《达朗贝尔原理》PPT课件 28页

第十三章达朗贝尔原理 达朗贝尔原理提供了用静力学的平衡方程求解动力学问题的方法,所以也称‘动静法’.达朗贝尔原理的运用首先是将有关的运动量转化成达朗贝尔惯性力系,这其间达朗贝尔惯性力系的简化和等效代替是重要的一步.其后便是运用静力学平衡方程式的求解技巧.用达朗贝尔原理求解约束反力和加速度问题是很有效的. §13–1惯性力.质点的达朗贝尔原理1.达朗贝尔惯性力:定义:▲:达朗贝尔惯性力是在惯性参考系下定义的惯性力,惯性力中所含的加速度是绝对加速度,在合成运动的分析中,它是相对,牵连和科氏加速度的总和.2.质点的达朗贝尔原理:由动力学基本方程即是:m当非自由质点运动时,作用在质点上的主动力、约束反力和达朗贝尔惯性力在形式上组成一平衡力系.—这就是质点的达朗贝尔原理. §13–2质点系的达朗贝尔原理运动的质点系的每一瞬时,系统中的所有质点的达朗贝尔惯性力与作用于系统的外力在形式上组成平衡力系.－这就是质点系的达朗贝尔原理.这个‘平衡力系’显然是一个空间的平衡力系.根据空间力系的平衡理论,就是:系统中的所有质点的达朗贝尔惯性力和外力系的矢量和为零(主矢为零),以及这些力对任意点的矩的矢量和为零(主矩为零).用数学式表示,即是:它有六个空间投影方程用于具体问题的计算.如果的平面问题便是三个. 例一.重P的物块A(不计尺寸)沿与铅垂面夹角为θ的悬臂梁下滑.梁重为G,均质,长OB=L.不计摩擦.求:当物块A滑至距固定端为S米时,固定端的约束反力.APθSBOL/2Ga解:先求物块A的惯性力XOYOmOFI以整体为对象，由达朗贝尔原理 例二.(书上例13–3)飞轮的质量为m,半径为R,以匀角速度ω绕O轴转动.设轮缘较薄,质量均匀分布,轮辐的质量不计.不考虑重力的影响,求轮缘横截面的张力.OωORωxdFIT1T2θ解:取半圆环为研究对象:(2)式可写成: 质点系的每一个质点的达朗贝尔惯性力构成一达朗贝尔惯性力系.一般情况下是一个较复杂的空间力系.运用达朗贝尔原理求解质点系或刚体动力学问题的关键是将此惯性力系进行简化和等效代替.1.刚体的平动C刚体作平动,其上所有点的加速度矢都相等.因而惯性力系是一同向平行力系.这个力系与重力系类似,其合力过质心C.平动刚体上的达朗伯惯性力系向质心简化可得一力.此力的大小等于刚体的质量乘以质心或任意一点的加速度,方向与加速度相反.下面,我们将对常见的几种运动的刚体上的达氏惯性力进行简化.§14–3刚体惯性力系的简化 2.刚体的定轴转动(刚体有质量对称面,且转轴垂直于质量对称面):对于转轴垂直于质量对称面的定轴转动的刚体,首先其上的达朗伯惯性力系可以简化成质量对称面上的平面力系.进而向转轴的O点简化,可得一力和一力偶.αωOCOC由力系的简化理论可知:此力的作用线过O点,量值为惯性力系的矢量和(主矢);此力偶作用在刚体上,量值为惯性力系诸力对O点的力矩的代数和(对O点的主矩).有质量对称面且转轴垂直此面的定轴转动的刚体,其上达朗伯惯性力系向对称面与定轴的交点O简化可得一力和一力偶.惯性力:惯性力偶: 3.刚体平面运动(刚体有质量对称面且运动平面平行于此面).αC惯性力:注意:有质量对称面且转轴垂直此面的刚体的定轴转动是刚体平面运动的特例,故刚体平面运动的惯性力系的简化方法也适合于这样的定轴转动的刚体.▲:达朗贝尔原理的应用动载荷下求约束反力及加速度；多自由度系统或多约束系统下求加速度及约束反力。刚体平面运动是随质心的平动和绕质心的转动的合成.其上的达朗贝尔惯性力系向其对称面内简化可分成两部分:平动的惯性力系和绕质心转动的惯性力系.平动的惯性力系向质心简化可得一力;绕质心转动的惯性力系可简化为一力偶.惯性力偶: 例一.绞车的质量为80kg,装在钢梁上的铰支座O上.梁的两端视为简支.梁为均质,质量为800kg,尺寸如图示.绞车鼓轮对O点的转动惯量J0=1.2kg.m²,鼓轮的半径r=0.2m,绳索的质量不计.求:当绞车以加速度a=1m/s²提升质量为2000kg的工件时,求支座C、D处的动反力及全反力.解:(1)先求动反力ACDOr3.8m4.2mmaα aαACDOr3.8m4.2m(m1+m2)gm3g(2)求全反力令:鼓轮的质量m1,梁的质量为m2,重物的质量为m3. 例二.(书上例13–7)均质圆盘质量为mA,半径为r.均质细长杆L=2r,质量为m.杆端A与轮心为光滑铰接.如在A处加一水平拉力F,使轮沿水平面纯滚动.问:(1)F力多大能使杆的B端刚刚离开地面?(2)为保证作纯滚动,轮与地面间的静摩擦系数应为多大?ACB30°FDα惯性力系简化后如图,其中解:圆盘作平面运动,AB杆作平动.取整体:取AB杆:FA30°CB(1)当AB杆上惯性力足够大时,B处受力为零 (2)由纯滚动的力学条件:∑Y=0:∑X=0:(2)代入(1)得:ACB30°FDα取整体分析FA30°CB 例三.已知均质杆和均质圆盘的质量都是m,用铰链连接如图所示,开始静止于铅垂平面内.今令杆的D端作用一水平力P.求:此力作用时圆盘和均质杆的角加速度..ABDmgmgLLPC1C2解:双自由度,初瞬时问题求加速度.取整体分析:P力作用在D处时,BD杆平面运动,圆盘定轴转动,惯性力系简化如图示. .ABDmgmgLLPC1C2PLBDmgC2取BD杆分析:由(1)、(2)式联立:()() 解:将均质杆AB的惯性力系向其质心C简化,AB杆在A端受力如图示例四.质量m长L的均质杆AB,其B端固结在半径为r的圆盘边缘上.设圆盘以角加速度α,角速度ω在水平面上绕O轴转至图示位置.求:AB杆的A端所受的约束反力.LCOrωαθABθ BCθθAL如果将A处的反力分解成如图的切向和法向,则有: §13–4绕定轴转动刚体的轴承动反力定轴转动的刚体在一般情况下的达朗伯惯性力系的简化问题基本条件:定轴转动,刚体或无质量对称面,或转轴不垂直质量对称面.☆:定轴转动的刚体在一般情况下,其上的达朗伯惯性力是一空间分布力系.若将此力系向转轴上的某一点O简化,可得一力和一力偶.若以O为坐标原点建立O－xyz右手坐标系(Oz轴为转轴),则该力系在此坐标系下的投影表达式为: yxmkrkOφKωαzmkxyαωφkφkO(z)φk设在定轴转动的刚体上任取一质点mk(xkykzk),某一时刻,mk的转动半径rk与Ox轴的夹角为φk,其达朗伯惯性力如图示.将刚体上所有质点的惯性力向O点简化,于是有: 这一组式子便是以Oz为定轴的转动刚体的达朗伯惯性力系向O点简化所得到的惯性力和惯性力偶在右手坐标系O－xyz下的投影分量表达.▲:(1)若直接套用此公式,所建立的坐标系必须是右手系且转轴为Oz轴.(2)式中M是刚体的质量,xC、yC、zC是刚体的质心坐标.Jyz、Jzx分别对y、z轴和对z、x轴的惯性积,也称为离心转动惯量.其正、负或零与质量分布及坐标轴的选择有关.(3)式中除质量外每一个量都是代数量,即本身含有符号.△:主惯轴及中心主惯轴的概念(书上P340)若要消除定轴转动刚体的转轴处的动反力,则应:即,转动轴为中心主惯轴. 例题.均质薄圆轮盘质量m=20kg,半径R=200mm,重心O在水平转轴上.由于轴孔不正,装在轴上时轴与圆盘面的中轴线Oζ成交角γ=1°.设转轴匀角速转动,n=12000r/min,求轴承A、B处的动反力.解:建立的坐标系如图示∵Oz轴过质心,∴故惯性力ζγABOξηγyzx0.5m0.5m又,α=0,所以有Oξ、Oη、Oζ为主惯轴且有: ζγABOξηγyzx0.5m0.5m代入数据后得: 例三.长为L的均质杆从铅垂位置自由倒下.试计算杆内弯矩最大的地方,并求出此弯矩值.已知均质杆的线密度为ρ.AOLAOα解:由题意我们只需考虑切向惯性力.角加速度使杆内各点产生切向惯性力,而重力矩引起角加速度.在图示水平位置时重力对O点的矩最大,因而这时OA杆具有最大的角加速度.取任意长为b的一段杆分析.并将b段杆内的达朗伯惯性力向质心简化如图(水平反力及法向惯性力未画)bABαMBMgFBρbgFg.c在水平位置整个杆长对O点取动量矩定理: AOLAOαbABαMBMgFBρbgFg.c令于是于是有: EDCaCA1001001005050FBmg100B习12–24(P258)质量m=3kg且长ED=EA=200mm的直角弯杆,在D点铰接于加速运动的板上.为了防止杆的运动,在板上A、B两点固定两个光滑螺栓.整个系统位于铅垂面内,板沿直线轨道运动.(1)若板的加速度a=2g,求螺栓A或B及铰D对弯杆的约束力;(2)若弯杆在A、B处不受力,求板的加速度及铰D对弯杆的约束反力.ABEDa解:取直角弯杆分析.弯杆为平动,达朗伯惯性力系可简化在质心上. 例四.长为l,质量为m的均质杆AB与DE以软绳AC与BD相连,并在AB的中点用铰链O固定在天花板上.求:在图示位置,当BE绳被剪断时,两杆的角加速度.ABEDCO解:取系统分析,达氏惯性力如图示取整体取DE杆ED2C12ABEDCO 取DE杆ED2C由(1),(2) 作业：13–113–313–613–1013–1513–17