工程力学 第22章 达朗贝尔原理 16页

第22章达朗贝尔原理达朗贝尔原理又称为“动静法”，“动”代表研究对象是动力学问题；“静”代表研究问题所用的方法是静力学方法。简而言之，达朗贝尔原理或动静法就是用静力学的方法分析和解决动力学问题。为了将“动”与“静”联系起来，需要引入惯性力的概念。因此，惯性力系的简化是用达朗贝尔原理处理问题的关键。达朗贝尔原理是在十八世纪随着机器动力学问题的发展而提出的，它提供了有别于动力学普遍定理分析和解决动力学问题的一种新的普遍方法，尤其适用于受约束质点系统求解动约束力和动应力等问题。因此在工程技术中有着广泛应用，并且为“分析力学”奠定了理论基础。达朗贝尔原理虽然与动力学普遍定理具有不同的思路，但却获得了与动量定理、动量矩定理形式上等价的动力学方程，并在某些应用领域也是等价的。§22-1达朗贝尔原理22－1－1质点的达朗贝尔原理与惯性力22－1－2质点系的达朗贝尔原理§22-2惯性力系的简化22－2－1惯性力系的主矢与主矩22－2－2刚体平移时惯性力系的简化结果22－2－3刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果22－2－4刚体作平面运动时惯性力系的简化结果§22-3达朗贝尔原理的应用1 §22-4结论与讨论22－4－1关于绕定轴转动刚体的轴承动约束力22－4－2关于动静法与动量矩定理22－4－3动力学普遍定理与动静法的综合应用习题本章正文返回总目录2 第22章达朗贝尔原理§22－1达朗贝尔原理22－1－1质点的达朗贝尔原理与惯性力图22－1质点的惯性力与达朗贝尔原理在惯性参考系Oxyz中，设一非自由质点的质量为m，加速度为a，在主动力F、约束力F作用下运动。由牛顿第二定律，有Nma=F+FN若将上式左端的ma移至右端，则成为F+F-ma=0（a）N令F=-ma（22－1）I可以假想FI是一个力，它的大小等于质点的质量与加速度的乘积，方向与质点加速度的方向相反。因其与质点的质量有关，故称为达朗贝尔惯性力(dˊAlembertinertialforce)，简称惯性力。于是，式（a）式可以改写成F+F+F=0（22－2）NI这一方程形式上是一静力平衡方程。可见，由于引入了达朗贝尔惯性力，质点动力学问题转化为形式上的静力平衡问题。假想在运动的质点上加上惯性力F=-ma，则可认为作用在质点上的主动力、约束力I以及惯性力，在形式上组成平衡力系。此即达朗贝尔原理(dˊAlembertprinciple)，亦即动静法(methodofkinetostatics)。式（22－2）就是形式上的平衡方程的矢量形式。式（22－2）的投影形式为3 Fx+FNx+FIx=0üïFy+FNy+FIy=0ý（22－3）ïFz+FNz+FIz=0þ应用上述方程时，除了要分析主动力、约束力外，还必须分析惯性力，并假想地加在质点上。其余过程与静力学完全相同。值得注意的是，惯性力只是为了应用静力学方法求解动力学问题而假设的虚拟力，所谓的平衡方程，仍然反映了真实力与运动之间的关系。22－1－2质点系的达朗贝尔原理将质点的达朗贝尔原理推广至质点系。考察由n个质点组成的非自由质点系，对每个质点都施加惯性力，则n个质点上所受的全部主动力、约束力和假想的惯性力均形成空间一般力系。对于每个质点，达朗贝尔原理均成立，即认为作用在质点上的主动力、约束力和惯性力组成形式上的平衡力系，则由n个质点组成的质点系上的主动力、约束力和惯性力，也组成形式上的平衡力系。根据静力学中力系的平衡条件和平衡方程，空间一般力系平衡时，力系的主矢和对任意一点O的主矩必须同时等于零。为方便起见，将真实力分为内力和外力（各自包含主动力和约束力）。主矢、主矩同时等于零可以表示为eiFR=åFi+åFi+åFIi=0üïý（22－4）eiMO=åMO(Fi)+åMO(Fi)+åMO(FIi)=0ïþ注意到质点系中各质点间的内力总是成对出现，且等值、反向，故上式中iiåFi=0，åMO(Fi)=0，于是方程（22－4）变为eåFi+åFIi=0üïý（22－5）eåMO(Fi)+åMO(FIi)=0ïþ这两个矢量式可以写出六个投影方程。根据上述原理，只要在质点系上施加惯性力，就可以应用平衡方程（22－5）求解动力学问题，这就是质点系的动静法。§22－2惯性力系的简化22－2－1惯性力系的主矢与主矩与一般力系一样，所有惯性力组成的力的系统，称为惯性力系。惯性力系中所有惯性力的矢量和称为惯性力系的主矢：4 F=F=(-ma)=-maIRåIiåiiC惯性力系的主矢与刚体的运动形式无关。惯性力系中所有力向同一点简化，所得力偶的力偶矩矢量的矢量和，称为惯性力系的主矩：M=åM(F)IOOIi惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。下面分别介绍刚体作平移、定轴转动和平面运动时惯性力系的简化结果。22－2－2刚体平移时惯性力系的简化结果刚体平移时，由于同一瞬时刚体内各质点的加速度都相同，惯性力系为平行力系，所以，惯性力系简化结果为通过质心C的合力，用F表示：IRF=-maIRC其中m为刚体的质量。22－2－3刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果图22－2刚体作定轴转动仅讨论刚体有质量对称面且转轴与质量对称面垂直的情形。见图22－2。可先将惯性力系简化在质量对称面内，然后再进一步简化。5 图22－3刚体作定轴转动时惯性力系的简化如图22－3所示，设刚体的质量为m；刚体对轴O的转动惯量为J；角速度与角加O速度分别为w与a。对称平面上第i个质点的质量为m；至轴O的距离为r；切向加速度iitntn和法向加速度分别为a和a，相应的惯性力分别为F和F。所有质点的惯性力组成平iiii面力系。再将平面惯性力系再向点O简化，得一力和一力偶。因为所有质点的法向惯性力都通过O点，所以所有质点法向惯性力对O点之矩之和等于零：nåM(F)=0OIi于是，刚体作定轴转动时惯性力系向点O简化，得到tnF=-ma=-ma+ma（22－6a）IRCCCt2MIO=åM（OFIi）=-（åmiri）a=-JOa（22－6b）上述结果表明，有质量对称面的刚体作定轴转动，且转轴垂直于对称平面时，其惯性力系向轴心简化的结果为对称面内的一力和一力偶。这一力的矢量即为惯性力系的主矢，其大小等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度相反；这一力偶的力偶矩即为惯性力系的主矩，其大小等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度的方向相反。22－2－4刚体作平面运动时惯性力系的简化结果在工程构件中，作平面运动的刚体往往都有质量对称面，而且刚体在平行于这一平面的平面内运动。因此，仍先将惯性力系简化为对称面内的平面力系，然后再作进一步简化。6 图22－4刚体作平面运动时惯性力系的简化结果设刚体的质量为m，对质心轴的转动惯量为J，角速度和角加速度分别为w和a，如C图22－4所示。运动学分析的结果表明，平面图形的运动可以分解为随质心的平移和绕质心的转动。因此，简化到对称平面内的惯性力系由两部分组成：刚体随质心平移的惯性力系简化为一通过质心的力；绕质心转动的惯性力系简化为一力偶。该力和力偶分别为F=-ma（22－7a）IRCt2MIO=åM（OFIi）=-（åmiri）a=-JOa（22－7b）上述简化结果表明，有质量对称面的刚体作平面运动，且运动平面平行于对称平面时，其惯性力系向质心C简化的结果为对称面内的一力和一力偶。这一力的矢量即为惯性力系的主矢，其大小等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度相反；这一力偶的力偶矩即为惯性力系的主矩，其大小等于刚体对轴C的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度的方向相反。§22－3达朗贝尔原理的应用将达朗贝尔原理即动静法应用于分析和求解刚体动力学问题，一般应按以下步骤进行：1.进行受力分析－先分析主动力，再根据刚体的运动，对惯性力系加以简化；2.画受力图－分别画出真实力和惯性力；3.建立平衡方程，得到所需要的解答。[例22－1]求解例21－2中电动机机座的约束力偶。7 图22－5例22－1图解：在例10－2中已解出电动机机座的水平和铅垂约束力，但无法确定约束力偶。现在，采用动静法可以求出这一约束力偶。电机所受真实力有m1g、m2g、Fx、Fy、M；惯性力如图22－5所示。惯性力的大小为2F=mewI2方向与质心加速度相反。因转子匀速转动，只有法向加速度，故惯性力方向沿O1O2向外。应用动静法，由平衡方程åMA=0有M-mgesinwt-Fhsinwt=02I据此，解得2M=mgesinwt+Fhsinwt=mesinwt(g+hw)2I2[例22－2]长为l、重为W的均质杆AB，其A端铰接在铅垂轴z上，并以匀角速绕此o轴转动，如图22－6所示。求当杆AB与轴间的夹角q=60时，w的值及铰链A处的约束力。图22－6例22－2图解：作定轴转动的杆AB对z轴没有质量对称面。但注意到在转动的过程中，杆AB上的点均在垂直于轴的平面内作圆周运动，且由于匀速转动，各点仅有法向加速度。同时由于q角为常数，所以杆AB上的惯性力沿z方向线性分布(三角形分布)，并位于杆和轴的轴线所组成的平面内。惯性力合力的大小为Wl2F=ma=××sinq×wICg2根据三角形分布惯性力的特点，惯性力合力作用线应通过三角形的重心，即8 2AD=l3应用动静法，重力、A处的约束力和惯性力组成平衡力系。于是，有2WåMA=0FI×lcosq-Lsinq=0（a）32åF=0F-F=0（b）xIxåFy=0Fy-W=0（c）由式（a）得到3gw=L将其分别代入式（b）、和（c），得33WF=F=xI4lF=Wy[例22－3]均质圆柱体重为W，半径为R，沿倾斜平板从静止状态开始，自固定O处向下作纯滚动，如图22－7a所示。平板相对水平线的倾角为q，忽略板的重量，试求固定端O处的约束力。图22－7例22－3图解：1.首先确定圆柱体的质心加速度和角加速度。以圆柱体为研究对象，画出包括真实力和惯性力系的受力图，如图22－6b所示。对C点取矩，由åMC=09 有WRsin0q--=FRM(a)IIC其中WF==a,MJa(b)IICCCg由于圆柱体纯滚动，因而有a=Ra(c)C将式(b)和式(c)代入式(a)式，解得2a=gsinq(d)C3进而求得圆柱体作纯滚动时的角加速度2ga=sinq(e)3R2.确定固定端的约束力以整体为研究对象，受力分析如图22－6a所示，平衡方程为åFxx=0FF-=Icos0q0åFyy=0F0+FWIsin0q-=åM0=0M0II++MCFR--=WRsinqqWScos0将(b)、(c)代入上式，得2WWFF=cosq==sinqcosqqsin2xI03322F=W-FWsinqq=-()1siny0I3M=+WRsinqWSMcosqq--=FRWScos0IIC§22－4结论与讨论22－4－1关于绕定轴转动刚体的轴承动约束力工程中，由于转子绕定轴高速旋转，常使轴承受巨大的附加的动约束力(dynamicsconstraintforce)，又称动反力。尤由于制造和安装误差等非设计原因，使得旋转零件或部件的质心与旋转轴不重合(偏心)，或者旋转零件或部件所在的平面与旋转轴不垂直(偏角)。偏心和偏角引起的惯性力都会在旋转轴的轴承处引起动约束力，从而导致零件或部件的损坏和剧烈振动。通常作用在旋转轴上的约束力由两部分组成：一部分是由主动力引起的约束力称为静反力；另一部分是由惯性力引起的约束力称为附加动反力。静反力是无法避免的，而附加的动反力却是可以避免的。10 研究表明，当旋转轴为刚体（或质点系）的质量对称轴时，轴承的动反力为零。这样的轴为中心惯性主轴(但中心惯性主轴不一定是质量对称轴)。可以证明，动反力为零的充分和必要条件是，刚体的转轴是中心惯性主轴。若刚体的转轴通过质心，且刚体除重力外，没有其它主动力作用，则刚体可在任意位置静止不动，这种现象称为静平衡；当刚体的转轴是中心惯性主轴时，刚体转动时不出现动反力，这种现象称为动平衡。动平衡的刚体一定是静平衡，静平衡的刚体不一定动平衡。工程中为消除高速旋转刚体的附加动反力，必须先使其静平衡，即把质心调整到转轴上，然后再通过增加或减少某些部位的质量使其动平衡，动平衡一般在动平衡机上进行。图22－8旋转零件或部件的偏心与偏角图22－7中所示为是四种实际存在旋转零件或部件，假设每种情形都可以用作等角速转动的两质点模型表示。请读者分析：1.两质点的惯性力的方向；2.质点的质量分布对轴承动约束力的影响；3.对比四种情形下的动约束力，分析产生动约束力的条件以及影响动约束力的因素；4.研究消除动约束力的方法。22－4－2关于动静法与动量矩定理达朗贝尔原理虽与普遍定理的思路不同，但却获得了与动量定理、动量矩定理形式上等价的动力学方程。请读者结合对例22－3的分析过程与分析方法的再思考，研究：1.例22－3中，确定圆柱体的质心加速度时，以圆柱体为研究对象，建立了真实力、惯性力对C点的力矩平衡方程，加上运动学分析结果，非常简洁顺利地求出质心加速度和角加速度；这与应用相对瞬心的动量矩定理得到的方程结果完全一致。2.应用动静法时，可列出对任意点的力矩平衡方程；用动量矩定理时，对圆柱体而言只能列出对质心C或对瞬心p的动量矩方程。这是为什麽？3.根据动静法和动量矩定理各自的特点，加以认真总结，便于今后使用时能采用最佳的方法。22－4－3动力学普遍定理与动静法的综合应用11 应用动静法解题的关键是惯性力系的简化，而正确简化惯性力的前提是准确的运动分析。因此将动力学普遍定理与动静法综合应用，往往会达到事半功倍的效果。请读者分析研究下列三种刚体系统：1．直线行驶的卡车图22－9直线行驶的卡车2．安装在悬臂梁端的电动机提升设备图22－10安装在悬臂梁端的电动机提升设备3．纯滚动的圆柱体与重物等组成的刚体系统图22－11纯滚动的圆柱体与重物等组成的刚体系统以上三种刚体系统求约束反力时，可分别用动量定理、动量矩定理和动能定理求运动，再用动静法求约束力。读者可根据这几种系统，设计几个求约束反的问题,然后按上述方法解出。12 习题22－1试对图示四种情形简化惯性力：（a）匀质圆盘的质心C在转轴上，圆盘作等角速转动；（b）偏心圆盘作等角速转动，OC=e；（c）匀质圆盘的质心在转轴上，但为非等角速转动；（d）偏心圆盘作非等角速转动，OC=e。已知圆盘质量均为m，对质心的回转半径均为r。C习题22－1图22－2图示长为l、重为W的均质杆OA绕轴O作定轴转动，其角速度w与角加速度a的大小均已知并为顺时针方向，试判断惯性力简化的两种结果（a）和（b）的正确性。11－3图示为作平面运动的刚休的质量对称平面，其角速度为w，角加速度为a，质量为m，对通过平面上任一点A（非质心C）、且垂直于对称平面的轴的转动惯量为JA。若将刚体的惯性力向该点简化，试分析图示的结果的正确性。22－3图示为作平面运动的刚休的质量对称平面，其角速度为w，角加速度为a，质量为m，对通过平面上任一点A（非质心C）、且垂直于对称平面的轴的转动惯量为JA。若将刚体的惯性力向该点简化，试分析图示的结果的正确性。习题22－2图习题22－3图22－4两种情形的定滑轮质量均为m，半径均为r。图a中的绳所受拉力为W；图b中块重为W。试分析两种情形下定滑轮的角加速度、绳中拉力和定滑轮轴承处的约束反力是否相同。习题11－4图22－5图示调速器由两个质量各为m1的圆柱状的盘子所构成，两圆盘被偏心地是悬于与调速器转动轴相距a的十字形框架上，而此调速器则以等角速度w绕铅垂直轴转动。圆盘的中心到悬挂点的距离为l，调速器的外壳质量为m2，放在这两个圆盘上并可沿铅垂轴上下滑动。如不计摩擦，试求调速器的角速度w与圆盘偏离铅垂线的角度j之间的关系。13 习题22－5图22－6钢制圆轴AB上装有一开孔的匀质圆盘如图所示。圆盘厚盘为d，孔直径300mm。圆盘和轴一起以匀角速度w转动。若已知：d=30mm，a=1000mm，e=300mm；轴直径d=120mm，w=40rad/s；圆盘材料33密度r=´7.810kgm。试求轴承处的动约束力。习题22－6图22－7直径为1.22m、重890N的匀质圆柱以图示方式装置在卡车的箱板上，为防止运输时圆柱前后滚动，在其底部垫上高10.2cm的小木块，试求圆柱不致产生滚动时，卡车最大的加速度？习题22－7图22－8质量为m的匀质矩形平板用两根平行且等长的轻杆悬挂着，如图所示。已知平板的尺寸为h、l。若将平板在图示位置无初速度释放，试求此瞬时板的质心O的加速度与两杆所受的轴向力。22－9汽车以加速度a作水平直线运动，如图所示。若不计车轮质量，汽车的总质量为m，质心距地面的高度为h。若汽车的前后轮轴到过质心的铅垂线的距离分别等于d1和d2。试求前后轮的铅垂压力；并分析汽车行驶加速度a为何值时其前后轮的压力相等？习题22－8图习题22－9图14 22－10两匀质杆焊成图示形状，绕水平轴A在铅垂平面内作等角速转动。在图示位置时，角速度w=0.3rad/s。设杆的单位长度重量为100N/m。试求轴承A的约束反力。22－11凸轮导板机构中，偏心轮的偏心距OA=e。偏心轮绕O轴以匀角速度w转动。当导板CD在最低位置时弹簧的压缩为b。导板质量为m。为使导板在运动过程中始终不离开偏心轮，试求弹簧刚度系数的最小值。习题22－10图习题22－11图22－12图示匀质杆AB，长为l，质量为m，以等角速度w绕铅直轴z转动。试求杆与铅垂线的夹角b及铰链A处的约束力。22－13质量为m、半径为R、轮心速度大小v等均为常数的圆轮在三种不同情形下都作纯滚动，其中：（a）轮心C即圆心；（b）轮心偏心，偏心距OC=e;(c)轮在同半径的固定圆轮上纯滚动。试简化三种情形下圆轮的惯性力。习题22－12图习题22－13图22－14圆轮A的质量为40kg，用杆与滑块B相连。不计杆重，滑块的质量为50kg。圆轮在斜面上作纯滚动。斜面与轮、滑块间的摩擦因数f=0.25。当系统运动时，试求：s1．杆的受力；2．滑块在C、D处的正压力；2．圆轮的角加速度。22－15鼓轮A重445N，对其质心C的回转半径为12.1cm。通过一根绳子将A与重111N的物块B连接起来。B与斜面间的动滑动摩因数为f=0.10,鼓轮A在水平面上作纯滚动。试求：1．滑块的加速度aB；2．绳中张力；1.鼓轮A作纯滚动时，轮与水平面之间的最小静滑动摩擦因数。15 习题22－14图习题22－15图22－16匀质等腰直角三角形薄板ABD，其直角边长为a，以匀角速度w绕铅垂轴AB转动，如图所示。欲使轴承B的水平约束力为零，试求此板转动的角速度w。两轴承间的距离可近似地视为等于直角边长a。习题22－16图上一章返回总目录下一章16