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中图分类号：O469论文编号：102870818-S037学科分类号：070205硕士学位论文拓扑超导体中涡旋的钉扎效应及马约拉纳费米子的编织研究生姓名武海丹学科、专业凝聚态物理研究方向超导物理指导教师周涛教授南京航空航天大学研究生院理学院二О一八年三月 NanjingUniversityofAeronauticsandAstronauticsTheGraduateSchoolCollegeofSciencePinningeffectofvortexintopologicalsuperconductorandthebraidingofMajoranafermionsAThesisinCondensedMatterphysicsbyHai-DanWuAdvisedbyProf.TaoZhouSubmittedinPartialFulfillmentoftheRequirementsfortheDegreeofMasterofScienceMarch,2018 承诺书本人声明所呈交的硕士学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得南京航空航天大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。本人授权南京航空航天大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。（保密的学位论文在解密后适用本承诺书）作者签名：__________日期：2018.03.30 南京航空航天大学硕士学位论文摘要近年来，拓扑超导引起了人们广泛的关注。这是因为拓扑超导体的体内有超导能隙，边界处有拓扑保护的边缘态，这种边缘态与马约拉纳费米子有十分密切的关系。马约拉纳费米子的反粒子就是该粒子本身。另外，马约拉纳费米子还是非阿贝尔任意子，满足非阿贝尔统计，这在实现拓扑量子计算方面有潜在的应用。本文通过建立合理的理论模型，求解Bogoliubov-deGennes方程，数值地计算了拓扑超导中涡旋的钉扎效应，并且通过杂质的拖拽实现了马约拉纳费米子的编织。首先，我们给出了合理的哈密顿量，并简单地说明了该模型的合理性。接下来，我们我们选取4824的晶格，分别数值地计算了拓扑平凡态和拓扑非平凡态的涡旋钉扎情况，并通过计算能带说明了临界磁场的取值。计算结果表明在拓扑超导中存在两个涡旋，分别在(12,12)和(36,12)的位置。引入杂质后，涡旋将被杂质拖拽到杂质所在的位置。但是，杂质对涡旋的钉扎效应存在一个临界距离Rc。设以无杂质时涡旋中心的位置为原点，当杂质到原点的距离超过相应的临界距离，涡旋将回到原来无杂质时的位置。我们知道拓扑超导中涡旋很可能联系着马约拉纳束缚态。通过数值地计算本征值和本征矢，我们可以直观地看到两个零能本征值的存在，这更加表明涡旋与马约拉纳束缚态的密切联系。通过计算钉扎后的态密度，我们可以观察到明显的零能峰；零能峰的出现表明杂质对涡旋的钉扎并不会破坏马约拉纳束缚态。综上所述，拓扑超导中杂质对涡旋有钉扎效应，并且钉扎并不会破坏马约拉纳束缚态。因此，我们可以试图利用这种钉扎效应实现对马约拉纳束缚态的编织。然而，当两个涡旋距离较近时，涡旋之间会产生排斥作用，这会在一定程度上减小钉扎的临界距离；另外，钉扎临界距离的存在使我们无法实现两个涡旋在水平方向上的直接交换，这不利于马约拉纳束缚态的交换和编织。因此，我们将晶格扩大到4848的晶格，发现零能本征值和马约拉纳束缚态仍然存在，也就是说4848的晶格和4824的晶格并没有本质的区别。在4848的晶格中，我们通过缓慢地拖拽涡旋，实现了两个涡旋的交换。另外，通过数值地计算和理论地分析，我们说明了拓扑超导中的涡旋确实联系着马约拉纳束缚态。通过缓慢的钉扎，我们成功地实现马约拉纳束缚态的交换，这对马约拉纳束缚态的编织和拓扑量子计算机的实现都有重要的意义。关键词：拓扑超导，马约拉纳费米子，杂质效应，涡旋的钉扎，非阿贝尔统计I 拓扑超导体中涡旋的钉扎效应及马约拉纳费米子的编织ABSTRACTInrecentyears,topologicalsuperconductorshaveattractedwideattention.Thisisbecausetopologicalsuperconductorhasasuperconductinggapinthebulkandtopologicallyprotectedgaplessstates.ThereiscloserelationshipbetweenthegaplessstatesandMajoranafermions.EachMajoranafermionisitsownantiparticle.Majoranafermionisstillanon-Abeliananyon,obeyingnon-Abelianstatistics,whichhaspotentialapplicationsintherealizationoftopologicalquantumcomputation.Inthispaper,byestablishingareasonabletheoreticalmodelandslovingtheBogoliubov-deGennesequation,thevortexpinningeffectintopologicalsuperconductorisnumericallycalculatedandthebraidingoftheMajoranafermionsisachievedbydraggingimpurities.Firstly,wegiveareasonableHamiltonianandillustratetherationalityofthemodelsimply.Next,wenumericallycalculatethevortexpinningeffectoftopologicaltrivialstatesandtopologicalnon-trivialstates,andthevalueofcriticalmagneticfieldbyenergyspectrumontheN4824lattice.Theresultshowsthattherearetwovorticesinthetopologicalsuperconductors,locatedat(12,12)and(36,12)respectively.Aftertheadditionoftheimpurity,thevortexisdraggedtothelocationoftheimpurity.However,thereisacriticaldistanceRcofvortexpinningbythepointpotential.Wesupposethepositionofthevortexcenterwithoutimpurityistheorigin,andwhenthedistanceoftheimpuritytotheoriginexceedsthecorrespondingcriticaldistance,thevortexwillreturntotheoriginalpositionwithoutimpurities.WeknowthatsuperconductingvorticesintopologicalsuperconductorsaremostlikelyassociatedwiththeMajoranaboundstates.Bycalculatingeigenvaluesandeigenvectorsnumerically,wecanvisuallyseetheexistenceoftwozero-energyeigenvalues,showingthecloserelationshipbetweenvorticesandMajoranaboundstates.Bycalculatingthedensityofstatesaftervortexpinned,wecanobserveasignificantzero-energypeak,whoseappearanceindicatesthatvortexpinningbythepointpotentialdoesnotdestroytheMajoranaboundstates.Insummary,impuritiesintopologicalsuperconductorshaveapinningeffectonvortices,thispinningeffectdoesnotdestroytheMajoranaboundstate.Therefore,wecantrytousethispinningeffecttorealizethebraidingofMajoranaboundstates.However,whenthetwovorticesareclose,thevorticeswillrepeleachother.Thiswilltoacertainextentreducethecriticaldistanceofpinning.Inaddition,theexistenceofthepinningcriticaldistancemakesitimpossibletodirectlyexchangethetwovorticesinthehorizontaldirection,whichisnotconducivetotheexchangingandbraidingoftheMajoranaboundstates.Therefore,wefindthatthezero-energyeigenvaluesandtheMajoranaboundstatesstillexistonthe4848lattice,namelythereisnoessentialdifferencebetween4824latticeandII 南京航空航天大学硕士学位论文4848lattice.Weachievetheexchangeofthetwovorticesbydraggingthevorticesslowlyonthe4848lattice.Then,weshowthatthevorticesintopologicalsuperconductorscontacttheMajoranaboundstatesbynumericallycalculatingandtheoreticallyanalysing.WesucceedinexchangingtheMajoranaboundstatesbypinningslowly,whichisofgreatsignificancetotherealizationofthebraidingofMajoranaboundstatesandthetopologicalquantumcomputer.KeyWords:topologicalsuperconductor,Majoranafermions,impurityeffect,pinningvortex,non-AbelianstatisticsIII 南京航空航天大学硕士学位论文目录第一章绪论.............................................................................................................................................11.1拓扑超导体................................................................................................................................11.1.1一维无自旋p波超导.....................................................................................................11.1.2二维p+ip超导...............................................................................................................41.1.3拓扑绝缘体掺杂实现拓扑超导....................................................................................71.1.4拓扑绝缘体和超导体形成的异质结构........................................................................81.1.5超导体和半导体形成的异质结构...............................................................................111.1.6超导和半金属形成的异质结构..................................................................................131.1.7磁性原子链-超导结构.................................................................................................141.2马约拉纳费米子......................................................................................................................171.2.1马约拉纳费米子的基本介绍......................................................................................171.2.2马约拉纳费米子服从的统计规律..............................................................................171.3拓扑量子计算机和STM实验的简单介绍...........................................................................191.4杂质对超导的影响..................................................................................................................211.5本章总结..................................................................................................................................22第二章建立模型...................................................................................................................................232.1引言..........................................................................................................................................232.2基本的哈密顿..........................................................................................................................232.3模型和哈密顿..........................................................................................................................242.4理论模型的现实实现条件......................................................................................................262.5程序的相关流程图..................................................................................................................26第三章临界磁场及无磁场时单一点杂质对涡旋的钉扎..................................................................283.1结果分析..................................................................................................................................283.2本章总结..................................................................................................................................31第四章4824晶格下涡旋的钉扎和相关局域态密度的计算..........................................................324.1结果分析..................................................................................................................................324.2本章总结..................................................................................................................................36第五章4848晶格下涡旋的钉扎和马约拉纳费米子的编织..........................................................375.1结果分析..................................................................................................................................375.2本章总结..................................................................................................................................41第六章总结...........................................................................................................................................42V 拓扑超导体中涡旋的钉扎效应及马约拉纳费米子的编织参考文献.................................................................................................................................................43致谢.........................................................................................................................................................50在学期间的研究成果及发表的学术论文.............................................................................................51VI 南京航空航天大学硕士学位论文图表清单图1.1Kitaev模型一维p波超导体的动能图......................................................................................2图1.2简单的Kitaev晶格模型.............................................................................................................3图1.3二维无自旋p+ip超导的动能图................................................................................................5图1.4p+ip超导支持马约拉纳费米子..................................................................................................6图1.5Cu0.12Bi2Se3和Bi2Se3结构示意图..............................................................................................7图1.6Cu0.3Bi2Se3的点接触谱..............................................................................................................8图1.7拓扑绝缘体+超导模型示意图...................................................................................................9图1.8拓扑绝缘体+超导结构相图.....................................................................................................10图1.9拓扑绝缘体+超导异质结构中马约拉纳费米子的编织.........................................................11图1.10半导体纳米线-超导异质结构示意图....................................................................................11图1.11L0时异质结构的能带图..................................................................................................12图1.12InSb纳米线端点的微分电导随偏压的关系.........................................................................13图1.13半金属-超导异质结构模型示意图........................................................................................13图1.14CrO2的晶体结构和晶相(001)的能带结构...........................................................................14图1.15磁性原子链结构示意图及相关局域电子态密度.................................................................15图1.16磁性原子链拓扑平凡态和非平凡态局域电子态密度和能量态密度图.............................16图1.17四个完全分离的涡旋示意图..................................................................................................18图1.18拓扑等价示意图......................................................................................................................20图1.19扫描隧道显微镜(STM)原理图...............................................................................................21图2.1对应的拓扑超导能带图............................................................................................................25图2.2原子力显微镜控制点杂质势示意图.......................................................................................26图3.1Zeeman场取值h=0时的能带图..............................................................................................28图3.2Zeeman场取值h=0.25时的能带图.........................................................................................29图3.3Zeeman场取值h=0.6时的能带图...........................................................................................29图3.4无磁场均匀初值情况下的涡旋................................................................................................30图3.5无磁场均匀初值情况下，杂质在(16,12)处涡旋的钉扎........................................................30图3.6无磁场均匀初值情况下，杂质在(17,12)处涡旋的钉扎........................................................31图4.1晶格中杂质对涡旋的钉扎效应图............................................................................................32图4.2钉扎临界距离Rc与杂质势Vi的关系图.................................................................................33图4.3当杂质散射势，Vi10位于(12,12)的位置时的本征值图.................................................34VII 拓扑超导体中涡旋的钉扎效应及马约拉纳费米子的编织图4.4当其中一个涡旋被钉扎时，两个马约拉纳费米子的空间分布图.......................................34图4.5当杂质散射势Vi10时，局域电子态密度分布图...........................................................35图5.1拓扑超导中杂质对涡旋的钉扎效应图...................................................................................37图5.2钉扎临界距离Rc与杂质势Vi的关系图.................................................................................38图5.3交换涡旋过程中的超导序参量图............................................................................................39图5.4当杂质散射势Vi10，一个涡旋被钉扎的本征值图...........................................................40图5.5两个完全分离的马约拉纳束缚态分布图...............................................................................40VIII 南京航空航天大学硕士学位论文第一章绪论1.1拓扑超导体自从超导现象被人们发现以来，很长的时间内都没有找到合适的微观机制来完美的解释这一现象。直到Bardeen,Cooper,Schrieffer共同提出了BCS理论，终于成功地在理论上比较合理地解释了超导现象。随着分数量子霍尔效应[1-5]和拓扑绝缘体[6-9]的发现，科研人员把目光落在了物质的拓扑性质上，拓扑超导成了研究热点。拓扑超导体[10-12]在能带结构上明显地区别于常规超导体和高温超导体：如果系统的边界条件是周期性的，价带与导带之间将存在一个十分明显的能隙。但是在一定的条件下，拓扑超导体可以实现从拓扑平凡相到拓扑非平凡相的转变，这时在零能量的位置处能隙将消失，呈现出具有金属性质的边缘态。拓扑超导中另一个吸引人的地方是拓扑超导中存在局域的马约拉纳费米子[7-9,13-20]。马约拉纳费米子是自身的反粒子。这种粒子至今不能被确定是否为基本粒子，但是它们可能在凝聚态系统的准粒子激发上产生。与其他基本粒子相比，马约拉纳费米子是非阿贝尔任意子，服从非阿贝尔统计；马约拉纳费米子具有高度非局域和抵制退相干的性质，这在拓扑量子计算机的实现方面有着巨大的潜在应用。一维系统中，马约拉纳费米子将出现在系统的两端；二维系统中，马约拉纳费米子将出现在涡旋中心。目前研究表明，可以实现拓扑超导系统的最典型的例子就是手性p波超导体。p波超导体满足p波配对，然而现实中天然的p波超导体十分少见，而且p波超导体并不稳定，这使得实验上实现拓扑超导有一定困难。随后的研究中人们尝试是否可以通过现有的、易获得的材料“制造”出拓扑超导体。研究发现，用一些实验中相对比较容易获得的材料通过一些合适的方式确实可以制造出拓扑超导体[13-21]：研究表明通过对拓扑绝缘体掺杂，利用临近效应下s波的“三明治”结构，或是将纳米结构的磁性原子链嵌入s波超导体等方法均可获得“等价”的拓扑超导体。由于常规超导体和拓扑绝缘体等材料容易获得，这在很大程度上降低了实验难度，对将来拓扑量子计算机的实现具有重要的作用[100,101]。1.1.1一维无自旋p波超导考虑到马约拉纳费米子电中性的情况，包含电子和空穴的超导体是最有可能实现这一想法的系统。但是考虑到自旋的影响，常规的超导体不符合条件。经研究表明，理论上p波超导是最合适的候选材料。科研人员使用了一个较为简单的Kitaev晶格模型来数值地求解，从理论上证明p波超导确实是最有可能实现马约拉纳费米子的体系。首先，科研人员给出简单直观的Kitaev晶格模型，这个模型可以用来描述简单的一维无自旋p波超导[23-26]。一维长程有序的无自旋p波超导是由N个无自旋的费米子组成。每个费米子可以看成是两个马约拉纳费米子的叠加，处在不同格点的马约拉纳费米子两两结合，将导致首尾出现两个非局域的马约拉纳费米子。这样的一维p波超导模型，对应的哈密顿表达式如下：1 拓扑超导体中涡旋的钉扎效应及马约拉纳费米子的编织1iHcxcx(tcxcx1ecxcx1h.c.)(1.1)2xx其中是化学势，t是最近邻跳跃势，是p波配对势，是超导相位，晶格常数选为单位长度。接下来，科研人员将以上的哈密顿表达式由实空间变换到倒空间，引入两分量的算符Ck[ck,ck]，在倒空间中计算相应的能带图。在倒空间中，与给定哈密顿对应的BdG方程可以写成下面的形式：~1EkkHCk~Ck(1.2)2kBZkEk~i其中Ektcosk是动量，kiesink是傅里叶变换配对势。结合u-v变换akukckvkck，上面的哈密顿可以变换成准粒子激发的形式：HEbulk(k)akak(1.3)kBZ则系统的准粒子激发能量为：2~2Ebulk(k)Ekk(1.4)图1.1Kitaev模型一维p波超导体的动能图[27]如图1.1所示，科研人员分析了相应的准粒子能量图，p波配对在化学势t的位置打开一个体能隙，t系统处在非拓扑的强配对相，t系统处于拓扑的弱配对相，其他取值满足粒子-空穴对称性不予以考虑。由于强配对相与拓扑平凡态对应，弱配对相与拓扑非平凡态对应，强配对相和弱配对相存在相变时能隙关闭。当体系处于拓扑非平凡态时，手性马2 南京航空航天大学硕士学位论文约拉纳费米子将出现在开放性的边界处。我们用cx表示无自旋的费米子算符，将一个通常的费米子看成是两个马约拉纳费米子的叠加：i/2ecx(B,xiA,x)(1.5)2将上面的算符及其共轭算符带入到p波超导的哈密顿量中，则原哈密顿量表达式可以写成新的形式，也就是马约拉纳费米子对应算符的表示形式：NN1iH(1iB,xA,x)tB,xA,x1(t)A,xB,x1(1.6)24x1x1图1.2简单的Kitaev晶格模型；(a)一维无自旋p波超导由N个无自旋的费米子组成；(b)相邻格点上的马约拉纳费米子形成一个狄拉克费米子，在一维链的末端将有两个未配对的零能马约拉纳费米子[27]接下来科研人员讨论了两种特殊情况：(1)如图(a)，当0，t0时，哈密顿量将只剩下同一格点处的A,x和B,x，不会出现交叉项，每一个格点上的两个马约拉纳费米子都可以组成一个狄拉克费米子。这种情况对应的是普通的费米子系统，此时系统处于拓扑平凡态。(2)如图(b)，当0，t0时，哈密顿将化简成：N1tHiB,xA,x1(1.7)2x1此时相邻的两个格点上的马约拉纳费米子将组合形成一个狄拉克费米子，在一维链的末端将有两个未配对的零能马约拉纳费米子，我们记为1A,1和2B,N，这两个马约拉纳费米子将组成非局域的费米子：f1i2/2。由此可见，无自旋的一维p波超导支持零能量的马约拉纳费米子，在系统处于拓扑非平凡相时，马约拉纳费米子将出现在一维p波超导的两端。综上可以看出，一维无自旋p波3 拓扑超导体中涡旋的钉扎效应及马约拉纳费米子的编织超导是一种非常有希望可以找到马约拉纳费米子的材料：在拓扑非平凡态下，马约拉纳费米子束缚在系统的两端。1.1.2二维p+ip超导通过上文的简单介绍，我们简单的了解了一维p波超导。通过以上简单的Kitaev晶格模型，我们也看出了一维无自旋的p波超导中确实有希望实现马约拉纳费米子。科研人员发现某些情况下，二维系统也是可以实现马约拉纳费米子的，其中最基本的模型就是p+ip超导体[23-26]。当系统处于拓扑非平凡态时，马约拉纳费米子将出现在p+ip超导中。二维p+ip超导的哈密顿量具体形式为:2Hd2reiih.c.(1.8)2m2xy其中，场算符r表示产生一个无自旋的费米子，有效质量为m，是化学势，是p波配对势，是超导相位。定义(k)[(k),(k)]，将此哈密顿写到动量空间有：2~1dkE(k)(k)H2(k)~(k)2(2)(k)E(k)(1.9)21dk(k)hkσ(k)2(2)22~i~~其中E(k)k/2m，(k)ie(kxiky)，hx(k)Re[(k)]，hy(k)Im[(k)]，hz(k)E(k)，1上面给出的哈密顿量有一个作用在Nambu旋量上的赝磁场与之对应，相应的我们定义了一个拓扑不变量——陈数：2dkC[hˆ(khˆkhˆ)](1.10)4xy不同的拓扑相对应不同的拓扑数，不同拓扑相之间无法连续的过渡，除非能隙闭合发生二级相变。在p+ip超导中，拓扑平凡态对应拓扑数为0，拓扑非平凡态对应拓扑数为1。在发生拓扑相变时，体能隙闭合，在边界上可能获得马约拉纳零模。根据正则变换：a(k)u(k)(k)v(k)(k)，将哈密顿对角化得到准粒子哈密顿量表达式：2dkH2Ebulk(k)a(k)a(k)(1.11)(2)准粒子的激发能量为：2~2Ebulk(k)E(k)(k)(1.12)4 南京航空航天大学硕士学位论文图1.3二维无自旋p+ip超导的动能图[27]从图上可以看出当0系统处于强配对的平凡态，当0系统处于弱配对的非平凡态，我们可以调节化学势使得p+ip超导体处在拓扑非平凡态，并加m个磁通量子，忽略化学势缓慢变化时低能的边缘态，同时引入极坐标系后，哈密顿量可以写成：2ii(m1)i(1.13)Hedgedrr[eerh.c.]2r值得注意的是我们引入了m个磁通量子，相当于引入了m个涡旋[28,29]，涡旋中心在坐标原点，在坐标原点外做一个闭合路径，超导相位做一个沿路径的积分，波函数将产生m个周期，实现了在坐标原点处产生涡旋的效果，由于电子场算符在极角的方向受到了限制，角动量也有受到相应的影响。通常角动量是整数，我们可以用角动量n来标记内部边缘和外部边缘的低能激发能量及相应的波函数：rdrri/2noutinRoutie(1.14)Eout，n(r)eei/2Routierdr(r)i/2nininRine(1.15)Ein，n(r)eei/2Rine5 拓扑超导体中涡旋的钉扎效应及马约拉纳费米子的编织图1.4p+ip超导支持马约拉纳费米子；(a)图中红色和蓝色闭合回路分别表示内边缘和外边缘；(c)环状p+ip拓扑超导在内边缘和外边缘支持手性马约拉纳费米子；(b)和(d)分别表示涡旋拓扑数是偶数和奇数时，角动量量子数相应的内外边缘的激发能谱；内外边缘都存在马约拉纳零模，也就是我们找的马约拉纳费米子；(e)多个涡旋的系统[27]从图1.4可以看出，当角动量是半整数时不存在零能模，当角动量是整数时，将在内外边缘上分别存在马约拉纳模1和2。当内边缘满足周期性条件，外边缘不满足周期性条件，内边缘将出现马约拉纳零能模，外边缘存在一定大小的能隙，在系统内出现多个涡旋。从上面的分析可以很明显的看出，在p+ip超导中的拓扑区域存在磁通为hc/2e的涡旋，在涡旋中束缚了局域性非常明显的马约拉纳零模。在自旋三重态配对的二维p+ip超导体中，超导相位N围绕涡旋改变2，涡旋将束缚一对稳定的马约拉纳零模。系统若存在2N个涡旋会导致2基态简并，通过涡旋绝热地重新排列可以实现马约拉纳费米子的编织，这有利于拓扑量子计算机的实现。以上我们介绍了一维p波超导和二维p+ip超导的具体形式，以及证明了一维p波超导和6 南京航空航天大学硕士学位论文二维p+ip超导是可能实现马约拉纳费米子的材料，但是考虑到p波超导是极其不稳定的，材料的自身缺陷对马约拉纳费米子的影响非常大。考虑到实际的情况，p波超导在我们已经发现的超导中并不常见。因此，科研人员考虑是否可以用比较常见的金属、半金属等材料来实现一个“等效”的p波超导[27]。1.1.3拓扑绝缘体掺杂实现拓扑超导拓扑绝缘体作为一种新材料吸引了很多人的注意力，这种材料在能带结构方面与普通的绝缘体有本质的区别：拓扑绝缘体拥有拓扑保护的无能隙的边缘态，而且边缘态能够抵制非磁性杂质和微扰的干扰。其中Bi2Se3是为数不多的拓扑绝缘体的一种，晶体中的原子以共价键的方式结合，形成层状结构，各层之间通过范德瓦尔斯相互作用结合到一起，电子浓度大203约为210cm。通过将Cu原子掺杂到Bi2Se3的层与层之间，或者取代Bi2Se3中的Bi原子，实现CuxBi2Se3。经研究表明，当掺杂比例0.12x0.15，温度为3.8K时，CuxBi2Se3将出现明显的超导电性，从而实现通过掺杂使拓扑绝缘体实现超导电性[30-36]。图1.5CuBiSe和BiSe结构示意图；(a)是CuBiSe的晶体结构[31]；(b)BiSe的晶体0.1223230.122323结构[30]7 拓扑超导体中涡旋的钉扎效应及马约拉纳费米子的编织图1.6Cu0.3Bi2Se3的点接触谱；(a)Cu0.3Bi2Se3是0T在和0.35~2K时的点接触谱；(b)是(a)中V0周边值的放大图；(c)是系统在垂直磁场0~0.8T情况下，温度为0.35K时的点接触谱[37]图1.6给出了CuxBi2Se3点接触谱中的零压电导峰，科研人员通过对CuxBi2Se3的点接触谱可以看到拓扑绝缘体掺杂后实现超导电性，并且存在十分明显的零偏压电导峰，这表明在CuxBi2Se3中很可能存在拓扑保护的超导态。同时这种材料的发现为我们提供了一种具体的实现拓扑超导的方式，这对拓扑超导有十分重要的意义[38-46]。1.1.4拓扑绝缘体和超导体形成的异质结构上文中科研人员通过对拓扑绝缘体掺杂实现了拓扑超导。进一步研究发现当采取其他手段后，也可以利用拓扑绝缘体实现拓扑超导。拓扑绝缘体是一种十分特殊的绝缘体，它的内部存在强自旋轨道耦合和时间反演对称性，这是实现拓扑超导的重要性质。在二维拓扑绝缘体中自旋不同的电子将按照两个不同的方向运动，自旋向上的电子顺时针运动，自旋向下的电子逆时针运动。对于这些低能的边缘模，可以给出相应的哈密顿量：H2DTIdx(ivxz)(1.16)其中v是速度，是化学势，x表示产生一个自旋为的电子。随着研究的深入，傅亮和Kane最先提出利用拓扑绝缘体和超导体创造出拓扑超导体，其本质是利用普通的s波超导和强拓扑绝缘体之间的邻近效应来实现涡旋态，这样的涡旋联系着马约拉纳束缚态。临近效应[47,48]的存在使得当拓扑绝缘体和s波超导结合在一起时，在接触面处产生库柏对，这就使得边缘态存在了库柏对，实现了超导电性，相应的超导项哈密顿量如下：Hdx(h.c.)(1.17)考虑拓扑绝缘体和临近效应后总的哈密顿量为：HH2DTIH(1.18)其中是配对势，由此可以给出对应准粒子的能量如下：22E(k)(vk)(1.19)8 南京航空航天大学硕士学位论文科研人员发现这种情况实际上是等价于时间反演对称情况下的弱配对的Kitaev模型。实现拓扑绝缘体还需要破坏其时间反演对称性，一般情况下加入磁场会对时间反演对称性产生破坏，所以科研人员可以引入Zeeman场。与Zeeman场相关的哈密顿量表达式为：HZhdxx(1.20)一般情况下科研人员通过加铁磁绝缘体或者一个组合电极的Zeeman场，就可以在边缘态获得一对局域的马约拉纳费米子。本文的研究也是基于这样的结构提出了合理的模型。图1.7拓扑绝缘体+超导模型示意图；(a)拓扑绝缘体中边缘态自旋相反的电子沿相反方向运动；(b)引入Zeeman场后的能带结构，在k=0处出现零能点；(c)超导+拓扑绝缘体+铁磁绝缘体模型，出现一对局域的马约拉纳费米子；(d)超导+拓扑绝缘体+Zeeman场模型，出现一对局域的马约拉纳费米子[27]9 拓扑超导体中涡旋的钉扎效应及马约拉纳费米子的编织图1.8拓扑绝缘体+超导结构相图；(a)一个STIS线性结；(b)STIS线性结的能带图；(c)超导三相结；(d)三相结相图，在阴影区域存在一对马约拉纳零模[22]线性超导—拓扑绝缘体—超导“三明治”结构，在考虑临近效应和Zeeman场的情况下也可以产生马约拉纳费米子。一般情况下，在材料选择上多数选择Bi1xSbx和HgTe等。对应系统的哈密顿可以写成：zzxyH[ivσ0(cossin)]/2(1.21)Txyz其中，[(,),(,)]，,,是泡利矩阵。经过求解BdG方程，科研人员发现低能情况下，手性的马约拉纳费米子存在于s波超导和强拓扑超导的边缘。图1.8中，图(a)的模型中拓扑绝缘体上放有两块s波超导，它们的相位分别是和0。图(b)中通过改变的值，能带结构也发生改变，当时系统能隙消失，对应图中的实线。在这样的两相结中，边界的两端将出现马约拉纳零模。图(c)进一步考虑三相结，将相位不同的三块超导放在拓扑绝缘体上面就可以形成三相结。图(d)画出三相结的相图，在灰色区域存在马约拉纳零模，也就是我们说的马约拉纳费米子。10 南京航空航天大学硕士学位论文图1.9拓扑绝缘体+超导异质结构中马约拉纳费米子的编织；当从0变化到2，(a)产生纠缠态；(b)相互交换马约拉纳零模[22]拓扑绝缘体和超导异质结构中，当从0变化到2，图1.9(a)的情况下系统将产生纠缠态；图(b)中马约拉纳零能模按照21，12逆时针旋转3次，将这样的过程运用到更大的列阵就有可能实现马约拉纳零能模基本的编织操作，这种现象对拓扑量子计算机的实现十分重要。拓扑绝缘体和超导的异质结构有两种形式，一种是在拓扑绝缘体上放置一层超导体，另一种是在超导体上放一层拓扑绝缘体。经研究表明，这两种结构都有可能实现马约拉纳费米子[22]。1.1.5超导体和半导体形成的异质结构科研人员从理论上证明了半导体和超导体的异质结构也有可能产生马约拉纳费米子。将一个具有强自旋轨道Rashba相互作用的一维半导体线嵌入到超导体中[49-52]，通过改变平面内的磁场或者栅极电压，我们可以实现拓扑平凡态和非平凡态之间的转变，并在相变的同时找到马约拉纳费米子。图1.10半导体纳米线-超导异质结构示意图；(a)半导体纳米线嵌到弱电感s波超导体中的俯视图；(b)异质结构的侧视图[53]11 拓扑超导体中涡旋的钉扎效应及马约拉纳费米子的编织实验过程中，科研人员选一维InAs纳米线作为具有强自旋轨道耦合[54-57]的半导体，选择Nb作为传统的s波超导体。装置中L并且L1，是超导相干长度。模型对应的哈密顿可以写成：2xH0dxxiyxVxxx(1.22)2mHSCdxxxxh.c.(1.23)HH0HSC(1.24)其中，m是电子的有效质量，是化学势，是自旋轨道耦合的相互作用强度，Bx是平面内的磁场，该磁场导致自旋分裂：VxgSMBBx/2(1.25)ix0xL0exL(1.26)222x是配对势，是超导序的相位。C00Vx0系统属于拓扑超导。图1.11L0时异质结构的能带图；图中实线对应的Vx1.25，系统处于拓扑非平凡态，虚线对应的V0.75，系统处于拓扑平凡态[53]x从能带结构中，我们可以看出当系统处于拓扑非平凡态时，在零能的位置处存在闭合能隙的金属态，可以实现马约拉纳零模，它们将出现在纳米线的两端。通过上面的研究可以看到，普通超导和半导体的组合也是能满足拓扑超导要求的异质结构。L.P.Kouwenhoven课题组对InSb纳米线进行了研究，并观测了零偏压电导峰，从实验的结果中我们确实可以看到零偏压电导峰，这样的实验结果恰好是马约拉纳费米子存在的十分有力的证据之一。12 南京航空航天大学硕士学位论文图1.12InSb纳米线端点的微分电导随偏压的关系[58]在这之后，有很多实验也相继观测到了马约拉纳费米子存在的证据，同时这些实验也切实地提供了在实验中探测马约拉纳费米子的方式[59-65]。1.1.6超导和半金属形成的异质结构半金属材料是一种特殊的材料，它既有金属的特性也有非金属的特性。与绝缘体不同，它的导带与价带之间有一小部分重叠，但因重叠较小它和典型的金属也有所区别。半金属材料的费米面是自旋极化的，考虑到半金属和超导体的临近效应，科研人员给出了构造拓扑超导体的模型。图1.13半金属-超导异质结构模型示意图[66]图1.13半金属-超导异质结构模型相应的弱配对的哈密顿为：13 拓扑超导体中涡旋的钉扎效应及马约拉纳费米子的编织HSCEkckckkckckh.c.(1.27)k,kHHMEkfkfk(1.28)kHttk,fkckh.c.(1.29)k图1.14CrO的晶体结构和晶相(001)的能带结构[66]2实验上，科研人员会将半金属材料制成薄膜结构，主要选取的材料是VTe和CrO2。图1.14给出了CrO2的晶体结构及其相应的能带图。通过构建这样的异质结构，我们可以探测到手性的马约拉纳边缘态。由于马约拉纳费米子局域电子态密度近似正比于零能电导峰，实验上最直接的方法是用STM测电导峰。总之，半金属-超导结构由于存在临近效应和强自旋轨道耦合，可以实现拓扑超导，并且可以被STM检测到。因此，我们又得到了一种可以实现马约拉纳费米子的异质结构的方法。这也给以后的研究提供了一个方向：不同的材料和超导体组成异质结构，由于存在临近效应，异质结构可以产生超导电性，将在结构的边缘产生马约拉纳费米子。所以，我们发现当不同的材料通过不同的结构组合在一起都可能产生新奇的效果，同样的结构不同的尺寸和不同的层间顺序也都可能产生不同的效果[66]。1.1.7磁性原子链-超导结构通过上文的介绍，我们发现虽然普通的s波超导不符合拓扑超导的要求，但是利用邻近效应可以制造出很多异质结构，这些异质结构可以实现马约拉纳费米子。科研人员发现磁性原子链和普通超导结合也是可以实现拓扑超导的模型。这个模型的实现是以扫描隧道电子显微镜技术为基础，该技术英文简称为STM。STM利用仅仅有数十个原子的探针，可以实现操纵原子的目的。图1.15(a)给出了该模型的示意图：红色的球代表的是磁性原子链，灰色部分表示s波超导的原子，STM的探针十分的尖锐仅仅有几个原子的尺度，我们可以利用STM探针操纵原子，使得磁性原子能够嵌入到超导原子中，形成超导中的磁性原子链式结构，从而得到这样的模型。这样的模型在不同的情况下将会产生拓扑平凡态和拓扑非平凡态。图(b)和图(c)分别反映拓扑非平凡和拓扑平凡态的低能激发态局域态密度的空间分布，可看出系统14 南京航空航天大学硕士学位论文处于拓扑非平凡态时低能激发态的局域电子态密度集中分布在链的两端，这对应了马约拉纳费米子的局域特性。图(d)和图(e)分别是拓扑非平凡态和拓扑平凡态能量的态密度分布，其中蓝色代表原子链末端，灰色代表原子链中部，从图中我们可以观察到原子链在零能量处出现了很明显的零能峰。图(b)和图(d)对比证明了零能的局域电子态密度对应马约拉纳费米子。图1.15磁性原子链结构示意图及相关局域电子态密度；(a)红色球表示磁性原子，灰色部分表示s波超导，使用STM操纵原子将磁性原子嵌入到超导体中得到该模型。图中晶格尺寸为NN9619[67]；(b)和(c)分别是拓扑非平凡和拓扑平凡态的低能激发态局域电子态密度的ab空间分布。(d)和(e)分别是拓扑非平凡态和拓扑平凡态能量的态密度分布，其中蓝色代表原子链末端，灰色代表原子链中部[67]15 拓扑超导体中涡旋的钉扎效应及马约拉纳费米子的编织图1.16磁性原子链拓扑平凡态和非平凡态局域电子态密度和能量态密度图；(a)和(b)分别是一维磁性原子链的拓扑平凡态和拓扑非平凡态的局域电子态密度；(c)和(d)分别是一维磁性原子链的拓扑平凡态和非平凡态的能量态密度，其中蓝色线代表原子链的末端，灰色代表原子链中部[67]科研人员利用STM技术，使用探针操纵磁性原子使其嵌入到s波超导体中。实验中，磁性原子链原子数要超过10个并且模型中的s波超导材料一般为Nb和Pb。与模型对应的哈密顿可以表示为：Htcicjh.c.ciciBncncnicicih.c.(1.30)i,jini其中，ci,t,,Bn,,n,i,,分别是电子产生算符，跳跃项，化学势，磁场，泡利算符，一维原子链原子数，超导能隙，自旋。通过解BdG方程得到拓扑非平凡和拓扑平凡的局域态密度，图1.16(b)和(d)对比可以看到零能态密度局域在原子链的两端。从图中可以看出，二维的拓扑非平凡态存在零能峰，分布在磁性原子链的末端。通过上面的讨论可以看到，磁性原子链的两端确实存在着马约拉纳费米子，这证明了这种异质结构是可以等效于拓扑超导的。综上，我们给出了几种实现马约拉纳费米子的异质结构。科研人员还极力寻找“本征”的拓扑超导体，并且对很多材料都进行了实验和探测，最后发现在温度为1.3K时，Au2Pb会发生超导转变。继实验探究后，科研人员还进行了相关的理论计算，发现这种情况下费米面附近存在拓扑非平凡的轨道结构构型。经过多方面的研究和考量，科研人员认为Au2Pb很有可能是一种“本征”的拓扑超导体[67-71]。16 南京航空航天大学硕士学位论文1.2马约拉纳费米子1.2.1马约拉纳费米子的基本介绍EttoreMajorana仔细地求解Dirac相对论协变电子运动方程，并进行了相关的数学分析，他发现了一种特殊的费米子，也就是我们说的马约拉纳费米子[72-79]。我们知道电子带负电，与电子对应的带正电的费米子叫做正电子。正电子是负电子的反粒子，负电子是正电子的反粒子。马约拉纳费米子的本质特征就是它的反粒子是其自身。在二次量子化的表示方式中，我们用表示产生一个马约拉纳费米子，用表示湮灭一个马约拉纳费米子。马约拉纳费米子的反粒子是其自身，用二次量子化表示可以写成：。通过分析我们可以看出马约拉纳费米子应当是电中性的粒子。很多研究寄希望于中微子是马约拉纳费米子，也有人认为马约拉纳费米子和暗物质有关。目前，凝聚态物理中对马约拉纳费米子的研究主要集中在一些固态的系统。凝聚态物质体系虽然只包含基本的电子、离子，看起来并不具备产生马约拉纳费米子的条件，但是，凝聚态系统十分复杂，它可以在一定条件下激发准粒子，可以衍生出许多新奇的性质。超导和超流系统中不仅有电子和空穴，而且满足电子空穴对称性和破缺的U(1)对称性，所以在超导体中找到马约拉纳费米子是很有希望的。由于马约拉纳费米子是电中性的，电子和空穴的叠加也可能是电中性的，所以科研人员主要考虑了超导中的电子空穴叠加。超导家族中最常见的就是s波超导了，科研人员首先研究了常规的s波超导体，s波超导体中库柏对是由两个自旋和动量都相反的电子配对形成的，电子可以看成是空穴和库柏对的叠加。考虑到电子空穴叠加，我们可以假设s波超导体中马约拉纳费米子的准粒子产生算符为cc，对应的湮灭算符为cc。我们可以看出若不考虑自旋自由度，则马约拉纳费米子的准粒子产生算符满足，但是由于存在自旋，两个算符并不等价。科研人员发现通过破坏宇称和时间反演对称性可以消除自旋自由度的影响。经过研究表明，一维p波超导体或二维p+ip超导体可以满足对自旋的要求，当系统处于拓扑非平凡态时，系统内的零能模出现在系统两端或者涡旋中心，这些零能模就对应马约拉纳费米子[27,79-89]。此外，马约拉纳费米子可以看成是一半的费米子，意味着一个费米子态是由两个马约拉纳费米子叠加而成。1.2.2马约拉纳费米子服从的统计规律科研人员通过把常见的超导体、半导体、半金属等材料组合起来可以创造出等效拓扑超导体，这对实现马约拉纳费米子是十分重要的，必然会导致一系列技术上的创新。考虑到涡旋中存在马约拉纳费米子且满足非局域的特性，科研人员可以尝试将服从非阿贝尔统计的马约拉纳费米子应用到量子信息的编码中，这种特殊的粒子将对拓扑量子计算机的诞生产生巨大的影响。一般的基本粒子可以分为两种，一种是玻色子满足玻色统计，不遵从泡利不相容原理，可以有多个粒子处在同一个量子态。当温度降到绝对零度附近时，低能级上凝聚了接近全部17 拓扑超导体中涡旋的钉扎效应及马约拉纳费米子的编织的玻色子——系统发生了玻色-爱因斯坦凝聚；另一种是费米子满足费米统计，遵从泡利不相容原理，也就是说每一个量子态只能有一个费米子占据。任意子既不是玻色子，也不是费米子。任意子的自旋既不是整数也不是半整数，既不服从费米统计也不服从玻色统计而是服从非阿贝尔统计。这意味着粒子的交换是非平凡的操作，一般是不对易的。在二维体系中，两i个相同的粒子交换位置，波函数会对应一个相因子e，当相位改变量为零时对应玻色子，相应的波函数将乘以+1；当相位改变为量时对应费米子，相应的波函数将乘以-1；当相位满足0,时对应任意子，对应的波函数将乘以一个相因子。通常情况下，交换阿贝尔任意子相应的波函数会出现一个相位，而非阿贝尔任意子的交换不是简单的获得一个相位，而是变成了一个完全不同的量子态，这样的交换是非对易的，将导致独特的交换统计——非阿贝尔统计。马约拉纳费米子是非阿贝尔任意子，服从非阿贝尔统计。接下来我们简单介绍二维空间中任意子的非阿贝尔统计。科研人员在研究过程中发现马约拉纳零能模就是任意子，因此我们可以先考虑一个简单的任意子系统：它具有2N个马约拉纳零能模，分别标记为1,...,2N。一般的费米子可以写成fi2j1i2j/2，相应的粒子数算符为njfjfj，相应的基态为in1,...,nN。然后，我们可以绝热地交换两个马约拉纳零能模。为了简单起见，我们结合二维无自旋p+ip超导Ivanov’s模型说明马约拉纳费米子的编织。图1.17四个完全分离的涡旋示意图；其中涡旋1和涡旋2发生交换[90]我们给出四个完全分离的涡旋，每个涡旋束缚一个马约拉纳零能模分别记为1,2,3,4。科研人员将其中两个涡旋1和2顺时针旋转，1穿过一个分支，并给出相应的酉算符：U12(112)/2(1.31)U121/2U122/1(1.32)顺时针交换相邻两个涡旋，相当于编织1和2，使得12和21。一般情况下，jj1和j1j这样的交换可以有以下几种情况：18 南京航空航天大学硕士学位论文Uj,j11jj1/2(1.33)i(12n1)n1,n2U12n1,n2e4n1,n2(1.34)1nn1,n2U23n1,n2n1,n2i(1)11n1,1n2(1.35)2i(12n2)n1,n2U34n1,n2e4n1,n2(1.36)编织粒子1和2与编织粒子3和4是普通的费米子的编织，这种编织会产生一个平凡的相位因子，而编织粒子2和3相当于编织了一半的普通费米子f1和一半的普通费米子f2，这会导致n1,n2的非平凡的旋转。通过上面的分析，科研人员概括得到涡旋非阿贝尔统计的特点：粒子经过连续的交换，终态将取决于他们被交换的顺序。二维pip超导中的涡旋满足非阿贝尔统计，科研人员发现没有涡旋的时候，马约拉纳零能模也是满足非阿贝尔统计的，马约拉纳零能模也是可以被交换的。基态n1,n2,...,nN可以用来编码量子比特，由于对应nj的一对马约拉纳零能模在空间上是分离的，这样的编码可以非局域地存储量子信息。由于马约拉纳费米子的编织满足非阿贝尔统计，我们可以通过绝热地交换马约拉纳零模来操控量子比特。虽然理论上环境等因素也可能诱导我们并不想要的交换，这样会破坏量子比特，但是由于马约拉纳费米子的非局域特性，这种交换发生的概率十分低。这是容错拓扑量子计算机的基础，可以更有效地应对退相干[10-12]。综上所述，马约拉纳费米子是非阿贝尔任意子，它既不服从玻色统计，也不服从费米统计，而是满足非阿贝尔统计。任意地交换非阿贝尔任意子都会导致量子态的改变，因此可以将马约拉纳费米子对应计算机中的量子比特进行编码。由于马约拉纳费米子有非局域的特性，受到拓扑和超导能隙的保护，利用马约拉纳费米子编码制作的计算机将不同于普通的量子计算机，可以有效的避免温度、电噪声等干扰，这样就不会发生量子状态被破坏的现象，使计算机运行地更稳定，而且提高了计算机的实用性和效率。我们将这样的计算机称为拓扑量子计算机。马约拉纳费米子的发现具有重大的意义，这有可能导致计算机领域的巨大变革。目前已经有大型的计算机公司试图制造拓扑量子计算机，其研究人员认为半导体加超导就是秘诀，但是极低温的条件仍是一个很大的挑战。要成功地制造出可以在常温下使用的拓扑量子计算机，在物理层面上还是有问题需要解决[27,79-89]。1.3拓扑量子计算机和STM实验的简单介绍随着科技的不断发展，电子器件越做越薄、越做越小，这对很多产品的性能既是提升也是挑战。与此同时，计算机也是越做越薄、越做越小，这对计算机的稳定性和准确性都提出了更高的要求。拓扑量子计算机的提出给了我们全新的研究方向。研究人员对马约拉费米子进行深入的研究后，发现它是实现拓扑量子计算机亟需的粒子。拓扑量子计算机具有很强的容错和退相干特性，一旦被发明将会比一般的量子计算机更强大。19 拓扑超导体中涡旋的钉扎效应及马约拉纳费米子的编织拓扑学是数学科学上一个全新的分支，数学家已经在这个领域建立了一系列较为完善的知识体系。为了更简单的理解拓扑的概念，我们主要考虑一下几何上拓扑不变的概念：在拓扑学中，一个面包圈和一个杯子是等价的，因为它们之间的变化是光滑的，并不打开新的缺口。在物理学中，如果系统的一些自由度对局部微扰不是很敏感，可以利用这些自由度编码信息，这样就可以实现对局域扰动的抵抗，系统就可以实现计算机的退相干，从而实现容错性能更优良的拓扑量子计算机。这在提高计算机运行的稳定性和高效性方面都有非常重要的意义。在三维系统中，把粒子连续交换两次的操作是平凡的，而在二维系统中交换两次粒子的操作相当于一个粒子绕另一个粒子转了一圈，这样的操作是拓扑非平凡的。在二维系统中，通过创造任意子，然后对世界线进行编织可以实现任意子特殊的交换统计，通常情况下如果系统受到拓扑保护，那么低阶的微扰将无法改变基态量子比特，这就极大的抑制了环境噪声对系统稳定性的影响。此外，拓扑量子计算机的实现有一个非常关键的因素，就是任意子的操纵，这进一步的激发了科研人员对马约拉纳费米子的探索[91]。如果可以找到马约拉纳费米子，或者通过复杂的凝聚态系统衍生出马约拉纳费米子，并且可以通过外力或其他的影响准确地操纵和编织马约拉纳费米子，就可以实现对非阿贝尔任意子的交换、编织，从而进一步实现拓扑量子计算机。图1.18拓扑等价示意图；面包圈和杯子拓扑等价1986年扫描隧道显微镜(STM)诞生于苏黎世实验室，这种仪器有十分灵敏的性能，它比原子力显微镜有更高的分辨率。在金属薄层之间加入绝缘层，会产生隧穿效应。STM的探针针尖和材料表面距离几个埃，构成金属——真空——金属，真空相当与绝缘层，实现隧道效应，加偏压后就可以产生隧穿电流，用于探测材料的表面性质和材料内部的电子结构。STM的探针尖端仅仅有十几个原子，一般有两种制备方法：机械法和电化学腐蚀法。机械法简单讲就是用十分锋利的剪刀剪出一个楔形，但这种操作不可靠，需要多次的练习和多次的尝试才可以制作出比较理想的针尖；电化学腐蚀法是通过电化学反应腐蚀金属棒，金属棒被腐蚀过程中，在重力的作用下，悬挂的金属掉落形成锥状针尖。STM基本工作方法是通过探针扫20 南京航空航天大学硕士学位论文描样品表面，通过反馈电路转换成电信号，然后从电脑输出各种相关信号。一般情况下，我们在研究拓扑超导和马约拉纳费米子的时候，理论和实验的对比主要是通过STM实验中的零偏压电导峰和局域电子态密度进行，接下来我们将说明这样的对比是合理的。实验过程中，STM的探针距离样品很近，加一定大小的偏压后将产生隧穿电流，隧穿电流的计算公式如下：eV4e24e2dITfeVf1eV2de12d(1.37)0其中，1eV是探针的电子态密度，2是样品的电子态密度，I是隧穿电流，V是偏压，dI/dV2V微分电导与电子的局域态密度成正比。因此，STM观测微分电导是实验上一种研究局域电子态密度的十分有效的方式，这也为研究拓扑超导中的马约拉纳零模，提供了对理论结果和实验结果进行有效对比的方法[92]。目前，科研人员认为最有效的探测马约拉纳费米子的方法，就是通过STM实验测零偏压电导峰，并将两者进行对比，从而得出更合理的结论。当然，科研人员发现其他条件诸如材料本身的缺陷也有可能导致零能峰，因此是否存在马约拉纳费米子不能只从这一个方面考虑，还是需要多方面考量的。图1.19扫描隧道显微镜(STM)原理图1.4杂质对超导的影响通过引入杂质对超导进行破坏，从而达到探究超导体的内部结构和相关性质的目的，这是很常用的研究超导体的方法。首先，超导体掺杂后，杂质原子会引入一个库伦势能，由于库伦屏蔽效应，杂质势可以看成是局域的。尽管杂质散射势不改变各向同性超导体的性质，但是杂质可能影响系统的局域电子态密度的分布。对于传统的s波超导，非磁性杂质对电子结构的影响并不明显，但是非磁性杂质对铜氧超导和铁基超导的影响十分明显。科研人员经过研究发现单个非磁性杂质加入铜氧超导后，会导致超导能隙减小，电子的局域态密度呈现21 拓扑超导体中涡旋的钉扎效应及马约拉纳费米子的编织典型的非对称性。在杂质点的附近，由于没有有效的屏蔽，电子分布并不均匀。通过BdG方程计算高温超导体的局域电子态密度可以发现，在距离杂质较远的地方，序参量基本不受影响，超导并未被破坏。在杂质点处，序参量受到极大的抑制，电子的局域态密度也受到极大的影响。科研人员也研究了杂质对铁基超导的影响，非磁性杂质将引起杂质共振峰，随着杂质势的增加，杂质共振峰将变得更强。科研人员通过解BdG方程，研究了点杂质对s波超导体中涡旋的影响。通过计算我们发现单一点杂质可以把涡旋钉扎住，在涡旋的中心附近配对势会在很大程度上被抑制，并在涡旋中心减少到零。杂质的钉扎效应被发现以后，传统的观点认为涡旋中存在缺陷，这种缺陷可以通过吸引正常的涡旋来影响凝聚能，但是这个观点只适用于大尺寸的缺陷。单一点杂质在尺寸上远远小于相干长度，上面的解释并不适用。科研人员通过求解BdG方程研究了d波超导中的涡旋钉扎问题。经过研究发现，非磁性杂质并不能摧毁涡旋态，并且杂质的存在将会引起零能共振峰。经过计算发现，所有的涡旋并不是完全局域，当杂质被加到涡旋附近时，涡旋会被拖到杂质所在的位置。但是，这种拖拽不是无限的，有一个临界值存在。此外，把杂质加入系统后，在零能附近会产生十分明显的零能共振峰。可能是由于d波超导存在能隙节点，而且低能准粒子态沿能隙节点方向，被钉扎的涡旋局域电子态密度呈现一个四角星的结构。继铜氧超导之后，科研人员研究了非磁性杂质对铁基超导的影响。在系统中引入杂质后，系统被引入很强的杂质散射势，无论是吸引势还是排斥势，都会引起杂质附近磁序的剧烈震荡。局域电子态密度也发生明显的改变。另外，杂质附近将产生两个共振峰，当杂质散射势是正的时候，它们将向更高的能量移动，当杂质势是负的时候，它们将向更低的能量移动。科研人员研究了杂质对铁基超导的影响。研究发现，杂质对铁基超导中的涡旋也存在钉扎效应。当杂质靠近涡旋中心时，涡旋被钉扎，被钉扎的涡旋磁序被抑制，而未被钉扎的涡旋磁序不被抑制。YukiNagai等人应用T矩阵自洽的方式，研究了杂质散射势对非常规的p波超导的影响：非磁性杂质加入p波超导后，p波超导会呈现出s波超导的性质[93-99]。杂质效应给我们提供了一种有效的方式来研究超导的相关性质。拓扑超导体中杂质对涡旋的钉扎效应尚未被研究，本文的主要工作就是研究拓扑超导体中杂质对涡旋的钉扎效应和马约拉纳费米子的编织。1.5本章总结本章主要介绍了拓扑超导的基本性质，以及现阶段为了实现拓扑超导科研人员进行的相关的研究：通过不同的异质结构构造出等价的拓扑超导体。我们还简单的介绍了STM实验，这为相关的理论分析和实验证据进行对比奠定了基础。这些研究充分说明了对拓扑超导的研究是很有意义的，尤其是拓扑超导中包含十分特殊的非阿贝尔任意子——马约拉纳费米子。马约拉纳费米子服从非阿贝尔统计，是实现拓扑量子计算机最重要的因素。最后，我们介绍了杂质对超导体的影响，并给出了本文的主要研究内容和方向。22 南京航空航天大学硕士学位论文第二章建立模型2.1引言通过上面的讨论我们注意到拓扑超导体具有独特的性质：拓扑超导体中的边缘态，它受拓扑保护并且联系着马约拉纳费米子。为了实现拓扑超导体，科研人员提出了很多的理论模型，也提出了很多实验方面的“奇思妙想”。他们采用的比较多的思路是利用超导的邻近效应制备异质结构，最引人著名的要属“三明治”结构了，本文的基本模型也是选用“三明治”模型。考虑到任意子在拓扑超导中的应用，很多科研人员都把研究的重点集中在寻找马约拉纳费米子上。理论上，我们认为p+ip超导体中的涡旋会联系着马约拉纳束缚态。然而，我们发现找到p波配对的拓扑超导材料是十分困难的。随后，被提出的诸多模型中有一个十分著名的模型就是包含s波配对、自旋轨道耦合和Zeeman场的“三明治”模型，通过调节费米面也可以等价于一个p+ip超导。这种模型在实验上得到了验证：通过使用扫描隧道显微镜测得差分电导后，科研人员发现该模型存在零能峰。事实上在实验过程中找到并操纵马约拉纳费米子，从而实现非阿贝尔统计依旧是一个非常难解决的问题。理论上研究拓扑超导主要是利用自洽地求解BdG方程的方法，那么一个有效合理的哈密顿是十分重要的。经过研究发现，如果我们考虑了Zeeman场和自旋轨道耦合以后，可以实现拓扑超导。科研人员对杂质和涡旋的相互作用进行了广泛的研究，研究发现一方面非磁性杂质会导致涡旋的钉扎效应，这样的钉扎已经在实验和理论上都得到了一定程度的探索。另一个十分重要的方面是研究杂质和涡旋束缚态的相互作用。拓扑超导体中的杂质对涡旋的钉扎是十分有意义的，束缚态不会被杂质破坏，钉扎效应可以提供有效的操纵拓扑超导中的马约拉纳束缚态的方法，并且有可能可以实现马约拉纳束缚态的编织。2.2基本的哈密顿BdG方程是超导物理中用来求解各种物理量的有效方式，科研人员已经用BdG方程求解了很多普通超导、高温超导和拓扑超导中的问题，并与实验比较，证明这是一种可靠的研究超导的理论方法[96]。首先我们给出一个有效可行的哈密顿，这个哈密顿必须包含超导项、自旋轨道耦合项和Zeeman场，在此我们给出具体的哈密顿形式：H[it0i1ixit0i2iyh.c.]i(2.1)T[ih30i]iii2ih.c.ii23 拓扑超导体中涡旋的钉扎效应及马约拉纳费米子的编织VEuvtanh(2.2)i2jj2KTBT其中ii,i，,h,1,2,3,t,V,分别是化学势，Zeeman场强度，泡利矩阵，跳跃项，配对势，自旋轨道耦合项。为了实现拓扑超导我们取值4,h0.6,V2.4eV，与此同时，我们将取x方向的开放性边界和y方向的周期性边界，可以得到一个倒空间的哈密顿：H[kyxky02sinky2h3kyxx,ky(2.3)ky0i1kyx1h.c.]xkyxi2kyxh.c.x,ky科研人员研究发现在ky0的地方存在边缘态，由此证明了这个模型及参数的可靠性。我们可以在这个哈密顿的基础上，继续研究拓扑超导的相关性质[96]。2.3模型和哈密顿上一节中我们已经了解到所给拓扑超导的模型是合理有效的，接下来我们将详细讨论单一非磁性杂质对拓扑超导中混合态的影响。我们研究的模型是一个二维的正方晶格，包含若干个涡旋，并且我们在固定的格点上引入单一非磁性点杂质。与该模型对应的有效的哈密顿应该包含跳跃项、自旋轨道耦合项、Zeeman场和s波配对项。考虑到这些因素我们给出二次量子化表示下，实空间的哈密顿具体形式：HHtHSCHSO(2.4)其中Ht是哈密顿跳跃项，HSC是超导项，HSO是自旋轨道耦合项。Htijt0ijcicjh.c.ihciciVici0ci0(2.5)其中ij是最近邻的位置，t0是最近邻跃迁常数，存在磁场的情况下有：Rjijexpi/0Ardr(2.6)Ri其中0是超导磁通量，ABy,0,0是朗道规范下的磁矢势，h是Zeeman场，取“+”对应自旋向上的态，取“-”对应自旋向下的态，是化学势。同时我们考虑一个点杂质放在i0格点处，Vi是杂质散射势。Hiccicch.c.ccˆccˆh.c.(2.7)SOijiixˆijiixˆijiiyijiiyi其中是自旋轨道耦合强度；Hcch.c.(2.8)SCiiiii其中ii是配对序参量来自于onsite吸引势。以上我们给出了哈密顿的完整的形式，接下来我们通过自洽的解BdG方程可以得到相应的本征矢和本征值。24 南京航空航天大学硕士学位论文HijHijjj0HijHij0jjjEj(2.9)0HHjjjijij0HHjjijijT其中，juj,uj,vj,vj，Hij和Hij可以从Ht和HSO相关项获得，并且。相应的序参量可以表示为：VE(2.10)uvtanhjj2jj2KTB其中，V是配对势，与上述哈密顿对应的局域电子态密度的表达式如下：22i[uiEviE](2.11)其中我们取E函数为：E，准粒子阻尼系数0.01。22[(E)]在接下来的讨论中，我们设最近邻跃迁常数t0为单位能量，晶格常数为单位长度。我们给出了研究的模型和哈密顿，经过计算我们得出这个模型对应的能带图：图2.1对应的拓扑超导能带图图2.1中这两条能带都对应着自旋向上和自旋向下的电子的叠加，而且满足s波配对。这个哈密顿等价于手性相反的两带的pip超导，这种情况下系统是拓扑平凡的。另一方面，由于Zeeman场的存在，两条能带将分开，在(0,0)这个点能隙为2h。如果我们设定化学势取在两个能带之间：4，上面的能带未被占据，只有下面的能带起作用，这种情况下，系统是拓扑非平凡的，等价于一个单能带的pip超导系统。在这样一个合理的模型下，首先，我们给序参量赋了一系列的初值，并将哈密顿矩阵对角化；然后，我们用新得到的本征25 拓扑超导体中涡旋的钉扎效应及马约拉纳费米子的编织值和本征矢，计算得到新的序参量直到收敛。我们在周期性边界条件下自洽地计算了2N14824和N24848的晶格，并选择磁场的大小为B20/Na，发现系统中将出现两个涡旋。由于格点较少，得到的图形将会出现较明显的振荡，为了更加符合实际情况，我们使用了510的超晶格，并且得到了相关局域态密度的结果。2.4理论模型的现实实现条件在这篇论文中我们基于以上的考虑，通过自洽地解BdG方程，从理论上研究了拓扑超导中，点杂质对涡旋的钉扎效应。这要求我们需要有一个十分有效的控制点杂质的方式：我们认为通过原子力显微镜(AFM)可以实现这一操作。图2.2原子力显微镜控制点杂质势示意图我们考虑将原子量级的探针安装在一个可移动的装置上，探针前端的原子和样品准粒子相互作用，由于库伦相互作用可以产生相应的势能。在系统中由于存在库伦屏蔽作用，这种情况可以被看成是加入了局域有效的点杂质。这样我们就可以通过移动探针等效的引入一个点势，实现杂质对拓扑超导的影响。在这样的现实条件下我们的理论研究将很可能能与现实相结合，实现涡旋的钉扎和马约拉纳束缚态的编织。2.5程序的相关流程图我们在建立模型之后，通过编程得到相关的数值结果，进行绘图。接下来我们给出了我们程序的相关流程图：26 南京航空航天大学硕士学位论文开始开始确定初始序参量读入序参量哈密顿哈密顿本征值和本征矢本征值和本征矢序参量态密度和马约拉纳费米子序参量与初始值对比N自洽输出输出结果结束结束27 拓扑超导体中涡旋的钉扎效应及马约拉纳费米子的编织第三章临界磁场及无磁场时单一点杂质对涡旋的钉扎3.1结果分析在第三章我们给定的模型中，我们选取x方向是开放性的边界，y方向是周期性边界，画出相应的能带图，其中Zeeman场大小的选择将导致系统是否为拓扑非平凡的。我们通过绘制不同的Zeeman场下的能带图，可以清楚地看到当Zeeman场从零开始增大后，系统逐渐由没有边缘态的拓扑平凡态转变到有明显边缘态的拓扑非平凡态。我们给出了三个不同的Zeeman场的情况下的能带结构，从能带结构上我们看到Zeeman场取值h0的时候，系统有一个明显的体能隙，整个系统处于拓扑平凡态；当Zeeman场取值h0.6的时候，我们看到了受到拓扑保护的边缘态。通过数值的计算我们找到了这个临界磁场hc0.48，当磁场小于临界值的时候，系统处于拓扑平凡态；当磁场大于临界值的时候系统处于拓扑非平凡态。与此同时，我们也说明了当Zeeman场取h0.6我们的模型确实是有边缘态的拓扑超导。图3.1Zeeman场取值h=0时的能带图，系统处于拓扑平凡态28 南京航空航天大学硕士学位论文图3.2Zeeman场取值h=0.25时的能带图，系统处于拓扑平凡态图3.3Zeeman场取值h=0.6时的能带图，系统处于拓扑非平凡态29 拓扑超导体中涡旋的钉扎效应及马约拉纳费米子的编织接下来我们首先研究了没有Zeeman场情况下的涡旋钉扎情况。从图3.4我们可以看出在不加磁场的时候系统仍旧存在涡旋，这是第二类超导体的共同特点，也就是说钉扎效应不是拓扑非平凡态所特有的。另外通过计算我们发现Zeeman场的大小的改变并不能从本质改变钉扎效果。无磁场时，杂质的引入也会造成涡旋的钉扎而且钉扎距离也是有一个最大值的。图3.4、图3.5和图3.6分别是无杂质，杂质在(16,12)和(17,12)位置处的钉扎情况，我们取杂质势能大小为V10，从图中我们可以看出当杂质位置距离无杂质涡旋中心距离较小时，涡旋可以被成功的钉扎到杂质的位置，但是超过5个晶格，杂质将不能将涡旋钉扎在杂质位置。图3.4无磁场均匀初值情况下的涡旋图3.5无磁场均匀初值情况下，杂质在(16,12)处涡旋的钉扎30 南京航空航天大学硕士学位论文图3.6无磁场均匀初值情况下，杂质在(17,12)处涡旋的钉扎3.2本章总结通过数值计算我们发现Zeeman场的数值直接影响了该系统是否为拓扑非平凡的，当Zeeman场较小时系统处于拓扑平凡态，能带存在明显的能隙，当Zeeman场增大到h0.6时，系统处于拓扑非平凡态，能带存在明显的边缘态。通过计算我们找到了这个临界磁场hc0.48，Zeeman场小于临界磁场时系统处于拓扑平凡态，当Zeeman场大于临界磁场时系统处于拓扑非平凡态。接下来我们数值地计算了无Zeeman场时涡旋的钉扎，通过计算我们发现无Zeeman场时仍然存在涡旋的钉扎，当杂质被引入涡旋将被钉扎在杂质位置，但是存在一个临界距离，超过这个距离杂质将无法将涡旋钉扎在杂质位置。接下来我们将讨论在拓扑超导中杂质对涡旋的钉扎效应。31 拓扑超导体中涡旋的钉扎效应及马约拉纳费米子的编织第四章4824晶格下涡旋的钉扎和相关局域态密度的计算4.1结果分析首先我们考虑了4824的晶格大小并选取了510的超晶格，相当于在计算态密度时我们有了一个240240的晶格，在这种情况下我们进行了相关的数值计算。图4.1晶格中杂质对涡旋的钉扎效应图；(a)是不加杂质时的超导能隙，两个涡旋分别局域在(12,12)和(36,12)的位置处；(b-d)是当单一点杂质分别在(15,12)(16,12)(17,12)位置处的超导能隙的空间分布图图4.1(a)中我们可以看到不加杂质的情况下,二维系统中将出现两个涡旋，这两个涡旋的中心分别出现在(12,12)和(36,12)的位置上。在这个基础上我们加一个非磁性点杂质，这个点杂质将可以实现涡旋的钉扎。从图(b)和图(c)可以看到，当单一点杂质加到距离涡旋中心较近时，涡旋中心会发生移动并且被钉扎在点杂质所在位置。随着点杂质远离原来未被钉扎的涡旋中心时，涡旋中心也被钉扎，但是当杂质到某个距离原来涡旋较远的位置时，涡旋将回到原来的位置不再被钉扎，因此我们需要定义一个杂质和涡旋中心的临界距离Rc，这个临界距离就是涡旋可以被点杂质拖到距离原涡旋中心最远的距离。当距离小于临界距离时，涡旋中心会被拖拽移动到杂质位置。当距离大于临界距离时，涡旋中心将不能被拖拽到杂质位置，而是回到原来的位置。在给定的4824的晶格中，按照上文给定的参数，临界距离大概是4个晶格长度。如图(d)，当杂质距离原涡旋中心4个晶格的位置时，涡旋和杂质将会分开，涡旋中心回到原来的位置(12,12)。在拓扑超导中，杂质对涡旋的钉扎效应，和在其他类型的超导中杂质对涡旋的钉扎效应32 南京航空航天大学硕士学位论文是十分相似的。拓扑超导中涡旋的钉扎现象也是十分明显的，尤其吸引人注意力的是涡旋通常都联系着马约拉纳束缚态，所以涡旋的钉扎一定和马约拉纳束缚态有重要的联系。由于涡旋的位置发生了变化，涡旋的钉扎也对马约拉纳束缚态的编织有重要的意义，因此十分有必要对涡旋的钉扎效应进行定量的研究。一般情况下，加入杂质时的方向的不同会对临界距离Rc产生一定程度的影响，但杂质势的强度对临界距离Rc的影响更大。图4.2钉扎临界距离Rc与杂质势Vi的关系图图4.2中给出了钉扎临界距离Rc随杂质势能的变化关系。其中小于零的杂质散射势是吸引势，大于零的杂质散射势是排斥势。在杂质散射势是排斥势的时候，随着杂质散射势的增加，临界距离逐渐增大，最大值为4个晶格距离，此时若再增加杂质散射势，临界距离也不会再发生变化了。在杂质散射势是吸引势的时候，随着杂质散射势的增加，临界距离逐渐增大，临界距离能达到的最大值为5个晶格长度，当杂质散射势继续增加的时候临界距离将减小为4个晶格常数。接下来我们在被钉扎的涡旋中数值地研究马约拉纳费米子，分别考虑了杂质势是吸引势和排斥势，强度大小都是10的情况进行了说明。在不加杂质的时候，拓扑超导的涡旋中心存在零能态，这会激发马约拉纳费米子。涡旋钉扎效应并不是拓扑超导所特有的，这种现象类似于其他超导的钉扎现象，然而这种钉扎效应在拓扑超导中可能更加的有实用意义。接下来我们考虑将杂质放在(12,12)的位置上，然后通过将哈密顿对角化得到相应的本征值和本征矢。33 拓扑超导体中涡旋的钉扎效应及马约拉纳费米子的编织图4.3当杂质散射势，Vi10位于(12,12)的位置时的本征值图当杂质散射势是吸引势，大小为10时，通过将哈密顿对角化获得本征值和本征矢。从图4.3中可以很明显的看到存在两个十分明显的本征值，并且受到大小为0.1的能隙保护。这表明在这样的系统中的确存在零能态，预示着马约拉纳费米子的存在。由于超导存在配对项、粒子空穴对称性导致本征值总是一正一负成对出现，相应的算符表示为C和C。对于零能的粒子，我们可以通过二次量子化的算符C和C得到两个马约拉纳费米子1,2，具体形式为1CC/2和2iCC/2。在哈密顿对角化过程中我们通过零能的本征值和本征矢得到C和C，这样的条件下就可以实现数值地研究马约拉纳费米子的目的。图4.4当其中一个涡旋被钉扎时，两个马约拉纳费米子的空间分布图图4.4中分别给出了杂质散射势是排斥势和吸引势，强度是V10，杂质位置是(12,12)34 南京航空航天大学硕士学位论文时，马约拉纳费米子的空间分布。从图中可以很明显地看到，处于右边的涡旋中心存在马约拉纳费米子，远离涡旋中心的位置时会迅速的衰减；图(a)和图(c)展示了当涡旋被钉扎的时候仍然存在马约拉纳费米子，但是在涡旋的中心明显被抑制，仔细研究数值可以发现，最大值主要是出现在杂质位置的最近邻和次近邻的格点处。图(b)和图(d)展示了未被钉扎的另一个马约拉纳费米子。以上我们考虑了不同参量的情况，马约拉纳费米子存在于涡旋中，并且是完全分离的。随着科学技术的进步，科研人员试图通过不同的结构模型和不同材料来寻找实实在在的马约拉纳费米子，一旦发现将对拓扑量子计算机的发展有巨大的推动，但是迄今为止我们尚没发现有真实的粒子满足马约拉纳费米子的要求。目前比较受到认可的就是拓扑超导中的零能模，但是从实验上探测马约拉纳费米子仍然是个巨大的挑战。一般存在零能模的情况下，我们可以在实验方面通过STM实验直接测量局域差分隧穿电导，去观测零偏压隧穿电导峰。在上文中提到实验上局域电子态密度正比于隧穿电导，所以研究零能量的局域电子态密度给我们提供了研究零能模的存在和相应分布情况的可能性。图4.5当杂质散射势Vi10时，局域电子态密度分布图；(a)和(b)展示了零能量的局域电子态密度的分布情况。(c)和(d)展示了穿过涡旋的局域电子态密度图4.5中展示了不同杂质散射势的零能局域电子态密度和穿过涡旋的局域电子态密度。其中图(c)和图(d)绘制了一组沿涡旋切向的局域电子态密度，在远离涡旋的位置我们发现局域电子态密度存在一个能隙，能隙两边的能量并不是很强。同时我们发现在涡旋中心会出现一个共振零能峰，越靠近杂质最近邻，这个零能峰的强度就越强，在最近邻的位置上达到最大，而在杂质的位置处这个局域电子态密度的峰被强烈地抑制。在远离涡旋的位置零能峰逐35 拓扑超导体中涡旋的钉扎效应及马约拉纳费米子的编织渐消失，最终恢复到体态的值。零能共振峰的存在为探究马约拉纳费米子的存在提供了一个有效的支持，这样可以实现实验和理论的对比，有助于寻找马约拉纳费米子。首先，在拓扑超导的体系中数值地研究混合态和杂质共存条件下的零能态是十分重要的。正如上文的分析，拓扑超导中的杂质对涡旋的影响完全不同于高温超导或者是铁基超导这样的拓扑平凡的超导。经过数值计算我们得到了两个涡旋，而且这两个涡旋容纳了两个完全分开的马约拉纳费米子，并且计算得到了不同情况的局域电子态密度，可以与后期STM实验结果进行对比。其次，由于点势的引入我们可以看到，涡旋被杂质拖拽和钉扎。这是十分重要的，因为马约拉纳费米子可以被多种局域势操纵。我们经过计算发现非磁性杂质可以拖拽涡旋及涡旋中的马约拉纳束缚态。这样我们就提供了一个可能实现马约拉纳费米子的编织的实际方法。总的来说，我们通过建立合理的模型，写出了相应的哈密顿的具体形式，经过对角化得到了相关的数值结果，实现了从理论上研究单一非磁性杂质对拓扑超导中涡旋态的影响。经过研究发现，当杂质距离涡旋很近的时候，涡旋中心被拖拽到杂质的位置。这样的钉扎很有可能被应用于控制拓扑超导中的马约拉纳费米子。数值结果研究表明，钉扎涡旋中存在零能态和马约拉纳费米子。钉扎涡旋的局域电子态密度存在零能峰，这样可以有效地建立理论分析和实验观察的联系。4.2本章总结本章我们主要计算了4824晶格中的涡旋的钉扎。首先我们在不加杂质时能够很明显看到两个涡旋，分别束缚着两个局域的马约拉纳费米子。这两个费米子没有重叠，对马约拉纳费米子的编织十分的有利。加入杂质以后，当杂质距离涡旋较近的时候，杂质将把涡旋拖拽到杂质的位置处，并且将涡旋钉扎在杂质的位置处。这样的钉扎有助于操控涡旋，实现马约拉纳费米子的编织，进而推动拓扑量子计算机的实现。我们通过将哈密顿对角化可以得到能量值。我们发现能量本征值中出现两个明显的零能模，加入单一杂质并不会摧毁零能模。最后我们计算了涡旋被钉扎时的态密度，发现零能量的态密度与马约拉纳费米子的分布是一致的，而且出现了明显的零能峰，这明显的证明这个系统中马约拉纳费米子的存在。但是，在4824的晶格中，当杂质距离涡旋中心较远的时候，涡旋将不能被钉扎在杂质位置，而是回到涡旋原来的位置。另外，两个涡旋距离较近的时候临界距离也是会受到一定程度的影响，这都导致了两个水平方向上的马约拉纳费米子不能很好地直接交换，对马约拉纳费米子的编织产生了阻碍。因此我们考虑将晶格扩大到4848的大小进行相关的数值计算，目的是为了通过涡旋的钉扎效应成功地实现马约拉纳费米子的编织。36 南京航空航天大学硕士学位论文第五章4848晶格下涡旋的钉扎和马约拉纳费米子的编织5.1结果分析第五章中我们计算了4824的晶格的相关结果，发现我们建立的模型是可以产生马约拉纳费米子的，经过局域电子态密度的计算也看到了零能峰的存在。但是由于钉扎临界距离的存在，我们并不能实现两个涡旋沿直线的直接交换，这样对实现非阿贝尔统计是非常不利的。另外，考虑到涡旋之间的排斥作用，我们选用了4848的晶格进行计算，这样尺寸下的晶格可以更好的避免涡旋之间相互排斥的影响，由此可以观察当两个涡旋的排斥效应下降是否能增大临界距离以及是否可以实现马约拉纳费米子的编织。首先，在不加杂质的情况下我们选择了随机初值作为最开始的超导序参量，接下来进行哈密顿矩阵对角化，直到满足收敛条件。在下图中我们分别呈现了没有杂质和有一个Vi10的单一点杂质的超导配对势的空间变化。如图5.1(a)所示，不加杂质的情况下,二维系统中将出现两个涡旋，这两个涡旋的中心分别出现在(12,36)和(36,12)的位置上。从图(b)和图(c)可以看到，在给定的4848的晶格中，对于上文给定的参数和我们目前选取的杂质强度来说，临界距离大概是5倍晶格长度。如图(d)所示，当杂质距离原涡旋中心6个晶格的位置时，涡旋和杂质将会分开，涡旋中心回到原来的位置(12,36)。图5.1拓扑超导中杂质对涡旋的钉扎效应图；(a)是不加杂质时的超导能隙，两个涡旋分别局域在(12,36)和(36,12)的位置处；(b-d)是当单一点杂质分别在(16,36)、(17,36)、(18,36)位置处的超导能隙的空间分布图37 拓扑超导体中涡旋的钉扎效应及马约拉纳费米子的编织图5.2钉扎临界距离Rc与杂质势Vi的关系图图5.2中给出了钉扎临界距离Rc随杂质势能的变化关系。其中小于零的杂质散射势是吸引势，大于零的杂质散射势是排斥势。当杂质势能增加的时候，临界距离也在增加，当增加到接近6个晶格长度以后，杂质势继续增加临界距离将保持不变。我们可以与4824的晶格中的情况做一个对比，临界距离确实有提升，但是也基本在6个晶格左右，效果并不明显，所以涡旋之间的相互排斥的作用对临界距离的影响并不是很严重。另外，我们数值地验证了当磁场值接近临界值时，临界距离Rc的值不会被影响。接下来我们考虑在这种涡旋密度足够低，涡旋之间的相互作用很小可以被忽略，杂质能够被很好的控制的情况下，是否可以通过缓慢地移动点杂质将涡旋拖拽到指定的位置，实现两个涡旋的交换。这种情况下，我们考虑使用一个缓慢逐步拖拽的方法，尝试交换马约拉纳费米子，实现对马约拉纳费米子的编织。根据上述的设想，我们试着通过操纵杂质来操纵涡旋。首先我们选取一个点杂质，其相应势能是Vi10位于涡旋中心rR0[R0(12,36)]。经过求解BdG方程，我们可以获得序参量。接下来，我们移动点杂质到R0最近邻的位置R1，然后将上一步即杂质在R0处，计算得到的序参量作为新的序参量，继续解BdG方程，得到新的结果。依次类推，我们通过缓慢地移动杂质，将涡旋从R0(12,36)移动到Rf(28,36)。图5.3(a)给出了Rf对应的超导序参量，我们经过计算发现，通过缓慢的移动杂质势可以很好的控制涡旋。涡旋可以被杂质钉扎，我们模拟了通过操纵两个点杂质来交换两个涡旋。正如图5.3(b)我们能看到的，系统中存在两个涡旋A和B，这两个涡旋分别被钉扎在(12,36)和(36,12)的位置处，分别处于系统的左上角和右下角。然后杂质势沿着箭头所指的方向运动，随着每一次的自洽完成，新得到的序参量的结果被赋值给下一步的哈密顿，以进行下一步的对角化。图5.3(c-e)给出了几个比较重要的中间过程。最终结果将如图5.3(f)所展示的那样，38 南京航空航天大学硕士学位论文涡旋A和B将分别移动到(36,12)和(12,36)的位置处，也就是说两个涡旋发生了交换。通过上文的说明，我们发现可以通过这个方法成功地将两个涡旋进行交换。我们成功地实现了通过控制并且缓慢地移动点杂质来交换涡旋。在这样的情况下，我们仍需要验证零能峰的存在，但是导致零能峰的因素可能有很多，因此检验马约拉纳零能态是否存在于被钉扎的涡旋中是十分重要的。我们将点杂质放在(12,36)的位置上，选取杂质势是Vi10，通过将哈密顿对角化可以得到相应的本征值。通过计算我们可以看出，有两个十分明显的零能的本征值，被大小为0.1的能隙保护着。存在拓扑保护的零能态，表明这种情况下杂质钉扎效应也是不会破坏马约拉纳束缚态的。图5.3交换涡旋过程中的超导序参量图；(a)通过移动点杂质势，将一个涡旋从(12,36)的位置拖拽到(28,36)，图中是杂质位于(28,36)的超导序参量分布；(b-f)模拟通过操纵两个点杂质从而交换两个涡旋39 拓扑超导体中涡旋的钉扎效应及马约拉纳费米子的编织图5.4当杂质散射势Vi10，一个涡旋被钉扎的本征值图在验证了上述情况下仍旧存在很明显的两个零能模后，我们需要计算马约拉纳费米子的分布。经过计算我们发现，两个完全分离的马约拉纳束缚态仍旧存在，每一个马约拉纳束缚态都被束缚在对应的涡旋中，在涡旋中心马约拉纳束缚态受到了抑制，最大值出现在杂质最近邻或者次近邻的位置上，对于没有被杂质钉扎的涡旋，最大值局域在涡旋的中心，并且从涡旋中心向两边迅速的衰减。图5.5两个完全分离的马约拉纳束缚态分布图；(a)是被杂质钉扎的马约拉纳束缚态1，杂质大小为；(b)是未被钉扎的马约拉纳束缚态2结合上文的计算，我们来论述一下这个方案的可行性。首先，通过计算我们发现，对于更大尺寸的局域势，零能峰也是很强的。事实上，由于真实的系统势能可以覆盖几个格点，40 南京航空航天大学硕士学位论文马约拉纳束缚态在实际的系统中更容易被控制。其次，涡旋的密度要足够的小，这样就可以使得涡旋被拖拽的时候不受其他涡旋的影响。涡旋的密度是由磁场B的大小决定的，而且涡。旋的密度是可以在理论上计算出来的：在我们的工作中，晶格长度大概是3A，磁场B大约为20T，一般真实的磁场大概在0.02T，理论取值比实验取值大很多。在真实情况下，两个。距离最靠近的涡旋相距大约3460A，涡旋密度足够小，涡旋间的相互影响足够小，可以实现用点势能控制马约拉纳束缚态。综上所述，该模型是十分合理的，在实验中相关的操作也是可以实现的。最后，我们来总结一下我们工作的重要性，及其在拓扑量子计算机等方面可能的应用。首先，在拓扑超导的体系中，我们数值地研究了混合态和杂质同时存在的情况下，两者相互作用后的零能态。正如上文中所分析的那样，拓扑超导中的杂质对涡旋的影响完全不同于高温超导或者是铁基超导这样的拓扑平凡的超导。我们经过数值计算在拓扑超导体系得到了两个涡旋，而且这两个涡旋容纳了两个完全分开的马约拉纳束缚态。其次，由于点杂质的引入，我们可以看到涡旋被杂质拖拽和钉扎。这是十分重要的，因为马约拉纳束缚态可以被多种局域势操纵，我们经过计算发现非磁性杂质可以拖拽涡旋，而且涡旋联系着马约拉纳束缚态。经过研究发现，我们可以通过缓慢的移动点杂质来实现两个涡旋的交换。这样我们就提供了一个实现编织马约拉纳束缚态的方法。5.2本章总结本章主要在上一章的基础上改变了晶格的大小，实现了对两个完全分离的马约拉纳费米子的操纵和编织，并且说明了模型建立的合理性和相关操作的可行性。通过4824的晶格与4848的晶格的对比，我们可以发现涡旋之间的排斥对涡旋钉扎的临界距离有一定的影响，因此涡旋的密度较低时，有利于提高临界距离。通过定性地分析，我们看到两个完全分离的马约拉纳费米子束缚在涡旋中，通过缓慢的拖拽可以实现两个涡旋的互换。这对实现马约拉纳费米子的编织和拓扑量子计算机的研发有重要的意义。41 拓扑超导体中涡旋的钉扎效应及马约拉纳费米子的编织第六章总结拓扑超导体与其他超导体不同，它具有十分特殊的边缘态，边缘态联系着引人注目的马约拉纳费米子。第一章主要介绍了拓扑超导的基本性质，给出了拓扑超导的能带特点。紧接着介绍了p波超导和p+ip超导，并给出了具体的模型，数值地阐明了p波超导是可以产生马约拉纳费米子的。但是，p波超导不稳定，容易受到材料本身缺陷和外界环境的影响，并不是很理想的材料。另外，p波超导又十分的少见，因此科研人员希望可以“创造”出“等效”的p波超导。实验研究和理论计算表明，拓扑绝缘体加普通s波超导结合临近效应是可以产生马约拉纳费米子的，这种“三明治”结构为研究拓扑超导开辟了新的道路。之后的半金属加s波超导，半导体加s波超导，一维磁性原子链等都是合适的产生马约拉纳费米子的异质结构。紧接着我们介绍了STM实验设备及工作原理，指出零偏压电导峰和局域电子态密度之间的关系，为理论和实验的对比奠定了基础。我们还介绍了马约拉纳费米子这种任意子所服从的特殊统计规律：非阿贝尔统计。正是由于这种特殊的统计，才使得马约拉纳费米子有希望成为实现拓扑量子计算机的粒子。随后，我们主要介绍了杂质对常规超导和高温超导的影响，提出杂质效应是研究超导性质及内部结构十分有效的方法。第二章我们重点给出了理论模型和相应的编程流程图。第三章我们计算了在没有磁场的情况下，涡旋的钉扎情况，并给出了拓扑平凡态和拓扑非平凡态间的临界磁场。第四章通过建立有效合理的模型和使用BdG方程，我们数值地研究了，4824晶格中点杂质对拓扑超导中涡旋的钉扎效应，并计算了局域电子态密度，实验上可以和STM实验进行对比。第五章是整篇文章的重点，通过建立有效合适的模型和使用BdG方程，我们数值地研究了4848晶格中，杂质对涡旋的控制，并且通过缓慢地拖拽实现了对两个完全分离的马约拉纳费米子的编织，这对拓扑量子计算机的实现有重要的意义。研究结果表明：当系统内存在两个完全分离的涡旋，加入点杂质后，序参量会发生变化，出现涡旋被钉扎的现象。当杂质逐渐远离涡旋中心的时候，涡旋将被拖拽并钉扎到杂质的位置。但是，这种钉扎效应只在一定距离内有效，这个距离我们称之为临界距离，超出临界距离杂质将不能钉扎涡旋，涡旋会回到原来不加杂质时的位置上。在这个有效的模型中，我们还计算了本征值及相关的局域电子态密度，计算结果表明，杂质的钉扎并不破坏拓扑超导，仍然会有两个零能本征值出现。涡旋中的零能模的分布和马约拉纳费米子的态密度完全吻合，证明了杂质对涡旋的钉扎并不会破坏马约拉纳费米子。研究发现，涡旋的相互排斥会在一定程度上减小临界距离。降低涡旋的密度后，通过缓慢地拖拽涡旋，我们可以成功地实现两个涡旋的交换。这两个涡旋联系着两个完全分离的马约拉纳费米子，通过交换这两个涡旋可以实现对应马约拉纳费米子的交换，这对拓扑量子计算机的实现有十分重要的意义。42 南京航空航天大学硕士学位论文参考文献[1]MooreG,ReadN.NonabelionsinthefractionalquantumHalleffect[J].NuclearPhysicsB,1991,360(2-3):362-396.[2]ArovasD,SchriefferJR,WilczekF.FractionalstatisticsandthequantumHalleffect[J].PhysicalReviewLetters,1984,53(7):722.[3]Read.N.ExcitationstructureofthehierarchyschemeinthefractionalquantumHalleffect[J].PhysicalReviewLetters,1990,65(12),1502.[4]BondersonP,KitaevA,ShtengelK.Detectingnon-Abelianstatisticsintheν=5/2fractionalquantumHallstate[J].PhysicalReviewLetters,2006,96(1):016803.[5]ReadN,GreenD.Pairedstatesoffermionsintwodimensionswithbreakingofparityandtime-reversalsymmetriesandthefractionalquantumHalleffect[J].PhysicalReviewB,2000,61(15):10267.[6]RingelZ,KrausYE,SternA.Strongsideofweaktopologicalinsulators[J].PhysicalReviewB,2012,86(4):045102.[7]KitaevA.Periodictablefortopologicalinsulatorsandsuperconductors[C].ConferenceProceedings.AIP,2009,1134(1):22-30.[8]FuL,KaneCL,MeleEJ.Topologicalinsulatorsinthreedimensions[J].PhysicalReviewLetters,2007,98(10):106803.[9]AkhmerovAR,NilssonJ,BeenakkerCWJ.ElectricallydetectedinterferometryofMajoranafermionsinatopologicalinsulator[J].PhysicalReviewLetters,2009,102(21):216404.[10]DasSS,FreedmanM,NayakC.Topologicallyprotectedqubitsfromapossiblenon-AbelianfractionalquantumHallstate.[J].PhysicalReviewLetters,2004,94(16):166802.[11]DayC.DevicesbasedonthefractionalQuantumHalleffectmayfulfillthepromiseofQuantumcomputing[J].PhysicsToday,2005,58(10):21-24.[12]ReadN,MooreG.FractionalquantumHalleffectandnonabelianstatistics[J].ProgressofTheoreticalPhysicsSupplement,1992,107:157-166.[13]SatoM,FujimotoS.ExistenceofMajoranaFermionsandtopologicalorderinnodalsuperconductorswithspin-orbitinteractionsinexternalmagneticfields[J].PhysicalReviewLetters,2010,105(21):217001.[14]YadaK,SatoM,TanakaY,etal.Surfacedensityofstatesandtopologicaledgestatesinnoncentrosymmetricsuperconductors[J].PhysicalReviewB,2011,83(6):064505.[15]MooreJ.Topologicalinsulators:Thenextgeneration[J].NaturePhysics,2009,5(6):378-380.43 拓扑超导体中涡旋的钉扎效应及马约拉纳费米子的编织[16]HsiehD,XiaY,QianD,etal.AtunabletopologicalinsulatorinthespinhelicalDiractransportregime[J].Nature,2009,460(7259):1101.[17]TaskinAA,RenZ,SasakiS,etal.ObservationofDiracholesandelectronsinatopologicalinsulator[J].PhysicalReviewLetters,2011,107(1):016801.[18]LiuCX,QiXL,ZhangHJ,etal.ModelHamiltonianfortopologicalinsulators[J].PhysicalReviewB,2010,82(4):045122.[19]ZhangF,KaneCL,MeleEJ.Surfacestatemagnetizationandchiraledgestatesontopologicalinsulators[J].PhysicalReviewLetters,2012,110(4):046404.[20]LinderJ,TanakaY,YokoyamaT,etal.Unconventionalsuperconductivityonatopologicalinsulator[J].PhysicalReviewLetters,2010,104(6):067001.[21]QiXL,ZhangSC.Topologicalinsulatorsandsuperconductors[J].ReviewsofModernPhysics,2011,83(4):1057.[22]FuL,KaneCL.SuperconductingproximityeffectandMajoranafermionsatthesurfaceofatopologicalinsulator[J].PhysicalReviewLetters,2008,100(9):096407.[23]Rombouts,StefanMA,JorgeDukelsky,etal.Quantumphasediagramoftheintegrablepxipyfermionicsuperfluid.PhysicalReviewB,2010,82:224510.[24]IvanovDA.Non-Abelianstatisticsofhalf-quantumvorticesinp-wavesuperconductors[J].PhysicalReviewLetters,2001,86(2):268.[25]ChungSB,BluhmH,KimEA.Stabilityofhalf-quantumvorticesinpxipysuperconductors[J].PhysicalReviewLetters,2007,99(19):197002.[26]BolechCJ,DemlerE.ObservingMajoranaboundstatesinp-wavesuperconductorsusingnoisemeasurementsintunnelingexperiments[J].PhysicalReviewLetters,2007,98(23):237002.[27]AliceaJ.NewdirectionsinthepursuitofMajoranafermionsinsolidstatesystems[J].ReportsonProgressinPhysics,2012,75(7):076501.[28]Gor"kovLP,RashbaEI.Superconducting2Dsystemwithliftedspindegeneracy:mixedsinglet-tripletstate[J].PhysicalReviewLetters,2001,87(3):037004.[29]SternA,LindnerNH.Topologicalquantumcomputationfrombasicconceptstofirstexperiments[J].Science,2013,339(6124):1179-84.[30]ZhangJL,ZhangSJ,WengHM,etal.Pressure-inducedsuperconductivityintopologicalparentcompoundBi2Se3[J].ProceedingsoftheNationalAcademyofSciences,2011,108(1):24-28.[31]HorYS,WilliamsAJ,CheckelskyJG,etal.SuperconductivityinCuxBi2Se3anditsimplicationsforpairingintheundopedtopologicalinsulator[J].PhysicalReviewLetters,2010,104(5):057001.[32]BayazAA,GianiA,FoucaranA,etal.ElectricalandthermoelectricalpropertiesofBi2Se344 南京航空航天大学硕士学位论文grownbymetalorganicchemicalvapourdepositiontechnique[J].ThinSolidFilms,2003,441(1):1-5.[33]KrienerM,SegawaK,RenZ,etal.BulksuperconductingphasewithafullenergygapinthedopedtopologicalinsulatorCuxBi2Se3[J].PhysicalReviewLetters,2011,106(12):127004.[34]KrienerM,SegawaK,RenZ,etal.ElectrochemicalsynthesisandsuperconductingphasediagramofCuxBi2Se3[J].PhysicalReviewB,2011,84(5):054513.[35]ZhangH,LiuCX,QiXL,etal.TopologicalinsulatorsinBi2Se3,Bi2Te3andSb2Te3withasingleDiracconeonthesurface[J].Naturephysics,2009,5(6):438.[36]UrazhdinS,BilcD,MahantiSD,etal.SurfaceeffectsinlayeredsemiconductorsBi2Se3andBi2Te3[J].PhysicsLettersB,2004,69(8):085313.[37]SasakiS,KrienerM,SegawaK,etal.TopologicalsuperconductivityinCuxBi2Se3[J].PhysicalReviewLetters,2011,107(21):217001.[38]SatoM.Non-Abelianstatisticsofaxionstrings[J].PhysicsLettersB,2003,575(1):126-130.[39]SatoM,TakahashiY,FujimotoS.Non-AbeliantopologicalordersandMajoranafermionsinspin-singletsuperconductors[J].PhysicalReviewB,2010,82(13):134521.[40]ZhuW,GongSS,ShengDN,etal.PossibleNon-AbelianMoore-Readstateindouble-layerbosonicfractionalquantumHallsystem[J].PhysicalReviewB,2015,91.[41]SternA,OppenFV,MarianiE.GeometricphasesandquantumentanglementasbuildingblocksforNon-Abelianquasiparticlestatistics[J].PhysicalReviewB,2004,70(20):3352-3359.[42]Kitaev,A.Anyonsinanexactlysolvedmodelandbeyond.Ann.Phys.(N.Y.)[J].AnnalsofPhysics,2005,321(1):2–111.[43]FujimotoS.TopologicalorderandNon-Abelianstatisticsinnoncentrosymmetrics-wavesuperconductors[J].PhysicalReviewB,2008,77(22):220501.[44]SauJD,TewariS,LutchynRM,etal.Non-Abelianquantumorderinspin-orbit-coupledsemiconductors:SearchfortopologicalMajoranaparticlesinsolid-statesystems[J].PhysicalReviewB,2010,82(21):214509.[45]SatoM,TakahashiY,FujimotoS.Non-Abeliantopologicalorderins-wavesuperfluidsofultracoldfermionicatoms[J].PhysicalReviewLetters,2009,103(2):020401.[46]SimonSH,BonesteelNE,FreedmanMH,etal.Topologicalquantumcomputingwithonlyonemobilequasiparticle.[J].PhysicalReviewLetters,2006,96(7):070503.[47]ZhangD,WangJ,DaSilvaAM,etal.SuperconductingproximityeffectandpossibleevidenceforPearlvorticesinacandidatetopologicalinsulator[J].PhysicalReviewB,2011,84(16):165120.[48]ChrestinA,MatsuyamaT,MerktU.Evidenceforaproximity-inducedenergygapinNb-InAs-Nbjunctions[J].PhysicalReviewB,1997,55(55):8457-8465.45 拓扑超导体中涡旋的钉扎效应及马约拉纳费米子的编织[49]OregY,RefaelG,vonOppenF.HelicalliquidsandMajoranaboundstatesinquantumwires[J].PhysicalReviewLetters,2010,105(17):177002.[50]HalperinBI,OregY,SternA,etal.AdiabaticmanipulationsofMajoranafermionsinathree-dimensionalnetworkofquantumwires[J].PhysicalReviewB,2012,85(14):4214-4218.[51]JiangL,PekkerD,AliceaJ,etal.UnconventionalJosephsonsignaturesofMajoranaboundstates[J].Physicalreviewletters,2011,107(23):236401.[52]MillerJB,ZumbühlDM,MarcusCM,etal.Gate-controlledspin-orbitquantuminterferenceeffectsinlateraltransport[J].PhysicalReviewLetters,2003,90(7):076807.[53]LutchynRM,SauJD,SarmaSD.Majoranafermionsandatopologicalphasetransitioninsemiconductor-superconductorheterostructures[J].PhysicalReviewLetters,2010,105(7):077001.[54]EreminI,ManskeD,BennemannKH.Electronictheoryforthenormal-statespindynamicsinSr2RuO4,Anisotropyduetospin-orbitcoupling[J].PhysicalReviewB,2002,65(22):392-397.[55]HirschfeldP,VollhardtD,WölfleP.Resonantimpurityscatteringinheavyfermionsuperconductors[J].Solidstatecommunications,1986,59(3):111-115.[56]DresselhausG,KipAF,KittelC.PlasmaResonanceinCrystals:ObservationsandTheory[J].PhysRev,1955,100(2):618-625.[57]DengMT,YuCL,HuangGY,etal.Anomalouszero-biasconductancepeakinaNb–InSbnanowire–Nbhybriddevice[J].Nanoletters,2012,12(12):6414-6419.[58]MourikV,ZuoK,FrolovSM,etal.SignaturesofMajoranafermionsinhybridsuperconductor-semiconductornanowiredevices[J].Science,2012,336(6084):1003-1007.[59]DimitrovaOV,Feigel’ManMV.Two-dimensionalS-N-SjunctionwithRashbaspin-orbitcoupling[J].JournalofExperimental&TheoreticalPhysics,2006,102(4):652-660.[60]KitaevAY.UnpairedMajoranafermionsinquantumwires[J].Physics-Uspekhi,2001,44(10S):131.[61]AliceaJ.Majoranafermionsinatunablesemiconductordevice[J].PhysicalReviewB,2010,81(12):125318.[62]KastalskyA,KleinsasserAW,GreeneLH,etal.Observationofpaircurrentsinsuperconductor-semiconductorcontacts[J].PhysicalReviewLetters,1991,67(21):3026.[63]MourikV,ZuoK,FrolovSM,etal.SignaturesofMajoranafermionsinhybridsuperconductor-semiconductornanowiredevices[J].Science,2012,336(6084):1003-1007.[64]ChamonC,JackiwR,NishidaY,etal.QuantizingMajoranafermionsinasuperconductor[J].PhysicalReviewB,2010,81(22):224515.[65]SauJD,LutchynRM,TewariS,etal.Genericnewplatformfortopologicalquantumcomputationusingsemiconductorheterostructures[J].PhysicalReviewLetters,2010,104(4):46 南京航空航天大学硕士学位论文040502.[66]ChungSB,ZhangHJ,QiXL,etal.TopologicalsuperconductingphaseandMajoranafermionsinhalf-metal-superconductorheterostructures[J].PhysicalReviewB,2011,84(6):060510.[67]Nadj-PergeS,DrozdovIK,BernevigBA,etal.ProposalforrealizingMajoranafermionsinchainsofmagneticatomsonasuperconductor[J].PhysicalReviewB,2013,88(2):020407.[68]AliceaJ.Majoranafermionsinatunablesemiconductordevice[J].PhysicalReviewB,2010,81(12):125318.[69]ZhangC,TewariS,LutchynRM,etal.pxipySuperfluidfroms-waveInteractionsofFermionicColdAtoms[J].PhysicalReviewLetters,2008,101(16):160401.[70]SatoM,TakahashiY,FujimotoS.Non-Abeliantopologicalorderins-wavesuperfluidsofultracoldfermionicatoms[J].PhysicalReviewLetters,2009,103(2):020401.[71]AbayS,PerssonD,NilssonH,etal.ChargetransportinInAsnanowireJosephsonjunctions[J].PhysicalReviewB,2013,89(21):2495-2502.[72]WengH,XuG,ZhangH,etal.Half-metallicsurfacestatesandtopologicalsuperconductivityinNaCoO2fromfirstprinciples[J].PhysicalReviewB,2011,84(6):060408.[73]SatoM,FujimotoS.Topologicalphasesofnon-centrosymmetricsuperconductors:Edgestates,Majoranafermions,andnon-Abelianstatistics[J].PhysicalReviewB,2009,79(9):094504.[74]SatoM.Topologicalpropertiesofspin-tripletsuperconductorsandFermisurfacetopologyinthenormalstate[J].PhysicalReviewB,2009,79(21):214526.[75]SchnyderAP,BrydonPMR,ManskeD,etal.Andreevspectroscopyandsurfacedensityofstatesforathree-dimensionaltime-reversal-invarianttopologicalsuperconductor[J].PhysicalReviewB,2010,82(18):184508.[76]JieY,GaoJH,ChenWQ,etal.EdgesuperconductingstateinattractiveUKane-Mele-Hubbardmodel[J].PhysicalReviewB,2013,86(10):2757-2764.[77]SatoM.Topologicalodd-paritysuperconductors[J].PhysicalReviewB,2010,81(22):220504.[78]LutchynRM,SauJD,SarmaSD.Majoranafermionsandatopologicalphasetransitioninsemiconductor-superconductorheterostructures[J].PhysicalReviewLetters,2010,105(7):077001.[79]JackiwR,RossiP.Zeromodesofthevortex-fermionsystem[J].NuclearPhysicsB,1981,190(4):681-691.[80]MaoL,GongM,DumitrescuE,etal.Hole-dopedsemiconductornanowireontopofanS-wavesuperconductor:anewandexperimentallyaccessiblesystemforMajoranafermions[J].PhysicalReviewLetters,2012,108(17):177001.[81]FuL,KaneCL.ProbingneutralMajoranafermionedgemodeswithchargetransport[J].PhysicalReviewLetters,2009,102(21):216403.47 拓扑超导体中涡旋的钉扎效应及马约拉纳费米子的编织[82]CallanCG,HarveyJA.Anomaliesandfermionzeromodesonstringsanddomainwalls[J].NuclearPhysicsB,1985,250(1-4):427-436.[83]WilczekF.Majoranareturns[J].NaturePhysics,2009,5(9):614-618.[84]HosurP,GhaemiP,MongRSK,etal.Majoranamodesattheendsofsuperconductorvorticesindopedtopologicalinsulators[J].PhysicalReviewLetters,2011,107(9):097001.[85]HeQL,PanL,SternAL,etal.ChiralMajoranafermionmodesinaquantumanomalousHallinsulator–superconductorstructure[J].Science,2017,357(6348):294-299.[86]SauJD,TewariS,LutchynRM,etal.Non-Abelianquantumorderinspin-orbit-coupledsemiconductors:SearchfortopologicalMajoranaparticlesinsolid-statesystems[J].PhysicalReviewB,2010,82(21):214509.[87]TanakaY,MizunoY,YokoyamaT,etal.AnomalousAndreevboundstateinnoncentrosymmetricsuperconductors[J].PhysicalReviewLetters,2010,105(9):097002.[88]SatoM,TanakaY,YadaK,etal.TopologyofAndreevboundstateswithflatdispersion[J].PhysicalReviewB,2011,83(22):224511.[89]DuckheimM,BrouwerPW.Andreevreflectionfromnon-centrosymetricsuperconductorsandMajoranaboundstategenerationinhalf-metallicferromagnets[J].PhysicalReviewB,2010,83(5):210-216.[90]DeArcoLG,ZhangY,SchlenkerCW,etal.Continuous,highlyflexibleandtransparentgraphenefilmsbychemicalvapordepositionfororganicphotovoltaics[J].AcsNano,2010,4(5):2865-2873.[91]KitaevAY.Fault-tolerantquantumcomputationbyanyons[J].AnnalsofPhysics,2003,303(1):2-30.[92]KimW,ChenY,TingCS.Impurityresonancepeaksinthevortexcoreofcupratesuperconductorswithinducedspindensitywaveorder[J].PhysicalReviewB,2009,80(17):172502.[93]BalatskyAV,VekhterI,ZhuJX.Impurity-inducedstatesinconventionalandunconventionalsuperconductors[J].ReviewsofModernPhysics,2006,78(2):373.[94]ZhouT,HuangH,GaoY,etal.Quasiparticlestatesaroundanonmagneticimpurityinelectron-dopediron-basedsuperconductorswithspin-density-waveorder[J].PhysicalReviewB,2011,83(21):214502.[95]HanQ,ZhangL,WangZD.Effectofapointimpurityonthevortexboundstatesinans-wavesuperconductor:Aself-consistentanalysis[J].PhysicalReviewB,2000,62(9):5936.[96]ZhouT,GaoY,WangZD.Topologicalquantumphasetransitionsandedgestatesinspin-orbitalcoupledFermigases[J].Scientificreports,2014,4:5218.[97]ZhouT,LiXJ,GaoY,etal.Charged-impurity-inducedMajoranafermionsintopologicalsuperconductors[J].PhysicalReviewB,2015,91(6):014512.48 南京航空航天大学硕士学位论文[98]HuH,JiangL,PuH,etal.Universalimpurity-inducedboundstateintopologicalsuperfluids[J].PhysicalReviewLetters,2013,110(2):020401.[99]NagaiY,OtaY,MachidaM.Nonmagneticimpurityeffectsinathree-dimensionaltopologicalsuperconductor:Fromp-tos-wavebehaviors[J].PhysicalReviewB,2014,89(21):214506.[100]ZhouT,WangZD,GaoY,etal.Electronicstructurearoundavortexcoreiniron-basedsuperconductors:Numericalstudiesofatwo-orbitalmodel[J].PhysicalReviewB,2011,84(17):174524.[101]XingY,WangH,LiCK,etal.SuperconductivityintopologicallynontrivialmaterialAu2Pb[J].NJPQuantumMaterials,2016,1:16005.49 拓扑超导体中涡旋的钉扎效应及马约拉纳费米子的编织致谢时光总是过得很快，不经意间研究生生涯即将结束，从刚入学的新生变成了迎接新生的学姐，随着师兄师姐的毕业我们也迎来了毕业季。过去的日子里我们努力上进，积极学习，拼搏奋斗。南京航空航天大学本着智周万物，道济天下的校训，以优良的学习风气、严谨的科研氛围，培养了我们这些莘莘学子。我学到了很多的知识,提升了自己的能力，时时刻刻不忘初心，本着实事求是、吃苦耐劳的态度，认认真真地完成每一件事情。在即将毕业的时候，我要对关心和帮助过我的人们表达真挚的感谢和最美好的祝愿。首先，我十分感谢我的导师周涛教授，在研究生就读期间，周老师亦师亦友，不仅教会了我很多知识和技能，也十分能理解学生，关心教导我们。周老师科研能力强、知识储备丰富、实事求是、诲人不倦、治学严谨，让人如沐春风；作为老师，周老师总是能够平易近人，在学术和生活中总是可以一语中的，给予我们准确的分析和指导。我能成为周老师的学生，真的是三生有幸。科研之余我们还聊聊人生规划，短期的目标规划，十分融洽和谐。在程序编写及论文撰写过程中遇到很多问题，周老师都耐心指导，这花费了老师大量的时间和精力，老师从头到尾都十分认真、尽心尽力。借着这个机会，我向我的导师周涛教授表示深深的敬意和感谢，相信我们的师生缘分将成为彼此美好的经历和记忆！在研究生期间，我还要感谢李晓静、汪国峰、沈晓玲、毋明旗、李苑樵、罗坤、郑悦、姚佩雯和俞波同学的帮助和关心，他们不仅在科研上给予我帮助和鼓励，在生活中也帮我排忧解难，让我深深的体会到我们是一个大家庭，彼此关心、彼此爱护。同时我也感激我的室友王欣悦、邵如月、陈莉莉，我们互相鼓励，互相帮助，一起讨论问题，一起旅游，使我们的生活很丰富多彩。在科研过程中，我也得到了很多学长学姐学弟学妹的帮助，也从他们哪里了解到了科研上更前沿的动态，在此表示由衷的感谢！最后，我要感谢父母对我的支持和爱护，他们是我最亲最爱的人，希望我可以不辜负他们的期望，在学术上做出好的成绩。我很感谢各位老师和同学看到我的论文，希望大家可以不吝赐教，使我的论文更加完善。祝福大家身体安康，阖家幸福！50 南京航空航天大学硕士学位论文在学期间的研究成果及发表的学术论文攻读硕士期间发表(录用)论文情况：1.WuHD,ZhouT.Vortexpinningbythepointpotentialintopologicalsuperconductors:aschemeforbraidingMajoranaboundstates[J].PhysicalReviewB,2017,96(18):184508.51