理论力学第14章达郎贝尔原理 52页

第十四章达郎贝尔原理 主要内容§14.2质点系的达郎贝尔原理§14.3刚体惯性力系的简化§14.1惯性力质点的达郎贝尔原理 本章讨论达朗伯原理，它提供了解决质点和质点系动力学问题的普遍方法，这种方法就是用静力学的方法来研究动力学的问题，从而把动力学问题形式上转化为静力学问题，根据关于平衡的理论来求解。所以又称之为动静法。应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力。达郎贝尔原理 §14.1惯性力质点的达郎贝尔原理设一质点的质量为，加速度为，作用于质点的主动力为，约束力为，如图。由牛顿第二定律，有将上式移项写为令有具有力的量纲，称为质点的惯性力：它的大小等于质点的质量与加速度的乘积，它的方向与质点加速度的方向相反。作用在质点上的主动力、约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系，这就是质点的达郎贝尔原理。 如图所示一圆锥摆。质量m=0.1kg的小球系于长l=0.3m的绳上，绳的一端系在固定点O，并与铅直线成θ=60º角。如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力F的大小。Olθ例题14-1§14.1惯性力质点的达郎贝尔原理 例题14-1运动演示§14.1惯性力质点的达郎贝尔原理 Olθ取上式在自然轴上的投影式，有：根据达郎贝尔原理，这三力在形式上组成平衡系，即enetebmgF*例题14-1解：以小球为研究的质点。质点作匀速圆周运动，只有法向加速度，在质点上除作用有重力mg和绳拉力F外，再加上法向惯性力F*，如图所示。F§14.1惯性力质点的达郎贝尔原理 解得：例题14-1OlθenetebmgF*F§14.1惯性力质点的达郎贝尔原理 §14.2质点系的达郎贝尔原理设质点系由个质点组成，其中任一个质点的质量为，加速度为，把作用于此质点上的所有力分为主动力的合力、约束力的合力，对这个质点假想地加上它的惯性力，由质点的达郎贝尔原理，有上式表明，质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和它的惯性力在形式上组成平衡力系，这就是质点系的达郎贝尔原理。把作用于第个质点上的所用力分为外力的合力，内力的合力，则上式可改写为这表明，质点系中每个质点上作用的外力、内力和它的惯性力在形式上组成平衡力系。 由静力学知，空间任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即由于质点系的内力总是成对存在，且等值、反向、共线，因此有和，于是有上式表明，作用在质点系上的外力和虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系，这是质点系达郎贝尔原理的又一表述。§14.2质点系的达郎贝尔原理 在静力学中，称为主矢，为对点的主矩，现在称为惯性力系的主矢，为惯性力系对点的主矩。由质点系的达郎贝尔原理，这在形式上也是一个平衡力系，因而可用静力学各章所述求解各种平衡力系的方法，求解动力学问题。§14.2质点系的达郎贝尔原理 如图所示，滑轮的半径为r，质量为m均匀分布在轮缘上，可绕水平轴转动。轮缘上跨过的软绳的两端各挂质量为m1和m2的重物,且m1>m2。绳的重量不计，绳与滑轮之间无相对滑动，轴承摩擦忽略不计。求重物的加速度。OABr例题14-2§14.2质点系的达郎贝尔原理 例题14-2运动演示§14.2质点系的达郎贝尔原理 OABry解：以滑轮与两重物一起组成所研究的质点系。作用在该系统上的外力有重力m1g，m2g，mg和轴承约束力FN。在系统中每个质点上假想地加上惯性力后，可以应用达郎贝尔原理。已知m1>m2，则重物的加速度a方向如图所示。重物的惯性力方向均与加速度a的方向相反，大小分别为：例题14-2aam1gmgm2gFN§14.2质点系的达郎贝尔原理 滑轮边缘上各点的质量为mi，切向惯性力的大小为，方向沿轮缘切线，指向如图所示。当绳与轮之间无相对滑动时，at=a;法向惯性力的大小为方向沿半径背离中心。或应用对转轴的力矩方程，得例题14-2OABraam1gmgm2gFNymi§14.2质点系的达郎贝尔原理 因为解得例题14-2OABraam1gmgm2gFNymi§14.2质点系的达郎贝尔原理 飞轮质量为m，半径为R，以匀角速度ω转动。设轮缘较薄，质量均匀分布，轮辐质量不计。若不靠考虑重力的影响，求轮缘横截面的张力。例题14-3§14.2质点系的达郎贝尔原理 yxABO解：取四分之一轮缘为研究对象，如图所示。建立平衡方程令，有FAFB例题14-3θR将轮缘分成无数微小的弧段，每段加惯性力§14.2质点系的达郎贝尔原理 由于轮缘质量均分布，任一截面张力都相同。再建立平衡方程同样解得例题14-3yxABOFAFBθR§14.2质点系的达郎贝尔原理 §14.3刚体惯性力系的简化用质点系的达郎贝尔原理求解质点系动力学问题，需要对质点系内每个质点加上各自的惯性力，这些惯性力也形成一个力系，称为惯性力系。若利用静力学的力系简化理论，求出惯性力系的主矢和主矩，代替具体求解时对每一个质点所加的惯性力，将给解题带来方便。下面只讨论刚体平移，定轴转动和平面运动时惯性力系的简化。以表示惯性力系的主矢，由及质心运动定理，有此式对任何质点系做任意运动均成立，当然适用于作平移、定轴转动与平面运动的刚体。下面介绍三种常见的情况下惯性力系的简化 1、刚体作平移刚体平移时，每一瞬时刚体内任一质点的加速度与质心的加速度相同，有，刚体的惯性力系分布如图，任选一点为简化中心，主矩用表示，有式中，为质心到简化中心的矢径，此主矩一般不为零。若选质心为简化中心，主矩以表示，则，有刚体平移时，惯性力对任意点的主矩一般不为零。若选质心为简化中心，其主矩为零，简化为一合力。因此有结论：平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向与加速度方向相反。§14.3刚体惯性力系的简化 2、刚体定轴转动刚体定轴转动时，设刚体的角速度为，角加速度为，刚体内任一质点的质量为，到转轴的距离为，则刚体内任一质点的惯性力。为简单起，在转轴上任选一点为简化中心，建立直角坐标系如图，质点的坐标为质点的惯性力可分解为切向惯性力与法向惯性力。它们的方向如图，大小分别为§14.3刚体惯性力系的简化 惯性力系对轴的矩为而则记称其为对于轴的惯性积，它取决于刚体质量对于坐标轴的分布情况。于是，惯性力系对于轴的矩为同理可得惯性力系对于轴的矩为§14.3刚体惯性力系的简化 惯性力系对于轴的矩为由于各质点的法向惯性力均通过轴，，有综上可得，刚体定轴转动时，惯性力系向转轴上一点简化的主矩为如果刚体有质量对称平面且该平面与转轴垂直，简化中心取为此平面与转轴的交点，则则惯性力系的主矩为§14.3刚体惯性力系的简化 3、刚体作平面运动（平行于质量对称平面）工程中，作平面运动的刚体常常有质量对称平面，且平行于此平面运动，现仅限于讨论这种情况下惯性力系的简化。与刚体绕定轴转动相似，刚体作平面运动，其上各质点的惯性力组成的空间力系，可简化为在质量对称平面内的平面力系。取质量对称平面内的平面图形图示。由运动学知，平面图形的运动可分解为随基点的平移与绕基点的转动。现取质心为基点，设质心的加速度为，绕质心转动的角速度为，角加速度为，与刚体绕定轴转动相似，此时惯性力系向质心简化的主矩为式中，为刚体对通过质心且垂直于质量对称平面的轴的转动惯量。§14.3刚体惯性力系的简化 于是得结论：有质量对称平面的刚体，平行于此平面运动时，刚体的惯性力系简化为在此平面内的一个力和一个力偶。这个力通过质心，其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，其方向与质心加速度的方向相反；这个力偶的矩等于刚体对过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反。§14.3刚体惯性力系的简化 动画转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力理想情况 动画偏心情况转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力 动画偏角情况转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力 动画一般情况转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力 动画转子的静平衡检查 动画转子的静平衡1 动画转子的静平衡2 动画转子的动平衡0 动画转子的动平衡1 动画转子的动平衡2 动画轴承的动反力 如图所示，电动机的定子质量为m1，安装在水平的基础上，转轴O与水平面距离为h。转子质量为m2，其质心为C，偏心距OC=e，运动开始时质心C在最低位置。转子匀角速度ω转动，求基础对电动机的约束力。xyωm1gm2gCOhφ例题14-4§14.3刚体惯性力系的简化 解：以电机整体为研究对象。除受重力m1g和m2g之外，基础及地脚螺钉对电机作用约束力向点A简化为一力偶M与一力F(图中Fx和Fy)。其方向与质心C的加速度aC相反。因aC沿OC连线指向中心O，所以F*沿OC而背离O点。对质点系加惯性力。转子绕定轴O以角速度ω匀速转动，惯性力系简化为一个通过O点的力，大小为例题14-4xyωm1gm2gCOhφFyFxMAF*§14.3刚体惯性力系的简化 因转子匀速转动，φ=ωt，代入上面方程组中，解得：根据达郎贝尔原理，作用于质点系的主动力、约束力与惯性力在形式上组成平衡力系，可列出平衡方程：例题14-4xyωm1gm2gCOhφFyFxMAF*§14.3刚体惯性力系的简化 电动绞车安装在梁上，梁的两端搁在支座上，绞车与梁总重W，如图所示。绞盘与电机转子固定在一起，转动惯量为J。绞车以加速度a提升重物。已知重物质量为m，绞盘半径为R。求由于加速提升物而对支座A，B的附加压力。ABxyal1l2l3mgWα例题14-5§14.3刚体惯性力系的简化 ABxyal1l2l3Wαmg解：取梁和绞车、重物组成质点系。作用于质点系的外力有重力mg，绞车与梁一起的重力W，约束力FA和FB。方向如图所示，其余不动的部分没有惯性力。F*FAFBM*重物作平移，其惯性力系的合力通过重心，合力的大小为F*=ma，方向与加速度方向相反；应用达郎贝尔原理解本题，需对质点系加惯性力。设绞盘的质心与轴心重合，于是惯性力系简化为一力偶，力偶矩的大小为例题14-5§14.3刚体惯性力系的简化 解得：支座约束力、重力、惯性力系在形式上组成平衡力系，可列出平衡方程：ABxyal1l2l3mgF*WFAFBαM*例题14-5§14.3刚体惯性力系的简化 附加压力（或附加动约束力）决定于惯性力系，只求附加压力时，列方程不必考虑重力。上式中前两项为支座静约束力，后一项为附加动约束力，由于加速提升重物而对支座A，B的附加压力等于动约束力，分别为ABxyal1l2l3mgF*WFAFBαM*例题14-5§14.3刚体惯性力系的简化 均质圆盘质量为mA，半径为r。细长杆长l=2r，质量为m。杆端A点与轮心为光滑铰接，如图所示。如在A处加一水平拉力F，使轮沿水平面滚动。问F力多大能使杆的B端刚刚离开地面？又为保证纯滚动，轮与地面间的静滑动摩擦系数应为多大？mAgmgFABC例题14-6§14.3刚体惯性力系的简化 例题14-6运动演示§14.3刚体惯性力系的简化 BCmgA解：细杆刚离地面时仍为平动，而地面约束力为零，设其加速度为a。以杆为研究对象，杆承受的力并加上惯性力如图所示，其中F*C=ma。整个系统承受的力并加上惯性力如图，其中F*A=mAa,由方程得解出F*CFAxFAya按动静法列出方程mAgmgFABC例题14-6F*AF*CM*§14.3刚体惯性力系的简化 AmAgmgFABCF*AF*CM*为求摩擦力，应以圆轮为研究对象。由方程，得地面摩擦力解得FNFsmAgFFNF*AM*Fs例题14-6§14.3刚体惯性力系的简化 再以整个系统为研究对象，由方程，得由此，地面摩擦系数AFNF*AF*CmAgmgFBCM*FsmAgFAFNF*AM*Fs例题14-6§14.3刚体惯性力系的简化 汽车连同货物的总质量是m，其质心C离前后轮的水平距离分别是b和c，离地面的高度是h。当汽车以加速度a沿水平道路行驶时，求地面给前、后轮的铅直反力。轮子的质量不计。ABCcbh例题14-7§14.3刚体惯性力系的简化 取汽车连同货物为研究对象。汽车实际受到的外力有：重力mg，地面对前、后轮的铅直反力FNA，FNB以及水平摩擦力FB(注意：前轮一般是被动轮，当忽略轮子质量时，其摩擦力可以不计)。解：因汽车作平动，其惯性力系合成为作用在质心C上的一个力F*=Ma。于是可写出汽车的动态平衡方程ABCcbahFBF*mgFNAFNB例题14-7§14.3刚体惯性力系的简化 于是可写出汽车的动态平衡方程由式(1)和(2)解得ABCcbhF*aFBmgFNAFNB例题14-7§14.3刚体惯性力系的简化