解竞赛题的金钥匙之四(假设问题).doc 5页

四假设问题——以“假”求“真”，化难为易用假设的方法来解答问题是一种极其重要的思维方法。恩格斯曾经指出：“只要自然科学在思维着，它的发展形式就是假设。”科学史上的许多有重大影响的科学理论，如门捷列夫的元素周期表、哥白尼的太阳中心说等等，最初就是以假设的形式出现的。在解答数学问题中，假设未知数为x，列出方程进行解题，就是建立在假设的思想基础上的。由于假设，可以把未知看作已知，可以把复杂的数量关系简单化。我国古代算术中的“鸡兔同笼”问题，就是用假设法来解的，它往往先假设某种现象的存在，得到和已知条件不同的“差异”，再分析“差异”的原因，进行适当的调换，使问题得到解决。例1笼中共有鸡兔100个头，350只脚，问鸡兔各有多少头？（1990年济南市历下区小学数学五年级竞赛题）分析：假设100头全为兔，则应有4×100=400只脚，比实际多了400-350=50只脚，如果把一只兔换成一只鸡，那么可减少4-2=2只脚，要减少50只脚，就要换50÷2=25头鸡，这样就求出了鸡的头数。解法一：（4×100-350）÷（4-2）=25（头）⋯⋯鸡，100-25=75（头）⋯⋯兔。或者（350-2×100）÷（4-2）=75（头）⋯⋯兔，100-75=25（头）⋯⋯鸡。解法二：设：鸡有x头，则兔有（100-x）头。2x+4×（100-x）=350，解之得x=25。100-25=75（头）⋯⋯兔。答：鸡有25头，兔有75头。例2光明书店卖出甲、乙两种书共120本，甲种书每本5元，乙种书每本3.75元，卖出的甲种书比乙种书多收入162.5元。甲、乙两种书各卖出几本？（《小学生数学报》第五届初赛题）分析1：假设全部卖出的为甲种本，则甲种本比乙种本多收入5×120-3.75×0=600元，比实际的相差数多600-162.5＝437.50元。如果甲种本换一本为乙种本（也就是甲种本少卖一本，乙种本多卖一本），那么甲种本的收入比乙种本少5＋3.75=8.75元，要减少437.50元，就要换几次（也就是乙种本的本数），437.50÷8.75=50（本）。解法1：（5×120-162.5）÷（5+3.75）＝50（本）⋯⋯乙种本，120-50＝70（本）⋯⋯甲种本。分析2：假设甲、乙各卖出120÷2＝60本，则甲比乙多收入（5-3.75）×60=75元，比实际的相差数少162.5-75＝87.5元（说明甲不止60本）。如果乙换一本为甲，那么乙的收入比甲少5＋3.75=8.75元，要增加87.5元，就要换几次（也就是需要增加甲种本的本数），87.5÷8.75=10（本）， 所以卖出的甲种本有60＋10＝70（本）。解法2：[162.5-（5-3.75）×（120÷2）]÷（5+3.75）=10（本）60+10=70（本）⋯⋯甲种本，60-10=50（本）⋯⋯乙种本。答：卖出的甲种本有70本，卖出的乙种本有50本。你还有其他假设的方法吗？你能用列方程的方法解答吗？例3有1元、5角、2角三种人民币11张，共值4.7元，其中2角的张数比5角多3张。三种人民币各有几张？分析：由于2角与5角的张数不同，在调换时较难进行。如果5角多3张，那么题意改为“有1元、5角、2角的人民币共11+3=14张，共值4.7+0.5×3=6.2元（62角），其中2角的张数与5角的同样多，求各有几张？”再用假设法解题。根据以上的改题，可以假设全是1元（10角）的，则共值10×14=140角，比实际多140-62=78角，如果用2张10角的，调换：1张2角、1张5角的（总张数不变），那么可少10×2-2-5=13角，要减少78角，就要换几次（也就是2角或5角的张数），78÷13=6（张），就是原来2角的有6张，原来5角的有6-3=3张。解法：[10×（11+3）-（47+5×3）]÷（10×2-2-5）=6（张）⋯⋯2角，6-3=3（张）⋯⋯5角，14-2×6=2（张）⋯⋯1元。答：1元有2张，5角有3张，2角有6张。如果原题中“2角的减少3张”，你能解答吗？你能用列方程的方法解答吗？通过以上例题，可以看到用假设法解答“鸡兔问题”时，它的一般解题规律是：（1）假设结果（如笼中都是兔）；（2）求出相差（如脚的只数与某一已知条件有“差异”）；（3）进行调换（如一只兔调换一只鸡，使兔的只数减少）；（4）由甲入手，求出是乙（假设笼中的动物都是兔，但先求出的倒是鸡的头数）。例4买语文书30本，数学书24本，共花41.7元，已知每本语文书比每本数学书贵0.22元，语文书每本多少元？数学书每本多少元？（1990年长春市小学数学竞赛五年级试题）分析：假设语文书的单价便宜0.22元，那么数学书和语文书的单价就相同了，买30本语文书就可便宜0.22×30=6.6元。41.7元减去6.6元所得的差正好是30+24=54本数学书的总价。这样，就可求出数学书的单价了。解法：（41.7-0.22×30）÷（30+24）=0.65（元）⋯⋯数学书单价。0.65+0.22=0.87（元）⋯⋯语文书单价。答：语文书每本0.87元，数学书每本0.65元。例5少年宫开办音乐、美术两个培训班，去年共招收200人。今年计 划招收246人，其中音乐班人数比去年增加25％，美术班人数比去年增加20％。求今年计划招收的音乐班、美术班各有多少人？分析：假设美术班今年比去年也增加25％，则今年计划招收200×（1+25％）=250人，比实际多250-246=4人，这是因为美术班今年比去年增加的百分数与实际相比较多了去年的25％-20％=5％，这里的5％，就是4人的对应分率，所以去年美术班有4÷5％=80人。解法：[200×（1+25％）-246]÷（25％-20％）=80人⋯⋯⋯去年美术班人数，80×（1＋20％）=96人⋯⋯今年美术班人数，246-96=150人⋯⋯今年音乐班人数。答：今年音乐班计划招收150人，美术班计划招96％人。假设“音乐班今年比去年增加20％”，那么怎样解答呢？你去试一试看。例6甲原有的故事书是乙的6倍，两人各再买2本，则甲现有的书是乙的4倍。甲、乙两人原来各有故事书多少本？分析：假设要使甲现有的书仍是乙现有的书的6倍，则甲应买2×6=12本，但甲只买了2本，少买了12-2=10本，这样甲现有的书就只有乙现有的书的4倍了，比实际少买了乙现有的书的6-4=2倍，所以乙现有的书是10÷2=5（本），乙原来的书有5-2=3本。解法：（2×6-2）÷（6-4）=5（本）⋯⋯乙现有的书，5-2=3（本）⋯⋯乙原来的书，3×6＝18（本）⋯⋯甲原来的书。答：甲原来有18本故事书，乙原来有3本故事书。你能用列方程的方法解答吗？练习四1.学校买来100张电影票，一共用去22元。票价有0.2元和0.25元两种。问0.2元的有多少张？0.25元的有多少张？（北京市东城区1988年小学数学竞赛题）2.一个中学生一顿饭可以吃3个馒头。三个幼儿一顿饭吃1个馒头，现在有中学生和幼儿共100人，一顿饭正好吃100个馒头。有幼儿多少人？（北京市第五届小学“迎春杯”数学竞赛题）3.12张乒乓球台上共有34人在打球，问：正在进行单打和双打的台子各有多少张？4.松鼠妈妈采松籽。晴天每天可以采20个。有雨的天每天只能采12个。它一连几天采了112个松籽，平均每天采14个。问这几天当中有几天有雨？（首届“华罗庚金杯”初赛试题）5.五年级数学竞赛题共10题，规定做对一题得15分，做错一题倒扣10分，小亮在这次竞赛中得了100分，你知道他做错了多少题？6.李强把自己储存的17枚硬币，合计6角4分捐献给有关部门抢救大熊猫。已知硬币有1分、2分、5分三种，并且1分与2分的枚数相等。求三种硬币各有多少枚？（1990年东台市小学生数学竞赛预赛题）7.丰庆百货公司委托运输公司包运1000块玻璃，议定每块运费0.50元，如损失一块，不但没有运费，并且要赔偿成本费3.50元，货物运到目的地后， 运输公司获得运费480元，损失的玻璃有多少块？（四川省1990年小学生“天府杯”数学题）8.某农民饲养鸡兔若干，已知鸡比兔多13头，鸡的脚比兔的脚多16只，问鸡和兔各几头？9.某班42个同学参加植树，男生每人平均种3棵，女生每人平均种2棵，已知男生比女生多种56棵。求男、女生各多少人？10.蜘蛛有8只脚，蜻蜒有6只脚和两对翅膀，蝉有6只脚和一对翅膀，现在有这三种小虫18个，共有脚118只，翅膀20对，问每种小虫各有多少个？11.两数相除商3余2，被除数、除数、商与余数的和是179，被除数比除数大多少？（1990年《少年报》有奖测试题）12.三只船运木板9800块，第一船比其余两船共运的少1400块，第二船比第三船多运200块，三只船各运木板多少块？13.某车间男工人数是女工人数的2倍，若调走18个男工，那么女工人数是男工人数的2倍，这个车间有女工多少人？（福州市1990年小学生“迎春杯”数学题）14.果园里苹果树的棵数是桃树的3倍，管理人员每天能给25棵苹果树和15棵桃树喷洒农药，几天后当桃树喷完农药时苹果树还有140棵没有喷药。果园里这两种树共有多少棵？15.某商店里花布是白布的2倍，如果每天卖30米白布和40米花布，几天后，白布全部卖完，而花布还剩120米。原来库存花布多少米？