内蒙古呼伦贝尔市2021届高三高考二模数学（理科）Word版含解析 17页

2021年内蒙古呼伦贝尔市高考二模（理科）数学试卷1.已知集合㌳䁩，䁩，则䁣A.䁩B.䁩C.䁩D.䁩2.已知复数，则䁣A.B.C.D.3.设等差数列的前n项和为，且，则䁣A.35B.65C.95D.1304.函数䁣cos䁣图象的对称中心是䁣A.䁣䁣B.䁣䁩䁣C.䁣䁣D.䁣䁩䁣5.青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题.已知某校有小学生3600人，有初中生2400人，为了解该校学生的近视情况，用分层抽样的方法从该校的所有学生中随机抽取120名进行视力检查，则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是䁣A.24B.48C.72D.966.已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是，则该圆柱的体积是䁣A.B.C.D.7.在等比数列中，，是方程䁩䁩的两个根，则䁣A.3B.3或C.D.8.2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，使得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础.若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式䁩ln计算火箭的最大速度䁣RY，其中䁩䁣RY是喷流相对速度，䁣݇是火箭䁣除推进剂外的质量，䁣݇是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”.若A型火箭的喷流相对速度为䁩䁩䁩RY，当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为䁣䁣lg䁩쳌lg䁩쳌䁩A.䁩RYB.͹䁩RYC.RYD.RY第1页，共17页 9.已知，是椭圆C：的左、右焦点，点D在椭圆C上，䁩，点O为坐标原点，则晦䁣A.1B.C.D.10.已知函数䁣log䁣在㘴上单调递减，则m的取值范围是䁣A.B.䁣C.䁣㘴D.11.已知双曲线C：䁣䁩䁩的左、右焦点分别为，，过作与其中一条渐近线平行的直线与C交于点A，若为直角三角形，则双曲线C的离心率为䁣A.B.C.D.2㌳䁩12.已知函数䁣，若关于x的方程䁣䁣䁩有4ln䁩个不同的实数根，则实数a的取值范围为䁣A.䁣䁩B.䁣䁩C.䁣䁩D.䁣䁩13.已知向量䁣，䁣，若䁣，则______.14.设x，y满足约束条件䁩，则的最大值是______.15.桂林是世界著名的风景旅游城市和中国历史文化名城，号称“桂林山水甲天下”，每年都会迎来无数游客.甲同学计划今年暑假去桂林游玩，准备在“印象刘三姐”“漓江游船”“象山景区”“龙脊梯田”这4个景点中任选2个游玩.已知“印象刘三姐”的门票为195元/位，“象山景区”的门票为35元/位，其他2个景点的门票均为95元/位，则甲同学所需支付的门票费的期望值为______元.16.某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，已知该三棱锥的各顶点都在球O的球面上，过该三棱锥最短的棱的中点作球O的截面，截面面积最小为______.第2页，共17页 17.某公司为了解服务质量，随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客，每位顾客对该公司的服务质量进行打分.已知这200位顾客所打的分数均在䁩䁩㘴之间，根据这些数据得到如下的频数分布表：顾客所打分䁩䁩͹䁩͹䁩䁩䁩㘴数男性顾客人46103050数女性顾客人610244020数䁣估计这200位顾客所打分数的平均值䁣同一组数据用该组区间的中点值为代表쳌䁣若顾客所打分数不低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分数低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意.根据所给数据，完成下列列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关？满意不满意男性顾客女性顾客䁣附；쳌䁣䁣䁣䁣䁣䁩쳌䁩䁩䁩쳌䁩䁩䁩쳌䁩䁩k쳌쳌䁩쳌18.在䁨中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos쳌䁣求角B；䁣若，͹，求边BC上的中线AD的长.第3页，共17页 19.如图，在四棱锥䁨中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，䁨䁩쳌点E，F分别在棱BC，PD上䁣不包含端点，且PF：：䁨쳌䁣证明：RR平面쳌䁣若，求二面角䁨的余弦值.20.已知抛物线C：䁣䁩的焦点为F，点P为抛物线C上一点，点P到F的距离比点P到x轴的距离大쳌过点P作抛物线C的切线，设其斜率为䁩쳌䁣求抛物线C的方程；䁣直线l：与抛物线C相交于不同的两点A，䁣异于点若直线AP与直线BP的斜率互为相反数，证明：䁩䁩쳌第4页，共17页 21.设函数䁣，쳌䁣若函数䁣在R上是增函数，求实数a的取值范围.䁣证明：当时，䁣䁩쳌cos22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是䁣为参数，以坐标原点为sin极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cossin쳌䁣求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；䁣若点P在曲线C上，求点P到直线l的距离的最大值.23.设函数䁣쳌䁣当时，求不等式䁣͹的解集；䁣若䁣，求a的取值范围.第5页，共17页 第6页，共17页 答案和解析1.【答案】C【解析】解：㌳㌳，䁩，䁩쳌故选：䁨쳌可求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法和列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由题意可得，䁣䁣쳌故选：쳌利用复数的乘法运算法则进行求解即可．本题考查了复数的乘法运算，考查了运算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，等差数列中，，则，即͹，䁣则͹，故选：쳌根据题意，由等差数列的通项公式可得͹，结合等差数列的前n项和公式计算可得答案．本题考查等差数列的性质以及应用，涉及等差数列的求和，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：函数䁣cos䁣，令，，解得，，所以䁣的对称中心为䁣䁩䁣쳌故选：쳌第7页，共17页 利用余弦函数的对称中心以及整体代换的思想，列出等式求解即可．本题考查了三角函数的对称性，解题的关键是掌握余弦函数的对称中心，考查了整体代换的运用，属于基础题．5.【答案】A䁩【解析】解：由题意得：抽样比为：，䁩䁩䁩䁩䁩小学生应抽取的人数为：䁩䁩͹，䁩初中生应抽取的人数为：䁩䁩，䁩小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是：͹，故选：쳌根据分层抽样的基本知识求出抽样比，进而求解结论即可．本题主要考查了分层抽样，分层抽样即按比例抽取计算，属基础题．6.【答案】A【解析】解：设圆柱的高为h，底面圆的半径为r，则䁞，䁞，从而，䁞，，故该圆柱的体积为：䁞쳌故选：쳌设出圆柱的高与底面半径，利用已知条件求解底面半径与高，然后求解体积即可．本题考查圆柱的体积的求法，侧面积的运算，是基础题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，，是方程䁩䁩的两个根，则，则有䁣，解可得，故选：쳌根据题意，分析可得，则有䁣，变形可得的值，综合可得答案．本题考查等比数列的性质，注意分析的符号，属于基础题．8.【答案】C第8页，共17页 lg䁩䁩lg【解析】解：根据题意，䁩ln䁩䁩䁩ln䁩䁩䁩䁩䁩䁩䁩䁩lglgRY，故选：䁨쳌根据题意，由函数的解析式代入数据计算可得答案．本题考查函数值的计算，涉及对数的运算性质，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：，由椭圆的定义可得，由余弦定理可得cos，即䁣䁣䁣，即䁩，解得，所以，即点D与椭圆C的上顶点重合，所以晦쳌故选：쳌利用椭圆的定义，结合余弦定理，转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．10.【答案】D【解析】解：函数䁣log䁣在㘴上单调递减，䁣在㘴上单调递减，且大于零，故有，䁩求得㌳，故选：쳌由题意利用复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质可得，䁩由此求得m的范围．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：设，，由题意过作与其中一条渐近线平行的直线与C交于点A，若为直角三角形，可得，解得，则，故选：쳌利用双曲线的定义，结合勾股定理转化求解双曲线的离心率即可．第9页，共17页 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12.【答案】B【解析】解：设݇䁣䁣䁣，则݇䁣的定义域为䁩，且݇䁣݇䁣，即݇䁣是偶函数，故关于x的方程݇䁣䁩有4个不同的实数根等价于݇䁣在䁣䁩上有2个零点，当䁩时，݇䁣ln，则݇䁣䁩等价于ln，令䁣ln，则䁣ln，令䁣ln，则䁣䁩，䁣在区间䁣䁩上单调递增，又䁣䁩，䁣在区间䁣䁩上单调递减，在区间䁣上单调递增，即䁣在处取得极小值䁣，当䁩时，䁣䁩，当时，䁣，䁣的大致图象如下，当㌳㌳䁩时，关于x的方程䁣在区间䁣䁩上有两个不同的实数根，即关于x的方程䁣䁣䁩有4个不同的实数根．故选：쳌设݇䁣䁣䁣，得到݇䁣是偶函数，得到关于x的方程݇䁣䁩有4个不同的实数根等价于݇䁣在䁣䁩上有2个零点，令݇䁣䁩等价于ln，等价为函数䁣ln的图象和直线有且只有两个交点．求出䁣的单调区间、极值，画出图象，即可得到所求a的范围．本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用函数方程的转化思想和数形结合思想方法，考查导数的运用：求单调区间和极值，画出图象，属于中档题．13.【答案】第10页，共17页 【解析】解：根据题意，䁣，䁣，则䁣，若䁣，则䁣䁣䁩，解可得：，故答案为：쳌根据题意，求出的坐标，由向量垂直的判断方法可得䁣䁣䁩，解可得m的值，即可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．14.【答案】8【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得䁣，由，得，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为쳌故选答案为：쳌由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．15.【答案】210【解析】解：由题意可知，甲同学所需支付的门票的期望为䁣䁩䁩䁩䁩䁩䁩䁩元．故答案为：䁩쳌利用等可能事件的概率，判断甲同学这4个景点中任选2个游玩的概率，然后求解期望即可．本题考查离散型随机变量的期望的求法，是基础题．第11页，共17页 16.【答案】【解析】解：由正视图和俯视图在长方体中还原出三棱锥的直观图如图所示，该三棱锥的各顶点在球O的表面积上，即球O的半径为R，则䁣，解得，由三棱锥的直观图可得最短棱BC，设BC的中点为E，则晦，当截面面积最小时，晦截面，设截面圆的半径为r，则䁞晦，解得䁞，此时截面面积为쳌故答案为：쳌根据三视图可得物体的直观图，求出球的半径，当截面面积最小时，晦截面，设截面圆的半径为r，根据勾股定理即可求出．本题考查了三视图和球的有关问题，考查了转化能力和运算求解能力，属于中档题．17【.答案】解：䁣由题意知，计算䁣䁩͹䁩͹䁩䁩䁩͹쳌，所以估计这200位顾客所打分数的平均值约为͹쳌쳌䁣根据题意，填写列联表如下：满意不满意合计男性顾客8020100女性顾客6040100合计14060200䁩䁩䁣䁩䁩䁩䁩䁩䁩根据表中数据，计算쳌，䁩䁩䁩䁩䁩䁩因为쳌쳌，所以有的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关．【解析】䁣由题意计算加权平均数即可．䁣根据题意填写列联表，根据表中数据计算，对照附表得出结论．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了数据分析与运算求解能力，是基础题．第12页，共17页 18.【答案】解：䁣因为cos，所以，整理得，，由余弦定理得，cos，因为䁩㌳㌳，所以；䁣因为，所以，解得，中，，䁨，䁩，则cos，故͹쳌【解析】䁣由已知结合余弦定理进行化简可求cos，进而可求B；䁣由䁣先求出c，然后结合余弦定理即可直接求解．本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，还考查了一定的运算能力，属于中档题．19.【答案】解：䁣证明：过点F作RR，，连接BH，RR，，：：CE，，，䁨䁨四边形ABCD是菱形，䁨RR，且䁨，RR，且，四边形ABCD是菱形，䁨RR，且䁨，RR，且，四边形BEFH是平行四边形，RR，平面PAB，平面PAB，RR平面쳌䁣解：以A为原点，过A作垂直AD的直线为x轴，的方向为y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则䁣䁩，䁨䁣䁩，䁣䁩䁩，䁣䁩䁩，第13页，共17页 䁨䁣䁩䁩，䁨䁣，䁨䁣䁩，设平面PBC的法向量䁣，䁨䁩则，取，得䁣䁩，䁨䁩设平面PCD的法向量䁣，䁨䁩则，取，得䁣，䁨䁩设二面角䁨为，由图可知为钝角，䁩͹coscos㌳，͹二面角䁨的余弦值为쳌【解析】䁣过点F作RR，，连接BH，推导出四边形ABCD是菱形，四边形BEFH是平行四边形，RR，由此能证明RR平面쳌䁣以A为原点，过A作垂直AD的直线为x轴，的方向为y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角䁨的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等核心数学素养，是中档题．20.【答案】䁣解：设点䁣䁩䁩，由点P到F的距离比点P到x轴的距离大1，所以䁩，即䁩䁩，所以，即抛物线C的方程为；䁣证明：设䁣，䁣，直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，䁩䁩则䁣䁩，䁣䁩，䁩䁩因为直线AP与直线BP的斜率互为相反数，䁩䁩所以，即，䁩䁩又点䁣，䁣均值抛物线上，䁩䁩所以，化简可得䁩，䁩䁩因为，所以䁣，故，䁩则，第14页，共17页 因为，所以，故，故䁩䁩，所以䁩䁩쳌【解析】䁣设点䁣䁩䁩，由抛物线的定义列出关于p的等式，求出p的值，即可得到抛物线的方程；䁣设䁣，䁣，直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，利用两点间斜率公式表示出两个斜率，由两个斜率的关系以及点A，B均在抛物线上，化简睁开，求出直线l的斜率，再利用导数的几何意义求出䁩，即可证明．本题考查了抛物线标准方程的求解，直线与抛物线位置关系的应用，两点间斜率公式的运用，导数几何意义的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．䁣21.【答案】䁣解：因为䁣，所以䁣，因为函数䁣在R上是增函数，所以䁣䁩恒成立，即䁩恒成立，当䁩时，䁩恒成立，符合题意；䁩当䁩时，要使䁩恒成立，只需，解得㌳䁩，䁩综上可得，实数a的取值范围是䁩㘴쳌䁣证明：当时，令݇䁣䁣，䁣䁣݇䁣，令݇䁣䁩，可得，，因为，所以当䁣时，݇䁣㌳䁩，݇䁣单调递减，当䁣时，݇䁣䁩，݇䁣单调递增，当䁣，݇䁣㌳䁩，݇䁣单调递减，当时，݇䁣䁩，݇䁣䁩，所以݇䁣䁩，即䁣䁩，得证．第15页，共17页 【解析】䁣求出䁣，由题意可得䁩恒成立，对䁩，和䁩分类讨论，即可求解；䁣令݇䁣䁣，对݇䁣求导，利用导数求得݇䁣的单调区间，从而可得݇䁣䁩，即可得证．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查分类讨论思想，逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．cos22.【答案】解：䁣由䁣为参数，得，即曲线C的普通方程为sin；由cossin，结合cos，sin，可得，即直线l的直角坐标方程为䁩；䁣由题意可设䁣cossin，cossincos䁣则点P到直线l的距离쳌cos䁣，cos䁣쳌䁩cos䁣䁩，䁩即䁩쳌故点P到直线l的距离的最大值为䁩쳌【解析】䁣直接把曲线C中的参数消去，即可求得曲线C的普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得直线l的直角坐标方程；䁣由题意可设䁣cossin，利用点到直线的距离公式写出点P到直线l的距离，再由三角函数求最值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，考查运算求解能力，是中档题．㌳23.【答案】解：䁣当时，䁣，㌳因为䁣͹，则有或或，͹͹͹解得㌳或或㌳，故不等式䁣͹的解集为㘴；第16页，共17页 䁣由题意可得，䁣，因为䁣，所以，解得或，故a的取值范围为䁣㘴쳌【解析】䁣利用绝对值的定义将函数䁣转化为分段函数，然后分类讨论，分别求解不等式，即可得到答案；䁣利用含有绝对值的不等式的性质，得到䁣，再结合已知条件䁣，即可得到，求解即可得到答案．本题考查了含有绝对值函数的应用，主要考查了含有绝对值不等式的求解以及绝对值不等式的性质的运用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．第17页，共17页