《理论力学》第十三章 达朗贝尔原理 38页

动力学问题静力学问题形式上(动静法)达朗贝尔原理第十三章 达朗贝尔原理可将动力学问题从形式上转化为静力学问题，根据平衡的理论来求解。也称动静法。适用于非自由质点、质点系、刚体、变形体 §9-1达朗贝尔原理在惯性系中：此时物体的运动是绝对运动，质点系的绝对运动方程为惯性系中： 达朗贝尔原理将动力学加速度问题形式上转换成静力学中的平衡问题，也叫动静法惯性系中：一、质点的达朗贝尔原理记称为质点的惯性力，与加速度方向相反则有M 在质点运动的每一瞬时，如果在质点上加上惯性力，则作用于质点的主动力、约束力与惯性力成平衡。此为达朗贝尔原理质点实际上做加速运动，平衡是指数学形式上的平衡。这样可根据静力学的平衡理论来求解动力学问题。采用直角坐标系，采用自然轴系 a如在质点上加上惯性力，则作用于质点上的“外力(包括主动力与约束力)+惯性力”形式上构成平衡力系达朗贝尔原理意义加上惯性力后，将动力学问题转化为静力学问题注意惯性力只是一个工具。人为地加给质点，目的用静力学方法解决动力学问题§1达朗贝尔原理惯性力 质点系的达朗贝尔原理对任意一个质点i在每一个质点上加上惯性力后，此质点平衡。则显然，系统的任意部分（包括整体）也是平衡的。对于一个质点系，其上每一个质点加上惯性力后，这些力应与系统所受外力构成平衡力系。解法同静力学一样。平衡条件 ωθOAzy例1：质量m、长度l的均质杆，以匀角速度ω绕z轴转动，试求θ角。ηdFImg解：1.受力分析（画上杆所受外力）；2.运动分析（画上惯性力）；为简便起见，取杆在yz平面内3.建立平衡方程：η §2刚体动力学中的达朗贝尔原理刚体为一个质点系，其上每一个质点加上惯性力后，成为一个分布力系，此力系应与刚体所受外力构成平衡力系。对于刚体，不必每点列平衡方程，而是事先将惯性力系简化（主矢、主矩），用简化后的惯性力系与外力构成平衡力系。 xyzriFIimioa一、刚体平动对任意质点i合力合力作用位置rFI结论：平动刚体的惯性力系合成为一个作用在质心的惯性力 一、平动刚体惯性力系的简化对任意质点i为同向平行力系因此惯性力的合力为过质心、大小为方向与加速度方向相反质点系的惯性力设合力通过坐标为x,y，z的点则 二、刚体定轴转动(一）刚体有与转轴垂直的对称面结论：可将空间惯性力系简化为在对称平面内的力系（相当于将刚体压扁到对称平面内）xyzOαωFIinFIitFIjnFIjtijllxyzOαω 二、定轴转动刚体惯性力系的简化(转轴与刚体质量对称面垂直)可将空间惯性力系简化为在对称平面内的力系（相当于将刚体压扁到对称平面内）刚体质量m,质心加速度aC,角速度ω,角加速度α在垂直于对称面任一直线AB上的各点的加速度相等，它们的惯性力可以合成为在对称面内的一个力FIi，Mi是直线AB上所有各点的质量之和。这样，原来由刚体各质点的惯性力组成的空间力系，就可简化为在对称面内的平面力系FIτFIｎ Oωαiρi在对称面内向O点简化主矢主矩故定轴转动刚体惯性力系简化为：在对称平面内，转向与角加速度方向相反的惯性力偶MIO=JOα作用在转轴上，且与质心加速度方向相反的惯性力FI=maCMIOCOωαMIOC主矢和主矩作用在转动轴与对称平面相交的O点处 在对称面内向质心C简化主矢主矩OCωαMIO0主矢和主矩作用在形心位置MICC 三、平面运动刚体惯性力系的简化（运动平面与刚体对称平面平行）对质点i主矢:主矩:α以C为基点iC 惯性力系的简化：1.平动刚体2.定轴转动刚体(转轴与刚体对称面垂直)OCωαMIO主矢:主矩:主矢:主矩:3.平面运动刚体（运动平面与刚体对称平面平行）主矢:主矩:或惯性力通过刚体的质心注意质心加速度有法向与切向 (二）平面刚体OωαiriFIinFIit向O点简化主矢主矩OFIMIO若转轴过质心，则惯性力系简化的结果仅为一力偶，其矩与角加速度方向相反，MIC=JCα aCα+＝三、刚体平面运动只考虑有对称平面，且对称平面与运动平面平行的情况αaC主矢主矩MICFIMICFI另外，定轴转动是平面运动的一个特例，因此也可以把惯性力系向质心简化，结论同上。C 练习：质量为m，长l的均质杆OA该瞬时角速度为零，角加速度为，试求将杆的惯性力系向A点简化的结果。OACaCFIMICFIMIA向质心C简化的结果：向杆端A简化的结果： 例2:约束均质杆（m,l）A端的绳索突然被剪断，试求此时杆的角加速度α及O处约束力。COACOAαac1.运动分析2.受力分析注意加惯性力及惯性力偶FImgMICFOyFOx解：惯性力向质心简化 3.平衡方程COAMICFOyFOxFImg4.补充方程 OAC例3:约束均质杆A端的绳索突然被剪断，试求杆转到任一位置时的角加速度、角速度及O处约束力1.运动分析2.受力分析3.平衡方程OACαaCτaCnFIτmgMCIFOyFOxFIn4.由动能定理计算2，T1-T2=∑Wi解：外力只有重力 例4:OB质量不计，AB长l、质量m。试求绳OA剪断瞬时OB杆的内力。COA450B1.运动分析FIymgMIFOBFIx2.受力分析主要是加惯性力及惯性力偶3.平衡方程αacyCOA450BaCxaBaCBaB4.补充方程解：联立可解。η ABOC练习1：均质杆AB(m,l),A端被一个小环约束在半径为r的固定半圆形轨道上,OA与水平线夹角45º,试求突然去掉B处支座瞬时,AB杆的角加速度及A端受到的约束反力（不计摩擦）。AOCaCxaCyaAaAmgFNFIyFIxMIC解：联立可解。45°45° 例5:已知均质圆柱形滚轮重P，半径为R，物块重W。试求作纯滚动的轮子中心的加速度。解：滚轮重物联立解得：I为基点则A滚轮与绳子切点处A的加速度为补充方程.F1=F 练习2：质量m1、半径r的均质圆轮在质量m2的楔块上纯滚动，楔块则被搁置在光滑的水平面上。试求楔块的加速度和圆轮的角加速度。解一：动力学方法CFFN1m1gFFN1FN2m2gθCAaAaCxaCyα1.受力分析2.运动分析3.动力学方程 aear4.补充方程：以C为动点，动系固定在A上则而故投影练习2：质量m1、半径r的均质圆轮在质量m2的楔块上纯滚动，楔块则被搁置在光滑的水平面上。试求楔块的加速度和圆轮的角加速度。解一：动力学方法θCAaAaCxaCyαCFFN1m1gFFN1FN2m2g以I为基点 m1gFI1rFI1eMIFN1FECCθCAaAαaAar练习2：质量m1、半径r的均质圆轮在质量m2的楔块上纯滚动，楔块则被搁置在光滑的水平面上。试求楔块的加速度和圆轮的角加速度。解二：动静法讨论：其中 整体受力图θCAm1gFI1rFI1eMIm2gFN2FI2其中 例6:涡轮机的转轮具有对称面，并有偏心距e=0.5mm，已知轮重2kN，并以6000r/min的匀角速转动。设h=1m，转动轴垂直于对称面，如图所示。试求止推轴承及环轴承处的反力。解：为了简化计算，取质心C在yz平面内， 解：例6:涡轮机的转轮具有对称面，并有偏心距e=0.5mm，已知轮重2kN，并以6000r/min的匀角速转动。设h=1m，转动轴垂直于对称面，如图所示。试求止推轴承及环轴承处的反力。 惯性积刚体对通过O点的两个互相垂直的轴的惯性积定义为：惯性主轴：如Ixy=Ixz=0，称x轴为刚体在O点的一根主轴结论：1.刚体内任意一点，必存在三根相互垂直的主轴；对称轴是轴上任意一点的一根主轴。与对称面垂直的轴是“轴和面相交点”的主轴；2.称过质心的三根主轴为中心惯性主轴xyzyixiziMiO §3非对称转动刚体的轴承动反力刚体在外力作用下定轴转动，如何计算约束反力？1.任意一个质点的惯性力 向A点简化，附加力偶为1.任意一个质点的惯性力2.惯性力系的简化结果主矢主矩IxzIyzIyzIxzJz 主矢主矩过A点3.应用达朗贝尔原理建立平衡方程xyzAFiFAxFByFBx xyzAFiFAxFByFBx可见，要使动反力为零，转动轴必须是刚体的中心惯性主轴。 约束力[静约束力动约束力][]+[]-[]可见，要使动反力为零，转动轴必须是刚体的中心惯性主轴。