内蒙古呼伦贝尔市2021届高三高考二模数学（文科）Word版含解析 17页

2021年内蒙古呼伦贝尔市高考二模（文科）数学试卷1.已知集合⸀ﵸ⸀则，ʹݔݔٜ⸀，ʹ൅ሻݔ앐ﵸሻ앐ﵸɹ앐ٜሻA.ݔݔٜ.Dʹݔٜ.Cʹݔݔٜ.Bʹݔٜʹ2.已知复数⸀，则ɹɹ⸀ﵸሻA.2B.3C.4D.3.设等差数列ﵸ⸀则，ݔ⸀且，为和项n前的ʹٜሻA.30B.60C.90D.1204.函数ﵸ앐ሻ⸀cosﵸ앐ሻ图象的对称中心是ﵸሻA.ﵸሻﵸ.BሻﵸሻﵸሻC.ﵸሻﵸ.Dሻﵸሻﵸሻ5.青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题.已知某校有小学生3600人，有初中生2400人，为了解该校学生的近视情况，用分层抽样的方法从该校的所有学生中随机抽取120名进行视力检查，则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是ﵸሻA.24B.48C.72D.966.已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是，则该圆柱的体积是ﵸሻA.ݔ.D.C.Bݔ7.在等比数列ﵸ是值大最的则，⸀ݔ，中ʹٜሻA.4B.8C.16D.328.2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，使得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础.若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式⸀ln计算火箭的最大速度ٙﵸ中其，ሻٙﵸሻ是喷流相对速度，ﵸ，量质的ሻ外剂进推除ﵸ箭火是ሻ݇ﵸ݇ሻ是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”.若A型火箭的喷流相对速度为ٙ，当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为ﵸሻﵸlg쳌lgݔ쳌ሻA.ٙݔ.Dٙݔ.Cٙ͹.Bٙ第1页，共17页 앐ݔ9.已知，是椭圆C：ݔ⸀，上C圆椭在D点，点焦右、左的⸀ݔ，ݔݔ点O为坐标原点，则ɹ晦ɹ⸀ﵸሻA.1B.C.D.ݔݔݔ10.已知函数ݔݔ在ሻ앐ݔ앐ﵸlog⸀ሻ앐ﵸ㘴上单调递减，则m的取值范围是ݔﵸሻA.ሻB.ﵸ.Cሻﵸ㘴D.ሻ앐ݔݔ11.已知双曲线C：ݔ，为别分点焦右、左的ሻﵸ⸀ݔݔ，过作与其中一条渐近线平行的直线与C交于点A，若ݔ为直角三角形，则双曲线C的离心率为ﵸሻA.B.C.ݔD.212.设函数̵ݔ⸀ሻﵸ且，ሻ앐ﵸ̵ሻ앐ﵸ，앐，数函导的ሻ앐ﵸ数函是ሻ앐ﵸ，则不ݔ等式ﵸ앐ሻ的解集为ﵸሻ앐A.ݔﵸ.Dሻﵸ.Cሻݔﵸ.Bሻﵸሻ13.已知向量⸀ﵸ⸀，ሻݔﵸሻ，若，则⸀______.앐14.设x，y满足约束条件앐ݔ⸀则，ݔݔ앐的最大值是______.앐15.桂林是世界著名的风景旅游城市和中国历史文化名城，号称“桂林山水甲天下”，每年都会迎来无数的游客游览这座城市.甲同学计划今年暑假去桂林度假游玩，准备在“印象刘三姐”“漓江游船”“象山景区”“龙脊梯田”这4个景点中任选2个游玩，则甲同学去“漓江游船”游玩的概率为______.16.某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，已知该三棱锥的各顶点都在球O的球面上，过该三棱锥最短的棱的中点作球O的截面，截面面积最小为______.17.某公司为了解服务质量，随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客，每位顾客对该公司的服务质量进行打分.已知这200位顾客所打的分数均在ݔ㘴之间，根据这些数据得到如下的频数分布表：第2页，共17页 顾客所打分ݔሻሻ͹ሻ͹ሻ㘴数男性顾客人46103050数女性顾客人610244020数ﵸ值均平的数分打所客顾位200这计估ሻﵸ同一组数据用该组区间的中点值为代表ሻ쳌ﵸݔሻ若顾客所打分数不低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分数低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意.根据所给数据，完成下列ݔݔ列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关？满意不满意男性顾客女性顾客ݔሻﵸݔ附；⸀쳌ﵸሻﵸሻﵸሻﵸሻݔﵸሻ쳌쳌쳌k쳌쳌쳌ݔ18.在䁨中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ݔ⸀cosݔ쳌ﵸሻ求角B；ݔ⸀，⸀若ሻݔﵸ͹，求边BC上的中线AD的长.第3页，共17页 19.如图，在四棱锥䁨中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，䁨⸀쳌点E，F分别是棱BC，PD的中点.ﵸሻ证明：平面PAB；ݔݔ⸀若ሻݔﵸ，求点F到平面PAB的距离.20.已知抛物线C：앐ﵸݔ⸀ݔሻ的焦点为F，点P为抛物线C上一点，点P到F的距离比点P到x轴的距离大쳌过点P作抛物线C的切线，设其斜率为쳌ﵸሻ求抛物线C的方程；ﵸݔሻ直线l：⸀앐与抛物线C相交于不同的两点A，ﵸ异于点ሻ若直线AP与直线BP的斜率互为相反数，证明：⸀쳌第4页，共17页 21.已知函数ﵸ앐ሻ⸀앐ln앐쳌ﵸ论讨ሻﵸ앐ሻ的单调性；앐ﵸݔሻ证明：当时，ﵸ앐ሻ恒成立.앐앐⸀ݔcos22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是ﵸ为参数ሻ，以坐标原点为⸀sin极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cosݔsin⸀ݔ쳌ﵸሻ求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；ﵸݔሻ若点P在曲线C上，求点P到直线l的距离的最大值.23.设函数ﵸ앐ሻ⸀ɹ앐ɹɹ앐ɹ쳌ﵸ式等不求，时ݔ⸀当ሻﵸ앐ሻ͹的解集；ﵸݔሻ若ﵸ앐ሻ，求a的取值范围.第5页，共17页 第6页，共17页 答案和解析1.【答案】C【解析】解：⸀ݔݔٜ⸀，ʹ൅앐൅ݔɹ앐ٜʹ，⸀ݔٜʹ쳌故选：䁨쳌可求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法和列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：复数⸀，ɹɹ⸀ݔ⸀⸀⸀ݔሻﵸݔሻﵸ，故选：쳌根据复数模的定义和公式即可得到结论．本题主要考查复数的有关概念，比较基础．3.【答案】B【解析】解：根据题意，等差数列ݔ⸀则，ݔ⸀若，中ʹٜ，ﵸሻ则⸀⸀，ݔ故选：쳌根据题意，由等差数列的性质可得⸀ݔ，进而结合等差数列的前n项和公式计算可得答案．本题考查等差数列的前n项和公式的应用，涉及等差数列的性质，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：函数ﵸ앐ሻ⸀cosﵸ앐ሻ，令앐⸀，，解得앐⸀，，ݔ所以ﵸ앐ሻ的对称中心为ﵸሻﵸሻ쳌故选：쳌第7页，共17页 利用余弦函数的对称中心以及整体代换的思想，列出等式求解即可．本题考查了三角函数的对称性，解题的关键是掌握余弦函数的对称中心，考查了整体代换的运用，属于基础题．5.【答案】Aݔ【解析】解：由题意得：抽样比为：⸀，ݔ小学生应抽取的人数为：⸀͹ݔ，初中生应抽取的人数为：ݔ⸀，小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是：͹ݔ⸀ݔ，故选：쳌根据分层抽样的基本知识求出抽样比，进而求解结论即可．本题主要考查了分层抽样，分层抽样即按比例抽取计算，属基础题．6.【答案】A【解析】解：设圆柱的高为h，底面圆的半径为r，则⸀ݔ，䁞ݔ䁞⸀，从而，䁞⸀，⸀ݔ，故该圆柱的体积为：䁞ݔ⸀ݔ쳌故选：쳌设出圆柱的高与底面半径，利用已知条件求解底面半径与高，然后求解体积即可．本题考查圆柱的体积的求法，侧面积的运算，是基础题．7.【答案】B【解析】解：根据题意，等比数列ݔݔ有则，⸀若，中ʹٜ⸀，ݔݔݔ则有⸀ݔݔ⸀⸀当仅且当ﵸ⸀ሻﵸݔ时取等号ሻ，故选：쳌根据题意，由等比数列的性质可得ݔݔ⸀，进而结合基本不等式的性质可得⸀ݔݔﵸݔሻ，即可得答案．本题考查等比数列的性质，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题．8.【答案】C第8页，共17页 lglgݔ【解析】解：根据题意，⸀ln⸀ln⸀⸀lglgٙݔ，故选：䁨쳌根据题意，由函数的解析式代入数据计算可得答案．本题考查函数值的计算，涉及对数的运算性质，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：ɹݔɹ⸀，由椭圆的定义可得ɹɹ⸀，由余弦定理可得ɹݔsocɹݔɹɹɹݔݔɹݔɹݔɹɹ⸀ݔɹݔ，ݔݔݔ即ݔ⸀得解，⸀即，ݔ⸀ሻﵸሻﵸݔሻﵸ，ݔ所以ɹɹ⸀ɹݔ⸀ɹݔ，即点D与椭圆C的上顶点重合，所以ɹ晦ɹ⸀쳌故选：쳌利用椭圆的定义，结合余弦定理，转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．10.【答案】D【解析】解：函数ݔݔ在ሻ앐ݔ앐ﵸlog⸀ሻ앐ﵸ㘴上单调递减，ݔݔݔ有故，零于大且，减递调单上㘴ݔݔ在ሻ앐ﵸ，ݔ求得൅，故选：쳌ݔ由题意利用复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质可得ݔ，ݔ由此求得m的范围．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：设ɹɹ⸀，ɹݔɹ⸀，由题意过作与其中一条渐近线平行的直线与C交于点A，若ݔ为直角三角形，⸀ݔݔݔ可得⸀，解得⸀ݔ，则⸀⸀⸀，ݔݔݔ⸀ݔݔ故选：쳌利用双曲线的定义，结合勾股定理转化求解双曲线的离心率即可．第9页，共17页 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12.【答案】A【解析】解：令݇ﵸ앐ሻ⸀앐ﵸ앐ሻ，则̵݇ﵸ앐ሻ⸀앐ﵸ앐ሻ̵ﵸ앐ሻ㘴，因为앐，앐，ﵸ앐ሻ̵ﵸ앐ሻ，所以̵݇ﵸ앐ሻ，所以݇ﵸ앐ሻ是R上的增函数，ݔ앐不等式ݔሻ앐ﵸ于价等ሻ앐ﵸ，앐因为ݔ⸀ሻﵸ݇以所，ݔ⸀ሻﵸ，앐ﵸ݇ሻ앐ﵸ݇于价等ݔሻ앐ﵸሻ，解得앐，即不等式的解集为ﵸሻ쳌故选：쳌构造函数݇ﵸ앐ሻ⸀앐ﵸ앐ሻ，利用导数判断݇ﵸ앐ሻ的单调性，将不等式转化为݇ﵸ앐ሻ݇ﵸሻ，利用单调性即可求解不等式的解集．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，不等式的解法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：根据题意，向量⸀ﵸ⸀，ሻݔﵸሻ，若，则⸀ﵸݔሻ⸀，故答案为：쳌根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得⸀ﵸݔሻ⸀，即可得答案．本题考查向量平行的坐标表示方法，涉及向量的坐标计算，属于基础题．14.【答案】8第10页，共17页 【解析】解：由约束条件作出可行域如图，앐⸀联立，解得ݔﵸሻ，앐⸀由⸀ݔ앐，得⸀ݔ앐，由图可知，当直线⸀ݔ앐过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为ݔݔ⸀쳌故选答案为：쳌由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．15.【答案】ݔ【解析】解：分别记“印象刘三姐””“漓江游船”“象山景区”“龙脊梯田”为a，b，c，d，从中任选2个的事件有ab，ac，ad，bc，bd，cd，共有6种，符合条件的事件有ab，bc，bd，共有3种，所以甲同学去“漓江游船”游玩的概率为⸀쳌ݔ故答案为：쳌ݔ分别列出总的基本事件，得到总的基本事件数，再求出符合条件的事件数，由古典概型的概率公式求解即可．本题考查了古典概型的概率问题，解题的关键是求出总的基本事件数以及满足条件的基本事件数，属于基础题．16.【答案】【解析】解：由正视图和俯视图在长方体中还原出三棱锥的直观图如图所示，该三棱锥的各顶点在球O的第11页，共17页 表面积上，即球O的半径为R，则ݔ⸀ݔݔݔݔݔ⸀ݔሻݔﵸ，解得⸀，⸀ݔݔݔ由三棱锥的直观图可得最短棱BC，设BC的中点为E，则晦⸀⸀，ݔݔ当截面面积最小时，晦截面，设截面圆的半径为r，则䁞ݔ⸀ݔ晦ݔ，解得䁞⸀，此时截面面积为쳌故答案为：쳌根据三视图可得物体的直观图，求出球的半径，当截面面积最小时，晦截面，设截面圆的半径为r，根据勾股定理即可求出．本题考查了三视图和球的有关问题，考查了转化能力和运算求解能力，属于中档题．ݔ17【.答案】解：ﵸ⸀앐算计，知意题由ሻﵸ͹͹ݔݔݔݔݔሻ⸀͹쳌，ݔ所以估计这200位顾客所打分数的平均值约为͹쳌쳌ﵸݔሻ根据题意，填写列联表如下：满意不满意合计男性顾客8020100女性顾客6040100合计14060200ݔݔሻݔﵸݔݔ根据表中数据，计算⸀⸀쳌ݔ，ݔ因为쳌ݔ쳌，所以有的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关．【解析】ﵸሻ由题意计算加权平均数即可．ݔ算计据数中表据根，表联列写填意题据根ሻݔﵸ，对照附表得出结论．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了数据分析与运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：ݔ⸀cosݔ为因ሻﵸ，ݔݔݔ所以ݔ⸀ݔ，ݔ整理得，ݔݔݔ⸀，ݔݔݔ由余弦定理得，cos⸀⸀，ݔݔ第12页，共17页 因为൅൅，所以⸀；ݔݔݔ为因ሻݔﵸ⸀，所以ݔݔ⸀，解得⸀，中，⸀，⸀䁨⸀ݔ，⸀，ݔݔݔݔ则⸀ݔ⸀ݔݔ⸀cosݔ，ݔ故⸀ݔ͹쳌【解析】ﵸሻ由已知结合余弦定理进行化简可求cos，进而可求B；ﵸݔሻ由ﵸሻ先求出c，然后结合余弦定理即可直接求解．本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，还考查了一定的运算能力，属于中档题．19.【答案】ﵸሻ证明：取PA的中点H，连接FH，BH，点F是棱PD的中点，，⸀쳌ݔ点E是棱BC的中点，四边形ABCD是菱形，，⸀，ݔ，且⸀，四边形BEFH是平行四边形，，平面PAB，平面PAB，平面쳌ﵸݔሻ解：由ﵸሻ可得：平面쳌要求点F到平面PAB的距离，只要求点E到平面PAB的距离d即可．点E是棱BC的中点，求出点C到平面PAB的距离h，则⸀쳌ݔ取AB的中点O，连接OC，䁨쳌四边形ABCD是菱形，䁨⸀，䁨是等边三角形，晦䁨，第13页，共17页 平面ABCD，晦䁨，晦䁨平面PAB，晦䁨是点C到平面PAB的距离，⸀晦䁨⸀䁨sin⸀ݔݔ⸀，ݔ⸀⸀쳌ݔݔ【解析】ﵸሻ取PA的中点H，连接FH，BH，利用三角形中位线定理、菱形的性质可得四边形BEFH是平行四边形，可得，再利用线面平行的判定定理即可证明平面쳌ﵸݔሻ由ﵸሻ可得：平面쳌要求点F到平面PAB的距离，只要求点E到平面PAB的距离d即可．点E是棱BC的中点，求出点C到平面PAB的距离h，则⸀쳌ݔ取AB的中点O，连接OC，䁨쳌即可证明晦䁨平面PAB，进而得出结论．本题考查了空间位置关系、菱形与等边三角形的性质、点到平面的距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】ﵸ点设：解ሻﵸ앐ሻ，由点P到F的距离比点P到x轴的距离大1，所以⸀，即⸀，ݔ所以⸀ݔ앐为程方的C线物抛即，ݔ⸀；ﵸݔሻ证明：设ﵸ앐ሻ，ﵸ앐ݔݔሻ，直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，ݔ则⸀ﵸ앐앐ሻ，⸀ﵸ앐ݔ앐ሻ，앐앐앐ݔ앐因为直线AP与直线BP的斜率互为相反数，ݔ所以⸀，即⸀，앐앐앐ݔ앐又点ﵸ앐ሻ，ﵸ앐ݔݔሻ均值抛物线上，앐ݔ앐ݔ앐ݔ앐ݔݔ所以⸀，化简可得앐앐ݔ⸀ݔ앐，앐앐앐ݔ앐因为앐ݔ⸀앐ݔ⸀，ݔݔ所以앐ﵸ⸀ݔ앐ݔሻ，ݔݔݔ앐앐ݔ故⸀，앐앐ݔݔ앐则⸀⸀，앐앐ݔݔݔݔ因为앐⸀，所以⸀앐，第14页，共17页 故̵⸀앐，故⸀앐，ݔݔ所以⸀쳌【解析】ﵸ点设ሻﵸ앐ሻ，由抛物线的定义列出关于p的等式，求出p的值，即可得到抛物线的方程；ﵸݔሻ设ﵸ앐ሻ，ﵸ앐ݔݔሻ，直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，利用两点间斜率公式表示出两个斜率，由两个斜率的关系以及点A，B均在抛物线上，化简睁开，求出直线l的斜率，再利用导数的几何意义求出，即可证明．本题考查了抛物线标准方程的求解，直线与抛物线位置关系的应用，两点间斜率公式的运用，导数几何意义的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：ﵸ앐nl앐⸀ሻ앐ﵸሻﵸ앐ሻ，앐̵ﵸ앐ሻ⸀⸀，앐앐当时，̵ﵸ앐ሻ൅在ﵸሻ上恒成立，当时，앐ﵸ̵，时ሻﵸ앐，൅ሻ앐ﵸ̵，时ሻﵸ앐ሻ，故ﵸ앐ሻ在ﵸሻ递减，在ﵸሻ递增，综上：当时，ﵸ앐ሻ在ﵸሻ单调递减，当时，ﵸ앐ሻ在ﵸሻ递减，在ﵸሻ递增；앐ݔ앐⸀，：明证ሻݔﵸ，앐앐当且仅当앐⸀，即앐⸀时取“=”，앐由ﵸ⸀nimሻ앐ﵸ知可ሻﵸሻ⸀ln，앐故ݔlnሻ앐ﵸ，앐令函数݇ﵸ앐ݔ앐nl⸀ሻ앐ﵸ앐ሻ，易知݇ﵸ앐ሻ是定义域内的增函数，则݇ﵸ앐ሻ݇ﵸሻ⸀，앐故ﵸ앐ሻ恒成立．앐【解析】ﵸሻ求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；앐앐ݔlnሻ앐ﵸ到得，ݔ出求质性的式等不本基据根ሻݔﵸ，令函数앐앐第15页，共17页 ݇ﵸ앐ݔ앐nl⸀ሻ앐ﵸ앐ሻ，结合函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．앐⸀ݔ앐ݔݔ앐socݔ22.【答案】解：ﵸ由ሻﵸ为参数ሻ，得⸀，即曲线C的普通方程为⸀sinݔ⸀；由cosݔ⸀sinݔ，结合앐⸀cos，⸀sin，可得앐ݔ⸀ݔ，即直线l的直角坐标方程为앐ݔݔ⸀；ﵸݔሻ由题意可设ﵸݔcossinሻ，ɹݔcosݔsinݔɹɹݔݔcosﵸሻݔɹ则点P到直线l的距离⸀⸀쳌cosݔݔሻﵸsocݔݔݔ，ሻﵸ쳌ɹݔݔcosﵸሻݔɹ，即쳌故点P到直线l的距离的最大值为쳌【解析】ﵸሻ直接把曲线C中的参数消去，即可求得曲线C的普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得直线l的直角坐标方程；ﵸݔሻ由题意可设ﵸݔcossinሻ，利用点到直线的距离公式写出点P到直线l的距离，再由三角函数求最值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，考查运算求解能力，是中档题．ݔ൅앐앐ݔ23.【答案】解：ݔ⸀ɹ앐ɹɹݔ앐ɹ⸀ሻ앐ﵸ，时ݔ⸀当ሻﵸ앐，ݔ앐앐앐൅ݔݔ앐앐因为ﵸ앐ሻ͹，则有或或，ݔ앐͹͹ݔ앐͹解得앐൅ݔ或ݔ앐或൅앐，故不等式ﵸ앐ሻ͹的解集为㘴；ﵸݔሻ由题意可得，ﵸ앐ሻ⸀ɹ앐ɹɹ앐ɹɹ앐앐ɹ⸀ɹɹ，因为ݔ得解，ɹɹ以所，ሻ앐ﵸ或，故a的取值范围为ݔ㘴ﵸሻ쳌第16页，共17页 【解析】ﵸ数函将义定的值对绝用利ሻﵸ앐ሻ转化为分段函数，然后分类讨论，分别求解不等式，即可得到答案；ﵸݔሻ利用含有绝对值的不等式的性质，得到ﵸ앐ሻɹɹ，再结合已知条件ﵸ앐ሻ，即可得到ɹɹ，求解即可得到答案．本题考查了含有绝对值函数的应用，主要考查了含有绝对值不等式的求解以及绝对值不等式的性质的运用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．第17页，共17页