呼伦贝尔学院第三届数学建模 24页

呼伦贝尔学院HulunbeierUniversity数学建模竞赛论文论文题目：B、租房还是买房姓名1：学号：专业：姓名2：学号：专业：姓名3：学号：专业：2011年05月06日 2011年呼伦贝尔学院数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了呼伦贝尔学院数学建模的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）：B所属学院（请填写完整的全名）：呼伦贝尔学院参赛队员(打印并签名)：1.李荣强2.杨艳芳3.王慧娴日期：2011年05月06日评阅编号（由组委会评阅前进行编号）： 2011年呼伦贝尔学院数学建模竞赛编号专用页评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：赛区初评记录（可供评阅时使用）：评阅人总评分评分备注复评结果： 租房还是买房摘要1.题目分析：现今房价节节攀升，城市房价过高，存在泡沫。买房还是租房，这个问题一直困扰着很多人。本文针对这些问题以北京市丰台区为例，充分考虑人口增长、通货膨胀、银行利率、房屋持有成本、房产升值等因素的影响，运用数理统计、系统工程、对比分析等方法建立买房和租房的目标函数，从而解决北京市居民租房、买房的问题。首先，本文通过历年北京的房价，运用灰色模型，预测北京未来几年的房屋价格。并与日本、美国等一些发达国家的房价历史走势作比较建立模型来预测中国房价的走势。结合两个走势模型得出最优走势图。预测北京房屋价格F(i)，计算房产升值状况。其次，通过近几年我国通货膨胀率、银行利率数据运用MATLAB软件拟合出通货膨胀率、银行利率走势图。对通货膨胀率、银行利率进行预测。进而算出按揭债务成本和预测房租价格Z(i)。再次，从居住者的角度来计算买房与租房的折现值，比较得出最佳方案。最后，考虑当地房价、个人家庭状况等诸多因素，分别采用等额还款贷款方式和递减还款贷款方式做比较，购得一定面积S=80m2的房屋，并考虑一定的房屋折旧、房屋持有成本和房屋空置率等因素的影响。确定在北京买房的成本、收入，并与相同条件下的租房成本与收入进行折现对比。并为一些中等收入家庭进行住房投资做出决策。2.结论：通过本次我们站在不同角度对“租房还是买房”模型的建立及求解，我们得出以下结论：(1)、对于居住者来说，比较（15）、（16）可知还是租房比买房合适。（2）、对于投资者来说，在进行家庭投资时，在2011年买入开始外租，到2016年卖出时利益最大。3.关键字：房价房租灰色理论回报净现值折现21 一.问题重述1.问题背景：住房问题关系国计民生，既是经济问题，更是影响社会稳定的重要民生问题。近年来，随着我国经济的不断发展，我国大部分居民基本都走上了小康生活，人们的生活水平也得到了提高，人们对于住房的需求指数也有了很大的提升。与此同时，大众的投资观也由一贯的“存钱”逐渐转向为“生钱”。近几年来，中国的房地产行业异常红火，一些手有余钱的家庭也为之吸引，尝试投资房地产来获得收益。但楼市有风险，政府接踵而至的各项政策，高空置率与高房价共存的奇怪现象，都为中国的房地产产业披上了一层浓浓的迷雾，也给家庭式住房的投资平添了种种不确定性。尽管如此，相对于股票、基金的抽象性，房地产商品的现实存在对能力有限的家庭式投资而言仍具有不可抗拒的吸引力。因此，有很多人认为买房是一种投资行为，可以从中获得很大的利润。作为一个居住者来说，由于受到家庭因素的影响，选择买房可能是一项巨大的负担。选择租房可能是他们首要的想法。但他们也为巨大的房地产利润所吸引。还在租房与买房之间犹豫不决。面对这样的情况我们根据市场房屋价格的变化情况，并综合考虑家庭收入、租金收入、储蓄及贷款利率、房屋折旧率、通货膨胀等相关因素，建立数学模型，为家庭进行住房投资做出合理性决策。2.提出问题：（1）、以北京作为背景建立房屋价格、房屋租赁价格等一些必要模型再结合一些影响因素预计算出买房与租房的成本和收益。（2）、从居住者的角度出发由计算的成本与收益再结合通货膨胀率将资金折现，寻找出最佳方案。（3）、从投资者的角度出发由求出的各数据设计最佳家庭住房投资方案。二、问题分析1.从居住者的角度出发，对于住房问题的最优方案是使其总投资最小，即将求得的买房与租房的净现值进行比较，取最大值。2.21 从投资者的角度出发，因为任何投资，追求的都是利润的最大化，同时尽可能回避风险。对于住房投资而言，利润主要来源于租金和再次卖出与买时之差所获得的价格，而在此过程中，房主所要承担的损失主要有银行利息、折旧费、物业费以及两次买卖过程中存在的税费和手续费。对于低收入家庭而言，如何负担第一套住房都存在一定困难，基本上可以不考虑其投资第二套住房的情况。而对于高收入家庭而言，其拥有的资产数额庞大，投资领域多样，对于风险的承受力很大，研究价值不是很明显。因此，焦点应集中于占相当比例的中等收入家庭，其资金有限，抗风险能力差，进行这方面的投资就显得必要了。同时，其购置房产往往需要借贷，而其家庭收入决定了贷款额度以及年限，更进一步决定了其买入房屋的质量、居住面积。三、问题假设1.假设所收集的数据真实有效。2.假设各数据拟合的函数是光滑曲线，且各外在因素都忽略.3.假设在一段时间内，国内房地产业在相关政策、市场供求等方面不会出现幅度十分巨大的变化。4.假设在用于家庭投资房屋时，能够相对选取比较合适的户型布局、楼层和地理位置，使得此建模过程可以相对忽略这些次要因素。5.假设房屋能按当时的价钱随时出售。6.假设人口的增长对北京房价的影响可以忽略不计。四、名词解释及符号说明一.名词解释：1.房屋的持有成本是指包括房屋的折旧、物业管理及维护费用、使用费用等费用的一些资金成本。2.所谓房地产泡沫指的是商品房售价远远超过起其际的价值。3.按揭贷款是指购房者以所预购的楼宇作为抵押品而从银行获得贷款，购房者按照按揭契约中规定的归还方式和期限分期付款给银行；银行按一定的利率收取利息。如果贷款人违约，银行有权收走房屋。二.符号说明：1.F（i）——第i年的房价万元/m22.Z（i）——第i年的房租价格千元/月3.S——购房面积m221 4.A——购房者向银行贷款的本金万元5.B——购房者平均每期应还的本金万元6.C——购房者应向银行还款的总额万元7.D——购房者的利息负担总和元8.α——购房者向银行贷款的月利率9.β——购房者向银行贷款的年利率10.m——贷款期11.n——购房者总的还款期数年12.——2011年的房租万元/月13.W(1)——买房的收入折现值14.W（2）——租房的收入折现值15.T（i)——投资收益16.Q——折现比17.H——房产升值18.——存款利率五、模型的建立及求解（一）、房价预测模型：1.根据已知数据运用灰色模型预测未来房价：由于影响住房价格的因素较多，其参数以现有的数据也难以确定，故采用灰色理论的计算方法，建立模型，进行预测。由于各地的房屋租赁价格大部分受房价的影响，随房价的上升而上升，且北京各地区房价不一，本模型以丰台区为例建立模型。查询可得近十年的丰台房价如下图所示：21 灰色生成数列（1）.累加生成把数列各时刻数据依次累加起来生成一个新的数列。设原始数列为，令（k=1，2，…，n），则累加生成数列为(1)（2）.均值生成设原始数列，则称与为数列的临值，为后临值，为前临值。对于常数[0，1]，那么临值生成数(2)当生成系数=0.5时，则均值生成数(3)（3）.令：(4)其中指由已知各年住房价格相关数据所组成序列中的第个元素，为的紧邻均值生成序列中的第个元素，参数分别为发展灰度以及内生控制灰度。于是，有：由：21 将上图数据带入可得：a=-0.098,u=0.452代入（4）可得微分方程则建立预测模型，求出累加数列：（5）（4）、求的模拟值（5）、还原出的模拟值，由（6）得：（6）、误差检验通过将模拟值序列与已知序列进行一一比较，可以求得其平均相对误差为：由此说明，该预测得到的模拟值与实际值相差在可接受范围内，可以使用其进一步预测接下若干年的模拟值。（7）、预测结果21 已知2011年丰台地区的房价，由公式（5）可算得以后各年的预测房价，如下表：年份/年201120122013201420152016房价（万元）3.54.04.224.384.895.03此预测为纯数学预测，未考虑到房价的暴涨暴跌，只能作为短期预测。2.根据日本、美国等发达国家的历史房价曲线预测未来北京房价：A.与日本房价进行比较：有查询可得日本历年的房价走势图如下：21 由图可知日本的房价在八七年到九六年十年的房价有过大起大落，但落下来之后就一直以那个平稳的价格保持下去。而中国的房价现在也处于暴涨阶段，与日本那一时期比较相似，如下图：21 由此可以看出，中国房价也将会跌，中国的发展进度比日本晚了20年。B.与美国房价进行比较：由图可知：美国房价也经过了暴涨暴跌，最后几乎维持在跌后水平。因为美国、日本等国为发达国家，在国家发展的时期也存在房价泡沫，而中国正处在发展的黄金阶段。会与一些发达国家产生类似的情况是不可避免的，这是世界各国的共性，是不可避免的。由A、B知中国的房价也会随日本、美国等一些发达国家的房价发展趋势，在暴涨一段时间后也会暴跌到一定的价格维持这个价格。在A、B两个比较模型中不难看出，泡沫房价阶段的时间大约为二十年左右。涨跌幅度大约在110%左右。21 1.结合1、2所做的模型预测未来北京房价：在第一个模型中未考虑房价的暴涨暴跌，只是用灰色模型预测，不具有实际意义。第二个模型对比国外一些发达国家考虑到暴涨暴跌，计算出涨跌幅度及阶段。再结合第一个模型预测北京丰台区未来房价。价格模型如下所示：可得出：F(i)=-0.000012i7+0.000005i6-0.000032i3-0.0020i+0.2109（二）．住房面积的确定北京消费者购买房屋面积需求指数分布图如下：21 由于本模型是为广大中产者设计的，而且收入水平中等，故房屋面积选小的，设面积S=80（三）、通货膨胀率、银行利率的预测根据历年通货膨胀率运用MATLAB和几何画板工具预测未来的通货膨胀率如下图所示：预测的银行年利率图像为：21 （四）、房租的确定假设房租只与通货膨胀率有关，不考虑其他因素的影响。则，（7）（五）、住房贷款的数学模型1.等额还款模型的建立根据前文所给的符号说明与日常生活常识，我们可以得出以下公式：故模型的建立和求解如下：（1）贷款期在1年以上：先假设银行贷给客户的本金是在某个月的1号一次到位的.客户的合同里规定说，在本金到位后的下个月1号开始还钱，且设在还款期内年利率不变.因为一年的年利率是β，那么，平均到一个月就是（β/12），也就是月利率α，即有关系式：设月均还款总额是x（元）（i=1…n）是客户在第i期1号还款前还欠银行的金额(i=1…n)是客户在第i期1号还钱后欠银行的金额.根据上面的分析，有第1期还款前欠银行的金额：第1期还款后欠银行的金额：……第i期还款前欠银行的金额：第i期还款后欠银行的金额：……第n期还款前欠银行的金额：第n期还款后欠银行的金额：21 因为第n期还款后，客户欠银行的金额就还清.也就是说：，即：解方程得：(8)这就是月均还款总额的公式.因此，客户总的还款总额就等于：(9)利息负担总和等于：(10)2.递减还款模型的建立递减还款法是指每期还给银行相等的本金，但客户每月的利息负担就会不同.利息负担应该是随本金逐期递减.因此，客户每月除付给银行每期应付的本金外，还要付给银行没还的本金的利息.1）1年期的贷款，银行都要求客户实行到期一次还本付息，利随本清.因此，1年期的还款总额为：而利息负担总和为：（2）假设贷款期在1年以上.设客户第i期应付的金额为(i=1….n)(单位：万元)因此，客户第一期应付的金额为：第二期应付的金额为：那么，客户第n期应付的金额为：累计应付的还款总额为：（11）21 利息负担总和为：（12）考虑家庭状况、银行利率和消费者购买房屋面积等各种因素，对这两种贷款方式进行对比分析，从而得出最佳的贷款方案。六、房屋空置率、折旧率及房屋持有成本的确定1.由于一些节假日人们回家、人口密度等因素导致房屋有些时间空置，在这里，为了简化模型假设房屋一年出租十个月，空置两个月。2.由网上可知按照理论折旧率，混合一等结构房屋折旧期限为100年，每年的折旧率1％。3.根据北京市物业管理费收费标准可知当住房面积为80m2的物业管理费是570元/月，外加水、电、取暖等费用合计2030元／月七、建立模型进行住房及投资决策（1）从居住者的角度来说：1.对于买房者来说：由房屋价格预测可知，2016年房价将达到最高5.03万元，这个时候将房屋卖出将获得最高差价。则房产总升值为：（5.03—3.5）*S=122.4万元平均月升值为：122.4/(5*12)=2.04万元/月按预测的2016年通货膨胀率折算后为2.8/1.1=1.85万元/月则，居住者买房的总收入为升值收入1.85万元/月（13）假设，买房者在第五年将房屋出售，贷款在第五年还清。贷款利率不变，由图预测为6.4%，贷款为40%则，A=F(0)*S*40%＝119万元，ｎ＝5，　　　＝6.4%／12＝5.3％将上述数据代入（10）和（12）可得：　　　　　　　　　　＝19.57（万元）　　　　　　　　　　　　＝12.38（万元）由此可知还贷方式选递减还款模型，　　　由于贷款利率不变，将通货膨胀也可忽视。则，/(12*5)＝0.21（万元）/月　　　房屋持有成本为0.203（万元）/月机会成本在本模型中按存款算，F(0)*S*60%*=3.5*80*0.6*（0.42/12)=1.176(万元)/月则，买房成本为：0.21+0.203+1.176=1.589（万元）/月(14)21 所以，W(1)=（13）/（14）=1.85/1.589=1.31(15)2.对于租房者来说：主要成本为房租0.28万元/月主要收入为1.176(万元)+1.98*（0.42/12)万元/月=1.2453万元/月则，W(2)=1.2453/0.28=4.45（16）比较（15）、（16）得：Q=W(1)/W(2)<1可知还是租房比买房合适。（2）从投资者的角度建立模型，来确定最佳家庭投资方案在充分考虑市场房屋价格变化，家庭收入、租金收入、储蓄及贷款利率、房屋折旧率、房屋空置率等因素的影响的情况下，设计最合理的家庭投资方案。对于投资者来说，其主要收益为房产升值和房租两部分主要成本为首付本金的机会成本、按揭的债务成本、外加房屋持有成本、房屋折旧成本等由上可知房产升值为总面积乘以房屋差价，H=S*(F(i)-F(0))(17)由上个模型可得按揭的债务成本（18）房屋持有成本为0.203（万元）/月，共计：0.203*i*12(19)房屋首付机会成本在本模型中按存款算，F(0)*S*60%**i(20)房租收入为：i*12*0.28万元/月(21)房屋折旧成本为i*F(0)*S/100(22)结合（17）、（18）、（19）、（20）、（21）、（22）可知：投资者的总收益为：T(i)=H+i*12*0.28万元/月--i*F(0)*S/100-F(0)*S*60%**i-0.203*i*12(23)在这里，假设，在第i年卖出时银行贷款也刚好还完，则，n=i。不考虑通货膨胀率、银行利率和房租的改变。则化简（23）式可得:当i=5时，总收益T（i）最大。即，在进行家庭投资时，在2011年买入开始外租，到2016年卖出时利益最大。21 六．模型的检验1.对于第一个成本与收益问题，我们分别建立了灰色模型与房屋价格模型，两者正是互相补助，更好地体现了我们所建的模型的正确性与合理性。2．在房屋价格预测中，我们从近几年北京的房屋价格来预测未来几年的房价，又从根据美国和日本等国家的房价来预测北京未来几年的房价，二者作一比较，选择最优方案，更接近真实性。3．从文章的可信度来看，文中所有数据都是最新统计数据，经过各类资料的查找才得以确定。故文章的说服力还是比较高的。4．从模型与实际情况的对比来看，虽然我们建立模型有一些假设，但这些假设都是合乎常理的，相关政策和市场供求关系的突变毕竟是非常少见的，是比较特殊的情况。故我们所建的模型的可靠性与真实性也是值得认可的。5.MATLAB软件具有较强的仿真性，功能也十分强大，精确度也很高，从这个角度也可证明我们结果的可靠性与方法的合理性。七、模型的推广及发展前景本题所考虑的只是北京的买房和租房问题，我们可以推广到全国甚至全世界的买房和租房问题。此外，本文中的灰色模型不仅可以解决人口总数的问题，还可以国民经济的总收入和平均收入，还可以推广到工业、农业、商业等经济领域，以及环境、社会和军事等领域中，进而根据目前已有的数据对未来的发展趋势作出预测分析。再者，在这个竞争激烈的时代中，本文中的贷款问题正符合现今时代的发展趋势，无论是创业还是投资，我们都离不开贷款，而这一模型正帮助我们根据自己的实际情况选择最佳的贷款方式。八、模型的优缺点1．优点1.本文有许多新的概念新的思想。.2.本文中的灰色模型和传播模型都比较简单，使读者可以正确体会其中的意思，并且，可以用初等数学的方法就可以解决。3．本文是从北京住房与租房着手，对全国各地的房价都可进行预测和判断(当然，需要进行比较)，同样也可以对世界各国的房价进行评价，具有很强的实用性。4．模型之中用了与国外房价的对比来预测北京房价，具有很高的精确性与可靠性。5．针对不同收入、不同性格取向的家庭，本文对可能预选的方案均做出了详细分析，通过深入的比较，最终得出各自类型家庭可供选择的最优方案，使得建立的家庭住房投资方案具有较高的完备性。21 2．缺点1.此模型数据收集比较困难，评估之前要做出大量的数据统计。可能与现实数据有一定的差距。2.房价有很多的影响因素，此模型不可能都考虑在内（比如人口增长对房价的影响），所以计算和预测的数据和真实数据之间有一定的差距。九、参考文献（1）.韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，.2005年；参考文献中的灰色模型，P348；（2）.刘来福、曾文艺，数学模型与数学建模，北京：北京师范大学出版社，2002年；（3）.丰台区楼市价格走势图；http://www.google.com.hk/（4）.美国、日本房价走势；http://www.google.com.hk/imglandin21 十、附件1.丰台、日本与美国房价走势图：21 美国房价走势图：2.中国近几年的通货膨胀率：10年3.3%；09年15.4%；08年5.9%；07年4.8%；06年1.5％；05年1.8％；04年3.9％03年1.2％02年-0.8％01年0.7％00年0.4％99年-1.4％98年-0.8％97年0.8％96年8.3％95年15％94年24.1％21 2.中国近几年的银行利率：单位（年利率％）短期贷款中长期贷款调整日期六个月（含）六个月至一年（含）一至三年（含）三至五年（含）五年以上91年4月21日8.108.649.009.549.7293年5月15日8.829.3610.8012.0612.2495年7月1日10.0812.0613.5015.1215.3096年5月1日9.7210.9813.1414.9415.1297年10月23日7.658.649.369.910.5398年3月25日7.027.929.009.7210.3599年6月10日5.585.855.946.036.2102年2月21日5.045.315.495.585.7604年10月29日5.225.585.765.856.1206年8月19日5.586.126.306.486.8407年3月18日5.676.396.576.757.1108年9月16日6.217.207.297.567.7408年10月9日6.126.937.027.297.4710年10月20日5.105.565.605.966.1411年4月6日5.856.316.406.656.804.未来北京房价趋势图matlab程序：x=100:50:1000;y=[3.54.04.224.384.895.034.954.694.303.853.322.982.862.762.752.652.602.522.50];A=polyfit(x,y,8)z=polyval(A,x);21 plot(x,y,"k+",x,z,"r")Warning:Polynomialisbadlyconditioned.RemoverepeateddatapointsortrycenteringandscalingasdescribedinHELPPOLYFIT.(Type"warningoffMATLAB:polyfit:RepeatedPointsOrRescale"tosuppressthiswarning.)>InC:MATLAB6p5toolboxmatlabpolyfunpolyfit.matline75A=Columns1through8-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00200.2109Column9-5.227321