理论力学11达朗贝尔原理课件.ppt 25页

达朗贝尔原理为解决质点系动力学问题提供了另一种求解的方法。这种方法的特点是：用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学的不平衡问题,因此这种方法又叫动静法。由于静力学研究平衡问题的方法比较简单,也容易掌握,因此动静法在工程中被广泛使用。引言 设一质点质量为m,加速度为a,作用于质点的主动力为F,约束反力为FN。由牛顿第二定律，有将上式改写成令11.1质点的达朗贝尔原理FI具有力的量纲,且与质点的质量有关，称其为质点的惯性力。它的大小等于质点的质量与加速度的乘积,方向与质点加速度的方向相反。FImFFNa 即：在质点运动的任一瞬时,作用于质点上的主动力、约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。则有应该强调指出，质点并非处于平衡状态，这样做的目的是将动力学问题转化为静力学问题求解。达朗贝尔原理与虚位移原理构成了分析力学的基础。11.1质点的达朗贝尔原理 例1球磨机的滚筒以匀角速度w绕水平轴O转动,内装钢球和需要粉碎的物料,钢球被筒壁带到一定高度脱离筒壁,然后沿抛物线轨迹自由落下，从而击碎物料,如图。设滚筒内壁半径为r，试求钢球的脱离角a。解：以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象,受力如图。钢球未脱离筒壁前,作圆周运动,其加速度为惯性力的大小为OMrwqFFNmgFI 加上惯性力后,由达朗贝尔原理OMrwaqFFNmgFI这就是钢球在任一位置q时所受的法向反力,显然当钢球脱离筒壁时,FN＝0,由此可求出其脱离角a为 该式表明，质点系中每个质点上作用的主动力、约束反力和惯性力在形式上构成平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔原理(形式1)。设质点系由n个质点组成，对每一个质点i，有把作用于i质点的所有力分为外力的合力，内力的合力，则11.2质点系的达朗贝尔原理 由于质点系的内力总是成对存在，且等值、反向、共线，有则上式可改写为上式表明，质点系中每个质点上作用的外力、内力和惯性力在形式上构成平衡力系。由静力学知，空间任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即 即:作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。这是质点系达朗贝尔原理的又一表述(形式2)。11.2质点系的达朗贝尔原理称ΣFIi为惯性力系的主矢,ΣMO(FIi)为惯性力系的主矩。 OR例2已知一飞轮，质量为m，质量可认为分布在轮缘上，以匀角速度转动，不考虑重力的影响。求轮缘横截面上的张力。解：取上半部分轮缘为研究对象OxyFIdFTFT 例3重为P长l的等截面均质细杆AB,其A端铰接于铅直轴AC上,并以匀角速度w绕该轴转动,如图。求角速度w与角q的关系。解：以杆AB为研究对象。杆AB匀速转动,杆上距A点为x的微元段dx的加速度的大小为微元段的质量dm＝Pdx/gl。在该微元段虚加惯性力dFI,它的大小为xdxdFIanqwBACyx 于是整个杆的惯性力的合力的大小为xdxdFIanqwBACyx 设RQ的作用点到点A的距离为d,由合力矩定理有即假想地加上惯性力,由质点系的达朗贝尔原理代入RQ的数值,有qBAxdPFAxFAyRQ 11.3刚体惯性力系的简化对于刚体这种特殊的质点系，每个质点均受到惯性力的作用，这些惯性力形成一个力系，利用静力学的力系简化理论，求出惯性力系的主矢和主矩，给解题会带来方便，这里讨论刚体平移、定轴转动和平面运动时惯性力系的简化。 以FIR表示惯性力系的主矢，则该式对任何质点系做任意运动都成立，当然适用于做平移、定轴转动与平面运动的刚体。主矢的大小和方向与简化中心的位置无关，主矩一般与简化中心的位置有关，下面对刚体做平移、定轴转动、平面运动时的惯性力系简化的主矩进行讨论。 1、刚体作平移若选质心C为简化中心，则rC=0，有：故平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其力大小等于刚体质量与加速度的乘积，合力的方向与加速度方向相反。作平移时，刚体任一点i的加速度ai与质心的加速度aC相同，如图，以O为简化中心，有O 2.刚体绕定轴转动刚体定轴转动时,设其角速度为w,角加速度为a,刚体内任一质点的质量为mi,到转轴的距离为ri,则刚体内任一质点的惯性力为FIi＝-miai。在转轴上任选一点O为简化中心,建立直角坐标系如图,质点的坐标为xi,yi,zi,现分别计算惯性力系对三个坐标轴的矩MIx,MIy,MIz。warimiOxyzijkxiyiziqiFIiai ai质点的惯性力FIi＝－miai可以分解为切向惯性力FIit与法向惯性力FIin,它们的方向如图,大小分别为waxyOxiyiriFnIiFtIiqi惯性力对x轴的矩为xyzrixiyiziqimiFtIiFnIiijkO 记为对z轴的惯性积,它取决于刚体质量对于坐标轴的分布情况。于是FIiaiwaxyOxiyiriFnIiFtIiqixyzrixiyiziqimiFtIiFnIiijkO 惯性力对x轴的矩为综合上述结果得同理可得惯性力对y轴的矩为惯性力对z轴的矩为由于各质点的法向惯性力均通过轴zFIiaiwaxyOxiyiriFnIiFtIiqixyzrixiyiziqimiFtIiFnIiijkO 惯性力系简化的主矩为如果刚体有质量对称面且该平面与转轴z垂直,简化点O取为此平面与转轴z的交点,则工程中绕定轴转动的刚体常常有质量对称平面。2.刚体绕定轴转动 当刚体有质量对称平面且绕垂直于此对称面的轴作定轴转动时,惯性力系向转轴简化为此对称面内的一个力和一个力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积,方向与质心加速度方向相反,作用线通过转轴;这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积,转向与角加速度相反。aCOwaCFIRMIO2.刚体绕定轴转动 现在讨论以下三种特殊情况：2.当刚体作匀速转动时,＝0,若转轴不过质心,惯性力系简化为一惯性力FIR,且FIR＝－maC,同时力的作用线通过转轴O。1.当转轴通过质心C时,aC＝0,FIR＝0,MIO＝－JC。此时惯性力系简化为一惯性力偶。3.当刚体作匀速转动且转轴通过质心C时,FIR＝0,MIO＝0,惯性力系自成平衡力系。iOriwMIOFIR2.刚体绕定轴转动 3.刚体作平面运动(平行于质量对称面）工程中,作平面运动的刚体常常有质量对称平面,且平行于此平面运动。当刚体作平面运动时,其上各质点的惯性力组成的空间力系,可简化为在质量对称平面内的平面力系。取质量对称平面内的平面图形如图所示,取质心C为基点,设质心的加速度为aC,绕质心转动的角速度为w,角加速度为a,与刚体绕定轴转动相似,此时惯性力系向质心C简化的主矩为FIRCMICaCwa 有质量对称平面的刚体,平行于此平面运动时,刚体的惯性力系简化为在此平面内的一个力和一个力偶。这个力通过质心,其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积,其方向与质心加速度的方向相反;这个力偶的矩等于刚体对过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积,转向与角加速度相反。11.3刚体惯性力系的简化 讨论书中例题14-4