探究折纸中的数学 13页

探究折纸中的数学教学目标（1）   通过折纸理解垂直和平行的定义和相关性质；体会折纸中的数学思想，从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。培养学生分析问题、解决问题的能力。（2）      通过折纸理解等腰三角形和等边三角形的相关性质。（3）体会和理解等量（等角、等边、全等）产生的具体操作办法和依据。教学重点：通过折纸巩固中点的定义、角平分线定义以及垂直和平行的定义和相关性质；掌握折纸的基本方法，并 通过折等腰和等边三角形体会和理解等量（等角、等边、全等）产生的具体操作办法和依据。教学难点：正确地分析折纸所蕴含着的数学信息   教学方法：引导法、讨论法、操作探索法。教具：多媒体计算机、投影、课件 教学过程设计：   一、引课  用多媒体打出折纸作品的图片供学生欣赏，激发学生的兴趣。然后让学生展示他们自己提前作的折纸作品。并让学生谈一下自己在折纸过程中的体会和认识。教师说明折纸跟数学有很大的联系。 二、正课：（分版块）（学生折纸折出后由学生上台演示充当一个小老师或展示自己的折纸作品充分发挥学生学习的主体地位，增强学生学习数学的兴趣与成就感。）         （一）、复习与折纸有关系的旧知识：中点的定义.   1、怎样用折纸的办法得到一条线断的中点。（二）、复习与折纸有关系的旧知识：角平分线定义。1、怎样用折纸的办法得到一个角的角平分线？（三）、复习与垂直有关系的旧知识：垂直定义与垂直性质。（1）      取一张纸任意对折，将第一次对折的折痕再对折，展开纸张，你能找出其中的直角吗？（2）除了（1）中的方法，你还有其他方法折出直角吗？与同伴进行交流。折直角的方法很多，比如将纸片的一边同时向内翻折并对齐，也可以得到直角，这里应让学生尽可能多的找出或讨论出折叠的方法，对折纸的数学意义有充分的了解。可以按下列方法折纸，然后回答问题：   问题：AE与EF位置有什么关系？（先大胆猜想，再验证.）(提示画出折痕EH)解：∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知）∴∠BEH=2∠2，∠CEH=2∠3   ∵∠BEH+∠CEH=1800（平角的定义） ∴2∠2+2∠3=1800 ∴∠2+∠3=900     ∴∠AEF=900 ∴AE⊥EF（垂直的定义）（2）      如何过一点折出与已知直线相垂直的直线（分别过直线上和直线外一点作垂线）？（四）、复习与折纸有关系的旧知识：平行定义与平行公理和推论。 想一想（1）通过折纸你能折出两条平行的直线吗？ （2）你能折出与已折两条平行线都平行的直线吗？通过折叠直角，学生对折法有了一定的认识和了解，再折平行线学生能够联想到平行线的有关知识，可以想到只要折出相等的同位角和内错角，就可以得到平行线；要折出与已折两条平行线都平行的直线只需将两条平行线再对折或利用刚才的方法。教学时，可先让学生回想平行线的性质和判定，进而找出方法，并能意识到折纸中所蕴涵的数学思想和依据。（五）复习：什么是等腰三角形？什么是等边三角形？做一做：1） 怎样用一张纸片折出等腰三角形？你能说出其中的道理吗？2） 怎样用一张长方形纸片折出等边三角形？折完后打开纸片，你能找出其中的特殊图形和轴对称图形吗？折等腰三角形的方法（一）：如下图是以正 方形一边的中垂线为中心线向内翻折，依据是线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。        折等腰三角形的方法（二）：　     折等边三角形的方法：（一）               将一张长方形纸对折一下，得到的一条折线，只要把底边AC，从一端A向上斜折过去，直到另一端C落到中线上，那一点便是B。折AB、CB，便得到等边三角形ABC。 （二）第一步：如图1，取一张长方形纸，将AB折至DC，作出一条等分这张纸的折线MN；再折纸使折线通过D，且A在折线MN上．此时AD与DC的夹角为30°，而折线LD与DC的夹角为60°。  图1     第二步：如图2，如果再将纸沿LA折叠，得到折痕LP，然后把纸打开，就可以折出等边三角形，如图中的三角形LPD。P   第二步也可这样折，图3中沿AD折叠出折痕后，然后打开再沿MN向后对折起来，再沿AA`折叠，展开后即得等边三角形AA`D.       三、动手动脑 试一试：怎样用正方形纸片折一个各边都相等的八边形？其中有我们较为熟悉的图形吗？  四、本节课你的感悟与收获是什么？生活中处处有数学，数学可以帮助我们作出美丽的作品装点我们的生活，数学中充满了美。很好玩，我们可以在玩中学也可以在学中玩五、       拓展空间课后让学生继续研究，通过折纸发现等边三角形有何特性?正方形，正五边形，正六边形、……怎么折?有没有其他的方法？折叠后展开，折痕形成怎样的图形？……等问题让学生将折纸活动延伸到课外，尝试于生活之中。六、习题： 1）通过折纸你还能得到各边都相等的五边形、六边形、十二边形？实际操作并和同伴进行交流。2）查阅相关资料或是自己动手探索，用折纸的办法都能得到哪些图形，并集中你们小组或全班收集的结果，制作一份手抄报，让更多的人来了解折纸中的数学。正方形怎样折正八边形1、将正方形折出两个对角线的折痕。会得到中点，设为字母O。2、把正方形对折两次，就像小时候折飞机一样，折出的一个角为22.5度。此时，一个对角线与正方形的两个边重合。然后，将点O的位置标在正方形的每个边上。3、按照步骤2，在正方形的4个边上标出八个点，每个边上两个。将这八个点连接，该折的四个角折一下，就行了。大功告成！原理：假设对角线的长度为2a，那么它的一半长度就是a。另设折纸过程中在正方形的某个边上取的某个点为M（也就是当时与O重合的点)，那么这个点M将这条边分成了两个线段，其中较长的那个线段的长度如果刚好等于a的话，那么点M就是正八边形八个顶点之一（这个可以根据简单的数学原理证明出来）。玩折纸学几何一、折纸与几何入门　　在你手头既没有圆规和刻度尺，又没有三角板和量角器等度量工具和作图工具的情况下，你能准确地比较两条线段的大小吗？能平分一个角吗？能检查两条相交直线垂直与否吗？…… 　　比较两条线段的大小，初一几何课本告诉我们有两种基本方法：一种是借助圆规进行图形的叠合，另一种是用刻度尺度量，比较数量的大小．其实，聪明人没有这些工具，也照样能解决这些问题．不是吗？当你还在幼儿园玩拆纸游戏时，就已经在探求解决这些问题的方法了．比如要折“猴婆婆”，老师指导你把一张长方形纸裁成一张正方形纸时，如图1，把长方形纸ABCD的AB边绕点A折叠到AD边上，然后再折叠BE，裁去多余的长方形BECD后，展开即为正方形纸．这样折纸，不正是比较线段大小的最好办法吗？我们把长方形纸的边分别看作线段，这时线段AB与AD的一个端点A重合，另一个端点B落在AD上，因此可知A(B)=AB，AD＞AB；∠(B)AE与∠BAE重合，即AE平分∠BA(B)；∠A(B)E与∠ABE重合，即∠ABE=∠A(B)E=90°，所以纸片A(B)EB是正方形．又如图2，把一张纸任意折叠一次后，再把折痕AB对折(即平分平角)，这时两次折叠的折痕所成的∠COB为直角，利用它就可检查两条相交直线垂直与否，或检查一个角是锐角还是直角或钝角，或检查两个角互余、互补与否．　　初一几何课本第1页给出了一个五角星，我们可不用任何画图工具，只要一张纸(红纸更好)和一把剪刀，运用折纸办法，就能剪出一个漂亮的五角星，办法如下：取一张纸，先对折成如图3的A(B)EF，再沿OC将BE边折起，得∠BOC，大约使∠BOC=2∠AOB，然后将OC翻折到OB上(折痕OD是∠BOC平分线)，再把∠AOB沿OB叠合到∠DOB上，如图4；在OA上取一点M，在OB上取一点G，且使OG约等于QM的2．6倍，最后沿MG直线将折叠成图4状的纸剪开，把剪得的△OMG展开，即成图5那样的五角星．只要经过几次尝试，你一定能熟练地剪出一个漂亮的五角星来． 　　剪五角星的实质是运用折纸五等分平角，同时应用轴对称原理，使如图5中的∠FOA=∠AOK=∠KOE=∠EOP=∠POD=36°，达到∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA=72°的目的．　　你若善于观察思考，将会发现，在儿时玩过的各种折纸游戏中，无不包含最基本的几何原理．反之，学习了几何知识，将会激发你设计创造出更多更新颖的折纸游戏．　　二、折纸与定理证明 　　折纸既是一种有趣的游戏，更是一种探求几何图形性质的重要方法，特别对于三角形边角关系一类性质的证明，用这种方法真是妙不可言！　　1．等腰三角形性质的证明　　取一张等腰三角形纸片，如图1，把两腰AB、AC折叠在一起．则∠B、∠C重合，即“等腰三角形的底角相等”；折痕AD分别把顶角A、平角BDC、底边BC分成相等的两部分．即折痕AD既是等腰三角形顶角平分线，又是底边上的高和中线．于是得等腰三角形“三线合一”的性质，并且折痕正是证明上述性质时所要添画的辅助线；若在折痕AD上取一点P，连结PB、PC，由于等腰三角形ABC沿AD折叠时，点B与点C重合，所以必有PB与PC重合，于是有“等腰三角形顶角平分线上的点到底边两端点的距离相等”的性质．类似地，可得等腰三角形两腰上的中线相等、底角平分线相等等一系列性质．　　2．“大角对大边”、“大边对大角”的证明　　如图2，取一张纸片△ABC(设AB＞AC)，把AC折叠在AB上，则∠C叠合到了∠AED的位置，有折痕AD、ED，由于∠AED是△BED的外角，故有∠AED＞∠B，即∠C＞∠B，于是有定理“一个三角形中，大边对大角”，并且折痕AD、ED正是证明该定理时所要添画的辅助线．　　如图3，纸片△ABC，设∠C＞∠B，折叠纸片，使点B与点C重合，则∠B叠合到∠ECD的位置，有折痕ED、EC，可知EC=EB．在△AEC中，AE+EC＞AC，即AE+EB=AB＞AC，故有定理“一个三角形中，大角对大边”．　　3．直角三角形性质的证明　　如图4，取一张直角三角形纸片，设∠C=90°．折叠纸片，分别使点A与点C重合，点B与点C重合，有 折痕ED、FD、DC，易知∠A+∠B=90°，　　中，斜边上的中线等于斜边的一半”．　　如图5，取边长为(a+b)的正方形纸片，将它的四个直角向形内折直角边长为a、=a2+b2，即“直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和”，这是勾股定理的最简证明．