一般五次方程不可根式解的证明--从拉格朗日到阿贝尔 51页

分类号:O11学校代码：10697密级:公开学号：201520520一般五次方程不可根式解的证明——从拉格朗日到阿贝尔学科名称：科学技术史作者：于钟淼指导老师：曲安京教授西北大学学位评定委员会二〇一八年六月 Unsolvabilityofalgebraicequation——fromLagrangetoAbelAthesissubmittedtoNorthwestUniversityinpartialfulfillmentoftherequirementsforthedegreeofmasterofPhilosophyinHistoryofScienceandTechnologyByYuZhongmiaoSupervisor:QuAnjingProfessorJune2018 摘要本文以一般五次及五次以上代数方程不可根式解的发展历史为主线，通过对相关的原始文献及研究文献进行研究，试图清晰地论述五次及五次以上代数方程不可根式解的发展过程，对其发展中的关键人物的思想的相互影响进行解读和整理，并且解决该发展过程中的一些核心问题。本文将分为四个部分并达成以上目标：第一部分论述拉格朗日求解一般代数方程的方法及路线图，并且详细讨论拉格朗日对五次方程的具体分解，为下面具体讨论拉格朗日对鲁菲尼，柯西等人的影响打下坚实的基础。第二部分首先从原始文献出发详细讨论鲁菲尼证明五次及五次以上方程不可根式解的步骤，并且对比拉格朗日和鲁菲尼的求解方程的方法，具体讨论拉格朗日对鲁菲尼的影响以及鲁菲尼在拉格朗日的基础之上，如何去否定拉格朗日对于五次方程的具体分解。第三部分从柯西的原始文献出发，探究柯西对于柯西置换定理的来源及其具体证明，讨论柯西置换理论和方程理论的具体联系以及柯西在原文中讨论的核心路线。第四部分通过讨论阿贝尔的具体证明五次及五次以上方程的步骤，阐述柯西置换定理对阿贝尔的证明产生的具体影响。关键词代数方程，置换，鲁菲尼，柯西I ABSTRACTThisarticleisbasedonthehistoryofthedevelopmentofunsolvablityofalgebraequation,thourghresearchonrelatedoriginalliteratures,tryingtoclearlyexplainthedevelopmentprocessofunsolvablityofalgebraequation,interpretingandorganizingthemutualinfluenceofthekeyfiguresinthedevelopmentandsolvesomeofthekeyissuesinthedevelopmentprocess.Thisarticlewillbedividedintofourpartsandachievetheabovegoals:ThefirstpartgivesLagrange"smethodforsolvingalgebraicequationsandthemap,anddiscussLagrange"sspecificdecompositionofthequintic.ItlaysasolidfoundationforthefollowingdiscussionofLagrange"sinfluenceonRuffini,Cauchyandothers.ThesecondpartstartswiththeoriginalliteraturetodiscussindetailthestepstakenbyRuffinitoprovetheunsolvablityofalgebraequationandcomparesLagrangeandRuffini"smethodofsolvingequations,specificallydiscussesLagrange"sinfluenceonRuffiniandRuffnihowtodenyLagrange"sspecificdecompositionofthequintic.ThethirdpartstartsfromtheoriginalliteratureofCauchy,explorestheoriginandproofofCauchy"spermutationtheoremanddiscussesthespecificrelationshipbetweenCauchy"spermutationtheoryandequationtheoryandthecorelinethatCauchydiscussedintheoriginalliterature.ThefourthpartdiscussesAbel’sconcreteproofofthestepsofunsolvablityofalgebraequationandexplainsthespecificeffectofCauchy"spermutationtheoremonAbel"sproof.Keywordalgebraequation,permutation,Ruffini,CauchyII 目录第一章绪论.................................................................................................................11.1研究背景....................................................11.2文献综述....................................................21.3本文努力的目标..............................................3第二章拉格朗日的工作.............................................................................................42.1拉格朗日求解代数方程的一般框架...............................42.2拉格朗日对代数方程的具体分解.................................8第三章鲁菲尼的工作...............................................................................................123.1鲁菲尼对五次方程不可根式解的证明............................123.2拉格朗日对鲁菲尼的影响.....................................15第四章柯西的工作...................................................................................................184.1柯西的研究背景..............................................184.2柯西的准备工作..............................................204.3柯西置换定理及其证明........................................23第五章阿贝尔的工作...............................................................................................365.1前人的工作.................................................365.2阿贝尔的证明...............................................37结语.............................................................................................................................41参考文献.....................................................................................................................42攻读硕士学位期间取得的科研成果.........................................................................44致谢.............................................................................................................................45III 第一章绪论第一章绪论1.1研究背景代数方程的求解自古以来便是一个代数学上非常重要的题目。自从16世纪意大利数学家卡尔达诺(GirolamoCardano,1501-1576)和费拉里(FerrariLodovico1522-1565)给出了一般三次和四次代数方程的求根公式以后，在此后的200年间，很多的数学家接着对五次及五次以上方程的求根公式进行了研究，但是进展不大，其中最具有代表性的是莱布尼兹(GottfriedWilhelmLeibniz,1646-1716)和车恩豪斯(EhrenfriedWalthervonTschirnhaus,1651-1708)希望把一个代数方程转化为一个二项方程，但是最终莱布尼兹证明这种转化是无法进行的。直到1770年，拉格朗日(JosephLagrange,1736-1813)发表一篇题为《关于方程代数解法的讨论》的论文，在这篇论文中，拉格朗日总结了大量前人研究的成果，给出了求解代数方程的一个全新的框架和具体求解对于五次方程的步骤，但是该论文中一般框架对五次方程的讨论却失败了，而且最终拉格朗日也没有解决五次方程的求解问题。但是在此时，拉格朗日已经感觉到，大于四次的代数方程根式可解是不可能的。接下来，意大利数学家鲁菲尼(PaoloRuffini,1756-1822)在1799年发表的论文《代数方程的一般理论》中，利用拉格朗日给出的框架，首先讨论了拉格朗日具体求解五次方程的步骤，接着对拉格朗日的一般框架进行讨论，证明了一般五次方程不可根式解。鲁菲尼在这篇论文中写道：“大于四次的一般方程的根式解是不可能的。我相信我能够断言这个非常重要的定理（如果我不犯错的话）。展现这个证明是出版这本书的主要原因，不朽的拉格朗日用他的崇高思考为我的证明提供了基础。”[1]由此可见拉格朗日对鲁菲尼产生了极其深远的影响。但是鲁菲尼的证明普遍不被当时的数学家所接受，鲁菲尼的论文非常晦涩难懂并且他们认为鲁菲尼的证明有一个瑕疵。后来证明了一般五次代数方程不可根式解的阿贝尔(NielsHenrikAbel,1802-1829)曾说道：“如果我没有搞错的话，第一个证明一般五次方程不可根式解的人是数学家鲁菲尼，但是他的论文太过复杂且不好理解，所以他的证明不那么令人满意。”[2]但鲁菲尼的工作得到了柯西(AugustinLouisCauchy,1789-1857)的称赞，柯西说到：“鲁菲尼的关于方程一般解的论文，我一直相信这个工作应该被数学家们铭记在1 西北大学硕士学位论文心，其证明了大于四次的一般方程不可根式解。”[2]并且柯西在1815年发表的一篇题为《当所有置换作用于一个有理函数中，它能有几个值》中，将鲁菲尼论文中的一个重要定理发展为了一般形式。而这个定理最终由阿贝尔使用，并在他的论文《论代数方程，证明一般五次方程的不可解性》中，完美的证明了一般五次方程不可根式解。至此，五次以上的方程是否可以像三次或者四次方程那样根式可解的问题，最终由阿贝尔完美解决。1.2文献综述关于五次方程不可根式解的证明的历史的研究，目前国内的相关研究相对少一些，国外的相关研究多一些。主要是一些专题论文和通史类著作。在BMKiernan的《ThedevelopmentofgaloistheoryfromLagrangetoArtin》中，讲述了拉格朗日、鲁菲尼、柯西、阿贝尔等人对五次方程不可根式解的贡献，但并未具体论述他们的工作以及相互产生的影响。在RLRoth的《AHistoryofLagrange"sTheoremonGroups》[3]中，作者从拉格朗日定理出发，谈到了鲁菲尼，柯西，阿贝尔等人的工作的关系。但并未具体展开讲述。在RGAyoub的《PaoloRuffini"scontributionstothequintic》[4]中，详细地用现代数学语言讨论了鲁菲尼的工作，但并未提及其他数学家对鲁菲尼的影响而且没有从原始文献出发论述鲁菲尼的工作。在MMeo的《ThemathematicallifeofCauchy"sgrouptheorem》[5]中，作者详细讲述了柯西在群论方面的工作，但重点在柯西1845年发表的文章，关于柯西1815中谈到的柯西置换定理很少提及。在AngusFudge的《TheOriginsofGroupTheory:TheContributionsofGalois,CauchyandCayley》[6]-[7]中，作者概括性的描述了柯西在群论方面开创性的工作，但并未展开讲述，而且没有讲述柯西置换定理在求解方程理论中的作用。在相关的通史性著作中，克莱因（M.Kline,1908-1992）的《古今数学思想》[8]和李文林的《数学史概论》[9]对于拉格朗日、鲁菲尼、柯西、阿贝尔等人的工作进行了简洁的概括和描述。在李文林的《数学珍宝》[10]中，全文翻译了阿贝尔讨论五次方程的原文，但并未提及拉格朗日，鲁菲尼和柯西的原文。1.3本文努力的目标本文通过对拉格朗日、鲁菲尼、柯西、阿贝尔等人原始文献的研究，从以上几位数2 第一章绪论学家的相互影响出发，重点讨论鲁菲尼对于一般五次方程不可根式解的工作以及柯西的相关工作，以“为什么数学”的视角[11]，探讨以下三个问题：（1）鲁菲尼证明五次方程不可根式解的思路；（2）拉格朗日对鲁菲尼产生了怎样的影响；（3）柯西定理产生的背景以及证明；本文的主要结构：首先讲述五次方程不可根式解的研究背景以及文献综述；接下来研究拉格朗日对方程根式解的研究方法以及对五次方程的具体分解；然后讨论鲁菲尼对五次方程不可根式解的证明以及拉格朗日对鲁菲尼的影响；接下来研究柯西置换定理产生的背景以及证明；最后简述阿贝尔对五次方程不可根式解的证明以及柯西对阿贝尔的影响。3 西北大学硕士学位论文第二章拉格朗日的工作2.1拉格朗日求解代数方程的一般框架在1770年，拉格朗日发表了一篇题为《关于方程代数解法的讨论》的论文，在这篇文章中拉格朗日给出了求解代数方程的一般框架。这篇文章主要可以分为以下几个部分：1.三次方程的讨论；2.四次方程的讨论；3.五次及以上方程的讨论；4.前文的结论以及注记[12]。在第四届近现代数学史与数学教育国际会议上，曲安京教授的文章以拉格朗日和高斯的方程理论为例，讨论研究近现代数学史的方法即画地图的方法，其中指出如下的拉格朗日的方程理论的核心算法。1针对一个一般n次方程nn1xaxaxa011nn(2.1)构造原方程根的线性函数ucxcxcx1122nn及其有理函数yyu()使得y在Sn的所有置换作用下只取r个互不相同的值。接下来构造r次预解方程rr1yAyAyA011rr解得r个根yi并求出ui。找到r个置换使得i(u)ui则可得线性方程组axxx112nucxcxcx1122nnu2cx12(1)cx22(2)cxnn2()ucxcxcxr1r(1)2r(2)nr()n若r≤n-1，则上述线性方程组可解得(2.1)所有根。1QuAnjing，SimilaritiesbetweenthetheoriesofalgebraicequationofLagrangeandGuass--Acasestudyofanewapproachtothehistoryofmodernmathematic.4 第二章拉格朗日的工作所以拉格朗日求解方程的核心思路就是把把高次方程转化为低次的，而低次的又根式可解，那么高次的也根式可解[13]。接下来拉格朗日详细讨论了用该步骤求解三次方程以及四次方程的解法[14]-[15]。对于一般三次方程32xaxaxa0(2.2)123取预解式2uxxx1233其中1(1)，取3yu使得y在S3的所有作用下，取r=2个不同值，这两个不同值为方程2yAyA012的两个根，由此可得u1，u2。最后通过线性方程组axxx11232uxxx11232uxxx2123即可解得(2.2)的根。对于一般四次方程432xaxaxaxa0(2.3)1234取预解式uxxxx1234取2yu使得y在S4的所有作用下，取r=3个不同值，这三个不同值为方程32yAyAyA0123的三个根，由此可得u1，u2，u3。最后通过线性方程组5 西北大学硕士学位论文axxxx11234uxxxx11234uxxxx21234uxxxx11234即可解得(2.3)的根。在三次方程与四次方程中，该步骤可以非常顺利的解决方程求解问题。但是在n≥5时，就不容易找到一个有理函数yyu()使得g(y)0的次数r4时不可用。这也就是说上面的步骤不能解大于四次的代数方程，即指出一般五次方程不可根式解。鲁菲尼在给出了求解代数方程的一般思路以后，接下来对拉格朗日对五次方程的具体分解进行了讨论。在论文的256到275节，鲁菲尼证明了一个核心定理：定理：若S5中的某些置换作用于一个5个根的有理函数，都取相同的值，则这些置换的个数不可能是15，30，40。13 西北大学硕士学位论文图1鲁菲尼对275节中定理表述鲁菲尼的核心证明步骤如下：1.将S5中的所有元素列举出来，形如f(x)(x)(x)(x)(x)12345图2鲁菲尼对S5中的所有元素的罗列2.将所有置换分为两类：单置换与复合置换。其中，单置换就是轮换，复合置换可以构成不可迁群，非本原群和本原群。3.将每类置换作用于函数，讨论函数值的个数。最终得出置换的个数不能为15，30，40.在276节中，鲁菲尼把这个核心定理与方程理论联系起来。在拉格朗日和鲁菲尼的论文中，置换的个数对应于预解方程的次数，即方程的群的阶数，那么，辅助方程的次数就应该为120除以方程群的阶数即置换的个数，所以275节中的核心定理实质上指出若把一个五次方程转化为次数比它低的方程，辅助方程只能为一次或二次方程，不能为三次或四次方程。接下来在第280节到282节中，鲁菲尼指出两点：1.276中的二次方程无法找到。2.5若用五次二项方程ZM0去化简一般五次方程，我们无法确定这个二项方程中M的值。这也就是说，我们用五次二项方程去化简一般五次方程也是不可行的。14 第三章鲁菲尼的工作在283节中，鲁菲尼总结到：“如果要把五次方程转化为低次方程，为了解决这个问题，第一种情况是根据低于5原方程次数的方程将其转化为低次方程；第二种情况是使用ZM0将其转化为一个低次方程，并且可以推导出M的值，但是这无法做到。现在，正如我们已经证明的那样，5在这两种情况下，用ZM0转化或用低于五次方程转化都不可行，所以我们所提出的转化均不可行。”[1]这也就是说，我们无法将一般五次方程转化为次数比它低的方程。接下来，在284节到288节，鲁菲尼证明一般六次方程65432xAxBxCxDxExF0(3.6)也不可根式解，因为若要把(3.6)转化为次数比它低的方程，只能使用二次方程和六次二6项方程ZM0，但这两个方程都无法构造。所以一般六次方程也不可根式解。在289节，鲁菲尼指出，对于一般七次方程，八次方程等等，基于与前文相同的理论，均无法根式求解。最终，在290节，鲁菲尼总结到：一般大于四次的方程代数解是不可能的。通过以上鲁菲尼论文中的核心章节，我们可以总结出鲁菲尼的思路如下：在249节中，给出求解方程的一般思路，其核心为方程的群的分解。即通过2次，3次，4次一般方程以及五次二项方程来化简一般五次方程。接下来，在275中证明一个关于置换的结论，并在276节中将这个结论与方程理论联系起来，指出不能通过3次和4次一般方程将一般五次方程转化为低次方程。接下来在280到282中证明不能通过2次一般方程和五次二项方程将一般五次方程转化为低次方程。并在283中总结到前面的证明即说明了无法将一般五次方程转化为低次方程。下面针对大于五次方程的情况，鲁菲尼先证明六次方程不可根式解，接下来同理，一般七次方程，八次方程等等均无法根式求解。所以，这也就证明了一般大于四次的方程代数解是不可能的。3.2拉格朗日对鲁菲尼的影响我们综合拉格朗日和鲁菲尼对于五次方程的讨论，可以很清楚的得到，拉格朗日对鲁菲尼的影响主要为以下两点：1.鲁菲尼完全使用了拉格朗日求解方程的框架我们在前文中分别讨论了拉格朗日以及鲁菲尼求解方程的框架，其中，15 西北大学硕士学位论文拉格朗日的核心思路为：KSnrKH1r1KH21rmKHmm对于一个n次方程，Sn可以分解为H通过一个r次方程，H可分解为H1通过一个r1次方程，以此类推，其中，rrrn!，r,r,rn，在这个分解中，最后一步需要一1m1m个n次方程，这个方程为二项方程。鲁菲尼的核心思路为：对于一个m次的一般代数方程mm1m2xAxBx0方程的群可做如下分解：nm!mqm!qnm在这个过程中，把一个m！阶的群分解为一个m！/n阶的群，我们需要一个n次方程nn1ySy0其中，n5，我不能再找到类似的函数，在这种情况下，我们甚至不能形成只有四个值的函数。这个命题已由鲁菲尼证明。”[18]柯西在这里提到的已由鲁菲尼证明的结论即为鲁菲尼在275节所证明的定理：若S5中的某些置换作用于一个5个根的有理函数，都取相同的值，则这些置换的个数不可能19 西北大学硕士学位论文是15，30，40。将这个定理转化为函数值的个数问题即为n=5时，不会有三个值和四个值的函数。柯西在这篇文章中证明的柯西置换定理实质即为该定理的扩展。综上所述，我们可以清晰地看出，柯西所研究的问题当一个函数中的量以所有可能的方式置换时，它能有几个值。这个问题的大背景即为方程求解理论，关于这个问题，拉格朗日，范德蒙德，鲁菲尼都作出了重要的贡献。其中，拉格朗日给出了函数值的上限n!，并且给出了拉格朗日定理，说明若函数值的个数小于n!，那么函数值的个数必然为n!的因子。范德蒙德给出了一个不对称函数的函数值的下限2，并且构造了一个具体的只有两个值的函数。鲁菲尼证明了当n=5时，不会有三个值和四个值的函数。这些工作实质上是在不断地缩小函数值的个数的取值范围。它们也刺激了柯西去进一步地缩小函数值的个数的取值范围。4.2柯西的准备工作柯西的准备工作主要是证明拉格朗日定理，柯西给出了一个全新的证明，但在柯西证明之前，柯西给出了排列（permutation）和置换（substitution）的定义，令K是任意一个n元函数，变量为a1,a2,a3an，如果连续的写出相关的量，即下标所影响的量，按从左到右的他们出现的顺序去写出它们并每个下标只出现一次，将得到一组这些下标的排列。例如，若K为四元函数为m(4.1)Ka1a2cosa4a4sina3则这个关于K的排列为1243如果在这个与K相关的排列下，写由其下标1，2…n形成另一个排列，并且替代K中的每一个下标，其组成一个排列通过上一个排列的对应下标，我们将得到K的新值。通过这种方式，K的值将会与下标1，2…n所形成的排列有关，如果我们用"""K,K,K来代表这些值，它的数量等于n！，并且这个集合提供了K的所有可能的值，为了彼此推导出这些值中的两个，形成这俩个值的排列通过代替第一个排列和第二个排列中的下标，为了表示这种置换，把两个排列写在括号中，将第一个置于第二个之上。因此，例如置换：20 第四章柯西的工作12432431表示K中的排列，1变2，2变4，4变3，3变1。如果，因此，我们假设，如上所述在(4.1)中，用K’来表示K通过置换12432431所得到的新值，则"mKa2a4cosa3a3sina1为了简化，我们用大写字母表示排列，因此，把（1243）记为A1，（2431）记为A，那么置换212432431就可记为A1A2这也就是我们现在所使用的两行表示法。柯西所给出的关于排列和置换的定义，我们可以看出，排列是一个静态的过程，而置换是从一个排列到另一个排列变化的动态的过程。下面柯西利用这里给出的排列和置换的定义对拉格朗日定理开始证明。柯西令K为n元函数，N=n！，用A1AN表示N个排列，这些排列的总数为N，N为K的函数值的总数，用K1KN表示这些值，如果他们彼此不同，N将表示为给定函数不同值的数量，但在相反的情况下，若值的个数小于N，其将必然为N的除数。假设可能的值为K1KN给定函数中可能有几个值相等，例21 西北大学硕士学位论文KKK用M表示这些相等的量的个数，即这些值的排列的个数为M，为了推导这些排列中的某一个，例如A，在排列中以确定的方法应用于确定的位置去交换下标就够了，而且容易推出若这些改变没有改变函数的值A。令K为不同于K的另一个值，A表示相关K的排列。如果我们用刚才提到的变化同时应用于A和A位于相同位置的下标，第二个排列A会连续的变为A,A而第一个排列A将连续的变为A,A并且根据上述原理，显然KKK会导致KKK很容易得出，在K的相关排列的值K1KN中间，我们有等于K的数量与等于K的数量相同。因此，如果R为K的不同值的总数，M为等于K的值的数量，RM就为所有排列的值的总数。因此有RM=N，即R=N/M。所以，K的不同值的总数R，一定是N的因子。柯西的上述证明也可用符号来简化表示即为[9]：若K有M个相同的值，记为KKKK123M其对应的排列为A,A,A,A123M下面连续地做替换A1A2AM,AAAM1M22M则有KKKM1M22M22 第四章柯西的工作其中KK，一直继续替换的这个过程，就可将K所有的值分为R组，其中RM=N。1M1在2.1中我们已经给出了拉格朗日的证明，对于柯西的证明，我们可对比如下：表1拉格朗日与柯西证明语言对比拉格朗日柯西""""""IVf[(x)(x)(x)(x)]K""""""IV""""""IVKKKf[(x)(x)(x)(x)]f[(x)(x)(x)(x)]""""""""""""x变x，x变x，x变xA到A,A有特定的方法去交换排列中数字的位置IV""""""f[(x)(x)(x)(x)]KIV""""""""IVA中数字的x变x，x变x，x变x用刚才特定的方法去交换位置IV""""""""""IV""KKKf[(x)(x)(x)(x)]f[(x)(x)(x)(x)]我们从语言对应关系的表格中可以看出，柯西与拉格朗日证明的思路是一模一样的，但是区别在于：1.拉格朗日的证明为特殊，而柯西为一般。拉格朗日证明的实际上是函数有两个相同值，三个相同值…定理都成立，而柯西直接证明函数有M个相同值时定理成立。2.拉格朗日的证明最终目标在于化简预解方程，而柯西在于讨论排列作用于函数以后函数的取值个数问题。3.柯西有概念以及符号的创新，明确地给出了排列和置换的概念以及符号，并使用这些概念及符号证明，所以证明更简洁明了。4.3柯西置换定理及其证明柯西在受到以上数学家的影响之后，提出了柯西置换定理：“n元非对称函数的不同值的数量，不能低于小于n的最大素数p而不等于2。”[18]图3柯西置换定理的表述23 西北大学硕士学位论文我们可以看出，该定理实质为鲁菲尼提出的定理的一般形式，鲁菲尼的定理为该定理n=5的情况，柯西把它扩展为了一般形式，其目的在于进一步地缩小函数值的个数的取值范围。柯西对该定理的证明主要分为三步：第一步：证明假设RN/m，则可以在刚刚形成的圆中找到至少一个包含两个等价排列。令Ax，Ay为这AxAsAsAx两个等价排列，置换为的幂，进一步，若m为素数，为的幂，接AyAtAtAyAs下来，Ax和Ay都为A1的等价排列，置换将不会改变K的值K1。因此，这个相同AtAsAs的值在置换重复n次也不会改变。因此其也不会改变在置换下，若用p表示nAAtt中包含的最大素数，假设m=p。因此，对函数K，该函数的值，不能通过阶为p的置换来改变。第二步：若K的值不能通过任意p阶置换来改变，它也不能通过任意三阶轮换来改变。在第二步证明之前，柯西首先给出了置换最简形式的定义。As在排列A1AN中取出两个所形成的排列，两项As，At有相同的下标，可以消At12345123除相同的下标仅保留不同的下标。例n=5，可写为，它们是23145231等价的，这为置换的最简形式。27 西北大学硕士学位论文接下来，柯西给出了轮换的定义。As令α，β…η为1，2…n中的p个数，假设置换来自于At因此，为了从第一项中推导出第二项，以下列方式将下标α，β…η放在圆中就足够了，记为通过来自第一项的下标去代替每个下标，在圆中从东往西取代它的位置，很容易看出，为了获得给定置换的幂r，用多边形的顶点得数从东往西转r个边之后取代它的位置就可以了。若通过这种方式获得一个恒等置换，必须假设r=p或r为p的倍数，这样每一个顶点上的数只有在一次或者多次转动以后才可以返回到它的原始的地方。由此可知，给定置换的阶为p，则柯西定义由这个置换中的下标所形成的多边形为轮换。对于轮换，将其化为最简表达以后，通过比较两项中对应的下标，就是轮换的所有下标的变化，则轮换的阶为其包含的下标的个数。在给出了这两个定义以后，柯西开始证明第二步。若为一个p阶轮换，也为一个p阶轮换，它为第一个的后续，两个置换的连续作用仍为一个置换，=如果第一个置换没有改变K的值K1，那么这个值也不会改变通过一个三阶轮换28 第四章柯西的工作即证明了若K的值没有改变通过任意一个p阶置换，那么它也不会改变通过一个三阶轮换。第三步：若K的值不能通过任意三阶轮换来改变，K是对称的或只有两个值。在证明第三步之前，柯西给出了对换的定义。柯西把二阶轮换定义为对换。例如：或者类似的，该操作把α，β交换，记为。再给出了对换的定义以后，柯西开始证明第三步。由对换的定义可知，每一个三阶轮换都为两个连续的对换，例：置换等于两个相邻置换的乘积这两个置换也可以用，代替。若K1的值不被轮换改变，那么这个值也不会被改变。因此，对换只能将K1变为K2若没有，必有，同时应用于K1才能令值不变。从K1到K2，只有或才能得K2，相似地，若K的值不能通过一个三阶轮换对换也不能把K1变为K2。因此，对换，29 西北大学硕士学位论文没有相同的下标，但是会导致和上文相同的结果，即不改变K的值。如果K的值K1不被下标1，2…n的任意三阶轮换所改变，并且K2由12应用于K1得出，其他的对换再把K1变为K2，再把K2变为K1。因此，两个连续的对换不会改变K1的值。因此，函数K的不同值的数量，其总可以由1，2…n之间的对换推导出，个数最多等于2。综合以上三步，柯西即证明了：n元非对称函数的不同值的数量，不能低于小于n的最大素数p而不等于2。该定理实质上进一步缩小了函数值的个数的取值范围。说明了若函数值的个数小于n的最大素数p，则不能取其他数只能为2。接下来柯西对函数值的个数进行进一步研究，柯西指出：“在排除对称函数和仅具有两个值的函数以后，将发现五，六个值的函数不能获得小于五个值，七，八，九，十小于七个值，十一，十二小于十一个值，等等。”[18]从中柯西发现，若n为素数，即变量个数是素数的函数不能获得比变量个数更少的值，只要函数超过两个值即可。那么当n为合数时，是否也会有以上的结论，即函数不能获得比变量个数更少的值，只要函数超过两个值即可。此时柯西并未给出证明，而是针对n=6，柯西给出了证明说明函数不可有小于6个值，大于2个值。令K为6元函数，用1，2…6表示其下标，K的所有值的数量等于720.令α，β，γ是K中6个下标中的三个，K的一个值为K1，α，β，γ所能形成的排列数量为6.通过α，β，γ之间的三阶轮换或者对换，总可以从K1推导K的其他5个值，令K2，K3，K4，K5，K6为新值，这六个值K1，K2，K3，K4，K5，K6全不同或两两相同或三三相同或全相等。在第一种情况下，函数不同值的个数最少为6，在其他的情况下，K2，K3，K4，K5，K6最少有一个等于K1。因此，若不改变K的值，可以交换α，β，γ的位置通过一个对换或者一个三阶轮换。接下来把六个下标分为若干组，使得每组中包括的下标在对换或三阶轮换下不改变K的值。根据上述情况，为了让给定函数的小于6个值，可以把三个下标α，β，γ随意的包含在分组中，并且在这种分组下，仅能形成两个不同的组，其中之一是单独的下标。首先假设指数分为两个组，令α和β是从一个组中取出来的下标，γ是从另一个组30 第四章柯西的工作中取出来的下标。K的值不会被这三个指数中的两个改变，γ不能交换，K的值不会在对换下改变。因此，K的值不会在同一组内的下标的置换改变，但它必然在两个组之间的对换或置换中改变，K由不同的两个组的下标所组成的两个值，必然不同。因为，若不然，两个组所组成的K的值将两两，三三，或全部相等，它们中的一个将等于K，并且相对于该相同的值，存在构成两个组的几种方式，这是不存在的。因此，为了1获得不同的值，把不同组的下标交换就可以了，这样可获得以下结果。在这里柯西假设在每一组中所取的函数都是对称的，因为6元函数一般有720个值，而我们现在讨论的只是2到6个值，相对于720是一个非常小的数，即要求所取函数对称性要非常强。接下来柯西针对具体分组进行了讨论。若一个组由五个下标组成，另一个有一个下标，每一个下标1，2…6传递到后一个组中，将获得6个不同值。若一个组由4个下标组成，另一个由两个组成，六个下标中成对的向后一组中传递，可得K的十五个不同值。最终，两个组都由三个下标组成，通过传递下标中的三个到三个得组合，这两个组不能交换，可得K得二十个不同值，若两个组可以交换，这个值将减少为十，即第一组得所有下标可置换为第二组得，反之亦然。因此，当下标可被分为两组时，同一组中的两个下标得对换不改变K1的值，K所取的不同值必然为下列数字中的一个6，15，20，10.下面柯西给出具体的关于上述分组的例子：aaaaaa，123456aaaaaa，123456aaa2aaa，123456aaaaaa123456这是函数下标分为两组的情况，同一组中都包含了不改变函数值的对换或三阶轮换，接下来柯西考虑所有下标都包含在一个组里的情况。若所有下标都包含在一个组里，给一个不改变K1的值的二阶或三阶轮换，总可以找到同类的其他置换，其不改变这个值，而且与前面的那个有一个或两个共同的下标，容31 西北大学硕士学位论文易看出，在K上进行的所有对换，在讨论的两个置换之间的两个下标，将导致K的值不变。实际上，如果所讨论的两个置换有共同的下标a，b，它可能发生，或者它们中一个是二阶的，一个是三阶的，或者它们都是三阶的。在第一种情况下，置换表示为，γ为第三个下标，因为第二个没有改变K1的值，同理，可得三个轮换或对换，，不改变K的值，第二个例子中，给定两个置换，，，γ，δ是两个新下标，三个对换，，不改变K的值，则，对换，，不改变K的值。因为仅给K一个值，五个对换，，，，导致同样的结果。假设两个给定的置换有一个公共下标，可能发生的是，这两个置换都是二阶，或一个二阶一个三阶，或两个都是三阶。给前者一个例子，，它们不会改变K1的值。这两个置换与，等价，而且第一个，可以移动β到α而不移动γ，β和γ分别具有和α，γ相同的属性，使得不改变K1的值。第二个例子中，，32 第四章柯西的工作是给定的两个置换，第二个置换可通过γ和δ代替α而不用动β连续一次到两次，三个对换，，，不会改变K1的值，并且可推，，也不会改变K的值。1最后，在第三个例子中，，可连续移动δ和ε来代替α而不移动β和γ，并可得：，，不改变K1的值。因此，下标α，β，γ，δ，ε任意两个对换都不会改变K1的值。逐步扩展对刚才各种下标的讨论，假设K的值不改变，在六个下标上对换，都会得一样的值，用K2来表示。因此，K1将在偶数个置换后保持一样的值，并且在奇数个置换后变为K2。因此，如果K1，K2不同，则K有两个值。如果只有一个，K1=K2，它将是对称的。所以六元函数的值不可以少于六个，除非为2或1.这也就证明了，当所有下标都包在一个组里时，函数的值不可以少于六个，除非为2或1.所以综上，柯西得到了结论：n=6时，函数不可有小于6个值，大于2个值。在文章的最后，柯西给出了两点注记，第一点是：如果所考虑的函数中包括一些量乘以0，则本文中所述的定理仍存在。但是，随着这些量消失，有必要确定函数的函数的元数，不考虑其中包含的量，而是考虑这些量的个数，加上可以替代他们的量的个数。例如，用a1,a2,a3,a4来表示四元方程的四个根，aa24这是根的函数，这是四元的函数，有6个值，分别为a1a2，a1a3，a1a4，a2a3，a2a4，a3a4第二点是，如何构造出两个值的函数，只需将所有下标包含在一个组中，从中可得，K在偶数次对换后保持相同的符号，在奇数次对换后变为K，例如：1233 西北大学硕士学位论文(aa)(aa)(aa)(aa)(aa)(aa)12131n232nn1n仅有两个值和相反的符号，在偶数次对换下值不变，在奇数次对换下改变符号。因此，该函数每一项，在对换下，将交替变为±号。从对柯西的文章的解读中我们可以清晰地看出柯西想要解决的问题是：当一个函数中的变量以所有可能的方式置换时，它可能有几个值。在这个问题的讨论中，拉格朗日，范德蒙德，鲁菲尼都做出了重要的贡献，而柯西开创性的给出了一系列定义，证明了柯西置换定理，而且之后又进行了一些讨论。其核心思想可总结如下图：拉格朗日：1.这个值最多有n！个。（给出最大值）2.这个值若小于n！，则必然为n！的因子。（缩小范围）范德蒙德：给出2个值的函数特例（给出最小值）鲁菲尼：n=5时，没有函数可以取三个值或四个值。（n=5时进一步缩小范围）柯西：n元非对称函数不同值的数量，若低于n的最大素数p，则必然为2。（一般情况下进一步缩小范围）柯西猜想：n元非对称函数不同值的数量，一定大于n。若n为素数，必然成立。若n为合数，利用n=6说明。（在柯西置换定理的基础上，进一步缩小范围。）由上图可以看出，柯西对于这个当一个函数中的变量以所有可能的方式置换时，它可能有几个值这个问题，柯西实质上是在不断缩小这个值的个数的取值范围。而柯西的这一部分工作不光刺激了阿贝尔去证明一般五次方程不可根式解，同时也被认为是置换理论向群论发展的基础，这也是大部份数学家认为柯西是群论的起源的一个重要人物的34 第四章柯西的工作原因。35 西北大学硕士学位论文第五章阿贝尔的工作5.1前人的启示拉格朗日对于五次方程的求解实质上已经讲五次方程的求解转化为了群的分解，并且拉格朗日本人也给出了两条具体的求解线路：3245SGI()I(y)I(u)52345SGI()I(y)I(u)5但是拉格朗日按照这个线路并未解决五次方程的求解问题。鲁菲尼首先沿着拉格朗日的思路，指出指出若把一个五次方程转化为次数比它低的方程，辅助方程只能为一次或二次方程，不能为三次或四次方程。这样实质上就首先否定了拉格朗日的具体分解，并且给出了一个新的分解思路，一个一般的五次方程，其对应的群所有分解可能如下：但是鲁菲尼指出，这个分解中的很多路径是不存在的，在五次方程的转化中，不能使用四次或三次方程，所以，120下的40，60下的20都是不存在的，而从120直接到30也不会存在，但是从120到60再到30可以存在因为这个分解路径中需要两次2次方程，则上述分解图可转化如下：接下来柯西将鲁菲尼的核心定理扩展，得出了柯西置换定理，而在柯西置换定理下，五次方程的群的分解也为上图。此时阿贝尔所面临的问题就是，如何证明这样的分解图不存在。36 第五章阿贝尔的工作5.2阿贝尔的证明1824年阿贝尔在其自费出版的一篇文章《论代数方程，证明一般方程五次不可解性》中，证明了一般五次代数方程不可根式解[19]。并且他的论文还进一步讨论了什么样的方程可以根式求解，最终促使了伽罗瓦（ÉvaristeGalois，1811-1832）彻底解决代数方程根式求解的问题。阿贝尔在文章的开头写道：“许多数学家全身心致力于寻求代数方程的一般解，有几位数学家试图证明解的不可能性。然而，如果我没弄错的话，他们都还未成功。所以我才敢奢望数学家们善意地接受这篇论文，因为此文的目的是填补代数方程论的这一空白。”[10]阿贝尔对一般五次代数方程不可根式解的证明主要分为两个部分。第一部分，阿贝尔首先给出了任意次代数方程的代数解的一般形式，并证明了一个核心定理即包含在解的代数表示式中的所有根式都是关于原代数方程的根的有理函数。这个定理在鲁菲尼的证明中也被鲁菲尼使用，但是鲁菲尼并没有证明这个定理，这也是当时大部分数学家不认可鲁菲尼的证明的原因。[20]-[21]第二部分阿贝尔多次借助柯西置换定理，利用反证法得出矛盾，否定了五次代数方程根式解存在的假设，从而证明了一般五次代数方程不可根式解。下面是阿贝尔证明的主要步骤：阿贝尔令5432yaybycydye0(5.1)为一般五次方程并假设其根式可解。则y可写为如下的形式12m1yppRmpRmpRm12m11其中，m为素数，R,p,p1是与y有相同形式的函数。假设Rm不能表示为a,b,,p,p1,R的有理函数，用m代替R，可得p11。p1所以可得12m1ypRmpRmpRm(5.2)2m1把(5.2)带入(5.1)，可得12m1PqqRmqRmqRm0(5.3)12m1其中q,q1为a,b,c,d,e,p,p2及R的整有理函数。37 西北大学硕士学位论文为了满足(5.3)，必须有q0,q10,qm10。11111m所以当Rm为Rm,Rm,2Rm,m1Rm时，y的值都满足(5.1)，其中1(1)。则m≤5，令y1,y2,y3,y4,y5为(5.1)的根，则有12m1ypRmpRmpRm12m112m1ypRm2pRmm1pRm22m112m1ypm1Rmm2pRmpRmm2m1可解得：1p(yyy)12mm1m1m1R(yyy)12mm1m1m1pR(yyy)m112mm1因此，R,p,p1和Rm都为(5.1)的根的有理函数。接下来考虑这些量中的任意一个R，令12n1RSvnSvnSvn2n11S,S,S,v,vn为不同的R的值的有理函数。1n1所以我们可得，所有包含在y的表达式中的无理函数都为原方程(5.1)的根的有理函数。1令Rmr，r为原方程根的有理函数，那么在r中交换y1,y2,y3,y4,y5取m个不同值。由柯西置换定理可得：m=5或m=2。若m=5，即r有5个不同值，则15234Rrppypypypy11213141其中，p,p1为y1,y2,y3,y4,y5的对称函数，交换y1,y2，得234234ppypypypyppypypypy112131411222324238 第五章阿贝尔的工作15其中1(1)，但是这个方程不成立，所以m=2，即2，则必有Rr11R2rv(yy)(yy)(yy)vS2121345其中v为对称函数。对于形如111(ppRvpR)m1222的无理函数，必有v2，RvS，RvS，…则可写为1111(ppS2)m1令11r(ppS2)m111r(ppS2)m11则122mrr(ppS)11rr必为对称函数，令其为v，则11111rr(ppS2)mv(ppS2)mz111其中m=5，则1111zqqyqy2qy3qy4(ppS2)5v(ppS2)5123411则可得124yPR5PR5PR524所以115145R(yyy)(ppS)12515上式中间部分有120个不同值，但是右边只有10个不同值。所以得出矛盾，y没有上述结论中所说的形式，但是若方程根式可解，则y应有这种形式，所以可得，一般五次方程不可根式解。从上面的证明可以很清楚的看出，阿贝尔在证明的两个地方使用了柯西的结论。第39 西北大学硕士学位论文一处在r中交换y1,y2,y3,y4,y5取m个不同值。由柯西置换定理可得：m=5或m=2。这实际上也是鲁菲尼的结论（n=5时柯西置换定理与鲁菲尼的结论一致）。第二处在m=2时则函数必然可写为方程的根的两两差的形式，这是柯西原文中提到的范德蒙德构造的两个值的函数的形式。由此可见，柯西的文章对阿贝尔产生了很大的影响。40 结语结语五次方程是否可以像三次或四次方程那样根式求解，这个问题引起了无数数学家的兴趣，但是一直到19世纪都还没有解决。最终这个问题在拉格朗日，鲁菲尼，柯西，阿贝尔等数学家的努力下被解决。本文通过对上述数学家的原始文献进行解读，得出的主要结论如下：第一：拉格朗日给出了一个全新的框架将方程的求解转化为预解式的求解，并且将其转化为群的分解。拉格朗日的框架针对三次和四次方程都非常成功。但是在五次方程中却遇到了困难，最终拉格朗日也没有解决五次方程根式求解的问题，而且拉格朗日当时也意识到可能五次及以上的方程是不可根式求解的。但是拉格朗日留下的框架却指引着后来的数学家解决这个问题。第二：鲁菲尼在拉格朗日的指引下，利用拉格朗日的框架，首先证明拉格朗日对五次方程的具体分解不可行，这也刚好解释了为什么拉格朗日无法将其分解。接下来鲁菲尼还是从方程的群的分解出发，证明了一般五次方程不可根式解。第三：柯西在拉格朗日，范德蒙德，鲁菲尼的工作基础上，讨论了个函数中的量以所有可能的方式置换时，它能有几个值的问题。而拉格朗日，范德蒙德，鲁菲尼的工作实质都是在不断缩小函数值的个数的取值范围，而最终柯西证明的柯西置换定理也是在进一步地缩小函数值的个数的取值范围。接下来该定理对阿贝尔产生了非常重要的影响，阿贝尔在他的证明中两次使用了该定理，第一次为排除掉m=3和m=4的情况，第二次直接给出柯西提到的两个值的函数。41 西北大学硕士学位论文参考文献[1]RuffiniP.Teoriageneraledelleequazioni[M].Bologna:NellastamperiadiS.Tommasod"Aquino,1799:243-291.[2]KiernanB.M.ThedevelopmentofgaloistheoryfromLagrangetoArtin[J].ArchivefortheHistoryoftheExactSciences,1971,8(1):40-154.[3]RothR.L.AHistoryofLagrange"sTheoremonGroups[J].MathematicsMagazine,2001,74(2):99-108.[4]AyoubR.G.PaoloRuffini"scontributionstothequintic[J].ArchiveforHistoryofExactSciences,1980,23(3):253-277.[5]MeoM.ThemathematicallifeofCauchy"sgrouptheorem[J].HistoriaMathematica2004,31(2):196-221.[6]Angus,Fudge.TheOriginsofGroupTheory:TheContributionsofGalois,CauchyandCayley[J].MathematicsToady,2015,51(2):64-67.[7]Angus,Fudge,谢迅,等.群论的起源:Galois,Cauchy和Cayley的贡献[J].数学译林,2015(3):259-264.[8]莫里斯·克莱因.古今数学思想:第2册[M].万伟勋，石生明，孙树本，等译.上海:上海科学技术出版社,2009:344-361．[9]李文林.数学史概论[M].2版.北京：高等教育出版社,2000:196-206.[10]李文林.数学珍宝[M].科学出版社,2000.[11]曲安京.中国数学史研究范式的转换[J].中国科学史杂志,2005,26:50-58.[12]LagrangeJ.L.EuvresdeLagrange,Tome.3[M].Paris:Gauthier-villars,imprimeur-librairedel"ecoleimperialepolytechnique,1869:205-421.[13]QUAJ.Lagrange’sstrategyforsolvingalgebraicequation[J].HistoryoftheMathematicalSciencesII,2010,20(2):1-20.[14]EdwardsHM.GaloisTheory[M].NewYork:Springer-Vlerlag,1984:l-35.[15]TignolJP.GaloisTheoryofalgebraicequations[M].LongmanScientific&Technical.LongmanGroupUKlimited,1998:1-202.[16]ClarkeA.A.DisquisitionesArithmeticae[M].YaleUniversityPress,1966.[17]PesicP.Abel"sproof.[M].MitPressCambridgeMa,2004.[18]CauchyA.L.Mémoiresurlenombredesvaleursqu"unefonctionpeutacquérirlorsqu"ony42 参考文献permutedetouteslesmaniérespossibleslesquantitésqu"ellerenferme[M].Journaldel"EcolePolytechnique,1815:64-91.[19]SmithDE.ASourceBookinMathematics[M].NewYork:DoverPublicationsINC,1959:261-266.[20]王晓斐.阿贝尔对方程论的贡献[D].西北大学,2011.[21]赵增逊.Lagrange的代数方程求解理论之研究[D].西北大学,2011.43 西北大学硕士学位论文攻读硕士学位期间取得的科研成果1.于钟淼.一般五次方程不可根式解的证明——从拉格朗日到鲁菲尼[J].西北大学学报（自然科学版），录用44 致谢致谢研究生的学习与生活转眼就要接近尾声了。回首这三年的时光，我不仅学会了很多知识，还成熟了许多。我感谢这三年来老师们对我知识的传授、同学们对我友爱的表达，我感谢这段时间所有的经历对我的磨练，使我能自信而坚强地面对以后的工作和生活。首先，在这里，我必须要感谢我的导师曲安京教授，感谢他在学习及生活中给我的指引与帮助。曲老师学识渊博，在学术上有很大成就，对我的论文要求也很严格，从开题、初稿形成到一遍一遍的修改与完善，曲老师都给我了非常认真与细心的指导。我非常敬佩曲老师严谨务实的研究精神与诲人不倦的优良美德，在生活学习中难免有困惑的时候，听曲老师讲话会有听君一席话，胜读十年书的感慨，这就是智者向我传授的人生哲学，值得我细细体会。其次，我要感谢科学史高等研究院的其他老师以及同学们。感谢老师们不遗余力地给我传授知识，以身作则地告诫我人生要奋斗、要努力，我永远都不会忘记各位老师的良苦用心，不会辜负老师们的谆谆教诲。感谢同学们的真诚付出，使我在学业上更加顺利，生活中总能感受到温暖。最后，我还要向在百忙之中评阅论文和参加答辩的各位专家、教授致以真诚的谢意!45