有限阿贝尔覆盖及其应用 78页

华东师范大学博士学位论文有限阿贝尔覆盖及其应用姓名：高云申请学位级别：博士专业：基础数学指导教师：谈胜利;陈志杰20070401 有限阿贝尔覆盖及其应用摘要本文的主要目的是建立Abel覆盖的一般方法，并给出几个有趣的应用．覆盖理论是代数几何研究的重要工具．要建立覆盖理论’关键是要解决以下几个基本问题：o)定义覆盖的简单数据的确定；0I)正规化的计算；(ⅡI)分歧轨迹的确定；∞，)找出奇点解消的有效方法；∽不变量的计算等．二次覆盖，三次覆盖，循环覆盖都有了成熟的理论，从它们简单的定义方程出发，其相应的基本问题都得到了解决．为了代数曲面的分类和构造新雎面的需要，从上世纪90年代开始，很多代数几何学家如Pardini都希望建立Abel覆盖的基本理论．但是到目前为止，这些基本问题还未解决．Abel覆盖也没有象二次覆盖、三次覆盖和循环覆盖那佯得到了有效地应用．本文首先证明Abel覆盖有一组标准的定义方程．由此出发，计算出了Abel覆盖的正规化．因此，确定出Abel覆盖的分歧轨迹及其分歧指数；找到了奇点解消的标准方法；给出了不变量的计算公式．因此解决了Abel覆盖的上述基本问题．利用本文所建立的Abel覆盖的方法，我们解决了下面几个有趣的问题．第一我们构造了82个—般型代数曲面，他们的不变量满足鼋=3c2．构造这种类型的曲面是—个具有挑战性的问题．有很多知名的数学家都曾考虑过这个问题，比如：Mumford，Hirzebruch，Mostow,萧荫堂和Horikawa等．值得注意的是Hirzebruch构造的4个曲面的不规则性q的计算也是非平凡的．Ishida和Hironaka还专门写文章来计算它．而利用本文的结果，我们得到了任意Abel覆盖曲面的q的计算公式．第二，我们对典范映射是俨上的次数至少为4的Abel覆盖的曲面进行了分类．特别地，我们发现了4个典范次数是16的新曲面，这是目前所知道的典范映射次数最高的曲面的例子．典范映射性态的研究是代数曲面理论中的一个困难问题．从上世纪50年代开始，很多代数几何学家研究过它，如Kodaira,Bombieri，BeauviUe，肖刚和Persson等．但具有高次数典范映射的曲面的存在和分类问题还仍然是一个未解决的问题．1978年，Persson构造了第一个典范映射次数为16的曲面．他的构造基于一类Campadelli曲面，而后者的构造也是非平凡的．第三"我们给出了一个经典不等式lGl≤49+4的新证明，这里，G是一条亏格9≥2的曲线的Abel自同构群．特别是，我们还给出了满足IGl≥49一4的曲线的完整分类．关键词Abel覆盖，正规化，奇点解消，典范映自屯不正规性，球商曲面，自同构群 FiniteabeliancoversandapplicationsAbstractThemainpurposeofthisthesisistodevelopageneralmethodofabeliancoversandtogivesomeinterestingapplications．Thetheoryoffinitecoversisanimportanttoolinalgebraicgeometry．InordertoestablishthetheoryoffiniteCOV∞3，thecrucialpointsaretosolvethefollowingbasicproblems：(I)findoutthedefiningdataofthecovel一3；OI)computethenormalizationofthecovers；㈣determinethebranchlocus；0v)giveaneffectivemethodtoresolvethesingularities；(v)compumthebasicinvariantsandsoon．Doublecover8．triplecover8andcycliccovers撇wellunderstood,andthebasicproblemshavebeensolvedstartingfromthesimpledefiningequations．Inordertocon-stractandclassi母algebraicsurfaces，softiealgebraicgeometers，suchasR．Pardini，have舡iedtoestablishthebasictheoryofabeliancoverssince1990s．However,印tonow,thebasicproblemshaven’tbeensolvedyet,andabelianCOVETShavenotbeenusedaseffectivelyasdoublecovcr$，tripleCOVerSandcycliccove"s．Inthisthesis，weprovefirstthatanyabelianCOVercanbedefinedbysolvestandardequations．Thenwefindoutthenormalizationstartingfromthedefiningequations．Asacousequence，wedeterminethebranchlocusanditsramificationindex,wegiveastandardmethodtoresolethesingularities，andwegettheformulasforthecomputationofthebasicinvariants．Therefore，theproblemsfrom①toma托solved．Asapplicationsofourmethod,wesolvedseveralinterestingproblemsasfollows．Firstly,weconstruct82algebraicsurfaⅢofgeneraltypewith鼋=3c2．Tocon-structsuchsurfacesisachallengingproblem,whichattractedtheattentionofmanydis·tinguishedmathematicians，e．g．，Mumford,Hirzebruch,Mostow,YT．Sin，Horikawaand80on．Notethatthecomputationofthe硒则ari哆qofHirzebruch’84surfacesishighlynon-triviai．Actually,IshidaandHironakapublishedpapersOllthiscomputation．Asanapplicationofourresults，weobtainaformulaforthecomputationoftheirregularityq．Secondly,weclassify吼Ⅱ缸eswhosecanonicalmapsa∞abelianco、惯s0n舻withdegreeatleast4．Especially,wefound4surfaceswhosecanomcaimapsarcofdegree16，whicha糟thesurfaceswithhigheatcanonicaldegreeweknowuptonow．Inthetheoryofalgebraicsurfaces，adifficultproblemistounderstandthebehav-iorofthecanonicalmap．Since1950s，thisproblemhasbeenstudiedbymanyalgebraicnl geometers：Kodai瑚，Bombied，Beauville，GangXiao，P∞son,ere．Itisstillallopenproblemwhetherthereexistsurfaceswithhighcanonicaldegree．In1980．PerssonCOn-struetedthefirstsurfacewhosecanonicalmapisofdegree16，hisconstiuetionisbasedonakindofCampadellisurfaceswhoseconstructionisnon-trivial．Thirdly,wefoundan朋proofoftheclassicalinequitylGI≤幻+4fortheautomorphismgroupGofacILrveofgenusg≥2．Furthermore,wegiveacompleteclassificationofthecurveswithIGI≥49一4．KEYWORDS：abelianCOVer,normalization。resolutionofsingularities，∞Jlon-icalmap，irregularity,ballquotientsurfaces，automorphismgroup． 学位论文独创性声明本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果．据我所知，除文中已经引用的内容夕卜’本论文不包含其他个人已经发表或撰写的研究成果．对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在本文中作了明确的说明并表示谢意．作者签名日期学位论文使用授权声明本人完全了解华东师范大学有关保留．使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版．有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅．有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索．有权将学位论文的标题和摘要出版．保密的学位论文在解密后适用本规定．学位论文作者签名：亳叁导师签名日期：迦i：‘。7日期毋钾迎红抛弛 第一章引言§1．1研究背景代数簇y到x的有限映射7r：y—x称为x上的有限覆盖，它诱导了x和y的函数域之间的有限扩张K(Y)／K(X)．函数域扩张的扩张次数称为覆盖的次数．不失一般性，我们可假设x光滑．按域扩张的性质，有限覆盖可分为Galois覆盖和非Galois覆盖．按Galois群的性质，Galois覆盖又可分为Abel覆盖，循环覆盖，非Abel覆盖．有限覆盖是代数几何中的重要工具．要建立覆盖理论，关键是要解决以下的基本问题：(I)定义覆盖的数据的确定；(Ⅱ)正规化的计算；On)分歧轨迹的确定；(Ⅳ)找出奇点解消的有效方法；(v)不变量的计算．有限覆盖用于代数几何的研究已有很长的历吏．Riernann通过将代数曲线(即紧Riemman面)表示成平面的有限覆盖来研究代数曲线．事实上，有限覆盖是整个19世纪研究代数曲线的基本工具之一．代数曲面的经典研究方法也是通过将代数曲面表示为复射影平面的一般有限覆盖来研究．著名的Noether公式12)／=砰+02就是这样发现的．在20世纪初，意大利学派成功地将二次覆盖应用于代数曲面的分类，当时二次覆盖益面y定义为域扩张K∽)(～仃)所对应的曲面．上世纪80年代，Horikawa,肖刚等人发展和完善了二次覆盖理论．事实上，曲面地理学问题的解决归功于二次覆盖．几乎同时，Esnault和Viehweg[15】建立了任意次数的循环覆盖的理论．他们从循环覆盖的定义方程Zn=f(x，Y)出发解决了循环覆盖的所有基本问题．循环覆盖理论在Kawamata-Viehweg消失定理的证明中起了关键作用．Miranda([401)在1986年就开始研究一般的三次覆盖．他通过描述三次扩张的环的结构来确定三次覆盖的定义数据．但是，这个数据涉及到秩二向量丛，不便用于实际问题的研究，且无法解决正规化和奇点解消等问题．因此，一直无法有效地应用于代数曲面的分类．所以，谈胜利【52】直接从三次覆盖的定义方程≯+s(￡，y)z+f(z，口)=0出发来研究三次覆盖．这种方法研究三次覆盖的优点是定义数据简单；分歧轨迹可以从方程的系数中直接得到；并且他计算出了正规化；发现了和二次覆盖一样的奇点的典范解消，从而使得三次覆盖可以有效地应用于代数曲面的研究．在80年代初，人们开始注意到Kummer覆盖的应用．Hirzbruch利用z50⋯oz5覆盖构造了4个满足砰=3c2的一般型曲面．Catanese从定义方程出发将Galois群为z2oz2的覆盖成功地应用于构造新的代数曲面．到了上世纪90年他人们开始关注一般的Abel覆盖．例如，Pardini【44】试图建立Abel覆盖的一般理论．她模仿Miranda的方法"通过描述Abel扩张的环结构来确 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用定Abel覆盖的定义数据’和Miranda的方法一样，这种方法很难解决正规化计算和奇点解消等问题．特别地，即使是z2oz2这种简单的覆盖，她的定义数据也很复杂，不如Catanese的方法方便．从意大利学派对二次覆盖的研究，Esnault和Viehweg对循环覆盖的研究和谈胜利对三次覆盖的研究可看出，从定义方程出发研究覆盖有以下明显的优势：(1)描述覆盖的定义数据简与t自然；(2)有可能解决正规化的计算；(3)分歧轨迹有可能从定义数据中得到整体的描述；(4)有可能用标准的方法来化简奇点，从而解消奇点；(5)有可能从定义数据中得到不变量的计算公式．本文的目的就是要从Abel覆盖的定义方程出发来解决Abel覆盖的相关基本问题．从域的Abel扩张的性质可知，群为G=zn，o⋯oz。，的Abel扩张一定可用Ⅳ(x)(’狐i，⋯，叫田来定义，其中，凸{∈K(x)是x上的有理函数(参见【359．这个结论可翻译成覆盖的语言．任何群为G=‰，o⋯ozf。的Abel覆盖7r：Y—x可由下面的一组方程定义式L=h，⋯，譬=|ky是这组方程定义的代数簇的正规化(详细构造见第二章第一节)．将这个结论翻译成除子的语言，我们有下面的定理：定理I：任意群为G=‰，e⋯o‰。的Abel覆盖7r：Y—X都由下列关系式D1inill，⋯，D≈i“々以(1．2)来确定，其中，D。为X上的有效除子，厶是X上的除予．因此，(2．4)就是覆盖的定义数据，(1．1)是覆盖的定义方程与方程(1．1)对应，这里D。=Div(f1)．在覆盖的定义数据确定后，正规化的计算可以化为唯一分解整环R的有限Abel扩张的整闭包的计算．为了叙述方便，我们引进一个新的记号，若，=ri谬，oz∈Q是索分解．则【，】：=Ⅱp∥．下面的定理编号分别对应着覆盖的5个基本问题的编号．定理Ⅱ：设兄是唯一分解整环，包含”1，⋯，n≈次单位棍且R的特征eharR不整除n1·一nk．K是A的分式域环A=R[al，·．．，nk】是R的Abel扩张，nn‘=2 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用厶i=1，⋯，岛即A垒R【盈，⋯，‰】／(2}1一^，·一，《。一^)设B,CA在其分式域K[al，·一，Olk】土的整闭包，那么，环B是自由R橇基为卜尚1g=(91，⋯，gk)∈G}J在我们的应用中，兄为C上的代数，所以定理Ⅱ的条件自然满足．定理Ⅱ翻译成覆盖的语言，我们得到下面的推论．推论v．(Ox摸的结构)设7r：Y—X是由方程(1．1)定义的覆盖，更II=璺Ox(一圭giLl+lr．OygiLliml睦老。；])．=o(一∑l∑嫠Dd)．g∈G＼Lt=l。J／特别地，当k=1时，此时为循环覆盖．我们得到的结论与Viehweg和Esnault的结论相同．根据覆盖的定义方程和正规化的计算(定理Ⅱ)，我们可以得到分歧轨迹的整体描述．定理HI：设P是X中既约且不可约的超曲面．用p=ff-1(P)表示P在y上的既约原像，设ai是P在Di=div(^)中的重数．则霄．尸：早户，其中d，=gcd(Ic川Gl詈，⋯朋I薏)是P上的一般点原像的个耗我们知道"，的奇点都是口的分歧轨迹的奇点的原象．通常我们对覆盖定义的奇点可做如下的典范解消．y=％oKo．．．山K山矿卜miz-⋯ln』””X=Xo_。h一⋯P墨一X其中，以是对丌l—l的分歧轨迹的奇点的爆发．K是K一1和X的纤维积的正规化，即磁=K一1×咒．经过有限步后，可以使得丌r的分歧轨迹只有通常二重点．3 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用当丌。是二次覆盖时，经过有限步后，可使得丌r的分歧轨迹光滑，因此K光滑．K就是y的一个奇点解消，称为Horikawa解消或者典范解消．事实上，在意大利学派的文章中也见到这种解消方法．谈胜利([49】)证明了当丌0是三次覆盖时，经过有限步后，也可使得“的分歧轨迹光滑，因此K光滑．所以，三次覆盖也存在这种典范解消．当仰的次数至少是4时，通常这种典范解消一般不存在，即任意步后，珥的分歧轨迹都不光滑，最后不能保证K光滑．但是可以保证分歧轨迹正常相交．理论上，当珥的分歧轨迹只有通常二重点时，K上只有Hirzebruch-Jung奇点(参见【4】)．故上图中的r／是Hirzebrueh-Jtmg奇点解消．但是，确定K上Hirzebmch-Jung奇点的类型是一个困难的问题当丌。是循环覆盖时，Hirzebruch-Jung奇点的类型的确定参见[4】口82-84)，【53]，[53]或者本文第三章第四节．当丌0是Abel覆盖时，设其定义方程为(1．1)"不失一般性，我们假设ml啦_1．我们将判断奇点类型的过程归结为以下四种初等变换：(1)当ged(si，n{)=1时，方程(1．1)中的第i个方程z7=五等价为∥=∥(2)方程(1_1)中的第i个方程z≯=五等价为矿=^∥．(3)设^I五，且^=，P片，若n,la。nl，则第i个方程等价于。≯=爿(4)设覆盖在P=(0，0)点的局部定义方程为。}1=xatyh，⋯，2≯=xakyh．其中，gcd(ni，a；，bi)=1．当dd=god(n1，a1)≠1或d。=gcd(nl，0,1)≠1时，设nl=dadb，al=daaI．，61=dbH，覆盖局部定义方程等价于。}=x。iyeX，．．．，露‘=z如“Ⅳ屯6^通过上面四种变化，我们得到定理3．5．用这个定理我们可以直接判断出奇点的类型．然后，我们可利用Hirzebrueh-Jung奇点解消，得到光滑曲面y，y就是y的奇点解消．下面我们来计算矿上的基本不变量x(p矿)和K善．K上只有Hirzebruch·Jung型奇点，因为它是有理奇点，所以x(or,)=x(ov．)而由推论V我们可得到x(ak)的计算公式．4 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用因为知道分歧轨迹及其分歧情况(定理In)，我们可以利用Hurwize公式K≥=矿丌；(‰+孵，)+j岛来计算K；，其中％是HiIzebruch-Jung奇点解消的不变量，有现成的计算公式(参见[531"[54】或者参见第三章第四节)．所以，最终可计算出砩．为r的计算公式参见第三章第五节．因此，我们解决了Abel覆盖基本问题03-(v)．利用所建立的Abel覆盖的方法，我们得到了下面几个有趣的应用，这也佐证了我们方法的有效性．第—，我们构造了82个新的一般型代数蓝面，他们的不变量满足砰=3c2．对于一般型极小曲面x，有Miyaoka-Yau不等式，日≤3c2．根据丘成桐的著名结果(【61])"当日=3c2时’曲面是二维球的商，即x=B2／r，rcAut(B)，P在B2上有自由作用．因此，我们的瞳面都是球商曲面．球商曲面的构造在代数监面的发展史中起了重要作甩在上世纪80年仡这个问题吸引了大批代数几何学家的注意．在1980年，Mostow和萧荫堂(E42】)构造了一族不变量满足2c2≤碍≤2．942co的曲面，这些曲面是C2上对称区域的商，它不同构于单位球怎么用代数几何的方法构造球商曲面是一个具有挑战性的问题．事实上，在19世纪，球商曲面的存在性已经隐含在Pica“i(【46】，[47】)的超几何函数的论文中．根据Deligne和Mostow【13】的计算结果，这些超几何函数对应了102类球商曲面．这些曲面理论上都可表示为射影平面俨的有限覆盖，其分歧轨迹为下图构型．I遗岛够1983年，Hirzebruch找到了4个这样的有限覆盖的例子，它们都是Kummer覆盖曲面，它们分歧在上图的6条线上．利用Abel覆盖，我们发现俨上的82个Abel覆盖曲面也是球商曲面，部分曲面的不变量和已知的曲面的不变量不同．所以，这些曲面不同构与已知的曲面．G塞82个曲面之间是否有同构暂时还不知道．)对于Hirzebruch的球商曲面的例二j气其不变量的计算也是很复杂的，特别是其不5 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用规则性q的计算．很多人都是通过计算其分歧轨迹的补集的基本群等方法来计算．比如，Ishida([349，Libgober([36】)，左康([62】)和Hironaka([249．但是基本群计算十分困难．Ishida的文章[34】和Hironaka的书【24】的主要内容都是计算这4个曲面的不正规性q．谈胜利的文章[50】的主要部分也是计算Abel覆盖曲面的不正规性q．利用本文的结果，我们有一般的公式可直接用来计算Abel覆盖曲面的不正规性q．第二，用所建立的Able覆盖的方法，我们对典范映射是到俨且次数至少为4的Abel覆盖的曲面进行了分类．特别地，我们发现了4个典范次数是16的新曲匝『，这是目前所知道的典范映射次数最高的曲面的例子．由于Kodaira和Bombieri等的工作，一般型曲面x的多重典范映射‰K：X一+p“(n≥2)性态已经很清楚．然而，典范映射．pK反映了曲面x更多的特性，但也更难研究．一般型曲面的典范映射的次数可取到哪些正整数，一直以来，这都是很一个有意思的问题．1979年，Beauville[2】利用Miyaoka-Yau不等式，证明了典范映射的次数最多不超过36．典范映射次数为36，当且仅当Pg=3，K2=36，q=0，l取l没有基点，典范映射的像为俨．当‰≥30对’典范映射的次数最多是9．1986年"肖刚更进一步证明了当pg(X)>187时"典范映射的次数不超过8．典范映射次数为2，4，6，8例子的构造是容易的，有无限个这种曲面．1992年，谈胜利构造了典范映射次数为3，5，9的曲面．1996年，Casnati【10】{勾造了典范映射次数是5，7的曲面．Pardini([459也用不同的方法构造了典范映射次数为3，5的曲面，其中，典范映射次数为5的例子和谈胜利的例子相同．目前所知道的曲面的典范映射次数最高为16．最早的例子是Persson于1978年发现的，它依赖于特殊的Campadelli曲面的存在．因为当典范映射次数高的时候，其像为舻．所以在本文中，我们考虑舻上的典范映射是Abel覆盖且次数至少为4的益面，我们证明，此时典范映射的次数只能为4，6，8，9，16，且典范次数为16的曲面共有4个．第三，亏格g≥2的曲线x的Abel自同构群G有精确上界IGl≤49+4，这个结果是经典的．在本文中，我们发现了经典不等式IGI≤49+4的新证明．我们的证明还给出了1Gl≥49一4时曲线的完整分类．研究自同构的界一个重要原因是因为它与模空间和Teichmuller空间有关系．我们知道对于任意的有限群G存在一个亏格g≥2的紧黎曼匝x，使得G是x的自同构群(【5】，【219．在19世纪柬Hurwitz证明了亏格g≥2的紧黎曼面的自同构群的阶是有限的，不超过84(g一1)，而且这个界是可以达到的．几乎同时Wtman证明了衄线的循环自同构群的阶的上界为2(29+1)，这个界也是最好的．1981年，Maclachlan证明了曲线6 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用的Abel自同构群阶的上界为幻+4．且对于几个给定的Abel群’他给出了以这个群为Abel自同构群的曲线的最小亏格．曲线的自同构群的阶数，在多大程度上决定了这个曲线是个很有意思的闻题．一般的情形，这个问题是没有办法解决的．当lGI≥49一4st,我们给出了曲线x的完整分类．很多人试图把Hurwitz的关于曲线自同构群阶的上界这个经典结果推广到更高的维觌肖刚在【56]中找到了曲面自同构群阶的上界为422Ⅳ2．当K2≥140st,曲面Abel自同构群的上界为52K2+32．但这个界离精确的界还很远．这也是我们希望研究的问题§1．2主要结果本文主要包含的八方面的结果：1)有限Abel覆盖的定义数据的确定，2)有限Abel扩张的整闭包的计算，3)有限Abel覆盖的分歧轨迹的确定，4)有限Abel覆盖的奇点解消，5)有限Abel覆盖的不变量的计算，6)新球商曲面的构造，7)典范映射是胪上的Abel覆盖的曲面的分类，8)具有高阶Abel自同构群的曲线的分类本文主要研究Abel群G=‰，o⋯ozn。对应的Abel覆盖7r：Y—x，其中。X是光滑代数簇，y是正规的．首先，我们证明了任意的Abel覆盖都可用一组标准数据来定义．定理I．I．任意Abel覆盖，r：Y—X都由关系式DIinlLI，⋯，DkimL々7(1．3) 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用来定义．其中，L；是X上的除‘于，D。是有效除子．具体的，如果D。由整体截面^∈Ho(啦厶)定义．则y由下面一组方程定义露1=^，⋯，《‘=A即y是方程(1．4)定义的代数簇的正规化(1．4)给出了Abel覆盖的定义数据后，Abel覆盖的正规化计算可归结为唯一分解整环的Abel扩张的整闭包的计算．定理1．2．设R是唯一分解整环，包含“1，⋯，n女次单位棍且R的特征eharR不整除nl·一nk．环A=剐01，·一，dd是R的Abel扩镌Q≯=厶i=1，·．．，岛即A兰R[zl，·一，z≈】／(。?1一^，·一，瑶。一^)设B是A在其分式域Kbl，·．．，n11上的整闭包，那么，环B是自由R橇生成元为卜尚卜一洲∈G)．方程(1．4)定义的分歧轨迹由下面的定理确定．定理1．3．设P是X中既约的，不可约的超曲面．用卢=it-1(P)记作P在Y上的既约原像，设ai是P在D。=div(^)中的重数．则矿P：掣户，(1．5)dP-gcd(ICl邝I罢，⋯朋l詈)(1．6)为了后面的叙述方便，我们引进两个记号：D。=∑基lD{，其中B为覆盖的定义数据，D”=∑PdpP，P取遍以的所有索除子．下面的定理给出任意点上的分歧情况．事实上，我们可以假设分歧轨迹上只有通常二重点．8 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用定理1．4．设7r：Y—x是曲面的Abel覆盖，不妨假设，r在P=(0，0)点的局部定义方程为则P点的原像的个数为留‘=扩1Yh，·一，露‘=xakybl,(1．7)d=p(蚓，罢，掣)旧Ⅲ辟，)ns，我们知道y的奇点都是7r的分歧轨迹上奇点的原象．通常我们对覆盖定义的奇点可做如下的典范解消．y=％oM上．．．上K上矿卜ml--⋯i“卜x=‰一墨一⋯一墨一贾口l以o-r其中，以是对死一l的分歧轨迹的奇点鼽一1做的爆发．毋是p{一1产生的例外曲线，最是E在墨中的完全原象．K是K—l和五的纤维积的正规化，即M=K一1×咒．经过有限步后，可以使得丌r的分歧轨迹只有通常二重点．理论上，当“的分歧轨迹只有通常二重点时，K上只有Hirzebruch-Jtmg奇点(参见【4】)．上图中的q是Hirzebmch-Jung奇点解消．根据下面的定理，我们可以直接确定K上Hirzebnmh-Jtmg奇点的类型．定理1．5·假设‰h一1，1≤i≤岛d如(1．8)式定二已gcd(nt，啦)=gcd(ni，屯)=1，覆盖由方程(1．7)定义则n)当gcd(nl坐j皿)=n1时，曲面在p=(o，o)上光滑．6)当ged(n17虫-j业)=堡L二孑丑时，奇点同构于d个相同的奇点，它们都同构于下面方程定义的奇点?"m：扩1yta笠产．定理1．6．假设nilm一1，n／=I-IJ妒是素分解，gcd(ni，吼)=叱=1-I劣“，J9gcd(nl，兢)=氐=Ⅱ一， 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用由方程(1．7)定义的奇点同构与d个相同的奇点，它们都同构干下面方程定义的奇点W“=xy”一口其中，d如(1．8)式定兕n=i忐=Hjg’，q满足下式矛bl+万alq；。mod《=堙．∥。舻⋯⋯1“’根据正规化的计算和分歧轨迹的计算，我们有定理1．7．(Ox-模的结构J设7r：Y—X是由方程(1．4)定义的覆．毛则以。V=g。EG。x(一圭吼厶+[圭爱。；]J)．＼t=lLl=l‘／利用Riemann-Roch定理，我们得到下面的推论推论-工假设x是光滑曲氲-L9=-；。giLl+[z÷=l皿rtt。t]．则x(OY)=lGl·x(Ox)+∑：(￡；+L。Kx)．gEG因为分歧轨迹已知，利用Hurwitz公式，我们得到基本不变量Ⅳf的计算公式．定理1．8．令盯孙crr·盯1，7．=rr···7"1，庐=卵L则其中，tl2multimDq，red，民=multiAD“，也=multiE,Dm嘶叫”‘一‘Kx+D。,red--同1。”)+杨‰=矿《f，∑警，《目是Hirzebruch-Jung奇点的解消(卜。一小卅)毛)+％作为Abel覆盖的应用，在第四章中，我们构造82个一般型曲面，他们满足碍=3c2．且我们给出了曲面的不正规性的计算方浅以其中一个为例．如果假设曲面K是俨上的z5oz5oz5覆盖，分歧在下图的构型上．10 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用I遗B够曲面％由下面的方程定义：z}=1114lsl4z：f6，露=枣2f3瑶f5坫，露=flf2f34Ⅲ5‘62．X一俨为爆发俨上4个三重点．曲面Y：Yo—x—芦X，由定理1．5可知，Y光滑K—ylzi一胪卜_X由推论3．8和定理3．9，我们得到曲面y的不变量为：x(OY)=25，碹=225，研=9X(Oy)，xt∞(Oy)=75，q(Y)=6．因此，曲面y是新的球商曲面．同日寸，我们给出一种曲面的不正规性的一般计算方法．由推论3．8，因此。Ⅳ口(矿)=g(K)=∑h1(-L。)．i=1又因为矿(一岛)=0，(g≠o)，由Riemann—Roch定理，h1(-L9)的计算等价于计算h2(-Lg)=胪(Ko+岛)．而实际情况下，这很容易计算．第五章是Abel覆盖在典范映射方面的应用，对典范映射是到俨的次数至少4的Abel覆盖的曲面进行完整分类；且给出了具有奇数次典范映射的曲面的定义方程，简化了谈胜利先前的工作．本章的主要结果是：0L—bp，o：l=ypn 堡壅堡垄奎堂堡圭篁塞童堡堕里玺壅差丝苎鏖里定理1．9．设X满足pg(X)=3，醍；d≥毛1Kx|没有基戌妒=妒蹑：X_舻，毛4bel覆盖．则d只可能取4’6，8’9，16中的一个(o)当d=16时，曲面X可分4类，它们的定义方程如下，其中啦是1次弃次多项式．(1)霜=o102n3a7，考=a4a5a6a$，zl=02a50,70,$，司=asaeoaas·(2)z}=01020304奶a6aTa8，霹=a2asa6as，鼋=a3a6aTa8，盔=aaasa6a8·(3)右=0104研08，露=a2asaTas，磕=a3a6a7a8，zl=a4asaTa8．(4)z}；n105n6a7，鼋=oaasaeas，舞=(t3asaTa8，盔=a4aeaTa8．(6)当d=9时，曲面X可分3戋它们的定义方程如t其中al是2次齐次多项式·(1)右一0102，鼋=ala2a3．(2)霜=ni‰鼋=a]a3．(3)留；n-ni，鼋=n2胡．(c)当d=8时，曲面x可分7戋它们的定义方程如下，其中ai是2次齐次多项式-(1)z}=ala2，(2)看=ala2，(3)霹；ala4，(4)z}=ala2，(5)z}；ala2，(6)彳=ala2，(7)右=ala2，孝=ala3，秀=tzla2a3a4．孝=a2a3，霹=ala4．孝=a2a4，考=a3a4．孝=n3lu23％2．孝=ala,2a3．霹=ni罐．霹=谴03．(d)当d=6时，曲面X可分2冕它们的定义方程如t其中啦是2次齐次多项式·(1)z}=叩3⋯4吩5(2)z}=ala2，麓=02n备(e)当d；4时，曲面X可分3戋它们的定义方程方程定义如下’(1)≯；ni02，a1是2次齐次多项式’a2是4次齐次多项式·12 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用(2)右=nln各霹=n2，az是4次齐次多项式．(3)z}=01，鼋=0,2，啦是4次齐次多项式．在第六章中，我们首先给出了经典不等式IGI≤49+4的新证明．特别的，我们对IG}≥49—4时曲线做了完整分类．本章的主要结果是：定理1．10．设C是亏格9≥2的曲线，G是e的Abel自同构琵设商映射G—c／a的分歧点为z1，⋯，zr．如果JGl≥幻一4，则c／a垒p1，IGl≠49+3，49—3，且我们有(1)当lGl=49+4时，有且仅有以下两种情形出现?(Ⅱ)g=3，曲线c由下方程定义?彳=(卫一z1)(。一z3)3，孝=(z—z2)(z一￡3)3．(b)g≥2，曲线G由下方程定义?彳=(。一z1)(。一曲)，z尹+2=(z—z2)(z—z3)29+1(2)当1Gl=49+2时，有丑仅有以下两种情形出现?(n)9≥2，曲线G由下方程定义?彳=(z—z1)(z一黝)，乏叶1=(z—z2)(z—z3)幻(b)9=4曲线G由下方程定义：右=(z—z1)(。一鼢)2，鼋=(。一X2)(z—X3)5．(3)当IGl=49+1时，9=6，曲线c由下方程定义?罐=@一z1)0一z3)4，罐=(：17一X2)(x一％)4．(4)当fGl=幻时，9=3J曲线c由下方程定义?霜=(。一z1)(z一鞠)2，之=(z—z2)(z一粕)3．(5)当lGJ=49—1时，有且仅有以下两种情形出现?13 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用(n)g=生曲线G由下方程定义：右=(z—z1)(z一如)2，薯=(z—X2)(X—z3)4．(b)g=7J曲线e由下方程定义：2}=(z—X1)(z一船)2，鼋=(z—z2)(z—z3)8，(6)当IGI=49一2时，g=2，曲线G由下方程定义?z}=(X—z1)(z—z2)，霹=(z—X3)(z—q)2，很自然的，我们得到以下推论：推论1．2．当lG【≥49一4吨除了lGI=49+4，49+2外，亏格g都有界本文的创新之处是我们用了一种新方法研究Abel覆盖，即从它的标准定义方程出发，使得关于有限覆盖的难点问题归结为Abel扩张的整闭包的计算．我们用了一个巧妙的方法计算出这个正规化，使得Abel覆盖的其他问题迎刃而解．另一个创新点是我们找到了Abel覆盖曲面的不正规性的一般计算方法；发现了一批新的球商曲面；找到了典范映射次数为16的曲面的新的构造方法．并首次对具有高阶Abel自同构群的曲线作了分类．14 第二章有限阿贝尔覆盖很多人从不同的方面用不同的方法来研究Abel覆盖．比如，Libgober【36】用基本群的方法来研究Abel覆盖；Pardini从环的结构来研究Abel覆盖．，r：X—Y=x／c是Abel覆盖"对于任意的群G的特征配用Lil表示仉(ox)对应于x的特征层．7r的分歧轨迹的每一个分支对应一个惯性群日和特征妒．H是G的循环子群．Dn,∞表示所有对应相同惯性群日和相同特征妒的分歧轨迹的并．则{k，Dn．,p}定义了Abel覆盖若x正规，则对G的所有特征x和x’有，L。8以譬L。r固(8Ep仇(D备．口))，其中￡取0或1，依赖于x，x7，H和妒．反之，对于任意一组数据{k，DH，∞)满足上面的等式，就唯一的定义了一个Abel覆盖7r：X—Y=X／G，且在同构意义下是唯一的．这些关系式很多，也很复杂．即使是z2022定义的覆盖的判定也十分的复杂．所以虽然她给出了覆盖的定义数据，但是覆盖的奇点解消和不变量的计算不容易得到．故我们要找到一个更简单的方法来研究覆盖，使得关于Abel覆盖的基本问题能够解决．用覆盖的定义方程来研究覆盖是一种很自然的方法．但是用定义方程来研究覆盖的重要困难是方程定义的曲面一般不是正规的，正规曲面的定义方程个数很多，也很复杂，所以我们要计算曲面的正规化，这也也是本文的难点之一．Abel覆盖的等价定义；(1)Abel覆盖是一个有限态射71"：Y一咒x光#乳，，是正规的，存在一个y的一个有限自同构群G，G是Abel群，使得X=z／G，”是对应的商映射．(2)函数域扩张K(Y)／K(X)是G-alois扩张，且Galois群G=Gal(K(Y)／K(X))是Abel的．(3)任意的Abel群G=Zn。o···0z％定义的覆盖7r：y—x可以由满足下面关系式后个有效除子Dl，⋯，占k和％个任意除子L1，⋯，‰来定义．D1三”1￡l，⋯，DkEnkLk．(2．1)(4)设五≠0是Ox(niLi)整体截面，是有效除子D{的定义方程，即D。=div(f,)，则y是代数簇E正规化后得到的曲面．∑有下列等式定义贯1=^，·．．，露‘=^．(2．2)"r是正规化y一∑和自然的投影∑一x的复合．由上面的等价定义可知，(2．1)是Abel覆盖7r的定义数据，(2．2)是7r的定义方程．下面我们证明这几种定义的等价性．15 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用§2．1阿贝尔覆盖的定义方程X上由群G=Z。。o⋯oz凡。定义的Abel覆盖由X上除子的后个线性等价关系式来定义．D1§haLl，·一，Dk=ni,Lk，其中D1，⋯，D≈是有效除子．设厶=Ox(Li)，则Di=oiv(／,)是非零的整体截面五∈Ho(x，￡≯)定义的除子．用这组数据，我们可以构造由群G=zn，0⋯o‰。定义的Abel覆盖7r：Y—X．用y(厶)=Specs(厶)来记层￡t对应的线丛，其中S(C，)是厶的对称Dx代甄设≈是v(c。)的纤维坐标，也就是矿厶的整体截面，其中，P是从矿(厶)到x的投影．因此，我们得到P‘C，的多项式截面．考虑由露1一^=0，⋯，帮一^=0定义的子簇∑CV：=v(c1)o⋯oy(岛)．则正规化y一∑和线丛的投影的复合就定义了一个由群G定义的Abel覆盖7r：Y—X．(2．3)是Abel覆盖”的定义方程．相反tg,我们可以证明任意的Abel覆盖7r：Y—x能用这种方式构造．设G是一个Abel群．假设y是正规的，G=G1×⋯×Gr，其中G{是m阶的循环群．下面的定理是在Abel域扩张的一些结果的基础上得到的(见【35】，PP．300-355)．定理2．1．任意群为G=Znle-··oZ“的Abel覆盖7r：Y—X都由下列关系式DI兰niLl，⋯，Dk兰nkLk来确定，其中，n为X上的有效除·于，厶是X上的除子(2．4)证明：设矿：F=c(x)一K=c(r)是函数域扩张．则K／F是阿贝尔Galois扩张．玩=G1X⋯×G。一1×{1}×Gl+1⋯XG，，和尬=Kn,．则甄是，的Galois扩张，且Gal(K／F)兰v／啊兰G，是m阶循环群．并且有，K+1n玩⋯K=F，和K=Kl⋯坼16 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用因为CcF包含所有的单位根，域扩张K,／F由一个元素巩∈K＼F生成，且巩∈心＼F满足下面的式子：印=7r’啦，吼∈E即K=Fpt】．所以有K=j^··-』0=Fpl，·一，啡】．现在假设L。是X上满足下式niL。+Div(a。)≥0．的最小除子．设cl=Ox(L，)，则毛是由岛的非零有理截面以定义的除子．现在’分别考虑c，和丌l厶的截面，^=啦缈，玩=rc*gi．吼由厶的选取方式"我们可知^∈Ho僻，c=I‘)．晚是矿c，，i一1，⋯，r，的截面．我们有瓦”=矿(^)，．一，瓦”=矿(，r)．(2．5)由这些等式，我们可知当瓦；矿∽)仇看成矿厶在y上的截面时没有极点．故玩∈仃o(y"矿C；)．另一方面我们用肌：V(Li)一x记作厶对应的线2A．≈∈Ho(y(L。)，瑶ci)是V(Li)的纤维坐标．设V=o{矿(厶)，和：=(Zl，⋯，磊)．则截面斧一矿五∈日o(y’矿￡≯)的公共零点集定义了一个子簇(有可能不是正规的)．∑CV是由群G定义的x的Abel覆盖血面，pIE：E—x．简单的来说，∑是由下列y中的等式定义。露1=^，⋯，矿=，r．(2．6)0=(0x，⋯，0，)定义了线丛歹：eV0r+c{)一Y的截面，它是基变换7r：y—x下，P：V—X的线丛的拉回．eV(月-‘￡I)—三一yF|t歹F／fpy—一X所以，”能提升成映射”=膏。石：Y--+V．局部上，”(Ⅳ)=亓(Ⅳ，巩Ⅳ))=(z(Ⅳ)，敢Ⅳ))，p(Ⅳ)的纤维坐标是目(口)，也就是，作为截面有。(v(Ⅳ))=o(u)和矿(z)=0．因此，(2．5)是(2．6)在矿下的拉回，也就是，盈p白))”=，l(”(Ⅳ))，⋯，磊(v(Ⅳ))”=，r(丌白))．(2．7)17 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用因此p的像显然是∑，∑(也许不是正规的)是x由群G定义的Galois覆盖．故双有理有限映射p是E的正规化，且7r：=PO∥．§2．2阿贝尔扩张的正规化计算整闭包(或者整闭包)是数论，交换代数和代数几何中的基本问题．在代数数论中，对应着求z上有限扩张的整基；在交换代数中，就是求整闭包；在代数几何中，就是求一个覆盖的正规化也是一部分奇点解消．整闭包的计算(或者正规化)是代数几何中很有力的工具．一个很重要的应用就是它可以用来简化定义方程．比如说，考虑正规化，很多射影簇可以用一个方程来简单定义，这样可以能有效地研究射影簇．z上的二次扩张的整基的计算是经典的结果；1899年，Dedeking给出了三次扩张的整基的计算公式；1981年，G．Frei给出了z2ez2扩张的整基的计算公式；2000年，王昆鹏和张宪科给出了z2oz2oz2扩张的整基的计算公式；三次域扩张的整闭包的计算由A．A．Albert在1930年和Shapiro-Sparer在1991年给出；对于一般扩张，1937年，A．A．Albert给出了计算整闭包的计算方法，但是没有给出一般的公式．R上的二次扩张的整基的计算是众所周知的；循环扩张的整闭包的计算公式是Esnault和Viewheg给出的；1983年，Catanese给出了z2022扩张的的整闭包的的计算公式；2000年，谈胜利给出了三次扩张的整闭包的的计算公式；2004年，谈胜利和张德棋给出了B-J扩张的整闭包的计算公式；对于一般扩张，Stolzenberg，Vasconcelos给出了计算整闭包的计算方法，但是没有给出一般的公式．所以，给出Abel扩张的整闭包的计算公式有利于我们更好的研究Abel覆盖．设R是唯一分解整环(UFD)，K是R的分式趣屯^，⋯，厶∈R．考虑多项式环R[zl，⋯，缸】中的尼个多项式pi(z1)=∥一，{，i=1，⋯，k设(nl，⋯，n^)是一组棍即Q≯一五=0，则A=R[cq，·一，ok]垒R[zl，·一，zd／(z?1一^，·一，名‘一^)在下文中，我们假设A是整环，对于任意的i，R中包含所有的n。次本原单位根，也就是沈扩t=1在R中有n{个不同的根．在这种假设下，冗的特征不能被n1···nk整除．本节的耳的就是要找环A在它的分式域K[at，⋯，ak】中的整闭包口．记号：口／目来表示≤8／t的最大整数．18 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用如果对于任意的i，0≤gi惕P是素托d=P’．曲面Y由方程(3·3)定义·则(1)当gcd(ni，锄／回；啦时，曲面P=(O，0)点光滑．(2)当gcd(n；．，砌／d)=n2／d盹奇点同构于d个相同的奇点，它们都同构于下面方程定义的奇点?。等：∥∥．"q=∥扩．证明：经过下面的双有理变化，，：y=k{zl，砘，z，9}／，一眦一k{zl，Z2，tl，t2}／JzP_￡}1g一￡}1方程(3．3)定义的奇点等同于下面方程定义的奇点，一=≠f≠；，穿=t7电孝电因为gcd(nl。al61)=1，nl=pn，则屯，和dh中，必有一个等于1下面，不妨假设如。=1，则方程可变换为，z}：￡1￡乎一n，学=苟’。西·￡}出z一扣‘一。’。电，方程分裂成d1=gcd(n2，n"a2dbl，62d∞一(啦一q1)a2dbl)=ged(n口，n162一0261)个覆盖，每一个覆盖同构于下面方程定义的覆盖．。}硝。扎矛：。产t产挚类似于定理3．5的证明，上面方程同构于下面方程定义的曲面，聋；#。91～，孝：如．经过变量代换，得到下面的方程：，：“≯铲，孝确32 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用孝；￡。定义的覆盖是光滑的．所以，只需要解消：乎：￡l芝孛．故，当god(啦，n2／d)=啦盹上面的曲面是光滑的．当gcd(啦，砌／d)=砌／d时，曲面局部同构与下面方程定义的曲面。警：∥∥．"q=矿Ⅳ。．当db=1时，同理可证明引理3．7．假设m=pri，n>n仙P是素数，曲面l，由方程方程(3．4)定义，则(1)当god(啦，Ⅱ；k-21m／d)=啦吨曲面P=(o，0)点光滑．(2)当gcd(前，Ⅱ譬％／d)=Ⅱ。k：-21nUd时，奇点同构于d个相同的奇点，它们都同构于下面方程定义的奇点?如吨d／Ⅱ甚n‘=z一剪y．证明：类似于前面的证明可得．引理3．8．设n=prl砑⋯p≯，gcd(n，口)=dd=pil堙···盼，ged(n，b)=如=p}磅⋯p争，n=daat,b=d6以n=比d6∥，则‰飞=oJ1≤i≤k．由方程扩=扩矿定义的奇点正规化后和下面方程定义的奇点相同．其中，m满足面1：疗扩(ni刊，⋯”穸：∥芦喊刊兰+等iorood《砖。∥一。”。证明：如果两个奇点定义相同，则上面的变量必须满足下面的式子，挲。+掣；⋯d∥即E薹．I。I,Gt7竖<。oa+譬《一m)也)；。mod∥·噶。Ⅱ僦=∥dm三＼、●／。吩Ⅱ庸吼3．3m+孝Ⅱ傅／¨＼≈呻孝Ⅱ嘞明。∑!i证要即 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用即解得∑Ⅱn：(qⅡ孝+(n：一q,)IIp?)；o{=lI≠J＼J≠’J≠l／所以，我们只需要证qⅡ考+(《一哦)n疗；0mod《，≠4J≠tqⅡ孝一吼Ⅱ巧ej；0mod《j≠oJ≠。又因为∥q+6，E0roodn，所以有刍+雾=。moa《．定理3．4．假设n21nl，奇点同构于d个相同的奇．最，它们都同构于下面方程定义的奇点?"“=xy”一q．舯mⅫld／n2daz“硝足务+斧-omodnlt·证明：假设他=Ⅱ名l∥，d。=I瑶1巧“，db,=Ⅱ‰l皆．由引理3．8，曲面奇点等同于下面方程定义的奇点．罐“；捌“yp?2(-itⅧ)耋‘：艚‘矿≯(叱⋯)疆“：硝”旷tt22”]乱-啦1)耋‘：赭‘Ⅳ静(咄一)其中，qi1Jp≯一吼^兀式“；0mod扎，．J手RJ产。假设d=gcd(n1，na，n162一。2b1)=n名lp，，令n=max(O，rl{+一一r豁一81{一t11)，则覆盖同构于”f1：z∥p?-4，⋯，”尹；。妙～．根据前面的定理可知，奇点同构与下面方程定义的奇点"兀匕lp≯=z掣n名1p≯一q《。Ⅱ僦=∥dOm 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用其中q满足兰+筹iorood∥p?。∥一”“定理3．5．假设仇In,一1，由方程(3．4)定义的奇点和与d个下列方程定义的奇点相同"“=xy”一口．其中，n=砑瑞蠹，q满足参+劳；omod《=∥证明：类似于前面的证明可得．§3．4Hirzebruch-Jung奇点的解消和不变量公式介绍Abel覆盖的奇点解消，我们要做一些准备工作．首先我们介绍Hirzebruch型奇点的解消方法．参见[4】．定理3．6．形是下面曲面W={(t￡，，Zl，勿)∈C3；"“=zlaz2b}．的正规化则谚是C2的n次覆盖．～W除了在(0，0)外都光滑．结论如下a)假设d=gcd(n，a，6)，n=口d，d=ad，和b=触则”n一才力=n知-(””一彳右s(；))和形分解成d个覆盖，每一个覆盖都是同构的．6)假设gcd(n，n，b)=1，和dd=gcd．(n，n)，a=add，d6=gcd(n，6)，6=p如，n=口dⅡdb则Ⅳ和U在(0，0)点局部同槐U的局部定义方程如下?U={(Ⅱ，Y1，Y2)∈C3：u”=卯劣)．35 堡垒堡至奎兰堡圭堡苎童里堕墨堡壅耋丝苎壅旦c)设gcd(n，∞=gcd(n，b)皇1，定义整数o0187时，有d耋&在情形(B)中，倒d冬9，且d=9当且仅当码=生q=0JlKxl没有基点，∑是5次曲面，只有有理二重点．仞当Pa≥13时，d≥&47 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用§5．2已有的例子与问题一般型曲面的典范映射的次数可取到哪些正整数，长期以来都是很有意思的问题，也有很多人做过这方面的工作．目前已有的结果如下：情形(A)的例子：(1)d=2，6，4，8，有无限多个例子(2)d=3，5，7，Casnati构造．主要根据d≥3的有限次覆盖的一般结构定理，构造了P(Or2(2)。3o卿z(4))中由Pfafl]ans变换矩阵定义的闭子簇，闭子簇所对应的曲面即为所要的血面．(3)d=9，谈胜利利用z3ez3覆盖构造的，其分歧为舻上的一般位置的3条光滑2次曲线，这些曲线有12个二重点．(4)Persson在[48】构造了典范映射次数为16的曲面，是目前已知的典范次数最高的曲面的例子．其构造方法如下：曲面y是Campadelli曲面，即曲面满足砖=2，Pg=q=0，12Kyl无基点．取光滑曲线C∈12．}fyl，则C是偶除子．故可以定义一个二次覆盖．x是曲面Y的二次覆盖．则deg(妒K．)=16定义了妒蜥：X一俨的16次覆盖．情形(B)的例子：(1)d=2，Beauville[2】，Catanese[9]，valltierGeer-Zagier[20】分别独立地构造了d=2的例子在1984年，Beauville构造了无限个直线峨=6x(Ox)一8(q(X)=2)上的越面满足d=2(参考【7】)．(2)d=3，5，谈胜利[50]和Pardini[45]分别独立地构造了例子．虽然两人用的不同的方法构造，但是d；5时，两人的例子是相同的．下面给出谈胜利[50】构造具有奇数次典范映射的曲面的方法(1)典范次数为3的瞌面的构造．取庐上的3个一般点，每3条直线通过其中—个点．记这九条直线为1；，114因为A1+A2+As￡3矗，我们可以构造了3次Galois覆盖7r1：∑一P．在∑上有27一轨的A2型奇息因为A2型奇点是3可除的．则矗：咒一∑1是由这些奇点定义的3次循环覆盖．可以证明x1是光滑的．一诱导了三次循环覆盖7r：X一∑分歧在27—3n个奇点上．这样构造出来的曲面x是典范映射为3次的曲面．Xp翌一X1l以l《E-∑1l以P与庐(2)典范映射次数为5的曲面．取俨中5条一般位置的直线Al，⋯，如．我们构造下面的5次循环覆盖丌1：∑一护，很容易看出E是矽中有10个也型奇点的5次曲线．丌2：x—E由这10个山型奇点定艾曲面x即为具有5次典范映射的曲面．和典范映射有关的还未解决的问题：49 兰奎塑壅奎耋堡圭篁塞童堡堕里玺壅薹里苎壅里(1)典范映射次数为d>16次的覆盖例子是否存在，能否构造．特别的d=36的是否存在．(2)(肖刚猜想：)当P9》0日寸，典范映射不可能是3次的(3)(肖刚猜想：)当d=3盹K2≥4p9—12．本章的主要目的是讨论当典范映射是Abel覆盖时，哪些次数可能出现，并做分类．下面我们主要讨论最有意思的d=36的一般情形．引理5．1．设妒：X—P2是36次的有限映她f砂当妒是典范映射时，有‰Ox=∞oEo％(一4)其中E是秩为34的向量丛，且满足Ev皇E(4)和Ho(E(1))=0．佗，若向量丛E满足条件E。鲁E(4)，Ho(E(1))=0’当且仅当妒K。=妒证明：设岛是妒。Ox=巴切oEo的迹自由的部分．由相对对偶定理。妒．ux兰(妒。Dx)V8“巾2又因为cox=妒’(￡抽(1))，由射影公式，LOp=(1)oeo(1)垒翰(一3)o尉(一3)．则eo=Eoop。(一4)，且E”=E(4)(2)的证明：由假设，妒。(cox圆妒‘e)p(一1))=妒。coxooP2(一1)=(npx)⋯圆“舭oe，P2(一1)=(∞oEo嘞(一4))”@翰(一4)=(∞oEVo∞(4))圆翰(一4)=％(一4)oEo∞睇：(一4)oEooP2有非零的整体截面，所以，uxo矿a切(一1)也有非零的整体截面·也就是说，存在一个有效除子Z，使得ux=矿H+z．因为3=％≥舻(矿H)≥3，则有护(∥H)≥3． 堡茎堕蔓盔里竖±硷塞宣堕堕里玺壅董垄基壅旦IKxI=妒HI+Z，则有，酸=Kxfio+日+Z)=Kxqo‘H-t-KxZ=(p。日)2+【p。HZ+KxZ=36+妒‘HZ+KxZ≥36=9(如(x)+1)I扫Miyaoka-Yau不等式，鲰≤9x(Ox)，所以有Kx=9)[(Dx)．即有(矿H)Z=0，KxZ=0．因此，z只可能是一2曲线的组合但曲面x上没有一2曲线．所以有，JKxl=IP+IMI，妒胀=妒．f=r妒=妒．§5．3典范映射是阿贝尔覆盖的曲面的分类在本章以下内容中，我们设deg妒Kx=d，聩=d，pg(X)=3，q(X)=0IKxI没有基点．因此，妒=妒≈x：X_俨是有限覆盖．且Kx=矿(H)，H是舻中的直线．下面对典范映射是Abel覆盖且31：=proc(u，v，W，t)>u★1【1，0，0，0】+v★l[0，1，0，0】+w·1【O，0，1，0】+t★1【0，0，0，1】>一SUm(SUla(Bum(Bum(iquo(u★j[1】+V★j[2】+w★j【3】+七★j[4】，2)>·x[j【1】，J[2】，J【3】，J【4】】，J【1】=o．．1)，>J【2】=o．．1)，J【3】=o．．1)，J【4】=O．．1)；end；输出的结果为；l：=I”oc(u，口，W，t)u6，0,0，0+vlo，1，0，0+wlo．0，1．0+tlo，0．0，1-(sum(sum(sum(sum(iquo(ujl+t，J2+wj3+坑，2)％，d2,J3J*，血=o．．1)，血=o一1)，矗=o．．1)，^=o一1))endproc53 些壅I师蕉盔堂竖±迨窒查堕堕里堡壅董墨基壅旦再输入>equns：={l(1，0，0，0)=2，1(0，1，0，0)=2，l(0，0，l，0)=2，>1(0，0，0，1)=2，1(1，1，0，0)=4，1(1，0，1，0)=2，l(1，0，0，1)=2，>1(1，1，1，0)=2，1(1，1，0，1)=2，1(1，0，1，1)=2，l(1，1，1，1)=2，>1(0，1，1，0)=2，l(0，1，0，1)=2，l(0，1，1，1)=2，1(0，0，1，1)=2，>flllIn(flunl(8姗(f11．1,hi(j[1】★x[j[1】，j【2】，j[3】，j[4¨，j【1】=o．．1)，>j[2】=o．．1)，j【3】=o．．i)，j[4】=0．．1)=2★1(1，0，0，0)，>8um(8um(S1．1．m(8um(j⋯2★x[j[1】，j[2】，j【3】3，j[4】】，j⋯=o．．1)，>j【2】=o．．1)，j[3】=o．．1)，j[4]=o．．1)=2★1(0，1，0，0)，>8um(B12nl(8llln(8um(j[3】★x【j【1】，j[2】，j[3】，j[4】】，j【1】=0．．1)，>j[2】=o．．1)，j[3】=o．．1)，j[4】=o．．11．)=2-1(0，0，1，0)，>131．1111(flU．m(flunl(8um(j[4】★x[j【1】，j[2】，j【3】，j[4】】，j[1】=o．．1)，>j[；】=7．．1)，j[3】=o．．1)，j【4】=o．．11．)=2★l(0，0，0，1))：输出结果为：Ix．0，0,0=2，lo，1，0．0=2，fo，0．1，0=2，fo．0，0，1=2，X0．0，1．120．zl，1．0,020，z1，1．1，1。0，X0．1，1．12lzl，1，0．120．z1，1．1，020，z1．0．1．121，-"gO，0．0．120Z0，0．1，020，。o．1。0．121，X0．1，1，0。1，zl，0，l，o21Xl，0，0，l=1．X0,1，0，021，。1．0．0．021再输入>emms$．_{1(1，o，0，o)=4，1(o，1，o，o)=2，1(0，0，1，0)=2，>l(0，0，0，1)=2，1(1，1，0，0)=2，1(1，0，1，0)=2，1(1，0，0，1)=2，>1(1，1，1，0)=2，1(1，1，0，1)=2，1(1，0，1，1)=2，1(1，1，1，1)=2，>1(0，1，l，0)=2，1(0，1，0，1)=2，1(0，1，1，1)=2，1(0，0，1，1)=2，>B13．111(BHm(s1．1nl(SUm(j[1】★x【j[1】，j【2】，j[3】，j【4】】，j【1】-o．．1)，>j[2】=o．．1)，j【3】=o．．1)，j[4】=o．．1)=2★l(1，0，0，0)，>8uln(fll,lnl(flll．IIl(13unl(j[2】★x【j【1】，j[2】，j[3】，j[4】】，j【1】=o．．1)，>j[2】=o．．1)，j[3】=o．．1)，j【4】=o．．1)=2★l(0，1，0，0)，>8um(f11．1nl(8硼(B1．1nl(j[3】★x[j【1】，j[2】，j[3】，j【4】】，j[1】=o．．1)，>j[2】=o．．1)，j[3】=o．．1)，j【4】=o．．1)=2★l(0，0，1，0)，>8um(8um(SUm(B1．1m(j[4】★x[j[1】，j【2】，j【3】，j【4】】，j[1】=o．．1)，>j[；】=9．．1)，jt3]=o．．1)，j[4】=o．．1)=2·l(o，0，0，1)}： 竺垄堕蔓查兰堡圭篁窒童里堕墨堡堡董矍苎堡望输出结果为再输入跏，l。o，0=0，lo，l，0,0=2，lo，0，1．0=2，lo，0，0．1=2，XO,O，l，l=0，XO．1，l，0=0，XO，l，0．120，蜘，1，I，1=0。l。1．0，l21，z1，1．1,021，。l，0．1．121，XO．0，0，120跏，0．1．0=0；z1，0,1．0=1，。1．0,0．1=1，z1．0，0,0=111．0，0．0=4，$1．1，1．1=1，。l，1．0。021equns2：={1(1，0，0，0)ffi2，1(0，1，0，0)=2，1(0，0，1，0)ffi2，1(0，0，0，1)；2，1(1，1，0，0)ffi2，l(1，0，1，0)=2，1(1，0，0，1)=2，1(1，1，1，0)=4，1(1，1，0，1)ffi2，1(1，0，1，1)=2，1(1，1，1，1)=2，1《0，1，1，0)ffi2，1(0，1，0，1)ffi2，1(0，1，1，1)ffi2，1(0，0，1，1)ffi2，ltunl(flUlll(8um(fltlnl(j【1】"kX[j[1】，j【2】，j[3】，j[4¨，jn】=o．．1)，j【2】=o．．1)，j【3】=o．．1)，j[4】=o．．i)=2★l(1，0，0，0)，flunl(f11．1．nl(8um(8uln(j【2】★x[j【1】，j[2】，j【3】，j[4】】，j【1】=o．．i)，j【2】=0．．1)，j【3】=o．．1)，j【4】=o．．1)=2★l(o，1，o，o)，8um(8um(8姗(fluln(j【3】★x【j【1】，j[2】，j⋯3，j[4】】，j[1】=o．．1)，j[2】=o．．1)，j【3】=o．．1)，j【4】=o．．1)ffi2．1(0，0，1，0)，isunl(flunl(8硼t{8um(j[4】·x【j【1】，j[2】，j【3】，j【4】】，j[1】=0．．1)，j[2】=o．．1)，j【3】=o．．1)，j【4】=o．．1)ffi2*l(0，0，0，1)}：solve(e(耻182)；输出结果为11，0,0．0。2，lo，I，0，022，lo，0．1，0=2，lo，0，0，1。2，。l，0。1，020，。1，1，0，020，XO，1，1，020，20，1，1，120，。l，1。0，l20，。1，1，1，021，z1，0，1，120，XO，0．0，120，2：0．1，0．121，2；1，0，0，121，XO，1，0，021，。1，0．0，021，。l，1．1，l21，XO,O，1，021，。o，0，1，12l55>>>>>> >equns2：={1(1，0，0，0)=2，1(0，1，0，0)=2，1(0，0，1，0)=2，>1(0，0，0，1)=2，l(1，1，0，0)=2，l(1，0，1，0)=2，1(1，0，0，1)=2，>1(1，1，1，0)=2，l(1，1，0，1)=2，l(1，0，1，1)=2，1(1，1，1，1)=4，>1(0，1，1，0)=2，1(0，1，0，1)=2，1(0，1，1，1)=2，l(0，0，1，1)=2，>fl"LIlTI(8啪(suln(131,ml(j[1】·x[j[1】，j【2】，j[3】，j[4】】，j[1】=o．．1)，>j【2】=o．．1)，j【3】z=O．．1)，j[4】-o．．1)=2·1(1，0，0，0)，>f11．1nl(flunl(。t1．1lll(sum(j[2]★x[j[1】，j【2】，j【3】，j[4】】，j[1】-o．．1)，>j【2】=o．．1)，j【3】=o．．1)，j[4】=o．．1)=2·1(0，1，0，0)，>81．1111(Btlln(g姗(IgLinl(j[3】★x[j[1】，jC2】，j【3】，j[4】】，j[1】=o．．1】，>j【2】=o．．1)，j[3】=o．．1)，j[4】=o．．1)=2★1(0，0，1，0)，>flU．Ill(fillnl(flunl(8um(j[4】★x[j[1】，j[2】，j[3】，j【4¨，j[1】=o．．1)，>j[；】=7．．1)，j】=o．．1)，j(4】-o．．)=2★1(，，，1)}：,t31o>BO．I．"ve【equrls2J；输出结果为；11，0．0，0=2，lo，1，0，0=2，lo，0，1，0=2，lo,o．0，l=2，X0，o"1，120，z1，0，l，020，zl，1．0，020，。l，0，0．120，X0，1．1，0=0，铷．1，0．1=0，zl，1，l。1=0，X0．1，1．1=1，z1．1．0．121，01．1，1．021，Xl，0，1，1。1，X0．1．0．021，01．0，0．021，X0．0，1，021，X0，0．0．121类似的计算可知，deg妒取的曲面只有4个．而且可以得到曲面的定义方程．曲面只笮rA-D-E璺【奇点，则Kx=妒．^和+R=妒。(e抽(一3))+R每一个凰的分歧指数为2，原像的个数为8个因此，矿鼠=∑垒。訾瓦．≤娄c等一-，凰=善(等一·)娄凰风l；l⋯凰＼Ⅵ／；i若(萼一，)争风2荨(t一护皿4H则如=妒。(∞(一3))+R=矿(％(一3))+∥(％(4))=矿(％(1))Ⅳ兰=矿(∞(1))2=16 =矍壅堡壅奎兰堡圭篁塞童堡堕里堡壅苎垦苎堡星§5．5具有奇数次典范映射的曲面的方程本节的主要结果是给出谈胜利【50]构造的奇数次典范映射的曲面的方程．经过计算发现，这些曲面实际上是P2上的Abel覆盖曲面．(1)典范次数为3的曲面．口：P一护是爆发舻上n+3个三重点．7r：X—P是Abel覆盖．"的定义方程为”：右：‘丘毛五毛磊昂乓露，霹=‘毛毛‘2毛2毛2．其中￡是如的严格原像由奇点解消的计算可知，曲面x上至多只有通常二重点．n+3Kp=o-(一3H)+∑毋t=lK]E-=-7／"*G’c一。H，+喜马+(-一j)娄丘)=矿(s。‘c日，一若n+3最)磋=18—3n，￡的正规基：Li，L；则：n+3E=3矿(日)一∑鼠=一郧，如=2HI=lx(Or)=3X(Op)+§日(q-I-Kp)+{％(E"4-Kp)=9一”X的正规基为：L1，L2，L3，L4，L5，L6，L7，L8．n+3Ll=3口。(日)一∑最=一KP，L2=一2Kpt=1L3=3口‘(Ⅳ)一目一2E2一∑最=一郧一历+昂，t----4n+3工4=30"‘(H)一2E2一忍一∑蜀=一坼一日+易，57 堡壅堕薹奎兰堡圭篁奎童堡堕里玺壅堇垦苎壅里L5=3a‘(Ⅳ)一2毋一易一∑E⋯Kp日+目，o=4n+3L6=30"’(圩)一2如一Ej一∑El=一KP+E1一岛，I=4n+3L7=30"‘(H)一2历一E1一∑E=一^，P+岛一岛，#4n+3L8=3J4(H)一2岛一E3一∑E=一KP一玩+最，x(Ox)9x(OP)+∑。；“(L。十KP)9一n因为cr是双有理的，驴，P是光滑曲面．^1(Kp)=hi(一KP)=0，ho(Kp)=h2(一KP)=0我们计算∑，x曲面的不正规性．8口(x)一h1(pP)+∑h1(一L。)l由Riemann-Roch定理，x(邑一易)=0，n+3^2(&一日)=矿(KP—E+局)=hop‘(一aH)一∑E—E+易)．s=l矿(日)(3矿(H)一∑譬E一蜀+马)=一3，SO矿(-au)一∑n。+13墨一巴+马不是有效．则h2(毋一易)；0．如果E—目是有效除子，则}E一日I非空．又因为E(丘一弓)=一1，所以E是固定部分，则一E，有效除子．矛盾．如果胪(邑一易)=0．则^1(最一E，)=0．因为X是光滑的．q(X)=h1(pP)+∑警1h1(一厶)=hI(易一玛)+h1(历一E1)+hx(日一局)十h1(马一E1)+^1(E3一如)+^(E3一日)=0d“q(E)≤口(x)，则q(∑)=0．则踟(x)=码(∑)=8一m所以说，x的赡范映射可以通过∑分解，又因为口是典范曲面．所以，X曲面的典范映射次数为3． 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用(2)典范映射次数为5的曲面．”：x一俨为Z50z5的Abel覆盖，其定义方程为：右=a10203a4a5，霹=al呖2Ⅱ33n：类似可以证叽曲面X为典范次数为5的曲面 第六章具有高阶阿贝尔自同构群的曲线的分类研究曲线自同构阶的界很重要是因为它与模空间和Teichmuller空间的关系．设x是单连通的完备的非奇异的代数闭域k上的代数曲线，Aut(X)是曲线x的自同构群，g=gx是衄线X的亏格．我们知道对任意的对于任意的有限群G存在一个亏格g≥2紧的黎曼面x，使得G是x的自同构群．曲线的白同构群的阶数，在多大程度上决定了这个曲线是个很有意思的问题一般的情形，这个问题是没有办法解决的．当lGl≥49一4时’我们给出了曲线x的完整分类．在本章中，设x，y是曲线，7r：Y—·X=y／G是Abel覆盖，G是Abel群．假设g(X)≥2，覆盖的分歧点的个数为s．设分歧点为Pl，·一，只，只点的分歧指数为e{，则e。≥2．下面不妨假设e1≤82≤⋯≤岛．§6．1曲线的阿贝尔自同构群的上界当chark=0在19世纪柬Hurwitz[3l】证明了当亏格大于等于2的紧黎曼面的自同构群的阶是有限的，界为84(g一1)．而且这个界是可以达到的．几乎同时Wiman证明了曲面的循环自同构群的阶的上界为2(29+1)，这个界也是最好的．Maclachlan证明了Abel自同构群阶的上界为49+4，对于几个给定的Abel群，他给出了亏格的最小值的公式．Maclachlan的方法主要是将这个问题改写成了纯粹的群论的问题．考虑具有紧轨道空间的Fuchsian群r．作为抽象的群，群r能表示如下：(}){z1，X2，⋯，(21，bl，·．．，唧，bzfl一一《1=1，XlX2⋯z，alblallb～⋯町1巧1=1)考虑群r到群G的全纯映射，使得其核也是(+)型的群，且核不包含任意的有限阶的元素．则核对应的r即为以G为自同构群的紧黎曼面x的亏格．因J吆这个问题就转化为考虑对于一个给定的Abel群G，什么样的从群(+)到G的全纯影射，使得其核对应的r的值最小．而这个问题多多少少能用群论的标准方法来解决．能否给定曲线的自同构群的阶数，确定其覆盖定义的方程?对于一般的情形，这个问题是没有办法解决的．本文在G是Abel群这个假设下，部分解决了这个同题．我们给出了以阶数大于等于49—4的Abel群G为自同构群的曲线的定义方程．61 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用56．2具有高阶阿贝尔自同构群的曲线的分类定理6．1．设e是亏格g≥2的曲线G是G的Abel自同构群J设商映射e—c／c的分歧点为zl，⋯，zr．如果lGI≥49一4，则c／c垒砂，lGI≠49+3，49一3，且我们有(1)当|GI=49+4时．有且仅有以下两种情形出现．(口)g=3，曲线x由下方程定义：。}=(茁一X1)(X—z3)3，孝=(X—X2)(z一如)3(b)g≥2’曲线x由下方程定义：。}=(z—X1)(。一z3)，霹9+2=(z—X2)(z—z3)幻+1(2)当IGI=49+2时，有且仅有以下两种情形出现：(a)g≥2，曲线X由下方程定义．：}=扛一z1)0一蜘)，蠢升1=(X一现)0一z3)29(b)g=鸯曲线x由下方程定义：罐=(。一X1)(z—z3)2，罐=(。一物)(z—z3)5(3)当IGI=49+1时，g=6，曲线x由下方程定义．右=(z—z1)(z—z3)4，霹=(z—X2)(z一船)4(4)当lGI=49时，g=3，曲线x由下方程定义．z}=(。一z1)(z一黝)2，鼋=(。一z2)(z一铂)3(5)当lGl=49一1时，有且仅有以下两种情形出现：(a)g=重曲线x由下方程定义：。}=(z—X1)(z一勰)2，鼋=(z—z2)(z—z3)4 华东师范大学博士论文有限阿贝尔覆盖及其应用(b)g=7，曲线X由下方程定义：司=(z—x1)(x—x3)2，之=(z—x2)(x—x3)8(6)当IGl=49一2时，g=2，曲线x由下方程定义．右=0一z·)@一现)，霹=0一z3)0一轧)2很自然的，我们得到以下推论：推论6．1．当lGI≥49一4时J除了IGI=49+4，49+2外，亏格g都有界§6．3曲线阿贝尔覆盖存在的数值条件首先，我们不妨假设覆盖不分裂，设IGI=N=1-ILlM设覆盖的定义方程为毋=Ⅱ名。。，，⋯，铲=Ⅱ釜lz≯则％；∈N，且mJ{<％必须满足下面的方程组：耐(嵩～。，瓦N‰)=》≤阳∑mJ芦0rood％，V1≤J≤k，gcd(Nj，mjl，⋯，mjl)=1，V1≤J≤％，(6．1)(6．2)(6．3)由(6．1)可知，等I苟mJt，V1≤J≤％．可设啄苦=钙哪t，其中嘞∈N．又因为％i<％，所以，有0≤％