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[理学]大学课程近世代数-阿贝尔群和循环群、陪集与拉格朗日定理、同态同构学习讲义 16页

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  • 2022-06-16 12:02:19 发布

[理学]大学课程近世代数-阿贝尔群和循环群、陪集与拉格朗日定理、同态同构学习讲义

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5.5阿贝尔群和循环群一.阿贝尔群定义如果群中的运算*是可交换的，则称该群为阿贝尔群，或称交换群。例设是有限的可交换独异点，且对任意的a,b,c∈S，等式a*b=a*c蕴含着b=c，证明是阿贝尔群。分析只要证明S中的每个元素都存在逆元，那么就是阿贝尔群。设任意的b∈S……存在正整数i，j，使得bi=bj（i是一个群，是阿贝尔群的充要条件是对任意的a,b∈G，有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。证明1）充分性设对任意的a,b∈G，有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)因为a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)=(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b所以a-1*(a*(a*b)*b)*b-1=a-1*(a*(b*a)*b)*b-1即(a-1*a)*(a*b)*(b*b-1)=(a-1*a)*(b*a)*(b*b-1)即得a*b=b*a，因此是阿贝尔群。 2）必要性=>设是阿贝尔群，则对任意的a,b∈G，有a*b=b*a因此(a*a)*(b*b)=a*(a*b)*b=a*(b*a)*b=(a*b)*(a*b) 循环群定义设是群，若在G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都由a的幂组成，则称该群为循环群，元素a称为循环群的生成元。循环群的生成元可以不唯一ａ　ｂ　ｅｂ　ｅ　ａｅ　ａ　ｂａ　ｂ　ｅａｂｅ*a*a=ba*a*a=eb*b=ab*b*b=e 定理2任何一个循环群必定是阿贝尔群。证明设是一个循环群，生成元为a，那么对于任意的x,y∈G，必有r,s∈I，使得x=ar和y=as且x*y=ar*as=ar+s=as+r=as*ar=y*x因此是一个阿贝尔群。 定理3设是一个由元素a∈G生成的有限循环群。如果G的阶数是n，即|G|=n，则an=e，且G={a，a2，a3，…，an-1，an=e}，其中e是中的幺元，n是使an=e的最小正整数。证明假设对于某个正整数m，m是一个循环群，所以G中的任何元素都能写为ak(k∈I)，设k=mq+r，其中，q是某个整数，0≤r＜m。这就有ak=amq+r=(am)q*ar=ar这就导致G中的每一个元素都可以表示成ar(0≤r＜m)，这样，G中最多有m个不同的元素，与|G|=n矛盾。所以am=e(m是一个群，A,B∈P(G)且A≠，B≠，记AB={a*b|a∈A,b∈B}和A-1={a-1|a∈A}分别称为A,B的积和A的逆。二.陪集定义设是群的一个子群，a∈G，则集合{a}H(H{a})称为由a所确定的H在G中的左陪集（右陪集），简称为H关于a的左陪集（右陪集），记为aH(Ha)。元素a称为陪集aH(Ha)的代表元素。 拉格朗日定理设是群的一个子群，那么R={|a∈G,b∈G且a-1*b∈H}是G中的一个等价关系。对于a∈G，若记[a]R={x|x∈G且∈R}则[a]R=aH2)如果G是有限集，|G|=n，|H|=m，则m|n.（即ｍ整除ｎ）证明1)Ｉ：对于任一a∈G，必有a-1∈G，使a-1*a=e∈H，所以∈R，即Ｒ是自反的。II：对于任意a,ｂ∈G，若∈R，则a-1*b∈H，因为H是G的子群，故(a-1*b)-1=b-1*a∈H，所以∈R，即Ｒ是对称的。III：对于任意a,ｂ,c∈G，若∈R，∈R，则a-1*b∈H，b-1*c∈H，所以a-1*b*b-1*c=a-1*c∈H，故∈R，即Ｒ是传递的。 对于a∈G，我们有：b∈[a]R∈Ra-1*b∈Hb∈aH。因此[a]R=aH2)由于R是G中的一个等价关系，所以必定将G划分成不同的等价类[a1]R，[a2]R，…，[ak]R，使得又因为，H中任意两个不同的元素h1，h2，必有a*h1≠a*h2(a∈G)，所以|aiH|=|H|=m，i=1,2,…,k。因此n=|G|===mk 推论1任何质数阶的群不可能有非平凡子群。推论2设是n阶有限群，那末对于任意的a∈G，a的阶必是n的因子且必有an=e，这里e是群中的幺元。如果n为质数，则必是循环群。证明见书Ｐ210例：见书Ｐ210例题１作业P211(３)(６) 5.8同态与同构1同态映射同态象定义设和<Ｂ，*>是两个代数系统，★和*分别是Ａ和Ｂ上的二元(n元)运算，设ｆ是从Ａ到Ｂ的映射，使得对任意a１，a2∈A，有ｆ(a１★a2)=ｆ(a１)*ｆ(a2)则称ｆ为由到<Ｂ，*>的一个同态映射，称同态于<Ｂ，*>，记作Ａ～Ｂ。把<ｆ(Ａ)，*>称为的一个同态象。其中ｆ(Ａ)＝｛ｘ｜ｘ＝ｆ(ａ)，ａ∈A｝⊆Ｂ 例1、A=I,B={-1,0,1},f是A到B的映射，f(x)=sign(x)，则sign是从到的一个同态映射例2、和,x,y∈,则φ是从到的一个同态映射例3、到上定义则φ是从到上的同态映射。 2满同态单同态同构定义设ｆ是由到<Ｂ，*>的一个同态，如果ｆ是从Ａ到Ｂ的一个满射，则ｆ称为满同态；如果ｆ是从Ａ到Ｂ的一个入射，则ｆ称为单一同态；如果ｆ是从Ａ到Ｂ的一个双射，则ｆ称为同构映射，并称和<Ｂ，*>是同构的，记作ＡＢ。～＝上例1，例2都是满同态，例3是同构例4，和两个代数系统，f(x)=ax, f:到的一个同态映射1)a∈I,f(I)I,因此f是到的同态映射，自同态2)a=1,-1,f(I)=I,因此f是到的同构映射，自同构3)a∈I,a≠0,f是到单一同态。 定理1：f是从代数系统到的同态映射，若是群，也是群。证明：1）f(A)B,f是从到的同态映射。2）封闭，b1,b2∈f(A),b1*b2∈f(A)3）可结合4）f(e)是的幺元5）中每个元素有逆元定理2：G是代数系统的集合，则G中代数系统中的同构关系是等价关系。证明见书Ｐ216 3同余关系同余类定义是代数系统，R是A上的一个等价关系，1）如果当∈R,∈R,就有∈R,则称R是A上关于*的同余关系。2）由这个同余关系R将A划分成的等价类称为同余类。例5，代数系统，I上的关系R={|x≡y(mod3)}，验证R是I上关于+的同余关系，求R的同余类。定理：设f是从到的一个同态映射，如果A上定义的二元关系R为∈R当且仅当f(a1)=f(a2)，那么R是A上的同余关系。证明见书Ｐ219

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