阿贝尔范畴上粘合的同调维数的研究 54页

中文图书分类号：０１５４．２密级：公开ＵＤＣ：５１２学校代码：１０００５．．ｆｌＶＧＢＲＩＩ１ＸＩＴＫＫＳＩＴＹＯＦＴＦＣＨＭＯＴ．ＤＧＹＪ硕士学位论文ＭＡＳＴＥＲＡＬＤＩＳＳＥＲＴＡＴＩＯＮ论文题目：阿贝尔范畴上粘合的同调维数的研究论文作者：冯瑶瑶学科：数学指导教师：姚海楼教授论文提交日期：２０１８年６月 ＵＤＣ：５１２学校代码：１０００５：０１５４：１中文图书分类号．２学号Ｓ２０５０６０３９密级：公开北京工业大学理学硕士学位论文题目：阿贝尔范畴上粘合的同调维数的研宄英文题目：ＲＥＳＥＡＲＣＨＯＮＴＨＥＨＯＭＯＬＯＧＩＣＡＬＤＩＭＥＮＳＩＯＮＳＯＦＲＥＣＯＬＬＥＭＥＮＴＳＯＦＡＢＥＬＩＡＮＣＡＴＥＧＯＲＩＥＳ论文作者：冯瑶瑶学科：数学研究方向：代数表不论申请学位：理学硕士指导教师：姚海楼教授所在单位：应用数理学院答辩日期：２０１８年６月授予学位单位：北京工业大学 独创性声明本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果．尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人己经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构的学一位或证书而使用过的材料．与我同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意．签名：冯瑶瑶１日期：２０８年６月２２日关于论文使用授权的说明本人完全了解北京工业大学有关保留：，使用学位论文的规定，即学校有权保留送交论文的复印件：学校可以公布论文的全部或部分内，允许论文被查阅和借阅容．，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文（保密的论文在解密后应遵守此规定）签名：冯瑶瑶日期：２０１８年６月２２日１导师签名：姚海楼日期：２０８年６月２２日 摘要摘要同调维数是研究代数的有力工具之一尔范畴是一类重要的范畴尔，阿贝，阿贝一范畴的粘合是以阿贝尔范畴为基础的种重要结构．，应用十分广泛在本文中我们引进了阿贝尔范畴及其对象的有限表现维数－、表现维数以及ｎ表现维数，并研究了这三种同调维数的性质一，同时进步地研究了在阿贝尔范畴粘合中三个阿贝尔－范畴的．（有限，ｎ）表现维数之间的关系本论文的研究内容主要分成三部分：在第一部分，我们首先引入了有限表现对象的概念，并研究了在短正合列中有限生成对象的性质．其次引入了阿贝尔范畴及其对象的有限表现维数的定义并研一究了其基本性质．进步地讨论了阿贝尔范畴及其对象的有限表现维数的上界，，并给出了对象的投射维数与有限表现维数，范畴的整体维数与有限表现维数的关系．最后我们研究了在阿贝尔范畴粘合中三个阿贝尔范畴的有限表现维数的关，系．在第二部分我们首先引入了阿贝尔范畴中对象有有限ｎ－表现的概念然后，，引入了阿贝尔范畴及其对象表现维数的概念，给出了阿贝尔范畴对象的表现维数与投射维数范畴的表现维数与整体维数之间的比较．其次对于阿贝尔范畴中短，，正合列讨论了Ｃ三对象的表现维数的关系．最后，给出了阿贝尔范畴粘合中三个范畴之间生成子的可传递性，以及三个范畴间表现维数的关系．－在第三部分．，我们讨论了阿贝尔范畴的ｎ表现维数首先给出了阿贝尔范畴－－中对象及其范畴的ｎ表现维数的定义得到了对象ｎ表现维数有限的充要条件．，－同时讨论了对象ｎ表现维数和投射维数的关系．其次尔范畴的短正合，对于阿贝列当Ｐ为投射对象时ＭＫ－表，研究了两对象之间ｎ，现维数的关系，并给出了短正合列中，当Ｐ为投射对象时，＇－ＡＡ两对象之间ｎ表现维数的关系．最后究了阿贝尔范畴粘合上三个范畴之，研，－间生成子的可传递性以及三个范畴间ｎ表现维数的关系．，－关键词：阿贝尔范畴；粘合；有限表现维数；表现维数；ｎ表现维数－Ｉ－ ＡｂｓｔｒａｃｔＡｂｓｔｒａｃｔＨｏｍｏｌｏｇｉｃａｌｄｉｍｅｎｓｉｏｎｉｓｏｎｅｏｆｏｗｅｒｆｕｌｔｏｏｌｓｆｏｒｓｔｕｄｉｎａｌｅｂｒａ．Ｔｈｅａｂｅｌｉａｎｐｙｇｇｃａｔｅｇｏｒｙｉｓａｎｉｍｏｒｔａｎｔｋｉｎｄｏｆｃａｔｅｏｒｉｅｓ．Ｒｅｃｏｌｌｅｍｅｎｔｓｏｆａｂｅｌｉａｎｃａｔｅｏｒｉｅｓａｒｅｖｉｔａｌｐｇｇｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓｂａｓｅｄｏｎａｂｅｌｉａｎｃａｔｅｏｒｉｅｓａｎｄａｒｅｅｘｔｅｎｓｉｖｅｌｕｓｅｄａｓｗｅｌｌ．Ｉｎｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓｇｙ，ｗｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｆｉｎｉｔｅｌｒｅｓｅｎｔｅｄｄｉｍｅｎｓｉｏｎｒｅｓｅｎｔｅｄｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｎｄｎ—ｒｅｓｅｎｔｅｄｙｐ，ｐｐｄｉｍｅｎｓｉｏｎｏｆｔｈｅａｂｅｌｉａｎｃａｔｅｇｏｒｙａｎｄｉｔｓｏｂｅｃｔｓ，ａｎｄｓｔｕｄｔｈｅｒｅｌｅｖａｎｔｒｏｅｒｔｉｅｓｊｙｐｐｆｔｈｅｔｈｒｅｅｈｏｌｉｌｄｉｉ—ｏｍｏｏｃａｍｅｎｓｏｎｓ．Ｆｉｎａｌｌｗｅｓｔｕｄｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｏｆｆｉｎｉｔｅｌｎｇｙ，ｙ（ｙ，）ｐｒｅｓｅｎｔｅｄｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓｏｆｔｈｒｅｅｃａｔｅｇｏｒｉｅｓｉｎｒｅｃｏｌｌｅｍｅｎｔｓｏｆａｂｅｌｉａｎｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ．Ｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｃｏｎｔｅｎｔｓｏｆｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓａｒｅｍａｉｎｌｙｄｉｖｉｄｅｄｉｎｔｏｔｈｒｅｅｐａｒｔｓ：Ｉｎｔｈｅｆｉｒｓｔｐａｒｔｗｅｆｉｒｓｔｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｃｏｎｃｅｔｏｆｆｉｎｉｔｅｌｒｅｓｅｎｔｅｄｏｂｅｃｔｓａｎｄｓ－，ｐｙｐｊｔｕｄｔｈｅｐｒｏｐｅｒｔｏｆｔｈｅｆｉｎｉｔｅｌｇｅｎｅｒａｔｅｄｏｂｅｃｔｓｉｎａｓｈｏｒｔｅｘａｃｔｓｅｑｕｅｎｃｅ．Ｔｈｅｎｗｅｙｙｙｊｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｏｆｆｉｎｉｔｅｌｙｐｒｅｓｅｎｔｅｄｄｉｍｅｎｓｉｏｎｏｆｔｈｅａｂｅｌｉａｎｃａｔｅｇｏｒｙａｎｄｉｔｓｏｂｅｃｔｓａｎｄａｌｓｏｓｔｕｄｔｈｅｉｒｂａｓｉｃｒｏｅｒｔｉｅｓ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅｗｅｄｉｓｃｕｓｓｔｈｅｕｅｒｂｏｕｎｄｙｐｐ，ｐｐｊｏｆｔｈｅｆｉｎｉｔｅｌｙｒｅｓｅｎｔｅｄｄｉｍｅｎｓｉｏｎｏｆｔｈｅａｂｅｌｉａｎｃａｔｅｏｒａｎｄｉｔｓｏｂｅｃｔｓ．Ｗｅｉｖｅｐｇｙｊｇｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｒｏｅｃｔｉｖｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｎｄｆｉｎｉｔｅｌｒｅｓｅｎｔｅｄｄｉｍｅｎｓｉｏｎｏｆａｎｐｊｙｐｏｂｅｃｈｌｉｂｌｌｄｉｍｅｎｓｉｈｆｉｉｌｄｄｉｍｅｎ？ｔａｎｄｔｅｒｅａｔｏｎｓｅｔｗｅｅｎｔｈｅｏｂａｏｎａｎｄｔｅｎｔｅｒｅｓｅｎｔｅｊｇｙｐｓｉｏｎｏｆｔｈｅａｂｅｌｉａｎｃａｔｅｏｒ．Ｉｎｔｈｅｅｎｄｗｅｓｔｕｄｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｆｉｎｉｔｅｌｒｅｓｅｎｔｅｄｇｙ，ｙｙｐｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓｏｆｔｈｒｅｅａｂｅｌｉａｎｃａｔｅｇｏｒｉｅｓｉｎｒｅｃｏｌｌｅｍｅｎｔｓｏｆａｂｅｌｉａｎｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ．Ｉｔｈｔｆｉｒｓｔｉｔｄｕｔｈｄｉｔｉｆ—－ｎｅｓｅｃｏｎｄａｒｗｅｎｒｏｃｅｅｅｆｉｎｏｎｏｆｉｎｉｔｅｌｎｒｅｓｅｎｔｅｄｏｂｅｃｔ，ｐｙｐｊｓｉｎｔｈｅａｂｅｌｉａｎｃａｔｅｇｏｒｙ．Ｔｈｅｎｗｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆｔｈｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄｄｉｍｅｎｓｉｏｎｏｆｔｈｅａｂｅｌｉａｎｃａｔｅｏｒａｎｄｉｔｓｏｂｅｃｔｓ？ｇｙ．Ｗｅａｌｓｏｇｉｖｅｔｈｅｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｐｒｅｓｅｎｔｅｄｄｉｊｍｅｎｓｉｏｎａｎｄｐｒｏｅｃｔｉｖｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎｏｆｏｂｅｃｔｓａｎｄｔｈｅｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｐｒｅｓｅｎｔｅｄｄｉｍｅｎ？ｊｊｓｉｏｎａｎｄｌｏｂａｌｄｉｍｅｎｓｉｏｎｏｆａｎａｂｅｌｉａｎｃａｔｅｏｒ－ｇｇ．Ｎｅｘｔｗｅａｌｓｏｄｉｓｃｕｓｓｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｙ，ｓｏｆｒｅｓｅｎｔｅｄｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓａｍｏｎｔｈｒｅｅｏｂｅｃｔｓＡ５Ｃｏｖｅｒａｓｈｏｒｔｅｘａｃｔｓｅｕｅｎｃｅｐｇｊ：，ｑ０Ａ＾Ｂ＾Ｃ＾０ｉｎａｎａｂｅｌｉａｎｃａｔｅｏｒ．Ａｔｌａｓｔｗｅｒｏｖｅｔｈｅｔｒａｎｓｉｔｉｖｉｔｏｆ＾ｇｙ，ｐｙｇｅｎｅｒａｔｏｒｓｏｆｔｈｒｅｅｃａｔｅｇｏｒｉｅｓａｎｄｉｖｅｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｏｆｒｅｓｅｎｔｅｄｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓｏｆａｂｅｌｉａｎｇｐｃａｔｅｇｏｒｉｅｓｉｎｒｅｃｏｌｌｍｅｎｔｓｏｆａｂｅｌｉａｎｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ．Ｉｔｈｔｈｉｔｄｉｓｔｈ－ｔｄｉｉｆａｂｅｌｉａｔｉｎｅｒｄａｒｗｅｃｕｓｓｅｎｒｅｓｅｎｅｄｍｅｎｓｏｎｓｏｎｃａｅｏｒｅｓ．Ａｔｐ，ｐｇｆｉｒｓｗｅｉｄｉｉｆｈ—ｄｄｉｍｅｎｉｆａｉｌｉｔｖｅｔｈｅｅｆｉｎｔｏｎｏｔｅｎｒｅｓｅｎｔｅｓｏｎｏｎｏｂｅｃｔｎｔｈｅａｂｅａｎ，ｇｐｊｃａｔｅｇｏｒｙａｎｄｅｔｔｈｅｅｕｉｖａｌｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｆｏｒａｎｏｂｅｃｔｔｏｂｅｆｉｎｉｔｅｌｎ—ｒｅｓｅｎｔｅｄｉｎｇｑｊｙｐｌｉｔ—ａｎａｂｅａｎｃａｅｏｒ．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅｗｅｄｉｓｃｕｓｓｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｎｒｅｓｅｎｔｅｄｄｉｍｅｎｓｉｏｎｇｙ，ｐｔｈｔｉｄｉｉｆａｔ－ａｎｄｅｒｏｅｃｖｅｍｅｎｓｏｎｏｎｏｂｅｃ．ＮｅｘｔｗｈｅｎＰｉｓａｒｏｅｃｔｉｖｅｏｂｅｃｔｗｅｓｐｊｊ，ｐｊｊ，ｔｕｄｙｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｏｆｎ—ｒｅｓｅｎｔｅｄｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓｂｅｔｗｅｅｎｏｂｅｃｔｓＫａｎｄＭｉｎｔｈｅｓｈｏｒｔｐｊｅｘａｃｔｓｅｕｅｎｃｅ００ａｎｄａｌｓｏｓｔｕｄｔｈｅｌｔｉｆｎ—ｔｄｉ？ｑ＾Ｋ＾Ｐ＾Ｍ＾ｙｒｅａｏｎｏｒｅｓｅｎｅｄｐｍｅｎｓｉｏｎｓｂｅｔｗｅｅｎｏｂｅｃｔｓＡａｎｄＡｉｎｔｈｅｓｈｏｒｔｅｘａｃｔｓｅｑｕｅｎｃｅ０＾Ａ＾Ｐ＾０．ｊＦｉｎａｌｌｙ，ｗｅｓｔｕｄｙｔｈｅｔｒａｎｓｉｔｉｖｉｔｙｏｆｇｅｎｅｒａｔｏｒｓｏｆｔｈｒｅｅｃａｔｅｇｏｒｉｅｓａｎｄｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｏｆ—ｒｅｓｅｎｔｅｄｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓｏｆａｂｅｌｉａｎｃａｔｅｏｒｉｅｓｉｎｒｅｃｏｌｌｅｍｅｎｔｓｏｆａｂｅｌｉａｎｃａｔｅｏｒｉｅｓｎｐｇｇ．－Ｉｌｌ－ 北京工业大学理学硕士学位论文Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ａｂｅｌｉａｎｃａｔｅｇｏｒｙ，ｒｅｃｏｌｌｅｍｅｎｔ，ｆｉｎｉｔｅｌｙｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄｄｉｍｅｎｓｉｏｎ，ｐｒｅｓｅｎｔｅｄｄｉｍｅｎｓｉｏｎ－ｒｅｓｅｎｄｄｉｍｅｎｉｎｔｅｓｏｎ，ｐ－ＩＶ－ 目录目录薩ＩＡｂｓｔｒａｃｔＩｌｌ１第ｉ章绪论１．１１研究背景１．２２符号１．３本文结构和主要结果２２７第章基础知识２．１７阿贝尔范畴的概念和性质２．２投射对象和内射对象９２．３生１１成子２．４投射维数和整体维数１１２．５１２阿贝尔范畴的粘合２．６本章小结１４第３章阿贝尔范畴粘合上的有限表现维数１５１３．１预备知识５１３．２有限表现维数７３．３阿贝尔范畴粘合上的有限表现维数２１３．４２５本章小结４２７第章阿贝尔范畴粘合上的表现维数４．１２７表现维数４．２２９阿贝尔范畴粘合上的表现维数４．３本章小结３３第５章阿贝尔范畴粘合上的ｎ－表现维数３５—５．１表现维数ｎ３５－５．２表现维数阿贝尔范畴粘合上的ｎ３８５．３本章小结４０结论与展望４１参考文献４３４７關－Ｖ－ 第１章绪论第１章绪论１．１研究背景一在代数学的研究中研究的对象是多种多样的．但是具体到代数的某个研，，究分支我们通常只关注具有某种性质的对象以及它们之间的某种关系．而范畴的，一概念的出现为我们提供了个基本而抽象的方式去研究数学中的对象及其关系．一１９４５年ｉｌｅｎｂｅｒＭａｃＬａｎｅ撰写的文献１．，Ｅｇ和最早奠定了般范畴论的基础［］１９５６年ａｒｔａｎｉｌｅｎｂｅｒ２，Ｃ与Ｅｇ的著作建立了许多关于模的有限图表的命题，后来［］一人们发现这些有限图表的命题及对偶命题在般阿贝尔范畴仍成立．Ｂｕｃｈｓｂａｕｍ一１９５９年在文献３中给出了范畴论中有关同调的个重要注记．１９６２年Ｇａｂｒｉｅｌ于［］，在文献［４］中对阿贝尔范畴进行了初步的研究．１９９８年ＭａｃＬａｎｅ，出版了范畴论的专著［５］将范畴的思想和方法推广到了拓扑学何学等许多研究领域．，，几从此，范畴论进入了迅速发展的时期．尤其在近年来范畴的思想和方法在许多数学领域中，大放异彩．而对于环论以及代数表示论的研究人员来说，范畴己成为最基础的研究工具之一．一一比模范畴更具般性的阿贝尔范畴直受到很多数学家的关注．经过许多数学家的共同努力．，有关阿贝尔范畴表示论的研究也取得了较为丰富的成果在该领一一域的研究中．，局部化是个重要的研究工具粘合理论可以视为种非常好的局部化方法．１９８２年ＢｅｉｌｉｎｓｏｎＢｅｒｎｓｔｅｉｎ和Ｄｅｌｉｅｎ在研究层的导出范畴的六个函子，，ｇ一的公理化时第次引入了三角范畴粘合的概念［６］．ＭａｃｈｅｒｓｏｎＶｉｌｏｎｅｎ，而后，ｐ和在［７构造反常层时首次给出了阿贝尔范畴粘合的基本构造．１９９８年Ｋｕｈｎ在８］，［］研一一究般线性群时将某种阿贝尔范畴的粘合应用到了般表示理论中．近年来范，，畴理论发展更为迅速，阿贝尔范畴的粘合在代数表示论，奇异空间几何论以及多项式函子理论等研究领域产生了许多有趣的结果．其中２００４年Ｆｒａｎｏｕ和Ｐｉｒａｓｈｖｉｌｉ，，ｊ在［９］对阿贝尔范畴粘合的比较函子进行了研究，得出比较函子为范畴等价的充要条件为它是左容许或者是右容许的重要结论．２００９年辛林林亚南在［１０］中对由，，一类－倾斜模生成的阿贝尔范畴进行了研究而且证明了此类阿贝尔范畴的，粘合的比较函子并非等价函子．同年王敏雄林亚南在文献［１１］中研究了三角范，，畴的粘合与阿贝尔范畴粘合的关系等等．章璞在２０１５年发表出版的专著１２［详细］系统地总结了三角范畴与导出范畴粘合的重要成果及其应用，对于阿贝尔范畴和三角范畴之间的比较和研究有着极其重要的意义．在本世纪四十年代中期代数拓扑学的一些概念和方法推广到了纯代数的领，一域中过著名数学家Ｓ．ＥｉｌｅｎｂｅｒＳ．ＭａｃＬａｎｅ等人的系列重要研究代，通ｇ和，同调一数逐步作为种新的理论和研究方法被大家所熟知．一一在同调代数的研究过程中维数的研究直是众学者探讨的焦点．给定，同调一个模与环方面我们可以通过模和环的不同分解式来定义不同的同调维数．另，，－１－ 北京工业大学理学硕士学位论文一方面我们可以通过环中模的同调维数来得到环的整体维数进而来刻画环的特，，征．１９８４ｅｎＮ１３１４，从而来对环进行分类年，ＨｏＫｕｇ在文献，中定义了交换环与模［］的有限表现维数，用来度量任意模Ｍ与有限表现模的接近程度以及任意环与诺一特环的接近程度．１９９１年１５，李元林在文献［中引入了般环（未必为交换环）上的］左．２００９年（右）有限表现维数的定义，运用有限表现维数对凝聚环进行了刻画，龚志伟１６ｎ－－，翟峰，周德旭在文献［］中利用表现模定义了模与环的ｎ表现维数，通过此维数对凝聚环进行了刻画．２０１０年德旭龚志伟在文献［１７中引入了环与，周，］模的表现维数的定义，来度量任意模Ｍ是否有无限的有限表现．同时，将该维数与其它同调维数进行了比较研究得到了许多有意思的结果．，受此启发，本硕士学位论文在阿贝尔范畴中引入了有限表现维数，表现维数以－表现维数并对其基本性质进行了研究进而在阿贝尔范畴粘合上研究了三及ｎ，，个范畴的同调维数之间的关系，即：当阿贝尔范畴谷的维数有限时，是否可以得到阿贝尔范畴乂和Ｃ的维数有限性．当阿贝尔范畴乂和Ｃ的维数有限时是否能得，出阿贝尔范畴谷的维数有限性．１２．符号Ｓｕｐ上确界Ｉｎｆ下确界ｆ．ｐ．ｄｉｍＭ对象Ｍ的有限表现维数ＦＰｄＭ对象Ｍ的表现维数ＦＰｄＭ对象Ｍ的ｎ－表现维数ｎ（）ｆ．ｐ．ｄｉｍＣ范畴Ｃ的有限表现维数ＦＰｄＣ范畴Ｃ的表现维数ＦＰｄＣ畴Ｃ的ｎ－表现维数ｎ（）范ｌ．ｄｇｉｍＣ范畴Ｃ的整体维数ｐｄＭ对象Ｍ的投射维数Ｒａｂ（Ａ，Ｂ，Ｃ）阿贝尔范畴的粘合ＥｏｍＡＢ范畴乂中两个对象Ａ与Ｂ之间的态射集Ａ（，）ＰｒｏＡ范畴乂中投射对象构成的子范畴ｊ□证明完毕１．３本文结构和主要结果本文研究了阿贝尔范畴粘合的有限表现维数表现维数以及ｎ－表现维数得，，一些有趣的结果一到了．下面就具体内容逐介绍：一本文共分为五章：第章是绪论首先综述了本文的研究背景并给出了本文，，所用的主要符号最后给出本文的主要结果．，－２－ 第１章绪论第二章是基础知识，首先介绍了阿贝尔范畴的概念和性质，以及投射对象，内射对象和生成子的概念；其次介绍了投射维数和整体维数的定义；最后介绍了阿贝尔范畴粘合的概念和性质．第三章研究了阿贝尔范畴粘合的有限表现维数．主要结果有：一命题３．１．２设乂为阿贝尔范畴且有个生成子若为阿贝尔范畴乂中的一个正合列，我们有（１）若Ａ和Ｃ是有限生成的则Ｂ是有限生成的．，（２）若Ｂ是有限生成的，则Ｃ是有限生成的．（３）若Ｃ是有限表现的，Ｂ是有限生成的，则Ａ是有限生成的．定理３．１．５设乂是伪凝聚的阿贝尔范畴则对于任意的对象Ｍ以及Ｍ的，１…ｎ１－４Ｐ０＋投射表现八衫ｂ八４Ｑ４Ｍ４，其中巧衫巧是有限生成的，（），则存在有限生成投射对象…使得…乌’’？■Ｐ￣￣Ｐ￣—０正合ｎ、＾〇＞是白勺？一命题３．２．４对于阿贝尔范畴乂中的任意个投射对象Ｍ，若该对象是有限生＝＝成的．．ｄｉｍＭ０？．．ｄｉｍＭ１＿，则ｆｐｊ否则，ｆｐｊ＝定理３．２．６设乂为阿贝尔范畴则Ｊ是诺特的当且仅当ｆ．．ｄｉｍ乂０．，ｐＭ为乂中的任意一命题３．２．７令乂为阿贝尔范畴个对象我们有，，（１）若ｐｄ＾Ｍ彡ｎ，则ｆ．ｐ．ｄｉｍｊＭ彡ｎ＋１．２丨／（）若ｌ．ｄｉｒｒｕ４＾ｒｉ贝Ｊｆ．．ｄｉｉｒＬ１．ｇ，ｐ＾ｎ＋命题３．２．８在阿贝尔范畴乂中不存在有限表现维数为１的有限生成对象．，推论３．２．９令乂为阿贝尔范畴则４的有限表现维数不等于１．，一命题３．２．１０令Ａ为阿贝尔范畴且为乂中的个短正合，序列，其中Ｐ为乂中的投射对象，则ｆ．ｐ．ｄｉｎｕＭａ．ｐ．ｄｉｎｕＫ＋ｌ．Ｐ一定理３．２．１１设乂为阿贝尔范畴为乂中的，个短正合列且Ｐ为乂中的投射对象，我们有（１）若Ｐ是有限生成的则是有限表现的当且仅当Ａ是有限表现的．，＇（２）若ｆ．ｐ．ｄｉｍ乂Ａ＝ｎ＞ｌ，贝［Ｊ１彡ｆ．ｐ．ｄｉｍ乂＝３若Ｐ是有限生成的且ｆ．．ｄｉｍ乂Ａｎ＞ｌ则ｌ＾ｆ．．ｄｉｍ乂彡ｎ．（），ｐ，ｐ＇ｓ因此．．ｄｉｎｆ．．ｄｉｍｊＡ．，若Ｐ是有限生成的，则ｆｐｕＡｐ定理３．２．１２设乂是伪凝聚的阿贝尔范畴且有生成子令Ｂ４为阿贝尔范畴乂中的一个短正合列，我们有（１）当ｆ．．ｄｉｍ乂Ｂ＞ｆ．．ｄｉｍ乂Ａ时［Ｊｆ．．ｄｉｍ乂Ｃ＾ｆ．．ｄｉｍｊＢ．ｐｐ，贝ｐｐ（２）当ｆ．ｐ．ｄｉｍ乂Ｂ＜ｆ．ｐ．ｄｉｍ乂Ａ时，则ｆ．ｐ．ｄｉｍ乂Ｃ＾ｆ．ｐ．ｄｉｍｊＢ＋１．＝３当ｆ．．ｄｉｆ．．ｄｉ．．ｄｉ（．．ｄｉ１．（）ｍ乂万ｍ乂Ａ日寸［Ｊｆｍ乂７ｆｍ乂Ａ＋ｐｐ，贝ｐ＜ｐ－３－ 北京工业大学理学硕士学位论文定理３．２．１３设乂是伪凝聚的阿贝尔范畴且有生成子令０—Ａ厶Ｂ４一５乂６＾０为阿贝尔范畴乂中的个短正合列．出１１１１１１狂．出１１１乂：．出１１１（７．，则４彡乂｛＾乂，＾乂｝一命题３．３．１设巧Ｃ个粘合．）为阿贝尔范畴Ｓ关于乂和Ｃ的ｑＩ１－１（）＾＾＾＾ｐｒ若Ｑ为Ｓ的生成子，则１．（）ｇ（Ｑ）为Ａ的生成子２ｅＣ的生成子．（）Ｑ）为（一推论３．３．２令ｉ？乂Ｃ为阿贝尔范畴谷关于乂和Ｃ的个粘合．若Ｍ为ａｆ）（，氏）谷的有限生成对象，则（１）ｇ（Ｍ）为乂的有限生成对象；（２）ｅ（Ｍ）为Ｃ的有限生成对象．一．定理３．３．３令ｉ？ａ６Ａ谷Ｃ为阿贝尔范畴谷关于乂和Ｃ的个粘合假设阿（，）贝尔范畴Ｓ有投射生成子且和ｒ是正合函子．如果对Ｓ中的任意对象昃有：ｐＬＢ＝０Ｌ／ｅＢ＝０ｍ彡１＿ｉｇ，则ｍ，这里（）（）一定理３．３．４令ｉ？ａ处谷Ｃ为阿贝尔范畴谷关于乂和Ｃ的个粘合．假设阿ｂ（，）＝贝尔范畴谷有投射生成子且ｐ是正合函子．如果ＬｉＱ０则函子／保持有限ｇ（），生成对象．一定理３．３．５令ｉ？ａｂＡ谷Ｃ为阿贝尔范畴谷关于乂和Ｃ的个粘合．假设阿（，）贝尔范畴Ｓ是伪凝聚的且有投射生成子且和ｒ是正合函子．若ｆ．．ｄｉｍＳ＜ｏｏ，：ｐＰ．．ｄ．．ｄ．．ｄ．．ｄｉ．贝！ｆｉｍ乂ｆｉｍＳｆｉｍＣｆｍＳＪｐ彡ｐ，ｐ彡ｐ一．定理３．３．６令ｉ？Ａ谷Ｃ为阿贝尔范畴谷关于乂和Ｃ的个粘合假设阿ａ６（，）贝尔范畴Ｓ是伪凝聚的，且有投射生成子若ｐ和ｒ是正合函子．且对Ｓ中的任意对象有Ｌｉ？＝０则ｆ．．ｄｉｍ乂与ｆ．．ｄｉｍＣ均是有限的当且仅当ｆ．．ｄｉｍＳ；Ｌｇ（），ｐｐｐ是有限的．．在第四章我们引进并研究了阿贝尔范畴粘合的表现维数主要结果有：命题４．１．４在阿贝尔范畴乂中，不存在表现维数为１的有限生成对象．推论４．１．５设乂为阿贝尔范畴，则乂的表现维数不等于１．４１一Ｍ为乂中的任意一命题．．６令乂为个阿贝尔范畴个对象我们有，，１ＦＰｄＭｄＭ＋１．（）乂彡ｐ乂（２）若ｇｌ．ｄｉｍ乂彡ｎ，则ＦＰｄ乂彡ｎ＋１．一一命题４．１．７令乂为个阿贝尔范畴设为乂中的个短正，〃＇合列且ＦＰｄＡＦＰｄＡ＝ｄＦＰｄＡ＝／．如果这三个表现维数中有两个是，，（Ｘ（）（）－４－ 第１章绪论有限的那么第三个表现维数也是有限的．，’〃’一ｄｉｉｄ１ｄ—１＿进步地ｍａｘ（（（／ｍａｘ；／（／ｍａｘ，＜，＋，ｙ｛，｝《ｆ，｝《ｆ｝＝命题４．１．８令乂为阿贝尔范畴设沟１２．．．ｍ均为乂中的有限生成，（ｊ，，，）对象若ＦＰｄ＝ｌ２．．．ｍ是有限的则ＦＰｄ§＝ｍａｘＦＰｄ＝，＿４，＿４＿４＾（ｊ，，，）（＾）｛（牟｜ｊ＝ｉｉ１２…ｍ．，，）｝一命题４．２．１令ｉ？ａ乂为阿贝尔范畴谷关于乂和Ｃ的个粘合．若为）ｆ（Ｑ谷的生成子，则（１）为Ａ的生成子．ｇ（Ｑ）２ｅＣ的生成子．（）Ｑ）为（４乂和Ｃ的一命题．２．２令ｉ？个粘合．ａ６（Ａ氐Ｃ）为阿贝尔范畴谷关于假设阿＝贝尔范畴谷有投射生成子且ｐ是正合函子．若Ｌｉ０则函子／保持有限ｇ，（Ｑ）生成对象．一．命题４．２．３令ｉ？贝尔范畴谷关于乂和Ｃ间的个粘合ａ６ｙ）为阿ｒ是正合函子．若ＦＰｄＢ＜ｏｏ假设阿贝尔范畴谷有投射生成子ａ且Ｐ和，则ＦＰｄＦＰｄＢＦＰｄＣ＾ＦＰｄ－Ｂ．＾，４２４一．命题．．令ｉ？ａ６Ａ氐Ｃ为阿贝尔范畴谷关于乂和Ｃ的个粘合假设阿（）贝尔范畴Ｓ有投射生成子且和ｒ是正合函子．如果对Ｓ中的任意对象昃有：ｐＬＢ＝０则Ｌ／ｅＢ＝０？１＿ｉｇ〇，ｍ这里ｍ彡）〇）一乂．命题４．２．５令ｉ？ａ６为阿贝尔范畴谷关于乂和Ｃ间的个粘合假设（，阿贝尔范畴Ｓ有投射生成子且和ｒ是正合函子．若对Ｓ中任意的对象Ｂ，有：ｐＬＢ＝０ＦＰｃＵＦＰｄＣＦＰｄＢ．ｉｇ〇，则与是有限的当且仅当是有限的）－在第五章我们研究了阿贝尔范畴上的ｎ表现维数．主要结果有：Ｍ—命题５．１．３ＦＰｄｎ＋１投射表现４？＜ｍ当且仅当存在Ｍ的（（））．．．？？？－Ｐ￣Ｐ￣￣Ｐ￣Ｍ—０Ａ—Ｋｄ—ｙ＾、ｙ＞＾；１ｅｒｍｍｉ〇，使得弟个核ｆｃ１为７２表现对象．，其中而ｍ是非负整数命题５．１．４设乂为阿贝尔范畴，Ｍ为乂中的任意对象，则１ＦＰｄＭｄＭ＋１（）ｎ＾ｐＡ；（）２ＦＰｄＭｄＭ．（）ｎ＾ＦＰｎ＋１（）（）一５．１．５设乂为阿贝尔范畴弓丨理为乂中的个短正合列，，其中ｐ为阿贝尔范畴乂中的投射对象，则ＦＰ？ｄ（Ｍ）＜ＦＰ？ｄ（Ｋ）＋１．－命题５．１．６设乂为阿贝尔范畴则乂中不存在ｎ表现维数为１的有限生成，对象．乂的ｎ－推论５．１．７设乂为阿贝尔范畴表现维数不可能为１．，则一定理５．１．８设乂为阿贝尔范畴令为乂中的个短正合，列且Ｐ为乂中的投射对象．我们有，＇ＰＦＰｄＡ＝０ＦＰｄＡ＝０⑴若是有限生成的，则？（）当且仅当？（）；’２若ＦＰｎｄＡ＝ｍｌ则Ｐｉ．（）＞；Ｌｎ（Ａ，彡ｍ（）＜Ｆ（）－５－ 北京工业大学理学硕士学位论文＇Ｐ是有限生成的则ＦＰＡ＝ＦＰｄＡ＿，？ｄ？⑶若（）（）＇因此ＦＰｄＡ＝ＦＰｄＡ．，若Ｐ是有限生成的，则？？（）（）５２１一乂．／定理．．设Ｃ为阿贝尔范畴谷关于乂和Ｃ的个粘合函子（，氏）和ｒ为正合函子？若ＦＰｄＢ＜ｏｏＦＰ？ｄＡ＜ｏｏＦＰ？ｄＣ＜ｏｏ．？，则，〇）（）（）一ＦＰｄＦＰｄｄＦＰｄＡ．进步地＜ＢＦＰ？Ｃ？Ｓ，？？，（Ｋ（）（Ｋ（）一定理５．２．２设ｉ？ａｂ（处谷Ｃ为阿贝尔范畴谷关于乂和Ｃ的个粘合．假设阿，）贝尔范畴Ｓ有投射生成子函子和ｒ是正合的，且对于Ｓ中任意的对象Ｂ，有；ｐＬｉ？＝０？ＦＰｄ＜ｏｏＦＰｄ＜ｏｏ＜ｏｏ．ｎ＾ＡｎＣ则ＦＰｎｄ；Ｂ；若，，Ｌｇ（）（）（）（）最后在结论与展望中概述了本文的主要结果和创新点并介绍了需进一步研，，究解决的问题．－６－ 第２章基础知识第２章基础知识本章首先介绍阿贝尔范畴投射对象和生成子的定义和性质．其次，介绍阿贝，尔范畴中对象的投射维数．，范畴的整体维数的定义最后，介绍阿贝尔范畴的粘合的基本定义及性质．２．１阿贝尔范畴的概念和性质为后面的研究做准备，本节给出阿贝尔范畴的概念及阿贝尔范畴中有关正合列的若干引理．２１１Ｍ一定义．．设乂是个范畴：，如果它满足下列条件，则称它是加法范畴（表）Ａ中有零对象；ＢＡＨ一乂ＧｏｍＡｉ？是个加群；（，，＿４（也）对任意，）态射的合成ＨｏｎＢｘＨ〇ｎＢＣ－＾ＨｏｎｕＡＣ是双线性的（為；５）ｕ（Ａ）ｕ〇，〇（，〇Ａ对任意Ａ一ＢＡＢ（４）ＧＡ，存在乂中唯对象Ａ？，使得？既是它们的直和也是它们的直积．，Ｍ一定义２．１．２设乂是个加法范畴如果它满足下列条件则称它是阿贝尔范，，畴〇４５）乂中的任意态射都有核和上核；（為〇每个单态射都是它的上核的核，每个满态射都是它的核的上核；〇４每个态射都可以分解成满态射和单态射的合成．７）１８一２［丨定义．１．３在列对象与态射Ｂ＾Ｃ＾２－１＾Ａ＾（）一Ｉｍ＝Ｋｅｒｒ正合．中（ｊ，若，则称此列在处如果在上式的每个非端点处都正合，则称此列为正合列．注对于－１（２）图的两端都是０的序列０＾Ａ＾Ｂ＾０２－２（）－１若２．（）（２）在Ｂ与Ｃ处都正合，则称之为右正合列２－２若（２在Ａ与５处都正合称之为左正合列．（）），则３若－２Ｂ三处都正合－２（）（２）在Ａ，和Ｃ，即，既左正合又右正合，则称（２）为短正合列．－＝ｒｒ＝ｒ２且Ｃｏｋｅｒ？４则Ｉｍ（ｊＫｅｒ０若（２）右正合，，这意味着是满态身寸（），■■－２＝＝５若（２左正合则Ｉｍ（ｊＫｅｒｔ且Ｋｅｒ〇０这意味着〇是单态射．（）），，，－７－ 北京工业大学理学硕士学位论文１８［］５２－定理２．１．４三引里）设在阿贝尔范畴的图（３中（），＾０＾－０２－３（）４＞／，、，、—〇—－〇实线部分可交换，两行均短正合，则当４和分都是单（满）态射时，／也必是单（满）态射都是单位态射时也必是单位态射．，而当４和分，／１２［１五引理定理２．１．５设下图为阿贝尔范畴中的交换图（）ＡｘＪｌ＾Ａ２Ｊｌ＾ＡｚＪｌ＾Ａ＾Ｊｌ＾Ａｈ＜Ｐ会＜＜）２３０４ｈ１ｆ其中上下两行均正合ＩｍＫｅｒＩｍＫｅｒ＝１２３４这里Ｉｍ，即，／尸／奸！，／／，ｊ，＾＾，，，／与Ｋｅｒ／指群态射的象与核，我们有（１）若扣为满态射，则；，如与ｈ为单态射如为单态射（２）若也为单态射，如与（／）４为满态射，则如为满态射．Ｍ推论２．１．６若在阿贝尔范畴中有交换图０——－５——－０ｆ９ｈ０—－Ａ——－０且两行均为短正合，则当／为满态射，＾为单态射时，必为单态射；而当＾为单态射为满态射时必为满态射．，＾，／＿一一Ｘ一定义２．１．７设乂为个阿贝尔范畴，则乂中的个复形指的是乂中—…个态射的序列―〇〇＜ｎ＜〇〇＾４对于任意的（）＝整数ｎ都有《０．，＋１１２２１［１定理．．８蛇引理）设有阿贝尔范畴乂中态射的交换图（０Ｕ——－Ｚ—ａｆ９ｈ／３，＇＇ｕ—＞Ｘ—０－８－ 第２章基础知识其中上下两行均为正合列，〇为满态射，？为单态射，则有正合列／Ｋｅｒ＾ＫｅｒＫｅｒ／ｚ＾Ｃｏｋｅｒ＾Ｃｏｋｅｒ＾Ｃｏｋｅｒｈ／＾＾／＾并且，若《是单态射，则上面的态射Ｋｅｒ／＾Ｋｅｒ也是单态射；若ｚ；是满态射，则ｇ上面的态射Ｃｏｋｅｒ—Ｃｏｋｅｒ也是满态射．ｇｇ特别地，若有交换图——＾０Ｊ３ｈ，＇，＇＇＇０—＞Ｘ—－ＹＺ其中上下两行均为正合列．则有正合列———ｏｋｅｒ—Ｋｅｒ＾Ｋｅｒ（＾Ｋｅｒ＾Ｃｏｋｅｒ＾Ｃ（＾Ｃｏｋｅｒｈ／？／？并且，若《是单态射，则上面的态射Ｋｅｒ／＾Ｋｅｒ也是单态射；若ｚ；是满态射，则ｇ上面的态射Ｃｏｋｅｒ—Ｃｏｋｅｒ也是满态射．ｇｇ２．２投射对象和内射对象在本节内我们给出范畴内投射对象和内射对象的定义以及它的基本性质．，％一定义２．２．１设乂是个范畴５为集合范畴．Ａ中的对象Ｐ称为投射的如，，Ｐ一ｉｊｚＨｏｍＰ－Ｐ是投射的当且仅果函子：是个满函子．等价地来说Ｗ，，）当对于Ａ中每一个图Ｐ／／／Ｍ－＂Ａ—＾Ａ〃一其中ＡｙＡ是个满态射．，则存在态射使得上图交换注如果Ａ是一个正合加法范畴一，则对于每个对象来说，函子是保持核一封闭的．因此在这种情况下．，Ｐ是投射的当且仅当是个正合函子＿—一定义２．２．２个态射ａ：称为个缩并：使，如果存在态射／３一＇得＝ｌ．．／３ａｊ在这种情况下，称Ａ是的个缩回＿一定义２．２．３设乂为范畴如果对于每个对象ＡＧＡ，存在满态射，，％其中Ｐ为乂中的投射对象则称乂有投射对象．（或乂有足够多的投射对象，）＇＇＿５５一５命题２．２．４在范畴乂中若ｉ为ｉ的个缩回并且ｉ是投射的则Ｐ，，，也是投射的．＿一一命题２．３．５在范畴乂中如果Ｐ是投射的则每个满态射都是，，一一个缩并．个满态射都是个缩并并且乂有投射对象或者为反之，如果每，阿贝尔范畴，则户是投射的．－９－ 北京工业大学理学硕士学位论文叫一Ｐ＝命题２．２．６对于有无限直和的范畴当且仅当每个，十巧是投射对象氏巧是投射对象？对偶地可给出内射对象的定义．％定义２．２．７对象称为内射的如果在对偶范畴中是投射的．，因此ｇ是内射的当且仅当对于每一个图＇Ａ—／／／’一一其中乂＾ａ是个单态射．，存在态射ａ＾ｇ使得上图交换如果每个对象ＡｅＡ都有单态射Ａ＾其中Ｑ为内射对象，则称乂有内射对象（或乂有足够％多的内射对象．）１２一［別注内射对象的缩回和直积都是内射的．在个有直积的范畴内，ｎ％是一内射对象当且仅当每个分量％都是内射对象．＿一一定义２．２．８１在个正合范畴乂中称个无限序列（），一．？？…－为Ａ的个投射分解如果该序列是，一正合的，并且对于每个ｊ＞０，是投射的．Ａ一一（２）在个正合范畴乂中，称个无限序列一……为Ａ的个内射分解，如果该序列一是正合的０．，并且对于每个ｊ＞，是内射的＿＇定理２．２．９（马掌引理）令乂为阿贝尔范畴，设０４Ｃ４Ｃ４为乂＇＂＂中的短正合序列，且｜Ｘ，与｜Ｘ，ｄ丨分别为和的投射分解，则可定出＇＂吏得Ｘ？Ｘ＜为Ｃ的一个投射分解交换各行各列均正合且｜，下图可，，，｝有关Ｘ：的各列均可裂正合．０００００＾ｄ，ｄ，’’ｎｒｒＶ《Ｖｌｖｉｖ〇ｎＡ．．＾乂。Ｕｎ１１〇ｄ＇＾Ｋ－＾—＾ｘ？？＾ｘ？ｘ—〇ＫＫ，Ｋｒ；；Ｘ＂＾－ｒ，１？ｎｌ－＾／／＾１？＂＾＼ｙｙｙ０ｒ＼＾＾＾＂＞＾入Ａ＾ＡＧ＾Ｕｎｎ１１〇０００００１９［１命题２．２．１０下列结论成立：－１０－ 第２章基础知识一１正合范畴乂中每个对象有投射分解当且仅当该范畴有投射对象．（）２一正合范畴乂中每个对象有内射分解当且仅当该范畴有内射对象．（）２．３生成子一在本节内些相关性质．，我们给出范畴内生成子的概念以及１９一一［１定义２．３．１范畴乂的簇对象其中Ｊ为指标集称为簇生成，一—子如果对于每对态射：Ａ＾存在态射ｍ：＾ＡｅＪ使得ｃｍｆ／３ｍ．，，ｊ，注＿在加法范畴中称为一簇生成子当且仅当对于范畴乂中的每一个非零态射ａ．，存在态射使得ｔｒｎｆ０１９一一［１定义２．３．２范畴乂中的个对象ｆ／称为乂的个生成子如果ｆ／是范，｛｝一畴乂的簇生成子．＇１９注［］如果ｆ／＝并且对于所有的ＧＪ和ＭｅＨｏｍＭ是非空十％，Ｊ入Ｗ％，）一／一的则ｆ个＾成子当且仅当是乂的簇生成子．，是乂的｛％｝％／％一一定义２．３．３设范畴Ａ有簇生成子称乂中的个对象Ｍ为有限，Ａ．生成的若Ｍ是形式为？的有限上积的商对象；ｎ，其中Ｋ，＜ｊｋ＆Ｉ１９一一［１定义２．３．４设范畴Ａ有簇生成子称乂中的个对象Ｆ关于这Ｇ一簇生成子是自由的，若Ｆ形如十％，其中Ａ／对所有的不定为有ｆｃｊｋ［Ｋ限的指标集）．％一命题２．３．５在个有投射对象的范畴中若可以找到生成子则必然也可以，，找到投射生成子．１９一２［１Ｍ命题．３．６令乂是个阿贝尔范畴，设为乂中的任意非零对象，若存在一投射对象ｆ／满足Ｈ〇ｎｕｆ／Ａ〇Ｕ为乂的个生成子．＃，则（，）１２［１命题２．３．７设乂为存在无限直和的阿贝尔范畴．则ｆ／是生成子当且仅当对于任意对象Ｘ，存在指标集Ｊ以及满态射４Ｘ．２．４投射维数和整体维数本节我们给出阿贝尔范畴的整体维数以及其对象的投射维数的定义，并且给一出在投射维数有限的情况下的些等价条件．％Ｍ为乂内任意一定义２．４．１令乂为阿贝尔范畴个非零对象．则Ｍ的投，ｎｘＭ－Ｍ射维数是使单变量函子Ｅｔ０的最小整数．记Ｍ的投射维数为ｄ．（，）一ｐｊ若没有满足上述条件的整数存在，则定义ｐｄＭ＝〇〇．ｊ＝ｄＭ＝—若Ｍ０则定义１．，ｐ＾％定义２．４．２令乂为阿贝尔范畴，范畴乂的整体维数为使得单变量函子ｎｎ－－ＥｘｔＭｘｔＭ立的最小整数ｎ？记Ａ的整体维数为ｇｌ．ｄｉｍ乂（，）ｆ０和Ｅ（，）ｆ０均成１９［］命题２．４．３令乂为阿贝尔范畴对于Ａ中的短正合列我，们有－１１－ 北京工业大学理学硕士学位论文（１）若ｄｄＡ，则ｄ（７彡１＋ｐｄ乂Ａ．ｐ乂彡ｐ乂ｐ乂＊＝ｄ．２若ｄ＿Ｂ＜ｄＡ则ｄＣ１＋Ａ（）ｐ＿４ｐｊ，ｐｊｐ＾％Ｍ＝引理２．４．４令乂为阿贝尔范畴若Ｍ是非零的投射对象则ｄ０．，，ｐｙ１９［１命题２．４．５令乂为阿贝尔范畴且乂中有足够多的投射对象对于乂中任，，意的对象Ｍ，下面条件是等价的：１ｄＭ０．（）ｐ＾＾ｎ＋１２ＥｘＭ－＝ｔ０．（）；（）ｎ＋１－３ＥｘｔＭ是保持上核封闭的？（）（，）一＇…？．．——（４）给定个正合序列０＾＿Ｐｎ）０？右Ｐｎｌ是投射的则Ｐ？也是投射的．，■■■０—Ｐ—Ｐ——Ｐ—Ｐ——（５）存在正合序列ｙｎ＞ｎｙｙ＼ｙ〇ｙＡ＾０？其中巧（０＜Ａ；＜ｎ）ｉ是投射的．２．５阿贝尔范畴的粘合在本节内我们介绍阿贝尔范畴粘合的概念及其基本性质．１２２［１Ｄ定义．５．１设Ｃ和是两个范畴．若，和是两个函子对任意ＭｅＣ，ｉＶＧＤ，心八ＨｏｍＷＦＭ，Ａ〇４Ｈ〇ｍｃ（Ｍ，ＧｉＶ）是自然等价，则称Ｆ是Ｇ的左伴随，Ｇ是Ｆ的右伴随，称（Ｇ）是伴随对．定义２．５．２Ｍ设乂与Ｓ是两个范畴．（１）函子Ｆ：称为满的，如果对于任意对象Ｘ和Ｆ，由函子Ｆ所诱导的＂映射Ｆ：ＨｏｍＸｌｊＨｏｍＦＸＦ１是满射．＿４（，ＯＭ，）（２）函子Ｆ：乂称为忠实的，如果对于任意对象Ｘ和Ｆ，由函子Ｆ所诱导ＨＸｌＨｏｍＦＸ．的映射Ｆ：ｏｎ是单射ｕ（，ＯｊＭ，＠１．定义２．５．３设Ａ谷和Ｃ为阿贝尔范畴阿贝尔范畴的函子图，ＱＩ２－Ａ（）＾＾＾ｐｒ称为ｓ关于乂和一ｃ的个粘合，如果满足以下条件：／ｅｒ是伴随三元组；⑴（，，）ｇｉ是伴随三元组；⑵（，，ｐ）（３）函子ｉ，／和ｒ是忠实满的；４＝（）ｌｍｉＫｅｒｅ．－４ｉ？Ａ为叙述方便我们将如（２义的阿贝尔范畴的粘合记作ａＣ．，下面）定６（，氏）２＾一定义．５．４令ｉ？Ｃ个粘合考ａ６Ａ氐为阿贝尔范畴谷关于乂和Ｃ间的，（）虑其中的伴随对／ｅｅｒ我们用ｘ：表示伴随对／ｅ的，，和（％，（，）（，）（ｇ，幻ｐ）／（，）余单位Ｋ：表示伴随对ｉ的余单位Ａ：表示伴随对ｉ的单，，（，ｐ）（ｇ，）位：Ｊｃｅ表ｅｒ的单位．，＾ｗ示伴随对（，）－１２－ 第２章基础知识％一定义２．５．５令氐Ｃ为阿贝尔范畴谷关于乂和Ｃ间的个粘合，我）们有（１）函子Ｆ：称为等价函子，如果存在函子Ｇ：谷使得＾ＪｃＵ，且＾Ｊｃｆｅ，其中ＪｃＵ是恒等函子，此时Ｆ和Ｇ互称为彼此的拟逆．２：：谷使得ＧＴｚＪ（）函子Ｆ称为同构函子，如果存在函子ＧｃＵ，且ＦＧ＝Ｉｄ．Ｂ（３）范畴乂和范畴谷称为等价的，如果存在等价函子Ｆ：（４）范畴乂和范畴谷称为同构的，如果存在同构函子Ｆ：２一下面给出有关如定义．５．３所示的阿贝尔范畴粘合的些重要性质．剛一性质２．５．６令ｉ？ａｂＣ为阿贝尔范畴谷关于乂和Ｃ间的个粘合Ａ氏，下（）列叙述成立：（１）函子ｅ：和函子ｉ：是正合的；２函子合成／＝ｒ＝０（）ｇｐ；（３）伴随对ｇ的余单位ｇｚ４ＪｃＵ是可逆的，并且伴随对ｈｐ的单位（，幻）ＪｉｃＵ马是可逆的；：ｐ（４））伴随对ｅｒ的余单位ｅｒ４Ｊｄｃ是可逆的，并且伴随对ｅ／的单位（，）（，）Ｊｄｃ４ｅ／是可逆的；５ｅＫｅｒｅ＝Ｉｍｉ（）函子诱导出范畴乂和范畴谷的子范畴之间的等价；６正合函子ｅ保持忠实满的左伴随和忠实满的右伴随．（）注Ｗ任意阿贝尔范畴的粘合一ｉ？ａ６Ａ氏Ｃ）都可以诱导出个阿贝尔范畴的（短正合列〇４乂４谷４Ｃ４０．２５７＾一性质．．令ｉ？ａｂＣ为阿贝尔范畴谷关于乂和Ｃ间的个粘合其人氏，（）ｅＢ１／中：Ｃ为阿贝尔范畴间的正合函子Ｊｒ也４，贝是忠实满的当且仅当是忠实满的．剛一１性质２．５．８令ｉ？ａｂＣ为阿贝尔范畴谷关于乂和Ｃ间的个粘合Ａ氏，贝Ｊ（）下列结论成立：⑴假设谷有足够多的投射对象和内射对象，由于（ｇ，＊）为伴随对，并且函子ｉ．：是正合的则函子：类似地：，函子ｐ保持内，ｇ保持投射对象射对象．（２）假设Ｃ有足够多的投射对象和内射对象，由于／ｅ为伴随对，并且函子（，）ｅ：是正合的／：保持投射对象．类似地ｒ：保持内，则函子，函子射对象．剛一２５９１命题．．令ｉ？ａＣ为阿贝尔范畴谷关于乂和Ｃ间的个粘合式氏，贝Ｊｆ）（）下列结论成立：（１）存在如下范畴的等价ＢｉＢ＾Ｂ—ＡＢｉＢＢ：ＥＢＥＢ：ｐ｛｜ｐ（）｝｛＼ｑ｛）｝ｑ－１３－ 北京工业大学理学硕士学位论文（２）令，则有正合列０＾ＫｅｒｔｉＢ＾ｌｅ（Ｂ）ｉｑ（Ｂ）０ｖ０＾ｉｐ（Ｂ）％ＢＡｒｅ（Ｂ）ＣｏｋｅｒｕＢ＾０其中Ｋｅｒ仲£？），Ｃｏｋｅｒ２９一［丨弓理２．５．１０令ｉ＾Ｗ为阿贝尔范畴Ｓ关于乂和Ｃ间的个粘合且丨），范畴５和Ｃ有足够多的投射对象和函子是正合的．，假设函子：Ｂ印使得ＬＢ＝０则序列〇４Ｂ舁Ｂ与ｉＢ．／ｅ４〇是正合的ｉｇ〇，⑴令）〇）ｇ〇）２令则ＢｅＰｒｏ谷当且仅当ＰｒｏｅＰｒｏＣ并且ＬＢ＝０＿（）ｊｇｐｇｊ入ｐｇｊ，ｉｇ（）＝＝（３）对于任意的ＡＧ入我们有ＬｍｉＡ０ｍ彡１？特别地ｄｉＡｄＡｇ，Ｂ（（））（）ｐ＿（）ｐ乂２．６本章小结本章首先介绍了阿贝尔范畴的基本定义及性质投射对象和生成子的性质．其，次给出阿贝尔范畴中对象的投射维数范畴的整体维数的定义．最后介绍了阿贝，，尔范畴的粘合的定义和性质．为后面的研究做了必要的准备．－１４－ 第３章阿贝尔范畴粘合上的有限表现维数第３章阿贝尔范畴粘合上的有限表现维数在本章中，我们在阿贝尔范畴中引进有限表现对象以及伪凝聚对象的概念，并讨论对象有限生成的等价条件以及短正合列中对象之间有限生成的关系，然后给出阿贝尔范畴中对象和范畴的有限表现维数的定义，并讨论其基本性质以及在阿贝尔范畴粘合上的有限表现维数的性质．３．１预备知识一一在本节些预备知识些准备．，我们介绍，为后面的研究做设乂为阿贝尔范畴且有一个生成子下文中在不混淆的情况下所谓的乂，，一的有限生成对象Ｍ，均指相对于生成子Ｑ有限生成，Ｓ卩，存在个有限集７〇，使得７。）Ｍ０４为满态射．＿一定义３．１．１设乂为阿贝尔范畴且有个生成子范畴乂中的对象Ｘ称作是有限表现的，如果存在正合列巧４４Ｘ４０．其中巧，＆是有限生成的投射对象．注如果定义３．１．１中的几与巧不是有限生成的，则称正合列一Ｘ的．．．－Ｘ的ｎ－为投射表现．般地，称正合列为投射＝ｎ表现Ｐ０１．．．为乂中的投射对象．，其中ｊ，，，／（）一命题３．１．２设乂为阿贝尔范畴且有个生成子若００为阿贝尔范畴乂中的一个短正合列我们有，（１）若Ａ和Ｃ是有限生成的则Ｂ是有限生成的．，（２）若Ｂ是有限生成的，则Ｃ是有限生成的．（３）若Ｃ是有限表现的，Ｂ是有限生成的，则Ａ是有限生成的．证明．１若Ａ是有限生成的则存在有限集ｉ使得态射ａ：为满态（），〇，射．若ｃ是有限生成的则存在有限集ｊ〇使得态射：为满态射．考虑，，下图／／ＪＪ〇—＾（〇）（〇）？（〇）（〇）—＾ｏ３－１ｇｇｇｇ（）ａａ６３［ｉ］／０－Ａ＾—－０＊５ｔｔＨｏｍＨｏｎ因为：为满态射存在０ＧＨｏｍＷＷＱＪｈ，所以Ｑｕ＾ＣＯ，）＊＝７ｒ＝－＝－使得７ｒ００３＿３１的左边四边形有ｗ阶故（３１的左边四／对于图（），，）（）［］纟［］＝＝．边形图是交换的接下来考虑图的右边四边形／且，由于／？卜卜＾，＝Ｑ？－．ｉａ７Ｔ０／１又因为ａ和／３都是满态射卜，故（３）的右边四边形图是交换的，故丨］ｊ由三引理可知ｗ．，也为满态射于是，由有限生成对象的定义可知，Ｂ也是有限丨ｙ生成的．－１５－ 北京工业大学理学硕士学位论文２因为对象Ｂ是有限生成的故存在有限集合使得态射７：为（），Ｑ满态射．７Ｔ：是满态射故合成态射７Ｔ：为满态射．因又因为态射，７此由定义可知Ｃ是有限生成的．，（３）因为Ｃ是有限表现的，故存在正合列巧４芥４Ｂ４０其中Ａ和芥，是有限生成的投射对象．设Ｋｅｒ＝Ｋ．易知存在满态射由（２）可知Ｋｇ（，／）．是有限生成的考虑下面的交换图：ｇ－￣——０—－Ｐ—ｃ－０〇０—￣一Ｂ——－０Ｃｏｋｅ＾ｏｋｅｒ／ｒ＂Ｃｚ００其中Ｘ＝＝Ｚ／的存在性是因为芥的投射性而的存在性是因为７ＴＺ／／０以及核的，／Ｗ泛性质．由蛇引理可知Ｃｏｋｅｒ＂＾Ｃｏｋｅｒ／／．由（２）的结论可知Ｃｏｋｅｒ／／是有限生成ｘ———的故Ｃｏｋｅｒ也是有限生成的．考虑短正合列０＾Ｉｍ＾Ａ＾Ｃｏｋｅｒ／＾０．，／／因为Ｋ是有限生成的，故Ｉｍ／ｘ也是有限生成的．又因为Ｃｏｋｅｒ／ｘ是有限生成的，故由１的结论可知Ａ是有限生成的？□（）一定义３．１．３设乂为阿贝尔范畴Ｍ为乂中的任意个对象．若它的所有有限，生成子对象是有限表现的则称该对象是伪凝聚的．，一定义３．１．４设乂为阿贝尔范畴．若乂中每个投射对象是伪凝聚的则称范，畴乂为伪凝聚范畴．注＿设乂为范畴，Ａ与Ｂ为乂中对象，如果存在态射则称Ａ为Ｂ的子对象．定理３．１．５设乂是伪凝聚的阿贝尔范畴，则对于任意的对象Ｍ以及Ｍ的１ｎ＋－…４其中巧１投射表现巧料ｂ巧４也巧是有限生成（）３２…的／尸．．．ｂ每，则存在有限生成投射对象＿３使得巧料乌＾２，，Ｐ－＇＇＇－Ｐ￣￣？ｙ＾正合的．）０是ｎ〇Ｍ的－证明．对于阿贝尔范畴乂中任意对象ｎ＋１投射表现巧４（）＋１巧．．．４取Ｋ＝Ｋｅｒ显然存在单态射由子对象的定义？／？，则一Ｐ．另方面可知，为Ｐ？的子对象，存在满态射因为？＋１是有限生Ｂ成的故是有限生成的．，所以是伪凝聚的，，，因为巧为Ａ中的投射对象ＰＰ？的所有有限生成子对象是有限表现的．从而Ｉ是有限表现的．由有限表现对象的定义可知，存在有限生成投射对象Ｐ？＋２使得序列是正－１６－ 第３章阿贝尔范畴粘合上的有限表现维数合的合并该正合序列与上述ｎ＋１－投射表现得正合序列巧４，，可（）＋２巧＋１Ｐ—ｎ＾以此类推．□，归纳可证得结论成立３．２有限表现维数在本节内，我们引进阿贝尔范畴乂中对象Ｍ的有限表现维数和阿贝尔范畴乂的有限表现维数的定义．，并研究相关的性质２１Ｍ一定义３．．设乂为阿贝尔范畴且有生成子为阿贝尔范畴乂中的个．．ｄｉｍＭ对象：，记Ｍ的关于生成子Ｑ的有限表现维数为ｆ，定义如下ｐ＿４（＜；＾＝————？＝ｆ．．ｄｉｉｋｆＩ＿Ｐ＿Ｐ＿Ｐ０ｍ：ｎｆｎ存在正合序列ｎ＾ｎ＾）其中ｐ＿４Ｑ｛］。，（）｜＋０１．．．ｎ＋１是投射对象，巧料，巧是有限生成的｝．，，，）＝如果这样的不存在．．ｄｉｍｉＷ〇〇．，规定ｆ４ｐ＿Ｍ＝注阿贝尔范畴Ａ中对象Ｍ是有限表现的当且仅当ｆ．ｐ．ｄｉｎｕ０．因此我们可以将对象的有限表现维数看作衡量其与有限表现对象接近程度的工具．．２．３设Ａ是阿贝尔范畴ｆ．．ｄｉ＝．．ｄｉＭＭｉｒＬＡＳｕｆｍ定义３，记ｐｐ｛ｐ＿４是任意有｜限生成对象丨．并把它叫做Ａ的有限表现维数．２４一Ｍ命题３．．对于阿贝尔范畴乂中的任意个投射对象，若该对象是有限生成的，则ｆ．ｐ．ｄｉｍｊＭ＝０？否则，ｆ．ｐ．ｄｉｍｊＭ＝１＿注ｉ？ｉ？－Ｍｏｄ且生成子ｉ？（１）当乂取为环的左模范畴为正则模则上述定Ｑ，一义与环的有限表现维数是致的，参见文献１３．丨ｊ（２）在不至于混淆的情况下，我们将ｉｋｒ的关于生成子ｇ的有限表现维数简记％ｆ．ｐ．ｄｉｍ＾Ｍ．定义３．２．５设乂为阿贝尔范畴．若乂中所有的有限生成对象都是有限表现的，则称范畴乂是诺特的．＝定理３．２．６设乂为阿贝尔范畴则Ｊ是诺特的当且仅当ｆ．．ｄｉｍ乂０．，ｐ证明．阿贝尔范畴Ａ是诺特的当且仅当所有的有限生成对象都是有限表现的，当且仅当对于任意的对象ＭｅＡ其有限表现维数ｆ．ｐ．ｄｉｍ＾Ｍ＝〇，再取上确界可得ｆ．ｐ．ｄｉｒｒｕＡ＝０＿□一注由上述定理３．２．６可知个，我们可以将阿贝尔范畴的有限表现维数作为一衡量其与诺特范畴接近程度的个工具．下面我们研究阿贝尔范畴及其对象的有限表现维数的上界．Ｍ为乂中的任意一命题３．２．７令乂为阿贝尔范畴个对象我们有，，（１）若ｐｄ＾Ｍ彡则ｆ．ｐ．ｄｉｍ＾Ｍ彡ｎ＋１＿２ｌ丨若．ｄｉｒｒｕ４ｒ．．ｄｉ／１．（）＾ｉＪｆｉｒＬｇ，贝ｐ＾ｎ＋证明．由于结论（２）可以直接通过结论（１）取上确界得到，所以我们只需要证明结论（１）成立即可．－１７－ 北京工业大学理学硕士学位论文若ｄＭ彡ｎ则存在Ｍ的投射分解…其ｐ＿４，１／．．．中巧（幻办．当且仅当存在正合列０４０４４Ｖｉ４４）是投射的巧４４Ｍ４０，该正合列的前两项０和０为有限生成的，由有限表现维数的定义可知ｆ．．ｄｉｍｊＭｇｒ１．□ｐｉ＋注ｆ．．ｄｉｍＡ比ｌ．ｄｉｎＭ小例如设Ｚ为整数环Ｚ为模４剩余类环令ｐｇ，，，４，＝Ａ＝ｍｏＥ２Ｚｄ２＝〇〇ｌｄｉｒｒｕＡ〇〇．ｃ其中Ｇｍｏｄ由于故但是由于模范４，，，ｇ（）４ｐ（）畴ｍｏｃＥ４是诺特的所以ｆ．．ｄｉｒｒｕＡ＝０．，ｐ命题３．２．８在阿贝尔范畴乂中存在有限表现维数为１的有限生成对象．，不证明．反证法．假设在阿贝尔范畴Ａ中存在有限生成对象Ｍ其有限表现维数，Ｍ＝为１，即ｆ．ｐ．ｄｉｎｕ＝１？则存在正合列其中ｊ０１２是巧（，，）投射的，并且巧和幵是有限生成的，令ＫｚＫｅｒＣＰｏ＾Ｍ），因为为满态射，所以Ｋ是有限生成的．考虑短正合列由于Ｋ和Ｍ都是有限生Ｐ．．．ｄ＝〇．．．ｄｉ＝１成的，则。也是有限生成的于是，ｆｐｉｍ＾Ｍ这与条件中的ｆｐｍ＾Ｍ矛盾．因而原结论正确．□１．推论３．２．９令乂为阿贝尔范畴则乂的有限表现维数不等于，一命题３．２．１０令乂为阿贝尔范畴且为乂中的个短正合，序列其中Ｐ为乂中的投射对象则ｆ．．ｄｉｍｊＭｇｆ．．ｄｉｎｌ．，，ｐｐｕＫ＋证明．若ｆ．．ｄｉｍＫ＝〇〇显然成立＿ｐ＾，则结论…＝－若ｆ．．ｄｉｍｉ＾７２＜〇〇则存在Ｋ的ｎ＋１表现序列＿Ｐ４４４ｐ＿４，（）？＋１几４Ｋ４０其中巧＝０１．．．ｎ＋１是投射的且巧和巧料是有限生，，而（ｊ，，，）成的Ｍ的ｎ＋１－表现序列，合并该正合列与题设中的正合列，则我们可以得到（）Ｐ＾Ｐ＾—１Ｐｎ＋ｌｎ其中＋）和是投射的，而且巧和＊ＭＰ．．ｄｉｍｆ．．ｄｉｍｉ＾＋１＿□？是有限生成的，由此可矢口，ｆ＿４＋１ｐ＿４＜ｐＦＦ的映ＭＣＰ若乂为阿贝尔范畴：，４Ｃ为链映射，定义射锥Ｃ为）一ＭＣＰ＝如下复形：其第ｎ次齐次分支为Ｃ？步地复形序列Ｃｋ；，进，１３［１．是正合的我们有以下事实：若＇ＣＸＡ一是一个交换图个单态射则ＭＣＦ，其中纵向态射都是投射分解，若／是，是（）Ｃ一ｏｋｅｒ／的投射分解，若／是个满态射，则—ＭＣＦＦ—ＭＣＦＭＣＦ０＞｛ｎ４ＭＣ（ｎＨ＞＾Ｚ１＾Ｋｅｉ＾Ｋｅｒ））｛）２（（））ｆ／的投射分解．，其中为态射的核－１８－ 第３章阿贝尔范畴粘合上的有限表现维数注文献［１３］中关于模范畴给出的这个事实，但对于阿贝尔范畴也很容易验证该事实成立．Ｐ为乂中的一定理３．２．１１设乂为阿贝尔范畴个正合列，且Ｐ为乂中的投射对象，我们有（１）若Ｐ是有限生成的则是有限表现的当且仅当Ａ是有限表现的．，，２．．ｄ＝．．ｄ．若ｆｉｍＡｎ彡１，贝！Ｊ１ｆｉｍＡ彡７２（）ｐ＿４彡ｐ＾＇＊＝３若Ｐ是有限生成的且ｆ．．ｄｉｍＡｎ彡１则ｌ＾ｆ．．ｄｉｍＡ（），ｐｊ，ｐｊ彡＊Ｐ．．ｄｉｍＡ＝ｆ．．ｄｉｍ乂．因此，若是有限生成的，则ｆｐ＿４ｐ＿４＇－－－证明．１必要性．因为０＾Ａ＾４４ＰＭ３为乂中的短正合列且Ｐ为Ａ中的（）投射对象，所以上述正合列是可裂的，即可得由于是有限表现的，故我们有短正合列其中广为乂中的投射对象，Ｋ为态射的核．又因为Ｐ是有限生成的投射对象，故我们有短正合列所以Ｐ也是有限表现的，于是，得到短正合列３尺／Ｐ－―女十—左十４０．３２（）因为为满态射．从而存在有限生成，且Ｐ为有限生成的，故Ｋ是有限生成的－的投射生成子ｇ和有限集Ａ使得为满态射．将该满态射与（３２合成Ｑ），＇Ａ即得正合列由定义可知Ａ？尸是有限表现的，即是有限表现的．……充分性．令为对象Ａ的投射分解其，—中Ｑｏ是有限生成的．考虑对象Ｐ的投射分解令Ｆ为由，Ｑｉ／诱导的从对象Ａ的投射分解到对象Ｐ的投射分解的链映射，则序列ＭＣ＾ｉ＾２４ＺｊＭＣｐ））４Ｋｅｒ／４０是正合的，其中ＺｊＭＣｐ））为态射５５的核．从６＝〇从６＝０／从６＝／？〇而０１？，是有限生成的投射＾）２，＾）１〇）＾）〇对象．下面考虑正合序列０４４４４０．由命题３．１．２可知＆（ＭＣＣＰ））是有限生成的投射对象．因此，Ｋｅｒ／是有限表现的．又因＇＾为ＡＫｅｒ／，故结论得证．＇＇２＝－为ｆ．．ｄｉｎｎ故存在Ａ的ｎ＋１投射表现序列巧（）因ｐｕＡ，（）料４４—０—＾４４．其中巧是有限生成的．同时＞０＾Ｐ＾Ｐ＾０为Ｐ的一个投射分解，由马掌引理可得序列Ｐ￣Ｐ￣￣Ｐ￣Ｐ￣Ｐ－—ｎ＋ｌ、ｎ＾ｌ＾〇？Ｐ（Ｂ（３３）－是正合的．３３为Ａ的投射分解．再由有限表现维数又因为故正合列（）的定义可得ｆ．．ｄｉｍ＾４ｎ．ｐ＿４＜＇＇一＝方面．．ｄｉｎｎｎＯ１另，因为ｆｐｕＡ，其中ｆ，故由结论（）可知，Ａ不是有限表现的．进而我们可知Ａ也不是有限表现的．于是我们有ｆ．．ｄｉｍｊＡ０ｆ．．ｄｉｍｊＡ彡ｐｆ，即ｐ－１９－ 北京工业大学理学硕士学位论文１？综上，１彡ｆ．．ｄｉｍｊＡ彡７２．ｐ３令—？？？？—？０—（）））为Ａ的７２＋１投射表现其中ｎＱｎ＋１，（）Ｑ＋１，Ｐ的一是有限生成的．注意到为个投射分解．令Ｆ为由一个投射分解到第二个投射分解的态射／确定的从第，则—ＭＣＦＦ—ＭＣＦＦＫｅｒ０＾ｎ＾ＭＣｎ＾＾＾２＾Ｚ＾ＭＣ＾／＾（）（）（）ｉ））为Ｋｅｒ／的投射分解，其中ＺＪＭＣ＾））为态射的核，而且为有限生成的投射对象所以ｆ．．ｄｉｍＫｅｒｎ．，ｐＫ又因为＇Ｋｅｒ／Ｓ进而可得ｆ．ｐ．ｄｉｍｊＡ彡ｎ．一＊ｌ另方面若ｆ．．ｄｉｍｉ＝０Ｚ为有限表现的又因为Ｐ是有限生成的贝ｊ，ｐ＿４，即，，＇＝＝由结论（１）可得ｆ．．ｄｉｍｊＡ０？这与ｆ．．ｄｉｍｙ４ｎ彡１矛盾？因此１ｆ．．ｄｉｍｊＡｐｐ＿４，彡ｐ彡．．ｄｉｍＡ＜ｆ．．ｄｉｍ结论（３）可知若／是有限生成的，由结论⑵可矢口，ｆｐ＿４ｐ＿４由，＇＝ｆ．．ｄ．．ｄ．□．．ｄｉｍｊＡ彡ｆ．．ｄｉｍｊＡ．所以我们有ｆｉｍ４ｙ４ｆｉｍ４ｙ４／ｐｐ，ｐ＿ｐ＿注１３．（）和（）中假设Ｐ是有限生成的条件是不可以去掉的因为在短正合列０＾０中，Ｐ是非有限生成投射的．定理３．２．１２设乂是伪凝聚的阿贝尔范畴且有生成子Ｑ，令Ｂ４为阿贝尔范畴乂中的一个短正合列，我们有（１）当￡．．（１１１１１５＞￡．．（１１１１１时贝！１￡．．（１１１１１（７￡．．（１１１１１＊８．９乂９乂乂，９乂＜９＾４（２）当ｆ．ｐ．ｄｉｍ乂Ｂ＜ｆ．ｐ．ｄｉｍ乂Ａ时，则ｆ．ｐ．ｄｉｍ乂Ｃ＾ｆ．ｐ．ｄｉｍｊＢ＋１．（３）当ｆ．ｐ．ｄｉｍ乂Ｂ＝ｆ．ｐ．ｄｉｍ乂Ａ时，则ｆ．ｐ．ｄｉｍ乂Ｃ＾ｆ．ｐ．ｄｉｍ乂Ａ＋１．＝＝证明．ｆ．．ｄｉｍ乂Ｂｍｆ．．ｄｉｍＡｎ并且ｍ＞ｎ．那么存在Ｂ的ｍ＋ｐ，ｐ，⑴设乂（—１－投射表现序列４５＾０其中Ｐｍ是有限生成，１）芥＋，—的时存在Ａ的ｎ＋１－投射表现序列＾４其，同ｎ１ｎ（）Ｑ＋Ｑ中Ｑ＿．３．１．５１是有限生成的因为乂是伪凝聚的阿贝尔范畴，由定理可知，存；Ｑ。在有限生成投射对象尸ｍ＋２，尸ｍ＋３；．．．使得＊＊＊＊＊＊＊￣－ＰＰＰＢ－Ｐ？＾Ｐｍ＋３＾Ｐｍ＋２＾ｍ＋ｌ＾ｍ＾＾〇＾＾Ｏ是正合的．同时存在有限生成对象ｇｎ＋２．．．使得，＊＊＊＊￣＊＊＊Ｑ：＾Ｑｎ＋３＾Ｑｎ＋２＾Ｑｎ＋ｎ＾ｌ＾Ｑ是正合的．考虑到序列〇４乂４Ｂ４正合则Ｃｏｋｅｒ／．由交换图，？丄Ｐ．ＱＢ＾－＾Ａ－２０－ 第３章阿贝尔范畴粘合上的有限表现维数其中纵向态射为Ａ和Ｂ的投射分解．令因为／为单态射，＝故ＭＣｐ为Ｃｏｋｅｒ／的投射分解？其中）十Ｑｍ的？１，因而⑷ｍ＋ｉ和⑷ｍ是有限生成＊＊综上ｆ．．ｄｉｍｊＣｆ．．ｄｉｍｊＣｆ．．ｄｉｍ＿Ｂ．，ｐ彡ｍ，即ｐ彡ｐ＿４ｆ．．ｄｉｍ＿Ｂ＜ｆ．．ｄｉｍＡｍ＜ｒｉ时只需按照⑴的证明思路考虑Ｃｏｋｅｒ⑵若ｐ＿４ｐ＿４，即，，／的投射分解Ｍ（７＿Ｆ则可得到．．ｄｉｍＣ＾ｆ．．ｄｉｍ＋１．（），ｆｐ＿４ｐ＿４（３）该结论为结论（２）的特殊情况，显然成立．□定理３．２．１３设乂是伪凝聚的阿贝尔范畴且有生成子令０—Ａ厶Ｂ４一—丨ｘ（７＾０为Ａ中的个短正合列Ｊｆ．．ｄｉｍ＿Ｂｆ．．ｄｉｍＡｆ．．ｄｉｍ（７＿，贝ｐ＿４＜ｍａ｛ｐ＿４＿４，ｐ｝＊＝＝．证明．设ｆ．．ｄｉｍ＾Ａｍｆ．．ｄｉｍ＾Ｃ不妨设ｍ＞ｎ由有限表现维数的定ｐ，ｐ－－义可知分别存在Ａ的ｍｎ．＋１投射表现和Ｃ的＋１投射表现如下，（）（）＇＇＇ＰＰ—－—－—－—？ｍ＋ｍ＾＞－Ｐ＞－Ｐ＞＾４＞〇ｌ＾ｌ〇其中Ｐｍ＋１，Ｐｍ是有限生成的，＇＇＇－－－？———Ｃ—０Ｑｎ＋ｌ＾Ｑｎ＾＞Ｑｌ＞Ｑ〇＞）其中队＋．３．１．５１是有限生成的因为乂是伪凝聚的阿贝尔范畴，故由定理可，队知，存在有限生成投射对象Ｐ？＋２，Ｐ？＋３，．．．使得…—―？———Ｐ＾＿Ｐｍ＋３＾＿Ｐｍ＋２＾ｍ＋ｌ＾＞〇是正合的．同时存在有限生成对象ｇ？＋２．．．使得Ｑ？，＋３，？？？￣—？？？？—？—？—？０＾Ｑ＾＞＞）Ｃ）ｎ＋３Ｑｎ＋２Ｑｎ＋１ＱｎＱ〇是正合的．由马掌引理可知存在Ｂ的投射分解，■■■？？？—？Ｐ—■—■—■—■＞Ｐ？Ｑ－？ＱＰＢ０ｍ＋ｍｍｍ２？？〇？Ｑ〇？）３＋３＋２＋＝〇１．其中．．．是有限生成的所以由有限表现维数的定义可得结，，）＊果ｆ．．ｄｉｍｉ？ｍ＿Ｂ有ｆ．．ｄｉｍｉ？ｍａｘｆ．．ｄｉｍｙ４ｆ．．ｄｉｍＣ．□，ｐｊ彡Ｐｐｊ彡｛ｐ＿４，ｐｊ｝３．３阿贝尔范畴粘合上的有限表现维数在本节中，我们研究阿贝尔范畴粘合中的有限表现维数，并给出了阿贝尔范畴粘合的三个范畴的有限表现维数之间的关系．－２１－ 北京工业大学理学硕士学位论文一．命题３．３．１设ｉ？ａ６Ａ氏Ｃ为阿贝尔范畴谷关于乂和Ｃ的个粘合（）ｇＩ＾＾＾＾ｐｒ若Ｑ为Ｓ的生成子，则（１）为Ａ的生成子．ｇ（Ｑ）２ｅＣ的生成子．（）Ｑ）为（证明．１生成子则对于任意的Ｍｅ氏存在满态射（）因为Ｑ为阿贝尔范畴Ｂ的，Ａ（对于任意的ｉＶｅＡｅＳＵ＊ｉＶ．Ａ有４〇，故存在满态射Ｑ因为ｇ为左（）ＷＡ正合函子且保持直和封闭ｊｐ．，故应用函子ｇ，我们得到满态射ｇＱ又因为）（（〇ｉＶ．ｅＪｄ故存在满态射．由定义可知ｇ＿４，ｇ（Ｑ产Ｕｇ（Ｑ）为乂的生成子（２）因为Ｑ为谷的生成子，故对于任意的Ｍｅ氏存在满态射对于Ａ（）任意ＣｅＣ有ＣｅＳ／Ｃ．ｅ／故存在满态射Ｑ４因为为正合函子且保持直和封，，（〇（〇Ａ（Ｃ闭故作用函子ｅ我们得到满态射ｅＵｅ／．又因为ｅｄｄ故存在满态射，，Ｑ）ｃ，（（〇Ａ（）ｅ４ａ由定义可知ｅ为Ｃ的生成子．□（Ｑ）（Ｑ）一．推论３．３．２设ｉ？ａ６式氏Ｃ为阿贝尔范畴谷关于乂和Ｃ的个粘合（）ｑＩ＾＾＾＾ｐｒ若Ｍ为谷的有限生成对象，则（１）ｇ（Ｍ）为乂的有限生成对象；（２）ｅ（Ｍ）为Ｃ的有限生成对象．一定理３．３．３令ｉ？Ａ氐Ｃ为阿贝尔范畴谷关于乂和Ｃ的个粘合．假设阿ａ６（）贝尔范畴Ｓ有投射生成子且和ｒ是正合函子．如果对Ｓ中的任意对象昃有：ｐＬＢ＝０Ｌ／ｅＢ＝０ｍ彡１＿ｉｇ，则ｍ，这里（）（）证明．因为范畴５由投射生成子故５有足够多的投射对象．设Ｂ为５中对象，其投射分解为．．．—Ｐ—Ｐ—？？？—Ｐ—Ｐ—Ｂ—０ｙｙｙｙｙ．ｙｎｙｎｉｉ〇＇＇Ｂ为Ｂ的投射分解第个合冲＝０１．．．ｗｐ＝Ｒ令以，这里Ｊ，由假设条（）Ｊ，，）以＋１件以及函子ｚ的正合性，易证，对任意的＊彡０，有短正合列０４〇Ｂ４（））－２２－ 第３章阿贝尔范畴粘合上的有限表现维数叫（巧）４叫（以〇Ｂ））４０？根据［四，引理５．２〇）］，可得如下交换图０００＋１０—＾ｌｅ＾Ｂ＾＾ｌｅＰ＾＾０（（）｛）ｊ）０＾０＋１０—＾ｉ＾Ｂ—＾ｉＰ—＾ｉ＾Ｂ—＾０ｑｉ（（））ｑｊ）ｑ｛（））０００＇＝〇１…且每列均正合．〇４４这里Ｊ，由蛇引理，可得短正合列，，＝…／ｅ４／ｅＷＢ４００１？注意到函子ｒ？ｅ，这里是正合的因此，函子（巧）（〇））ｊ，，保持投射对象．从而有的投射分解．．．５５■■■５５—／／—／／——／／—／／—／５—０ｙｅｎｙｅｎｙｙｅｙｅｙｅｙ．ｘｘ〇（）（）（）（）（）因此Ｌ／ｆｔ７？＝０这里ｍ１．□，ｍ，彡（）乂一定理３．３．４令ｉ？ａ“氐Ｃ为阿贝尔范畴谷关于乂和Ｃ的个粘合．假设阿，）＝贝尔范畴谷有投射生成子且ｐ是正合函子．若Ｌ０／ｉｇ说，则函子保持有限生）成对象．一证明．任取Ｃ中关于生成子ｅ的有限生成对象则存在个有限指标集Ａ（切ＡＡ（）（）以及满态射ｆｅ４ａ注意到函子／是右正合的：／ｅ４／ＣＱ，故态射）Ｑ）（（（〇是满的．下证Ｃ．／是Ｓ中关于生成子Ｑ的有限生成对象由ｐ是正合函子，易证，（〇．因此．２ｖ函子Ｈ呆持投射对象，根据［２９，引理５（）以及函子保持投射对象可知，短］ｇ０－／１ｉ－０正合列＾ｅ＾＾是分裂的（因为是投射对象）．故存在满态（Ｑ）Ｑｇ（Ｑ）ＱＡＡ＝）（）射／Ｉ：４／ｅ使得Ｍ？／Ｍ：４／Ｃ？所Ｑ（Ｑ）ｅＱ因此，存在满态射⑷Ｑ（〇（）以／Ｃ．口，是谷中关于生成子Ｑ的有限生成对象（〇乂一定理３．３．５令ｉ？ａ“氏为阿贝尔范畴谷关于乂和Ｃ的个粘合．假设阿，贝尔范畴５是伪凝聚的且有投射生成子且和ｒ是正合函子．若ｆ．．ｄｉｍＳ＜ｏｏ：ｐｐ，．．ｄ／．．ｄ．．ｄ．．ｄ．贝！ｆｉｒｒｕｌｆｉｍｊＢｆｉｍＣｆｉｍＳＪｐ＾ｐ，ｐｇｐ＝证明．假设ｆ．ｐ．ｄｉｍＳｎ．任取乂中的任意关于生成子ｇ的有限生成对象．ｉｉ可知存在有限指标集Ｊ以及满态射４根据［２９，命题２６（），单位态］／（）－．．射Ａ：是满态射从而存在满态射Ｑ＾乂因此乂ｇＱ，〖是关于生成（）（）－子＜的有限生成对象．故ｆ．．ｄｉｍ．于是ｉ的＋１投５Ｐ，在谷中存在⑷）办⑷）－２３－ 北京工业大学理学硕士学位论文…射表现序列其中巧衫巧是有限生成的？因为谷，Ｐ？？？是伪凝聚的由定理３．１．５可知存在有限生成的投射对象Ｐ？？使得序，，＋２，，＋３，列＇＇＇ＰＰ＇＇＇——－ｎ＋Ｚ＾－ｒ＾Ｐ－ｒ＾－Ｐ（３＾）ｉ＋２ｉ＋ｌ〇正合－．将右正合函子ｇ作用到正合列（３４则可得右正合列），？．．．．．３—Ｐ—Ｐ—Ｐ—ｉ一？０－＾ｇ＾ｎｉ。）（３５）（＾３）ｇ（＾２）＾（＋）＾（）＝注意到ｐ是正合函子？由２９理５．２ｉｉＬｚ０ｍ＞１Ｌ［，引（）］可知，ｍｇ，这里，ｍｇ是（⑷）－函子的第ｍ个左导出函子．因此３５．ｇ，右正合序列（）是正合序列由函子ｇ的右正合性可知＝，１２．．．是关于生成子ｇＱ）是有限生成的．因为ｇ保持投，，）（＝〇射对象，所以１２．．．为投射对象．由有限表现维数定义以及，，，）．．ｄｉｍＡ彡７２？．．ｄｉｌＴＬＡ彡可知，ｆｐ＿４因此，ｆｐ下面证明ｆ．ｐ．ｄｉｍＣ彡任取Ｃ中关于生成子的有限生成对象则根据定理３．３．４知／Ｃ，是（〇－谷中的有限生成对象．因此．．ｄｉｍ／Ｃ．故在谷中存在／Ｃ的ｎ＋１投射，ｆｐ办（（〇）（〇（）￣〇表现＾＾其中Ｇｒ是有限生成的．谷是伪，ｔ＋ｌＧｒｔ因为，凝聚的定理３．１．５？．．．使得序列，由可知，存在有限生成的投射对象Ｑ？＋２，，Ｑ＋３，？＇＇—￣￣＇＇＇—－■０＾Ｑｎ＋３＾Ｑｎ＋２＾Ｑｎ＋ｌ〇？（３６）（）正合－．作用正合函子ｅ于正合列３６则可知序列（），？？？—－——？？？—－—－—？／０？ｅｎ＾＾ｎ＾＾ｎ＞ｅ＞ｅＣ）（Ｑ＋ｓ）（Ｑ＋２）（Ｑ＋ｉ）（Ｑ〇）（）＝是正合的．易证１２．．．是有限生成的．ｒ是正合函子又因为，故函子，，）ｅ保投射对象ｅ＝０１２．．．．ｅｄｄ，即ｊ是投射的于是，由及有限表现维数（沾）（，，，）ｃ的定义知ｆ．．ｄｉｍＣ＾ｎ．因此ｆ．．ｄｉｍ□，ｐｃ，ｐ一．定理３．３．６令ｉ？ａ“八氐为阿贝尔范畴谷相对乂和Ｃ的个粘合假设阿贝尔范畴Ｓ是伪凝聚的，且有投射生成子若ｐ和ｒ是正合函子，且对Ｓ中任意ＬＢ＝０ｆ．．ｄ．．ｄ．．ｄ的对象有ｉｇ，则ｐｉｎＭ与ｆｐｉｍＣ均是有限的当且仅当ｆｐｉｍＳ（）是有限的．＝证明．由命题３．３．５可得充分性．只需证明必要性．不妨设ｆ．ｐ．ｄｉｍＡｆ．ｐ．ｄｉｍＣ＝ｍ．任取谷中的关于生成子Ｑ有限生成对象Ｂ证Ａ与，则容易验．ｅ＿ＢｅＣ分别是关于生成子ｅ＜于是■ｇＱ的有限生成对象，在＾中存在）与５（）（（）？—ｉ？Ｔ２１投射表现序列＿Ｐ）０＿Ｐ＿Ｐ的＋，其中ｉｎ是ｇ（）（）斜斜，有限生成的．３．１．５可知因为Ｓ是伪凝聚的，由定理，存在有限生成的投射对象－２４－ 第３章阿贝尔范畴粘合上的有限表现维数…使得序列，＇＇＇＇＇＇￣ＰＰ－Ｂ－＾Ｐ＾Ｐ＾＜＾０３７ｎ＋３＾ｎ＋２＾ｎ＋ｌ〇ｌ（）（）－…．Ｂ１正合同时ｅ＿ｍ４，在Ｃ中存在的＋投射表现序列Ｑｍ＋１４４）（）（４ｅ（Ｂ）４０，其中Ｑｍ＋１，是有限生成的．因为谷是伪凝聚的，由定理３．１．５存在有限生成的投射对象Ｑ？？？可知ｍ，使得序列，＋２，Ｑｍ＋３，＇＇＇？＇＇－—－—－５—？〇—＾Ｑｍ＋ｍｍｌ＞〇＞ｅ）（３８）３＾Ｑ＋２＾Ｑ＋Ｑ（）－正合．作用正合函子３７得正合列ｚ于正合列（），可？？？－？？？－？—－Ｐ—－ＰＰ—Ｐ—－ｉｉｉ＊－〇３９？ｎ？ｎｎｉ＞〇＞（）（＋＾）（＋２）＾（＋）（）作用右正合函子／到正合列３－８得右正合序列（），可．．．…￣－－—／—／－＾＾召３－１０＾Ｑｍ＋３）＾Ｑｍ＋２）＾Ｑｍ＋ｌ）Ｑ。）（）（（（（（）－＝由引理３．３．３３９是正合的．再由定理３．３．４／ｍ可知，右正合序列（）可知，（Ｑ＾）（ｊ０１２．．．均是关于生成子有限生成的．／是保投射的所以＝因为函子，／，，，）Ｑ（沾）（ｊ０１２…是投射的．故有ｆ．．ｄｉｍ／ｅ５＜ｍ．，，，）ｐ（）下证函子．ｚ是保持有限生成的一设Ｍ为乂中的任意个关于生成子．由定义可知ｇＱ，存）的有限生成对象（在有限的指标集ＡＱ以及满态射：因为函子ｚ为正合函子则作用／，Ａ（Ｑ）＾Ｍ函子ｉ后得满态射ｉ：ｉ．由［２９引理５．２ｉｉ可知存在单位态，可，（）］，（／）ｇ（Ｑ）（）。〕Ａ〇Ａ〇（）（）射：Ｑ４＊ｇ．因此存在满态射４＊＿叫（Ｑ）劣Ｑｇ（Ｑ）考虑如下态射的合成ＡＱ（〇）ｘ〇、＾＾ｉＭｉｑＱＹ（）（Ａ艮（。）Ｍ＝存在满态射．．ｚＰＰ４＊所以」？，Ｑ因此由定义可知ｚ（Ｍ）是有限生成的，（）（＋ｊ）（ｊ０１２．．．是有限生成的．注意到函子ｉ保持投射对象进而可知ｆ．．ｄｉｍｉ＿Ｂ．，命，，，）ｐ（ｇ（））根据［２９，引理５．２〇）］，存在短正合列０４／ｅ〇Ｂ４Ｂ４ｉＢ４０？再由定）ｇ〇）理３＿２＿１３．．ｄｉｍｉ？ｍａｘｍ７２？因此．．ｄｉｉｒＬＡ有限的．□可知，ｆｐ彡，ｆ是｛，｝ｐ３．４本章小结－２５－ 北京工业大学理学硕士学位论文本章首先引进了阿贝尔范畴中有限表现对象的定义并进一步引进了阿贝尔，范畴中的对象及整个范畴上有限表现维数的概念，对于阿贝尔范畴中短正合列讨论了三对象之间的有限生成条件之间的联系．其次给出了对象的有限表现维数与投射维数范畴的有限表现维数与整体维数，．最后给出了阿贝尔范畴粘合上三个范畴之间生成子的可传递性之间的关系，以及三个范畴间有限表现维数的关系．－２６－ 第４章阿贝尔范畴上的表现维数第４章阿贝尔范畴上粘合的表现维数在本章中我们在阿贝尔范畴里引进对象和范畴的表现维数并得到它们的一，，些性质以及阿贝尔范畴粘合上三个范畴的表现维数之间的一些关系．４．１表现维数在本节内，我们在阿贝尔范畴中引进对象及其范畴的表现维数，并研究对象表现维数与投射维数的关系以及对象表现维数的性质．一一定义４．１．１令乂为个阿贝尔范畴ｎ为非负整数．Ａ中的任意个对象Ｍ，一一－－称为ｎ表现的如果它有个有限７２表现．即存在个正合列＿Ｐｎ４＿Ｐｎ４，，：Ｌ一—Ｍ＝００１．．．ｎ＾Ａ４Ａ４４，其中每个巧ｊ，，为有限生成的投射对（）象？注０－（１）对象Ｍ是表现的当且仅当Ｍ是有限生成的；２对象Ｍ是１－表现的当且仅当Ｍ是有限表现的（）；一３每个ｍ－表现的对象都是ｎ－表现的其中（），４１２一ＭＭ的定义．．设乂为个阿贝尔范畴，为该范畴中的任意对象，定义表现维数如下：ＦＰｄｉｋｆ＝．■■——？？？———？？？——Ｉ＞Ｐ、ｙＰ＞Ｐ、＞Ｐ、ｊ：ｎｆ｛ｍ存在投射分角牛ｍｍｍｉ｜＾ｊ〇＝Ｍ４００１２．．．，使得仏＋是有限生成的，ｊ，，，ｊ如果不存在这样的分解，则定义ＦＰｃ＾Ｍ＝ｏｏ．Ｍ一注若ＦＰｄｊ＝０，则Ｍ有个无限的有限表现．在这种情形下，我们称Ｍ一一一为个强表现对象．因此个具有，我们可以利用对象的表现维数度量该对象与个无限的有限表现的对象的接近程度．一定义４．１．３设乂为个阿贝尔范畴记乂的表现维数为ＦＰｄ乂定义乂的表，，现维数如下：ＦＰｃＵ＝ＦＰｄＭＭ？：Ｓｕｐ｛为Ａ中任意有限生成对象｜｝命题４．１．４在阿贝尔范畴乂中，不存在表现维数为１的有限生成对象．．．ＭＦＰｄＭ＝ｌ证明反证法假设在阿贝尔范畴Ａ中存在有限生成对象满足＿４，４Ｍ…＝则由定义．１．２投射分解鸟巧鸟Ｐ鸟Ｍ４０可知存在。，其中巧ｊ（＝１２．．．是有限生成的．设私Ｋｅｒｄ．因为巧是有限生成的，所以私是有限生成，，）Ｑ的．注意到序列是正合的，而且Ｍ是有限生成的，因而＆是有限生成的．在这种情况下我们有ＦＰｄＭ＝０这与ＦＰｄＭ＝ｌ矛盾．因此原，ｊ，＿４，命题成立．口由命题４．１．４，我们很容易得到下面的结果，推论４．１．５设乂为阿贝尔范畴则４的表现维数不等于１．，－２７－ 北京工业大学理学硕士学位论文下面给出阿贝尔范畴乂中对象的表现维数与投射维数的关系，以及范畴乂的表现维数与整体维数的关系．一Ｍ一命题４．１．６令乂为个阿贝尔范畴，为乂中的任意个对象，我们有１ＦＰｄＭ彡ｄＭ＋１．（）ｊｐｊ２ｌ．若．ｄｉｒｒｕ４ｒ（）＾ｉ则＋１ｇ，证明．结论２１１立即可．（）可以直接对结论（）取上确界得到，则只需证明结论（）成ｄＭ对ｐｙ进行分情况讨论：１若ｄＭ＝ｏｏ则结论显然成立．（）ｐ＿４，Ｍ一ｄ＝ｎ则存在Ｍ的个长度为ｎ的投射分解存在正合列〇４八４⑵若ｐ＿４，，即—Ｐ—ＰＯｎ＾＾Ａｊ—Ｍｙ．因而必然存在Ｍ的如下投射分解＞Ｏ＾Ｏ＾Ｐｎ＾１ｏＰ—Ｍｇｎ＋ｌ４丄２ＦＰｄ？即ＦＰｄＭ＜ｄＭ＋ｎ〇由定义可知ｊ，＿４ｐ＿４１．□注ＦＰｃＵ比ｌ．ｄｉｍＡ小．事实上设Ｚ４是整数环Ｚ模４的剩余类环记ｇ，，Ａ＝其中２Ｇｍｏ？２＝ｌ．ｄｉＡ＝？ｍｏｃＫｃＥｏｏ故ｒｒｕｏｏ但是模范畴ｍｏｃＥ４４，由于ｐｄ（，（）４）ｇ是诺特的所以ＦＰ＝０．ｃＵ，一Ｆ为方便叙述，回顾下映射锥的概念．若乂为阿贝尔范畴，：４Ｃ为链Ｆ＝映射定义Ｆ的映射锥ＭＣ为如下复形：其第ｎ次齐次分支为，＾）一．Ｃ？．进步地复形序列是正合的我们有以下；，己知事实：假设下图＇Ｃ－＾Ｃ＇ＡＡ是交换的一个单态射则ＭＣＦ是，其中两个纵向态射是投射分解，如果／是，（）一Ｃｏｋｅｒ的投射分解．如果个满态射则／／是，，，—ＭＣＦＦ—ＦＭＣＦ０＞｛ｎ４ＭＣ（ｎＨ＾ＭＣ２＾Ｚｉ＾Ｋｅｒ＾Ｋｅｒ））（）（（））／＾／的投射分解．其中为态射的核．ＦＰｄ．．．ｉｋｆ＝ｍ则存在正合列假设，在该序列中＝０１２．．．是投射的并且Ｐｍ＝０１２．．．是有限生成的，，，，，，）＋ｊｊ，，，）一一我们称这样个无限正合序列为Ｍ的个无限表现序列．一一命题４．１．７令乂为个阿贝尔范畴设为乂中的个短正，〃〃＇＇＝合列且ＦＰｄＡ＝ｄＦＰｄＡ＝ｄＦＰｄＡｄ．如果这三个表现维数中有两个是，，，（）（）（）〃＂一有限的，那么第三个表现维数也是有限的？进步地，＜ｉ＜ｍａｘ｛ｃ／ｄ，ｄ＜ｍａｘ（ｉ＜／＋，｝｛，＂１ｄｘｃ？ｄ—１．｝，＾ｍａｊ，｝＇＇．．令Ｐ和Ｐ分别是Ａ和，的无限表现序列证明假设Ｙ和／是有限的，由马掌引理可知存在Ａ的表现序列Ｐ使得为复形的正合序列．，〃〃ｘｉ＿Ｐ／（ｉ．因此（／（时ｍ是有限生成的所以ＦＰｄｍａｘｃ，当ｍ＞ｍａ｛，，，｝乂Ａ＜｛，｝－２８－ 第４章阿贝尔范畴上的表现维数＇Ｐ．令Ｐ和分别为和Ａ的无限表现序列假设Ｙ和ｄ是有限的，设＇〃ＭＣ一ＫＰｊＰ为由态射诱导的链映射Ａ的个投射分解．，故ｐ）为＇由映射锥ＭＣｐ）的构造可知，当且ｍ＞ｄ＋ｌ时，ＭＣｐ）是有限生成的．因〃＇此ＦＰｄＡｘｃｄ＋ｌ．，＿４（）彡ｍａｌ＾｝＂假设＾和／是有限的．令Ｐ和Ｐ分别为Ａ和的无限表现序列．同时＇令为由态射诱导的链映射则存在Ｐ为的无限表现序列．，〃其中？因此ｄ１且ｍ＞ｄ，当ｍ＞＋，时，ＭＣＧ－是有限生成的．１时ｍ所以当且，是有限生成的，注意到（）＜当／彡＝０１并且ｄ时因为正合列是可，，＇〃ｘ－裂的故ｇ是有限生成的？ＦＰｄＡｄｄ１．□，因此，＿４＜ｍａ｛，｝关于若干对象的直和．（即上积）的表现维数，我们有如下结果４１．＝１２．．．命题．．８令乂为阿贝尔范畴设沟Ｊｍ均为乂中的有限生成（，，，）＝＝＝？ＦＰｄｌ２．．．ｍＦＰｄｍａｘＦＰｄ对象若是有限的，则＿４＿４＾（ｊ，，，）ｊ（卷牟）｛（牟｜ｊｉ＝ｉ１２…ｍ．，，）｝＝证明．数学归纳法．我们只需要考虑ｍ２的情况．由定义可知，存在正合序列■－￣－－■－－－－０（００ＡＡ０．．１．７ｙＡｉｙＡ＼ＢＡ．２ｙＡ．２＞以及ｙＡ．２ｙｉ（ＢＡ．２ｙｉ＞由命题４可知，ＦＰｄｍａｘＦＰｄＦＰｄ４－１＾（Ａｉ？Ａ２）＾ｊ＾Ａｉ，＾Ａ２｝，（）ＦＰｄＡｍａｘＦＰｄ４Ａ？ＡＦＰｄ４Ａ—１４－２（）＾！＾｛＿（１２），＿２｝，ＦＰｄＡｍａｘＦＰｄＡ？ＡＦＰｄ—１４－３＿４２＾｛＿４（１２）（），＾Ａ！｝ＡＡＦＰｄ－ｂＦＰｄ４－１不妨设ＦＰｄＡ．则有ＦＰｄＡＡｌｄｄｄｊｒ，由（）可知，－ＦＰｄ－？若ＦＰｄＡｌ：，则易得结论如下＿４（Ａ？烏）Ｋ＿４２ＦＰｄＦＰｄ－ＦＰｄ－ｌ－Ｋ？显然矛盾？因此ＦＰｄＹＡ＾＾ＦＰｄＡｌｊＡＫｄ＾ｄＡ＾ＷＪ，－２ＦＰｄｙｄｙ上＝由（４知４４？ｙ４？会我们有ＦＰｄｙ４ＦＰｄｙ４？ｙ４．□）可，＿４ｉ＜ＦＰ＿４（ｉ２）示，＿４ｉ＿４（ｉ２）４．２阿贝尔范畴粘合上的表现维数在本节中．，我们研究阿贝尔范畴粘合中三个范畴的表现维数间的关系４２１一？命题．．设ｉ？ａ６式氏Ｃ为阿贝尔范畴谷关于乂和Ｃ的个粘合（）ｇＩ＾＾＾＾ｐｒ若Ｑ为Ｓ的生成子，且ｒ为正合函子，则１为Ａ的生成子．（）ｇ（Ｑ）（２）ｅ为Ｃ的生成子．（Ｑ）－２９－ 北京工业大学理学硕士学位论文一证明．１因为ｇ为阿贝尔范畴谷的生成子则对于任意的Ｍｅ氏存在个（），指标集Ａ以及满态射因此对于任意的ｉＶｅ入有ｉ＼ｅ氏存在满态射，＜〇因为ｇ为左正合函子且保持直和封闭，故作用函子ｇ，我们得到满态Ａ＇Ａ＇（Ａ（射Ｕ＊．＾ＪｃＵ故存在满态射ＵｉＶ．由命题２．３．７ｇ又因为，可知（Ｑ）ｇ（〇ｇｇ（Ｑ）ｇ为Ａ的生成子．（Ｑ）（〃Ｕ（２）对于任意ＣｅＣ有／ＣｅＳ故存在满态射Ｑ／Ｃ．因为ｅ为正合函子，，（〇（〇且保持直和封闭故作用函子ｅ我们得到满态射ｅ⑷４ｅ／Ｃ．又因为ｅ／２Ｊｄ，，Ｑ）ｅ，（（〇故存在满态射由命题２．３．７可知为Ｃ的生成子．口４２２一乂．命题．．令ｉ？ａ为阿贝尔范畴谷关于乂和Ｃ的个粘合假设阿“，氐贝尔范畴Ｓ有投射生成子且ｐ是正合函子／．，则函子保持有限生成对象一证明．任取Ｃ中关于生成子ｅ的有限生成对象则存在个有限指标集Ａ（切ＡＡ（）（）以及满态射ｇ：ｅＱ４ａ注意到／是右正合的故态射：／ｅ４／Ｃ是），Ｑ）（（（〇满的．下证／Ｃ是Ｓ中关于生成子有限生成对象．由于是正合函子故易知，（〇Ｑ的ｐ函子．保持投射对象可知短正合列０４／ｅ１ｚ保持投射对象因此，根据函子ｇ，（Ｑ）Ｑ４ｚ４０是分裂的（因为Ｑ是投射对象）．故存在满态射Ｌ４／ｅ使得ｇ（Ｑ）Ｑ（Ｑ）ＡＡ＝Ｊ（）（因此／／ｉ：Ｕ／Ｃ．／Ｃ４，存在满态射Ｑ所以，是谷中关于生（处⑷（〇（〇成子Ｑ的有限生成对象．口乂和Ｃ间的一命题４．２．３令ｉ？Ａ氏Ｃ个粘合．ａ６）为阿贝尔范畴谷关于（ｑＩ＾＾＾＾ｐｒ和ｒ是正合函子．若ＦＰｄＢ＜ｏｏ假设阿贝尔范畴Ｓ有投射生成子且，则：ＰＦＰｄ乂＜〇〇，ＦＰｄＣ＜ｏｏ？特另ＩＪ地，ＦＰｄＡｇＦＰｄ谷，ＦＰｄＣｇＦＰｄＲ＝证明．假设ＦＰｄＢｎ．任取乂中的任意关于生成子ｇ的有限生成对象存在有限指标集Ｊ以及满态射且单位态射Ａ：叫．从而Ｑ（Ｑ）是满态射存在满态射因此是关于生成子有限生成对象．故ＦＰｄ⑷，Ｑ的于是．，存在Ｓ中的正合序列＇＇＇￣＇＇＇￣＇＇＇—－—－—？Ｐ＾〇４＾４－＾Ｐｎ＋ｊ＾＾Ｐｎ＾Ｐｎｌ＾＞－〇＞＊４＞（）（）＝＝其中巧０１２．．．均为投射对象，并且０１２．．．是关于生成子Ｑ有（ｊ，，，），，，）限生成的．作用到正合列４－４正合列将右正合函子ｇ（），则可得右？？？？？？？？？—－Ｐ—？—－Ｐ—－Ｐ—？—－Ｐ—－ｉｙ—？０４－＞ｇｎ）＞ｎ＞ｎｉ）＞〇＞４＞（５）（＋ｊ）ｇ（）ｇ（）ｇ（）ｇ（）－３０－ 第４章阿贝尔范畴上的表现维数＝Ｌ注意到是正合函子．则可知Ｌｉ０ｍ＞１ｍ，这里，ｍｇ是函子的第ｐ，ｇ⑷ｇ４－．．因此右正合序列（５是正合序列由函子的右正合性可知ｍ个左导出函子，，）ｇ＝〇１２是关于生成子Ｑ．因为保持投射对象所）是有限生成的，，，，ｇ（ｇ以＝〇１２．．．为投射对象．由表现维数定义以及可得结论ＦＰｄ，＿４，，，）Ａ＾ｎ．ｌｔｋＦＰｄ＾ｌｎ．Ｉ３，＾下面证明ＦＰｄＣｇｎ．任取Ｃ中关于生成子ｅ的有限生成对象Ｃ则根据命题４．２．２知／Ｃ是谷，，（Ｑ）（〇中的有限生成对象．因此ＦＰｄ／Ｃｎ．故存在如下正合序列，（（〇Ｋ？＇＇￣＇＇＇￣＇＇＇—－—？〇４—＾Ｑ＾Ｑ＾＾＞）（６）ｎ＋ｊ＾ｎＱｎ１Ｑ〇＝其中＝〇１２．．．均为投射对象并且Ｑｎ〇１２．．．是关于生成子Ｑ有ＧｊＣ／，，，），＋ｊＣ／，，）限生成的．作用正合函子ｅ４－６则可知序列于正合列（），？？？？？？？？？－－？—－——－ｅ－—ｅ—Ｃ—０＞ｅｎ＾＾ｅｎ＾Ｑｎｉ）＾＞Ｑ〇）＞）（Ｑ＋ｊ）（Ｑ）（（＝是正合的．易证ｅｎ０１２．．．是有限生成的．ｒ是正合函子ｅ又因为，则（Ｑ＋ｊ）（ｊ，，，）是保投射对象的６＝０１２．．．是投射的．ＦＰｄＣ＾ｎ．，即于是可得，ｃ因此，（０＾０７，，，）ＦＰｄＣ＾ｎ．□４２４一．命题．．令ｉ？ａ式氏Ｃ为阿贝尔范畴谷关于乂和Ｃ的个粘合ｆ）（）ＱＩ＾＾＾＾ｐｒ假设阿贝尔范畴谷有投射生成子且Ｐ和ｒ是正合函子．如果对任意谷中的对象昃有ＬＢ＝０则ＬｍＢ＝０１．／ｅ这里ｍ彡ｉｇ，，（）（）．Ｂ证明．因为阿贝尔范畴谷有投射生成子，故它有足够多的投射对象设为谷中对象，其投射分解为＇＇＇＇＇＇－＾Ｐ＾Ｐ＾－＾■Ｐ－Ｐ－Ｂ＾－０ｎｎ＾＾ｌｌｏ＇＇令作Ｂ为Ｂ的投射分解第个合冲＝０１…Ｗｐ＝凡由假设条件Ｊ，这里ｊ，（），，）以及函子Ｚ的正合性可得对任意的Ｊ＞０，有短正合列ｊ＋１ＢＰｊＢ０＾ｉＱ＾ｉ＾ｉｔ＾０ｑ（（））ｑ（ｊ）ｑ｛ｙ（））－３１－ 北京工业大学理学硕士学位论文．根据引理２．４．１０可得如下交换图，０００＋１０—＾ｌｅ＾Ｂ＾＾ｌｅＰ＾＾０（（）｛）ｊ）０＾０＋１０—＾ｉ＾Ｂ—＾ｉＰ—＾ｉ＾Ｂ—＾０ｑｉ（（））ｑｊ）ｑ｛（））０００＝〇１．．．．且每列均正合：这里Ｊ，由蛇引理，可得短正合列如下，，＝〇１．．．召．注意到ｒ是正合的．因此ｅ保持投射．／的投射这里ｊ，对象从而有，，以）分解如下：＇５？？？—Ｐ—Ｐ—．—Ｐ——＂—■ｌｌｌ／／／Ｂ０ｙｃｉｎｙｃ（ｎ＼ｙｃｉ＾ｅ＞ｅ＿＞＾）ｉｊ＾ｉ）（〇）（）ｙＬ＝因此ｍ／ｅＢ０这里ｍ彡１＿□，，（〇））乂一命题４．２．５令ｉ？ａ“Ｃ为阿贝尔范畴谷关于乂和Ｃ间的个粘合．假设，氐）阿贝尔范畴Ｓ有投射生成子且Ｐ和ｒ是正合函子．若对Ｓ中任意的对象昃有ＬＢ＝０则ＦＰｃＵ与ＦＰｄＣ是有限的当且仅当ＦＰｄＢ是有限的．ｉｇ〇），＝＝证明．由命题４．２．３．只需证明必要性．不妨设ＦＰｃＵｎＦＰｄＣｍ．可得充分性，任取谷中的关于生成子Ｑ有限生成对象则容易验证Ａ与ｅ〇ＢｅＣ分）别是关于生成子与的有限生成对象．故在乂中存在正合序列＇＇＇￣＇＇＇－＇＇＇￣Ｂ－－＾Ｐ＾＾Ｐ＾Ｐ＾＾Ｐ＾＜＾〇４７ｎ＋ｊｎｎ１〇ｌ（）（）＝＝其中巧０１２．．．是投射对象０１２．．．ｊ，是关于生成子（，，，），，，）ｇ（Ｑ）有限生成的．＇＇＇——＇＇＇———＇＇＇￣－—－Ｂ—－０４－＾Ｑｍ＋＾＾Ｑｍ＾Ｑｍ１＾？Ｑ〇？ｅ）（８）ｊ（）＝＝〇１２…是投射对象〇１２．．．ｅ其中％，Ｑｍ是关于生成子（Ｊ，，，）＋（Ｊ，，，）（Ｑ）有限ｊ生成的．－３２－ 第４章阿贝尔范畴上的表现维数作用正合函子－７ｚ于正合列（４），可得正合列？？？？？？—？？？？—？—－Ｐ—？—ｉ０４））＞〇）（９）（）作用右正合函子／到正合列４－８正合序列（），可得右？？？？？？？？？—－—？—￣／０４－１０＾ＫＱｍ＾ｍｌ＾＞Ｑ〇））（））ＫＱ）（４－．＝由命题．２．４４１０是正合的．再由命题４．２．２／ｍ可知，右正合序列（）可知，（Ｑ＾）（ｊ０１２．．．均是关于生成子Ｑ有限生成的．因为函子／是保投射的／＝，所以，，，）（沾）（ｊ０１２…是投射的．故有ＦＰｄ，，，）下证函子．ｚ是保持有限生成的一设Ｍ为乂中的任意个关于生成子．由定义可知ｇＱ，存）的有限生成对象（在有限的指标集Ａ以及满态射／：因为函子ｚ为正合函子，故作用Ｑ函子ＬＢ＝０由引理２．５．１０可ｚ后，可得满态射＜／）又因为ｉｇ〇），Ａ°｝ＡＡ（°）（°）知：４＊？进而存在满态射＜：４＊．，存在满态射ＱｇＱＱ）％（Ｑ）ｇ（考虑如下态射的合成ＡＱ（〇）、）々、、＇、Ａ艮（。）＝存在满态射是有限生成的．ｚＰＰ４因此由定义可知＜Ｍ所以」？，Ｑ，）（＋ｊ）（ｊ０１２．．．是有限生成的．注意到函子ｚ保持投射对象，进而可知ＦＰｄ！．，，，）Ｗｇｐ））＾根据引理２．５．１０可知，存在短正合列０４／ｅｐ）４Ｂ４０（５）４０．再由命题４＿１＿７可知，ＦＰｄｇｉ？彡ｍａｘｍｎ？因此，ＦＰｄＢ是有限的．□｛，｝４．３本章小结本章首先在阿贝尔范畴中引进了有限ｎ－表现对象的定义；然后引进了阿贝尔范畴中的对象及范畴上表现维数的概念，给出了对象的表现维数与投射维数，范畴的表现维数与整体维数之间的关系．其次对于阿贝尔范畴中短正合列０４Ａ４，Ｂ４Ｃ４０，讨论了八５，０三对象的表现维数的关系．最后，给出了阿贝尔范畴粘合上三个范畴之间生成子的可传递性以及三个范畴间表现维数的关系．，－３３－ 北京工业大学理学硕士学位论文－３４－ 第５章阿贝尔范畴粘合上的ｎ表现维数第５章阿贝尔范畴粘合上的ｎ－表现维数在本章中－，我们引进阿贝尔范畴及其中对象的ｎ表现维数的概念，并给出对－象之间ｎ表现维数的关系和性质．最后讨论阿贝尔范畴粘合中三个阿贝尔范畴的一一－ｎ表现维数之间的些关系得到些有趣的结果．，５１ｎ－．表现维数在本节假设阿贝尔范畴乂中有投射生成子我们引进了阿贝尔范畴乂中对象及其范畴Ａ的ｎ－表现维数的定义并给出了Ａ中短正合列的对象间ｎ－表，现维数的关系．Ｍ为乂中的对象－定义５．１．１设乂为阿贝尔范畴定义Ｍ的ｎ表现维数为，，＝？？———ＦＰｎｄｉｋｆＩｎｆｍ存在ｍ＋７２投射表现序列＿Ｐｍｎ＿Ｐｍ）＿Ｐｍｉ）（）｛｜（）＋—／…Ｍ４０．＾几４，其中＾是有限生成的，，｝＝若上述分解不存在则定义〇〇．，注⑴当ｎ＝１时ＦＰｄＭ为有限表现维数ｆ．．ｄｉｎＭ．，？（）ｐｕ２ｎ＝〇〇ＦＰｄＭＦＰｄＭ．（）当时，为表现维数？（）＿４Ｍ＝０－３若ＦＰ？ｄ则称Ｍ为ｎ有限表现对象．（），（）－定义５．１．２设乂为阿贝尔范畴表现维数为，则定义乂的ｎＦＰｄＡ＝ＳｕＦＰｄＭＭ为乂中任意有限生成对象？？？（）ｐ｛（）｜｝５１Ｍ的—命题．．３当且仅当存在ｍ＋ｎ投射表现序列（）６１……、芥為从４〇使得第Ａ－ｌＨ：个，－核Ｋｅｒ．＜４为ｎ表现对象其中而ｍ为非负整数＾，证明．充分性显然成立．．，下面证明必要性我们用数学归纳法来证明当ｍ＝０时ＦＰｄＭ＝０由定义可知存在Ｍ的ｎ－投射表现序列，即？，，（）…ＭＭ０其中芥．．．巧鸟Ａ几鸟，巧是有限生成的，，，＝ＫｅｒＬ—且Ｍｃ显然ＫｅｒｃＬ为ｎ表现对象．：，：归纳假设ｍ＜ｓ时，结论成立，即存在Ｍ的投射表现序列…Ｐ＃Ｐ４Ｐ」＆从＾４〇使得第个核Ｋｅｒ４为ｍｍｑ，丄—＝—ＯＡｒ／ＫＡ…．ｎ表现对象：０１ｓ１，其中＾＾＾，，，）＝ｓ时ＦＰｄＭ定义可知存在Ａｆ的－下面考虑ｍｎｎ投射表现，即，由（）〇卜＋）１序ＭＰｈＰ／＾…＾Ｐ、Ｐ＾…、Ｐ、Ｐ、Ｍｂｓ＋ｎｓ＋ｎＳＳｉｉ〇０．．．．，其中巧巧？是有限生成的将上式截断，可得正合列巧＾，＋．．．」――—匕巧．．．ｅｒ〇ＦＰｄＫｅｒ办５１？￥巧ｉ巧４Ｋ办４，即？彡由归（）＝－＝Ａ．．．．：ｌ２ｓ１Ｋｅｒｄ纳假设可知，Ｋｅｒ４１为表现对象，又因为Ｍ５（，，，）１显然Ｋｅｒ—：为ｎ表现对象□－３５－ 北京工业大学理学硕士学位论文命题５．１．４设乂为阿贝尔范畴Ｍ为乂中的任意对象，则，（１）ＦＰ？ｄ（Ｍ）彡ｐｄ乂Ｍ＋１；２ＦＰｄＭＦＰｄＭ．（）ｎｎ（）＾＋１（）证明．只需考虑ｄＭＦＰｄＭ有限的情形即可．ｐ＿４？，（）…Ｍ＝－若ｄｎ７２＜〇〇则存在投射分解＾４＿Ｐ＿Ｐｐ，；４４ｊ（）Ｌｌ０Ｍ４〇．其中巧（Ｋｊｇｎ）是投射的．于是，存在正合列４巧４Ａ４Ｍ＾Ｏ．由于正合列的前两项即最左边的两项０与０是有限生成的，故ＦＰｎｄ（Ｍ）＜７２＋１．结论（２）显然成立．□５１５一引理．．设乂为阿贝尔范畴个短正合列，为乂中的，其中ｐ为阿贝尔范畴乂中的投射对象，则ＦＰ？ｄ（Ｍ）＜ＦＰ？ｄ（Ｋ）＋１．证明．对ＦＰ？ｄＫ进行分类讨论．（）若ＦＰｄｆ＝ｏｏ显然成立．？〇〇，则结论若ＦＰｎｄｉ＾＝ｍｍ＜ｏｏ则存在Ｋ的ｍ—投射表现序列＋７２，（）（）（）Ｐ＇＇＇Ｐ￣Ｐ￣￣Ｐ－ｎ＋ｍ＾Ｐｎ＋ｍ＾＾ｎ＾－ｎ＾＾－ｌ１ｏ其中ＪＰ．．．ＪＰ是有限生成的．合并该正合列与题设正合列ｍ？ｍ，＋一我们可以得到Ｍ的个ｍ＋７２－投射表现序列（）Ｐ＇＇＇Ｐｆ—？〇ｎ＋ｍ＾Ｐｎ＋ｍ＾＾ＰＡ）ｌ〇即我们得到正合列Ｐ￣Ｐ￣－－￣ｎｍ＾ｎｍ＾＾－＾＾－＾ｎ＾＾ＰＰ＾Ｍ＾Ｏ＋＋ｌ＋ｎ＋１＾ｑ－其中是有限生成的．由ｎ表现维数的定义可知ＦＰｄＭＦＰｄＫ＋１．□ｎ（）＾ｎ（）－１命题５．１．６令乂为阿贝尔范畴，则乂中不存在ｎ表现维数为的有限生成对象．Ｍ－证明．．为乂中ｎ表现维数为１的有限生成对象且ｎ＞０则存反证法假设，，在ｎ－＾巧」＆…」ｈＭｙＯ其中＋１投射表现序列八１，（）＋…Ｍ＝－Ｐ为有限生成对象？由于ＦＰｄ１Ｋｅｒｎｉｎ，从而有限表现对，，（）办为象所以Ｋｅｒ办为有限生成的．再考虑正合列〇４Ｋｅｒ其中Ｍ是，＝有限生成的从而由命题３丄２可知几为有限生成的．于是Ｍ０．，ＦＰ？ｄ这与，（）ＦＰｄＭ＝１．．□？矛盾所以原结论成立（）－３６－ 第５章阿贝尔范畴粘合上的ｎ表现维数－１乂的ｎ．推论５．１．７设乂为阿贝尔范畴表现维数不可能为，则一定理５．１．８令乂为阿贝尔范畴厶Ｐ４０为乂中的个短正合列，，且Ｐ为乂中的投射对象．我们有Ｐ是有限生成的ＦＰ＝０ＦＰｄＡ＝０，则当且仅当？；⑴若Ｗ）（）＇２若ＦＰｎＣＡ＝ｍ１则１ＦＰｄＡｍ．（）＾）彡，彡ｎ（）＜＇ＰＦＰｄＡ＝ＦＰｄＡ＿⑶若是有限生成的，则？（）？（）＇ＦＰｄＡ＝ＦＰｄＡ．因此，若Ｐ是有限生成的，则？？（）（）＇＝－证明．．因为ＦＰｄＡ０ｎ？，由定义可知，存在的投射⑴先证明必要性（）？？？＝￣Ｐ￣￣Ｐ￣Ｐ￣Ａ—０表现序列Ｐｎｙｎ、ｙ＾＾＾＿其中０１．．．７２是１ｉｑ，，，）投射的，户〇巧．．．户？是有限生成的．又因为Ｐ是乂中的投射对象，则存在投射分，，—解—由马掌引理可知，合成的序列４４、＇５５５３ｉ／／０是正合的－巧４？４Ａ？４．由Ｐ？／是有限生成的故由ｎ表现维。。，＇５ＦＰＡ？／＝０．ＦＰｄＡ＝０．数的定义可知因为即？（）＾）＝－再证明充分性．因为ＦＰｎｄＡ０由定义可知存在Ａ的７２投射表现序列，，（）．．．—？—？４Ａ０．其中＝０１…ＱｎＱ））抑是投Ｑｎ１ｌＱ〇，，，）Ｐ的投射分細１射的．．．ｎ是有限生成的．，Ｑ。取对象，Ｑｉ，Ｑ令Ｆ为由一二个投射的链映射则序列４／诱导的从第个投射到第，ＭＣＰ…ＭＣＰ４Ｋｅｒ０是正合的４４４ＡＯ，且Ｏｋ）／４是投射且有限生成的．考虑正合列（＾＾（ＭＣＣＰ））４ＭＣＣＰｈ４ＭＣＣＰ）。４０，其中ＺＪＭＣＣＰ））也是有限生成的投射对象．因此，’’ＦＰｄＫｅｒ＝０＿为ＫｅｒＳＡ得ＦＰ？ｄＡ＝０＿？又因，故（／）／（）＇＇２若ＦＰｄＡ＝ｍＡ的ｎ＋ｍ－投射表现序列巧Ｐ（）？，则存在怕４斜ｍｉ４（）（）．■■？？？＝————…ＰＰ…Ｐ＿Ｐ）＿Ｐ）Ａ）０？其中０１抑＋Ｗｌ是投射的＜＜＜，ｍｌ〇，，，），ｍ＋ｌ，，ｍ＋ｎ？？？是有限生成的．又因为Ｐ是乂中的投射对象００４０４，故存在投射分解４４＊？…Ｐ－Ｐ－０Ｐ—Ｐ￣￣Ｐ￣Ｐ￣—ｙ＾？ｎｍｙｎｍ、＾＞？Ｐ＾Ａ？Ｐ＾０因此，序列＋＋ｌｉ〇是正合的．其中是有限生成的．因为短正合列厶＇尸４一〇是可裂的，故乂？尸＾４．由定义可知，ＦＰ？ｄＡｍ．另方面，由⑴的结（Ｋ＇论ＦＰｄＡ＝ｍｍ０故ＦＰ？ｄＡ０．ＦＰｄＡ１．综上所述，因为？，其中＃，因而？彡，（）＃（）（）ｌＦＰｄＡｎ．＾ｎ＾（）３为ＦＰ？ｄ⑷＝ｍ彡１存在存在Ａ的ｎ＋ｍ－投射表现序列４（）因，所以（）￣＇＇＇－－－—０Ｑｎ＋ｍｙｙｙｙＡ＾？其中＝０１．．．＋ｔｔｉ是投射ｉＱｉＱ〇，，，）￣￣■■■￣￣的．．．？注思到序列〇＾〇＾＾〇为Ｐ，Ｑｍ，Ｑｍ＋ｌ，Ｑｍ＋ｎ是有限生成的Ｆ一的投射分解．令为由／诱导的从第个投射到第二个投射的链映射则序列，４．．．４４４Ｋｅｒ〇是１／４Ｐ＿ＭＣＭＣ…正合的．．．７１４Ｘ７是有限生成的ＺＰＰ且ＭＣ？？，，，，而Ｃ）＃，，（０ＪＣ））Ｃｈ＇＇是投射的为ＦＰ？ｄＫｅｒｍ且Ｋｅｒ＾４ＦＰｄＡｍ？，，故？因为怕，因／／（Ｋ（Ｋ’ＦＰ？ｄ（Ａ）＃０，所以ＦＰ？ｄ（Ａ＞ｌ？综上所述，ＫＦＰ？ｄ（ＡＫｍ＿－３７－ 北京工业大学理学硕士学位论文＇由结论ＦＰｄＡ＝ＦＰｄＡ．□（２），（３）可知，若Ｐ是有限生成的，则？？（）（）５２－．阿贝尔范畴上的粘合的ｎ表现维数在本节中我们研究阿贝尔范畴的粘合中的三个范畴ｎ－表现维数之间的关，系．一定理５．２．１设个粘合（式氏Ｃ）为阿贝尔范畴谷关于乂和Ｃ的，ｑＩ＾＾＾＾ｐｒ且函子／和ｒ为正合函子．若ＦＰ？ｄ（Ｂ）＜ｏｏ，则ＦＰ？ｄ（Ａ）＜ｏｏ，ＦＰ？ｄ（Ｃ）＜ｏｏ．一ＦＰｄＡＦＰｄｄＣＦＰｄＳ进步地．？？＜ＢＦＰ？？，，（Ｋ（）（Ｋ（）．任取ＡＧ则Ａ＝证明Ａ＊⑷ＧＲ不妨设ＦＰ？ｄｍ，则由定义知ＦＰ？？Ａｍ，（））Ｋ故存在正合序列＇＇＇＇＇＇－－？Ｐ－————ｎ＋ｍ＾Ｐｎ＋ｍｌ＾＾Ｐｍ＾Ｐｍ１＾＞－Ｐ〇＞＊＾４＞〇（５１）（），其中巧＝〇ｌ．．．ｎ＋ｍ均为投射对象并且巧．．．．，ｍ仏是有限生成的（ｊ，）＋，，作用正合函子到正合列５－１ｇ（），可得序列．＇＇．ｕ￣ＰＰＰ—Ｐ——Ｐ—Ａ—Ｑ－２ｑｎｍ４ｎｍｌ４４ｍ＾｛ｍｌ＾＾｛Ｑ＾）（５）ｉ＋）ｑｉ＋）ｑｉ）ｑ）ｑ）－２因为是正合函子５为正合列．由推论３．３．２ｇ，则序列（）可知，是＝有限生成的．因为是保投射对象的０ｌ．．．ｎ＋ｍ为投射对象．由ｇ，所以ｇ（巧）（Ｊ，）一－ＦＰｄｎ表现维数的定义可知Ａ＜ｏｏ．进ＦＰｄＡＦＰＡＦＰｄ，？步地，？？？，（）（Ｋ？）Ｋ间因而ＦＰ？ｄ（ＡＫＦＰ？ｄ（Ｓ）＿下面证明ＦＰ？ｄ（Ｃ）＜ｏｏ．任取ＣｅＣ，则／ＣＧ艮因为ＦＰ？ｄＢ＜ｏｏ，由定义可知ＦＰ？ｄ／Ｃ＜ｏｏ，故（〇〇）（（〇）存在正合序列＇＇＇＇＇＇—－—？—？－／Ｃ〇５—３Ｑｎ＋ｍ＾Ｑｎ＋ｍｌ＾＾Ｑｍ＾Ｑｍ１＾＞Ｑ〇＞）（）（）其中沾＝〇１．．Ｍ＋ｍ均为投射对象并且Ｑ＊＊＊是有限生成的．，ｎｍ（ｊ，）＋；；作用正合函子ｅ到正合列５－３序列（），可知＊＊＊＊＊＊＾ｅｅ￣＾ｅｅ（７０５４Ｑｎ＋ｍ）＾Ｑｎ＋ｍｌ）＾＾Ｑｍ）＾Ｑｍｌ）＾＾Ｑ〇）＾＾（）（（（（（．由推论３．３．２可知ｅｍｎ．．．ｅｍ是有限生成的．又因为ｒ是正合是正合的（Ｑ＋）函；，，（Ｑ）－３８－ 第５章阿贝尔范畴粘合上的ｎ表现维数＝－子故函子ｅ是保投射对象的即ｅ０１．．．ｍｎ．＋是投射的由有限ｎ表，，Ｊ，，（込）（）一ＦＰｄＦＰｄ现维数的定义可知ＦＰｄＣ＜ｏｏ．进步地Ｃ／ＣＦＰｄＢ？，？？？，因，（〇（Ｋ（（〇Ｋ〇）而ＦＰ？ｄ（ＣＫＦＰ？ｄ（Ｓ）．□一．定理５．２．２令ｉ？ａ６式氏Ｃ为阿贝尔范畴谷关于乂和Ｃ的个粘合（）ｑＩ＾＾＾乂ｐｒ假设阿贝尔范畴Ｓ有投射生成子函子和ｒ是正合的，且对于Ｓ中任意的对：Ｐ象ｉ？有ＬＢ＝０？若ＦＰｎｄＡ＜ｏｏＦＰｄＣ＜ｏｏ则ＦＰｎｄ＜ｏｏ＿ｎ；Ｂ，，，ｉ＾）（）（）（）证明．ＢＧｅＢｅＣ．ＦＰｄＡ＝ｗ；ＦＰｄＣ＝ｍ取任意的Ｂ印，则ｇＡ不妨设？，？，则（）（）（）（）存在正合序列＇＇＇＇＇＇－Ｐ－￣Ｂ－＾Ｐ＾＾Ｐ＾Ｐ＾＾Ｐ＾＜＾〇５５ｎ＋ｗｎ＋ｗｌｗｗ１〇ｌ（）（）＝其中巧〇１．．．ｎ＋是投射对象…八是有限生成的？ｊ，巧（，，，＋ｗ，，＇＇＇＇＇＇－—－—－５—？〇—Ｑｍ＋ｎ＾Ｑｍ＋ｎ＾＾ｍ＾ｍ１＾＞〇＞ｅ）（５６）ｌＱＱＱ（）其中％＝０１．．．是投射对象．．．．ｍ＋７２，Ｑｍ＾？是有限生成的（ｊ，，，，，）－正合函子－作用正合函子ｚ到正合列（５５），作用／到正合列（５６），可得正合列？？？＇＇＇￣－－￣Ｐ￣—Ｐ—Ｂ——＊－Ｐ＾－ＰｉＰ＾＾＾＾ｉ＾ｉ＾Ｑ５７（ｕｉ＋ｎ）＾（ｕｉ＋ｎｉ）＾＾｛ｗ）｛ｗｉ）｛〇）ｑ｛）（）＇＇＇＇＇＇￣￣￣—？—－５—？—ｌｍｎ＾ｌｍｎ＾ｍ＾＞／〇＞／ｅ）〇（５８）（Ｑ＋）（Ｑ＋ｌ）（Ｑ）（Ｑ）（）首先考虑正合列５－７正合函子ｉ保持投射对象（），因为，所以是投射的．下面证明只是有限生成的．为范畴Ｓ的投射生成子考虑伴４Ｑ，一随对＊＊个满的忠实右伴随命题３．３．１ｇ，因为函子为函子的，由可知（，）ｇｇ（Ｑ）一为范畴乂的生成子．设Ｍ为乂中的任意个有限生成对象，由定义可知，存在有：因为函子ｚ为正合函子限指标集ＡＱ以及满态射／，故将函子Ｈ乍．．后得满态射：由命题２５９可知用于满态射，对于任意／，可的存在正合序列０４Ｋｅｒ仲４Ｚｅ（Ｂ）１Ｂ与４（Ｂ）４０，因而存在满态－３９－ 北京工业大学理学硕士学位论文射考虑如下态射的合成ａ〇）ｑ１、、、、乂ｘ〇—Ｍｉ“ｑ（Ｑ）（）即存在满态射因此由定义可知是有限生成的．所以４只是有限生成的，进而可得ＦＰ？ｄ（２ｇ〇Ｂ））＜ｏｏ．－再考虑正合列（５８为正合函子／保持投射对象故／（．．．是投），因，ｍ？（５＋〇，，射的．下证／？？．．．／是有限生成的．（〇＋），，（Ｑ〇）其中为阿贝尔范畴谷的投射生成子考虑伴随对／ｅ命题３．３．１Ｑ，，由可（，）知ｅ为Ｃ的生成子．／保持有限生成Ｃ中任意的有限生成，下证函子，即对于（切对象ｉＶ／Ａ．ｉＶ，为５中的有限生成对象因为是有限生成的，存在有限指标集（〇／／以及满态射ｇ：将ｇ用正合函子作用后：，则可得满态射〇？）Ａ（ｌ）／ｅＱ４／ｉＶ＿）（（）下证／ｉＶ是有限生成的．因为ＱｅＰｒｏ氏由引理２．５．１０可知ＩＯ再由，（）ｊＷＱＨ引理２．５．１０可知存在正合列〇４／ｅ１Ｂ与４〇．因为叫（Ｑ）叫（Ｑ）（Ｑ）为谷中的投＝射对象上述正合列是可裂的．故存在态射ｘ：４／ｅ使得ｘｉＪｄ．，所以／ＱＺｅＱ（Ｑ）／Ｑ／ＱＷ）注意到为满态射／合成，则存在满态射将此态射和态射，可（ｄＡｌ（Ａ…以得到满态射ＱＵ／．由定义可知／Ａ为有限生成的，因而（〇（〇－Ｂ是有限生成的．进而由ｎ表现维数的定义可知ＦＰ／ｅｏｏ．此时考虑正合，＾Ａ＾ＤｃＫｅｒｉＢ１Ｂ江ｉＢ？Ｋ＝ＫｅｒＡ正合列列０４Ｂ４ｌｅ４０取Ｂ，考虑／ｑ。（）（）〇４Ｋｅｒ１４０？因为Ｋｅｒ乂ＦＰｄＫｅｒ＜〇〇．仲包，故？仲又因为（）（）故ＦＰ？ｄ（Ｋ〇）＜ｏｏ＿再考虑正合列０４＾４５与ｉｇ（Ｂ）４０？因为ＦＰ？ｄ（ｉｇ（Ｂ））＜ｏｏ，故证得ＦＰ？ｄ（Ｂ）＜ｏｏ？由Ｂ的任意性可知ＦＰ？ｄ（Ｓ）＜ｏｏ．□５．３本章小结本章首先引进了阿贝尔范畴中对象及其范畴的ｎ－表现维数的定义并讨论了，－－ｎ表现维数的性质同时还给出了对象ｎ表现维数和投射维数的关系．其次对，，于阿贝尔范畴中短正合列当Ｐ为投射对象时，研究了ＭＫ两对象之间ｎ－表现维数的关系并对短正合列当，，＇Ｐ为投射－对象时Ａ两对象之间ｎ表现维数的关系．最后给出了阿贝，研究了Ａ，，尔范畴粘合上三个范畴之间生成子的可传递性三个范畴间ｎ－表现维数的关，以及系．－４０－ 结论与展望结论与展望一本文讨论了阿贝尔范畴的有限表现维数表现维数和ｎ－表现维数的些基本，性质究了阿贝尔范畴粘合里三个范畴的有限表现维数表现维数和ｎ－表现维，研，数的之间的关系，也研究了阿贝尔范畴的对象的投射维数与有限表现维数和表现维数之间的关系，以及阿贝尔范畴的整体维数与有限表现维数和表现维数之间的关系．本文首先引进了阿贝尔范畴中对象有限表现的定义；然后引进了阿贝尔范畴中的对象及范畴的有限表现维数的概念，对于阿贝尔范畴中短正合列０４Ａ４Ｂ４Ｃ４０，讨论了Ａ５，０三对象之间有限生成条件之间的联系．其次给出了对象的有限表现维数与投射维数．，范畴的有限表现维数与整体维数之间的比较最后给出了阿贝尔范畴粘合中三个范畴之间生成子的可传递性，以及三个范畴间有限表现维数的关系．其次引进了阿贝尔范畴中有限ｎ－表现对象的定义然后引进了阿贝尔范畴中；的对象及范畴的表现维数的概念，讨论了阿贝尔范畴中短正合列０４Ａ４Ｂ４Ｃ４０中八５０三对象的表现维数之间的关系．其次，给出了对象的有限表现维，数与投射维数范畴的有限表现维数与整体维数之间的比较．最后给出了阿贝尔，，范畴粘合上三个范畴之间生成子的可传递性以及三个范畴间表现维数的关系．，－最后我们探讨了阿贝尔范畴的ｎ表现维数．首先引进了阿贝尔范畴中对象及范畴的ｎ－表现维数的定义－，并给出了对象ｎ表现维数的性质，同时讨论了对象－Ｋ４ｎ表现维数和投射维数的关系．其次０４，研究了阿贝尔范畴中短正合列中Ｋ－，当Ｐ为投射对象时，Ｍ两对象之间ｎ表现维数的关系，并给，＇出了短正合列中，当Ｐ为投射对象时，ＡＡ两对象之间，－ｎ表现维数的关系．最后给出了阿贝尔范畴粘合上三个范畴之间生成子的可传，－递性三个范畴的ｎ表现维数间的关系．，以及一由于本人具备的知识和时间有限．步，所以本文仍有许多未解决的问题需进研究的问题：一些相对同调维数是否有与本文研究的表现维数有类（１）阿贝尔范畴粘合的似的结果？（２）阿贝尔范畴的同调维数与其局部化结构的同调维数有何关系？－４１－ 北京工业大学理学硕士学位论文－４２－ 参考文献［１］ＥｉｌｅｎｂｅｒｇＳ，ＭａｃＬａｎｅＳ．Ｇｅｎｅｒａｌｔｈｅｏｒｙｏｆｎａｔｕｒａｌｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅｓ＾］．Ｔｒａｎｓ．Ａｍｅｒ．Ｍａｔｈ．－Ｓｏｃ．１９４５５８：２３１２９４．，ＨＥｉＨＡｌＭＰＰ－２Ｃａｒ１１１ｔａｎｌｅｎｂｅｒＳ．ｏｍｏｌｏｉｃａｌｅｂｒａ．ｒｉｎｃｅｔｏｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｒｅｓｓ．９５６：２６．［］，ｇｇｇ［］ｙ［３］ＢｕｃｈｓｂａｕｍＤＡ．Ａｎｏｔｅｏｎｈｏｍｏｌｏｇｙｉｎｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ［Ｊ］．ＡｎｎａｌｓｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．１９５９，６９１－：６６７４．（）［４］ＧａｂｒｉｅｌＰ．ＤｅｓＣａｔｅｇｏｒｉｅｓＡｂｅｌｉｅｎｎｅｓ［Ｍ］．Ｂｕｌｌ．Ｓｏｃ．Ｍａｔｈ．Ｆｒａｎｃｅ．１９６２．ＭａｃＬａｎｅＳ－５．ＣａｔｅｏｒｉｅｓｆｏｒＷｏｒｋｉｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎＭ．２ｎｄｅｄ．ＮｅｗＹｏｒｋ：Ｓｒｎｅｒ［］ｇｇ［］ｐｇＶｅｒｌａ．１９９８．ｇ［６］ＢｅｉｌｉｎｓｏｎＡＡ，ＢｅｒｎｓｔｅｉｎＪ，ＤｅｌｉｇｎｅＰ．ＦａｉｓｃｅａｕｘＰｅｒｖｅｒｓ［Ｍ］．ＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄＴｏｐｏｌｏｇｙｏｎＳｉｎｕｌａｒＳａｃｅｓＩ－．Ａｓｔｅｒｉｓｕｅ．１９８２１００：５１７１．ｇｐ，ｑ，［７］ＭａｃｐｈｅｒｓｉｏｎＲ，ＶｉｌｏｎｅｎＫ．Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｏｆｐｅｒｖｅｒｓｅｓｈｅａｖｅｓ［Ｊ］．Ｉｎｖｅｎｔ．Ｍａｔｈ．１９８６４－８：４０３４３６．，［８］ＫｕｈｎＮＪ．Ｔｈｅｇｅｎｅｒｉｃｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙｏｆｆｉｎｉｔｅｆｉｅｌｄａ：ａｓｕｒｖｅｒｙｏｆｂａｓｉｃｓｔｒｕｃｔｕｒｅ，ｎ：ｎｎｅｅｎｍｏｄｕｅｓＢｉｅｅｅ１ｎ：ＴｒｅｎｄｓＭａ．ＢｒｓｅｒＢａｓｅ．ｉｉｆｉｉｔｌｔｈｌｌｆｉｌｄ９９８ｉｔｈｉｋｈａｕｌ２０００ｇ，，，，，１９３－２１２．［９］ＦｒａｎｊｏｕＶ，ＰｉｒａｓｈｖｉｌｉＴ．Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆａｂｅｌｉａｎｃａｔｅｇｏｒｉｅｓｒｅｃｏｌｌｅｍｅｎｔｓ［Ｊ］．Ｄｏｃ．２００４９－Ｍａｔｈ．：４１５６．，１０辛林林亚南．倾斜模与Ｒｅｃｏｌｌｅｍｅｎｔ的比较函子Ｊ．中国科学Ａ辑．２００９３９１１：［］，［］，（）１３０９－１３２０．１１王敏雄林亚南．二角范畴的ｒｅｃｏｌｌｅｍｅｎｔＡｂｅｌｒｅｃｏｌｌｅｍｅｎｔＪ．中国科［］，从到范畴的［］３９１０－学Ａ辑．２００９：１１８０１１８６．，（）１Ｍ１－２．三．．２０５：４２６４５８．［］章璞角范畴与导出范畴［］科学出版社１３ＮＨＫ．Ｆｉｎｉｔｅｌｒｅｓｅｎｅｄｄｉｍｅｎｓｉｏｎｏｆｃｏｍｍｕａｉｖｅｒｉｎｓａｎｄｍｏｄｕｌｅ．ＰａｃｉｆｉｃｔｔｔＪＪ［］ｇｙｐｇ［］Ｍａｔｈｓ１１１－９８４３２：４１７４３１．．，（）［１４］ＮｇＨＫ．Ｃｏｈｅｒｅｎｔｒｉｎｇｓｏｆｄｉｍｅｎｓｉｏｎｔｗｏ［Ｊ］．ＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆＴｈｅＡｍｅｒｉｃａｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｏｃｉｅｔ９１４－ｙ．１９８４：５１８５２２．，（）１１１－５李元林．有限表现维数和凝聚环［Ｊ．数学杂志．１９９３２：１８２１８８．［］］，（）１６ｎ－［龚志伟翟峰周德旭．关于表现维数［Ｊ．福建师范大学学报（自然科学］，，］－２５２：６９版）．２００９．，（）１７ＺｈｏｕＤＧｏｎＺ．ＯｎｒｅｓｅｎｔｅｄｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓｏｆｍｏｄｕｌｅｓａｎｄｒｉｎｓＪ．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌ［］，ｇｐｇ［］ｏｆＭＭ１１－１ａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅ．２００２：３．，（）１Ｍ－８周伯壎．．科学出版社．１９９７：１１８４．［］同调代数［］ＭｉｔｃｈｅｌｌＢ－１９．ＴｈｅｏｒｏｆＣａｔｅｏｒｉｅｓＭ．ＡｃａｄｅｍｉｃＰｒｅｓｓ．１９６５：１２３７．［］ｙｇ［］［２０］ＡｎｄｅｒｓｏｎＦＷ，ＦｕｌｌｅｒＫＲ．ＲｉｎｇｓａｎｄＣａｔｅｇｏｒｉｅｓｏｆＭｏｄｕｌｅｓ［Ｍ］．ｖｏｌ．１３，ＧｒａｄｕａｔｅＴｅｘｔｓｉｎＭａｔｈｍａｔｉｃｓＳｒｉｎｅｒＮｅｗＹｏｒｋＮＹＵＳＡ２ｎｄｅｄｉｔｉｏｎ．１９９２．，ｐｇ，，，，４３ 北京工业大学理学硕士学位论文２１ＰｏｅｓｃｕＮ．Ａｂｅｌｉａｎｃａｅｏｒｉｅｓｗｉｈａｌｉｃａｉｏｎｓｏｒｉｎｓａｎｄｍｏｄｕｌｅｓ．ｏｕｒｎａｌｏｆＨｅａｔｔｔｔＪＪｔ［］ｐｇｐｐｇ［］Ｔｒａｎｓ１１－ｆｅｒ．１９７３２２：２５３２６０．，（）［２２］ＲｏｔｍａｎＪＪ．ＡｎＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏＨｏｍｏｌｏｇｉｃａｌＡｌｇｅｂｒａ［Ｍ］．ＮｅｗＹｏｒｋ：ＡｃａｄｅｍｉｃＰ－ｒｅｓｓ１１．９７９：４８４．２３ＢｅｒｍａｎＧＭ．ＨｅｒｅｄｉｔａｒｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅｒｉｎｓａｎｄｃｅｎｔｒｅｓｏｆｈｅｒｅｄｉｔａｒｒｉｎｓＪ．Ｐｒｏｃ．［］ｇｙｇｙｇ［］ＬｏｎｄｏｎＭａｔｈ１１１－．Ｓｏｃ．９７２３３：２４２３６．，（）２４ＫｏｎｉＳ．Ｔｉｌｉｎｃｏｍｌｅｘｅｓｅｒｅｎｄｉｃｕｌａｒｃａｅｏｒｉｅｓａｎｄｒｅｃｏｌｌｅｍｅｎｓｏｆｄｅｒｉｖｅｄｍｏｄｕｌｅｔｔｔ［］ｇｇｐ，ｐｐｇｃａｅｏｒｉｅｓｏｆ－ｒｉｎｓ．ＰｕｒｅＡｌＡｌｅｂｒａ．１９９１７３：２１１２３２．ｔＪＪ，ｇｇ［］ｐｐｇ［２５］ＣｈｅｎＨＸ，ＸｉＣＣ．ＲｅｃｏｌｌｅｍｅｎｔｓｏｆｄｅｒｉｖｅｄｃａｔｅｇｏｒｉｅｓＩ：ｅｘａｃｔｃｏｎｔｅｘｔｓ［Ｊ］．ａｒＸｉｖ：１２０３．５１６８２０１６．，［２６］ＣｈｅｎＨＸ，ＸｉＣＣ．ＲｅｃｏｌｌｅｍｅｎｔｓｏｆｄｅｒｉｖｅｄｃａｔｅｇｏｒｉｅｓＩＩＩ：ｆｉｎｉｔｉｓｔｉｃｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｈｅＬｏｎｄｏｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｏｃｉｅｔｙ．２０１４，９５（２）．ＨａｎＹｎＹＹ－２７ｉ．ＲｅｄｕｃｉｎｈｏｍｏｌｏｉｃａｌｃｏｎｅｃｔｕｒｅｓｂｎｒｅｃｏｌｌｅｍｅｎｔｓＪ．Ａｌｅｂｒａｓａｎｄ［］，Ｑｇｇｊｙ［］ｇＲｅｒｅｓｅｎａｉｏｎＴｈｅｏｒ２１９－ｔｔｙ．２０１６：３７７３９５．ｐ，（）ＨａｎＹ－２８．Ｒｅｃｏｌｌｅｍｅｎｔｓａｎｄｈｏｃｈｓｃｈｉｌｄｔｈｅｏｒ．ＪＡｌｅｂｒａ．２０１４３９７：５３５５４７．［］ｙ［Ｊ］ｇ，２９ＰｓａｒｏｕｄａｋｉｓＣＨｏｍｏＡｌ－［］．ｌｏｉｃａｌｔｈｅｏｒｏｆｒｅｃｏｌｌｅｍｅｎｔｓｏｆａｂｅｌｉａｎｃａｔｅｏｒｉｅｓＪ．Ｊｅｇｙｇ［］ｇｒａ１－ｂ４３９８：６３１１０．２０．，３０ＧｒｅｅｎＥ．Ｌ．ＯｎｔｈｅｒｅｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｏｆｒｉｎｓｉｎｍａｔｒｉｘｆｏｒｍＪ．ＰａｃｉｆｉｃＪ．Ｍａｔｈ．１９８２［］ｐｙｇ［］，１－００：１２３１３８．［３１］ＡｕｓｌａｎｄｅｒＭ，ＲｅｉｔｅｎＩ，ＳｍａｌｏＳ．Ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙｏｆａｒｔｉｎａｌｇｅｂｒａ［Ｊ］．ＣａｍｂｒｉｄｇｅｓｎＡｄｖ－Ｓｔｕｄｉｅｉ．Ｍａｔｈ．１９９５１１９０．，３２ＧｒｏｔｈｅｎｄｉｅｃｋＡ．Ｇｒｏｕｓａｎｄｃｌａｓｓｅｓｄｅｓｃａｔｅｏｒｉｅｓａｂｅｌｉｅｎｎｅｓｅｔｔｒｉａｎｕｌｉｅｒｓｃｏｍｌｅｘｅｓ［］ｐｇｇｐａｒｆａｓｒｅＮｏｅｓｎＭａ－ｉｔＪ．Ｌｅｃｔｕｔｉｔｈ．１９７７５８９：３５１３７１．ｐ［］，３３ＡｎｄｅｒｓｏｎＦＷＦｕｌｌｅｒＫＲ－ＶｅｒｌａＮｅｗＹｏｒｋ．ＲｉｎｓａｎｄｃａｔｅｏｒｉｅｓｏｆｍｏｄｕｌｅｓＪ．Ｓｒｉｎ［］，ｇｇ［］ｐｇｇ，ＨＢ－ｅ１１ｉｄｅｌｂｅｒｅｒｌｉｎ．９７４：２６．ｇ３４ＫｌｅｉｎｅｒＭＲｅｉｔｅｎＩ？．ＡｂｅｌｉａｎｃａｔｅｏｒｉｅｓａｌｍｏｓｔｓｌｉｔｓｅｕｅｎｃｅｓａｎｄｃｏｍｏｄｕｌｅｓＪ．Ｔｒａｎｓ［］，ｇ，ｐｑ，［］ａｃｏｎｓｏＡｍｅｒｃａｎＭａｅｍａｃａｏｃｅ－ｔｉｆ：１１ｔｈｅｉｔｈｉｌＳｉｔ．２００４３５７８３２０３２４．ｙｙ，（）３５ＦｅｎＬＧ．ＥｓｓｅｎｔｉａｌｅｘｔｅｎｓｉｏｎｓｅｘｃｅｌｌｅｎｔｅｘｔｅｎｓｉｏｎｓａｎｄｆｉｎｉｔｅｌｒｅｓｅｎｔｅｄｄｉｍｅｎｓｉｏｎＪ．［］ｇ，ｙｐ［］ＡｃｔａＭａｔｈｅｍａｔｉｃａＳｉｎｉｃａ－．１９９７１３２：２３１２３８．，（）［３６］ＷｉｓｂａｕｅｒＲ．Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓｏｆｍｏｄｕｌｅａｎｄｒｉｎｇｔｈｅｏｒｙ［Ｊ］．ＧｏｒｄｏｎａｎｄＢｒｅａｃｈ，Ｌｏｎｄｏｎ．１９９１，６７－９４．［３７］ＴａｎｇＪＬ，ＺｈｏｎｇＹ．Ｈｏｍｏｌｏｇｉｃａｌｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｎｄａｌｍｏｓｔｅｘｃｅｌｌｅｎｔｅｘｔｅｎｓｉｏｎｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮａｎｉｎｎｉｖｅｒｓｉＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＢｉｕａｒｅｒｌ１７２－Ｕｔｔ．２０００：１７３１７９．ｊｇｙｑｙ，（）Ｘｕｅ－ｍｏｄｕｍｏｓ３８Ｗ．Ｏｎｎｒｅｓｅｎｔｅｄｅｓａｎｄａｅｘｃｅｅｎｅｘｅｎｓｏｎｓ．ｏｍｍＡｅｂｒａ．１９９９［ｌｌｔｌｌｔｔｉＪＣｌ］ｐ［］ｇ，２７－：１０９１１１０２．Ｄ１－３９５：９１４［］郑玲玲．关于余代数的有限余表现维数的研究［］．北京工业大学．２０．Ｍ１１－１［４０佟文廷．．高等教育出版社．１９９６８４３．］同调代数引论［］，－４４－ 参考文献４１１０－１０２程福长易忠．环的同调维数［Ｍ．广西师范大学出版社．２０００．［］，］，４２黄飞丹邓泽喜杨京开．．数学的实践与认识．２０１５４５２０：［］，，几乎有限表现维数［Ｊ］，（）－２２２２２７．１－４３黄飞丹．．纯粹数学与应用数学．２０２２８２：２１３２１８．［］几乎有限表现模［Ｊ］，（）－４５－ 北京工业大学理学硕士学位论文－４６－ 致谢致谢时光荏苒，三年的研究生生活转瞬即逝，在此，我怀着激动的心情向那些关心和帮助过我的老师和同学们表达最诚挚的谢意．本文是在姚海楼教授的悉心指导下完成的，从论文选题，研究方法，研究内容等方面，姚老师均指出了许多建设性的意见和建议，为我顺利完成论文和学业打下一了坚实基础．研究生期间步成长都倾注了姚老师的辛劳和关爱姚老师，我的每，渊博的学识，严谨的治学态度，精益求精的学术风格为我树立了良好的学习榜样，姚老师教导我不仅要认真学习专业课，扎实基础，而且要关注最新的研究动态，开拓思维．在此我由衷的感谢我的导师姚海楼教授！，此外衷心地感谢我的师母平艳茹老师在我的学习和生活中给予的指导和关心，感谢我的师姐付雪荣博士以及我的师兄胡永刚博士对我论文提出的宝贵意见以及生活中对我的帮助．感谢我的师弟师妹们给予我的支持．一最后！，感谢所有曾经帮助我，鼓励我的亲人朋友感恩研究生三年的每个日子！－４７－