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阿贝尔恒等式与数学竞赛 6页

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阿贝尔恒等式与数学竞赛

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:户··1002卜了一}切弓阿贝尔恒等式与数学竞赛肖振纲(湖南岳阳师专),.(本讲适合高中)处理往往可以获得出奇制胜的效果、1.,阿贝尔恒等式是一个极为重要的但又例(1989美国数学竞赛)对每一,不大弓!起人们注意的初等恒等式一n,即:,n一i2夕上,+个正整数令一十,(““’一,.一一。r了_‘1~1。。=1十2+二一”,”()T55r。LJ一工’宁工’睿一其蘑丁丁+一o.a,,。,”·红T试求整数0。(、,2⋯龙),/、又是于么写么袱“’=“’(劣‘一劣‘一’,么“总气么)两次运用阿贝尔恒等式即得二-、。、了1Z‘、曰兄间夕艺、/,乙目‘.了、‘扔口、少只杂蕙(争)(六(k+1)1+aX镇D一1’!。一~t-,、了,“,·。·1+.~‘.于户()而一云睿刀认二(()1.1一愈..了11、/、厂.二‘’,;.‘~,-石.月..启,工阮军一E、(‘儿么扩、+1)/拭—.。Z,。x蕊x(⋯蕊1]一1必要性设对任何满足=。J九孔‘无,.,甲一丈艺一乙均的实数不等式(4)成立于(4)式中取廿k‘=义2=二二劣、=一劣k月1=二劣。=介1,⋯O.3),故不等式(成立且式中等号当月仅当a、=二,,”‘,.无(无12儿.(1〔k(。一1),一a,(一乙,)时成立则有E乙.,a)o,,主二11,1汁一般地设吞>”则有·云心一朴一“·,a,;二,,,,,一.李乙k”因此艺)兄西(kx2⋯i)k=l1=1,万。‘。.,又于(4)式中分别取二X二二fX例3(1986数学竞赛集训班选拔赛)二一,aj,,一1,2,,:.1与1贝}l有设乙(i⋯)是两组实数。,x,岌x:‘义。证明使得对任何满足⋯(的乙间a:,,“、,.‘一艺l}艺镇乙乙,不等式实数i=a;劣,义,.万仆‘(乙(4)故bi“袅二乙‘..曰乙习乙1~l二11,二::ai注由充分性可以证明排序原理设两组实数:i:二2,,n恒成立的充分必要条件为。)石(i1,⋯)满足名兄aa:a。,l:葱.1:(《⋯镇b蕊b悦⋯镇b沪而 1902‘才F第一朔7kx,k,,n,,n,”一,玉⋯k是了与⋯的任意一个排rlJ则有(1)于是再由阿贝尔恒等式以及条件.‘勺,0叭日日产了1曰汀n*一a,”:一,“,b、,”,b,·践屯兄兄乙U一·人·(’X云二兄)(匕){1竺1⋯一,。,,,,。事实上因bl成b三(⋯《bkxk三⋯k是,,,,I2⋯帅勺一个排列所以有二,〔到乙“kJ》“j‘’=,n一;)且“:乙乙1.2乙n-,_」,tJ廿1lr,.〔子_、+,/飞1一口找’)—“2二=b1.又a:簇”玉a。,乙《⋯《丁是由(4)式即知一12一au。a)-、、;、。口月一1.工:=1.na、、,a,.m’”又当一X’月b《”:怂沉明”诀万一丁兄公1=11一1Z=二‘,x=x卜1=0时有这就证明了(6)式右边的不等式.同理可证其左边的不。一i2a一an。等式一)4.(1988,x,,例理科实验班复试)设二。。:,。。,,a。:。,一i2xZ,与⋯是满足条件故A一,a,=.于(。)式中今,.,注1李i=12n)x,=o;1o乙1.1则有1一戈,1;2o兄!卜1).l=1{钾《O’n3a,a:二a此即1989年全国高中数学联赛第二试第2题))李.”)2)的两组任意实数(试求使不等式:,注:一般地如果复数列毛z:}满足条件::E。1=1乙曰a;一口。)(X悦A(6)二,:P=,aIq则对任意实数列王(1长i《.艺成立的A的最小f食!竺:“,“,解}l一条介}i2头}!,1)有。}声!}声r}艺xl,,,一2义‘一x’卜。,:一1乙;泛~万二气里以一I“户任宁111乙F】,⋯念}}么{1i二k+1⋯乙i,l,,,ai,二11a,i」枣中M二max(}mrn1{一:=.,⋯招⋯熟尸nnx.1毛1簇{{1因而}/人嘴}决之泛i簇乙‘—!}z.,i=1二例(19875数学竞赛集训班选拔赛)。(k=,,,,.1::二2,:。二::::⋯:卜,12⋯卜1)已知数列{}满足。,a、一ak*,+n,a:,aZ,,a。又由条件3有)0(1蕊k1()2)自然数⋯满足 ·8·中产弓迄乞丫-,有u则由阿贝尔恒等式乙川气]一/1.求证:二一、。“‘1(乙乙乙、a州,‘)nn《(7)馨去馨六·(如<(扣,诊叠愈证明首先不难用归纳法证明数列:。:{}具有如下性质互/1、=‘一“k一“k‘1’十粉“·“气夕孰、气(8)台云扭十工=二’n十’‘,,其次由‘知馨之馨粼,即知再由算术一几何平均不等式·J·!<(气一八a一了一睿六)一一ao汽/,,a工a:an:,:::。.因这个不等式两边都是整数所以因此⋯<⋯(11),、、,·1·二·2·另一方面由(s)(9)(JO)三式即‘,一(睿六)一知ala:夕。犷1犷:下。.⋯>⋯.,7:=m,1此与〔11)式矛盾这说明当+1时兄同一al1一(9)故有(1’‘ala2巴an.不等式(7)必成立这就归纳地证明了不等。.式(7)下面用第二归纳法证明不等式(7):二,对于有些涉及数列和式的等式或不等式当1时不等式(7)显然成立,:二,,问题我们可以先用阿贝尔恒等式进行一次今设(时不等式(7)}亘成立即有,’.‘恒等变换然后再设法使其重新出现原来的‘无二,2,,”‘〔,”,六愈六和式从而通过解方程或解不等式使问题获睿得解.决a:a:a二*,,二,。。不妨设((⋯〔则对k1例6设数列{a}是一个公差为d的等差,,,,,.2⋯有数列求证‘二。=“!“王一+“1·一a、卜,气(厅,(、了、.(石幼)兄譬脊.a.:,一。(Za月d)(]2)镇一·‘ak一ax、1.,a、-()证明由假设有ak十工二一。(劲d睿“十:一a,(无二,2,,:一.kd气1⋯1)由等,n=m十1,,于是若当时不等式(7)不成立差数列的求和公,式知._,_生>鱼a_了:1、二,,,”.即有誉艺(10)E一一二~凡弋乙砂1十a)(kl2⋯)a,i艺二舀i气 ,,1992年第一期9n、·.=‘,,/训了<勺记5名、则由阿贝尔恒等式有补认石尸而(13)本题在《普特南数学竞赛》(湖南科学,=S,乙一’、’“一k+’‘技术出版社1983)一书中是用高等数学方忿/法证明的.下面运用阿贝尔恒等式证明一个:·一·比(13)式更强的不等式(慈)·(“侧示沁与黔告al+a·+”“罕“岔()nal+a。。告()(14),当n=1时,(14)式显然成事实上.n.a,+a、)立往下恒设)2但乙kd(k.1。=,,记s乙侧了由阿贝尔贝等式有=a,*、一a,a、、;+a,一名()(d)七.1。=,s乙(实)(斌k一斌无十1)=a十:一a一a,十;+a;E(夏矛dd)·1=“,十:()石一,一d:睿乙叭叫乙da一二一{,:nal+a·一”al“1-k(训无一1)+=S。一d‘,‘乙训k了告。·。al·‘。。1+d‘+a,‘。“=一。__:溉丁告全nn场_·l·训.+,al‘a!-+na‘a+a,侧侧k+1告胃k+告·na!al一,+‘d,一/“‘>“’土S告于补训万几‘一瓦二无;na!+a···+‘,‘Za+d,音/1二洲k石。.斌‘解出S即得(12)式台口万了于兀了飞从丁台。注由(12)式立即可得、。11、.-二尸一n=‘O“),,,n(!飞+“,、Zn+‘’乙乙含。一12了、】,.,nv/花‘一nt州此S>一S侧),_.,二,八n十,一(2:一1),二n(‘n,一1)加一、。。、Z1笼,。洲尸”。邵EI-l音附拼乙小吞不又行r合一不丫J(第13届普特南数学竞赛)试证这就证明了(14)式左边的不等式。,,n,同样由阿贝尔恒等式有对于每一个正整数有 ··10中等数学s。=练习题E令j一z2丫..}设k,=:=一s;艺产求证氮(乡)(六扁).s“)+s,+”=ns‘,·,乙{二二()六会.,、2(钟开莱不等式)设两组实数‘:吞(=,,,n:ii2⋯)满足条件岁幻火上业’11Oal)a:)⋯)a:>0,2夕蔽莎布介它疚万舀花3二z。;,‘:(无=,2,,,.乙‘艺i⋯)干兰士丝1丝2作了=,::生训k(k+1)”+1一求证E飞簇兄b认十·岁:Z翻吮夕不下7无百万了i口11,1丁S。试证,当x〔(0,2二)时,有·,但<了,“>。,.。}会一,沂粤盖山又C057Xl一1_..Z曰蔑二二2}.X}·{“‘n<了—}百}故乙关采瓷.,精诉、4(1985加拿—大培训题)设两组实数a,,i=,,,,:乙(i12⋯)满足条件,.。1=代.产.Oa:a。产气若臼一勺尤一l产1a一)》⋯))0,40..l,:Z,2s,,1,.。,1,。。,:、咒+2blablbazabx乙b一1一)),合。~、‘臼。一n一lj甲n,四刀毛久下V一厅一丫xa:·O乙aa3,”,i:。alaZa二)b今⋯b)⋯。,。·-1r元凸,弋、~;一合班与.4号百,,a,,试证名b)乙并确定等号成立的条至.1!,1,得“式召1解此不等式一.。罕万件.因而(14)式右边的不等式得证,x5(1981美国数学竞赛)设是实,。由以上几例可以看出阿贝尔恒等式是,n:数是正整数求证处理与数列和式有关的等式或不等式问题的”’’‘〔〕一个有.,户卿力工具值得一提的是排序原理不“”过是阿贝尔恒等式的一个简单推论而,.〔门表示不超过实数t的最大整数.,其中已因此凡能用排序原理处理的不等式问.:m,.6证明不等式(14)的一般形式设题,皆可用阿贝尔恒等式处理另外阿贝尔傀,,皆为自然数且,)2则有,恒等式除了可以处理某些不等式问题外还··可以,、丛孟处理一些等式问题{1象例3至例5以仪孟及例7那样的不等式问题则是排序原理所望黯乡漂肖尘莫,,及的因此阿贝尔恒等式的功能要比排m一1.序原理的功能大得多2(m+1)

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