos－cos2Asin＝.(4)4410