三维矩形编织规律的研究 136页

东华大学博士学位论文三维矩形编织规律的研究姓名：李毓陵申请学位级别：博士专业：纺织工程指导教师：丁辛20041001 论文接着对纵横编织过程中编织盘的合理结构以及编织锭子在编织盘中安放时应当遵循的原则进行了讨论。遵循这些原则才能使建立在方格阵基础上的各种分析过程是可靠的、合理的，同时又便于使分析研究的结论能够应用到实际的编织中。在讨论合理的方格阵的结构时，按照纵横编织的原理，分析了方格阵上方格的移动特点后，指出方格阵是由主体阵和四周的边阵组成的。合理的方格阵中，任意一行(列)两侧的边阵列(行)数必须相等，但行与行、列与列或行与列之间的边阵列(行)数可以不相等。在实际编织时考虑到实现编织锭子移动的难易程度和编织盘的品种适应性等因素，一般所有的行(列)边阵列(行)数设讨‘为相等，但行与列不一定相等。论文进一步应用纵横编织的原理，讨论了编织锭子在编织盘上的安放原则，即为实现纵横编织，在主体阵内不能有空格，必须用编织锭子填满主体阵，而且开始编织前边阵中必须有编织锭子，边阵中每行(列)编织锭子的数量不得少于行(列)边阵列(行)数。编织异形截面三维预型件时，～般采用包含此异形截面的矩形方格阵，并在包含此异形截面的主体阵内，用载纱锭子安放出异形截面，接着按照编织模式确定其它载纱锭子与空载锭子的位置，以此构筑出编织异形截面三维预型件的基础。接下来论文拟从普遍的意义上建立各编织要素之间的关系，从理论上对编爪织过程中的本质问题进}利述。以解决编织锭子的移动轨迹与编织模式之间关系U的相关研究中，研究手段大多数都是建立在经验的基础上，以直观图的方式进行编织过程描述，得出的一些结论只能针对某一具体的编织过程，难以适应其它的编织过程的问题。为此，论文将方格阵进一步抽象为数学中的集合，将编织模式抽象为对集合的映射，并设定左边阵的左侧与右边阵右侧相接，形成封闭：上边阵的顶部与下边阵的底部相接，亦形成封闭，此时，编织过程可以抽象成为数学中的置换过程。论文通过“4步法”、“8步法”和“口”字形截面预型件3个编织实例，具体阐述了数学抽象过程，并对编织过程进行了置换运算。发现纵横编织的每一步都可独立写成置换形式，在将表达纵横编织每一步的置换写成轮换幂形式后，幂指数就是纵向阵(或横向阵)相应位置的步长。而完成一个编织循环就是将代表每一次步进的置换按照顺序相乘，结果也可表达为一个置换。当表示一个步进循环的置换表达为不相交的轮换的乘积时，从表达式中可以得出纵横编织的一些特性，如编织锭子的移动轨迹、编织锭子的分组数、每组中编织锭子的 个数等。采用置换表达后，编织过程成为集合中元素的置换过程。由此，论文建立了普适性的编织模式与编织锭子移动之间的关系，只要编织模式即步进阵得到确定，集合中所有元素的置换和相互关系都能得到确定，即从理论的角度得到了一定编织模式下，编织盘上所有锭子的初始位置以及移动轨迹。依据移动轨迹还可进一步确定锭子的类型。编织盘上锭子的类型和初始位置在以前的文献资料中都是通过经验摸索并通过实际编织才能确定，这里通过置换运算就可以直接得到这些锭子的位置所在，同时锭子的移动轨迹、分组数、组内锭子数等运动特性也可直接从数学表达式中得出，因此在纵横编织过程中引入置换理论有着重要的实用价值。然而置换运算只能解决编织模式已知条件下，编织模式与编织锭子移动之间关系的问题，尚不能依据编织锭子移动轨迹，直接通过置换用解析法得到所需编织模式，而这一点正是解决面向性能设计三维预型件的关键。为此，论文继续引入了数学中群的概念，从普遍的意义上对编织模式的本身特性进行了分析，试图用枚举法思路来实现设计所需的编织模式的目标。论文研究后发现，由编织模式所构成的所有簧换所组成的集合，对置换的乘法运算构成一个群，这个群是置换群的子群，称为编织群。编织群元素可以用表达方格阵的集合中的整行或接列元素的轮换幂乘积的形式表达。由于置换群的元素和运算都可以具体地写出来，因此编织群元素是有限的可构造的，不同的编织模式，即不同的步进阵数量也是有限的并可构造。编织群是置换群的子群，由于编织方法的限制，编织群的阶一定小于置换群的阶，这说明必然存在一定的约束条件限制步进阵中步长的取值，使编织群元素不可能取到置换群中所有元素。运用纵横编织原理，分析得出构成编织模式应当满足的必要条件为：纵向步进和横向步进必须交替进行、编织模式必须是一个完整循环以及编织过程中编织锭子始终不能移出编织盘。由于步进阵已经是数字化形式，在将必要条件表示为数学形式后，应用组合数学原理，论文得到了编织模式总数的计算公式。至此，论文解决了编织群的存在、构造和数量三大问题，为采用群这一数学工具研究编织模式的特性奠定了基础。在给定所需的编织参数后，论文具体计算出了编织模式的总数并归纳出构筑具体编织模式的步骤。通过枚举法，论文实现了获取所需编织模式的目标，但同时也产生了一定 编织参数条件下、可能得到的编织模式的种数是非常多的问题，给编织模式的选取带来一定的困难。为此，论文进～步将获取编织模式的问题，分解为依据预型件单元结构和依据预型件截面形状获取编织模式的问题，以简化枚举法过于烦琐的难题。对于依据预型件单元结构获取编织模式的问题，论文运用集合分类原则和方法，将表达方格阵的集合中的元素按编织锭子循环进行分类，将求取方格阵的纵向步进阵和横向步进阵的问题，转化为求取表达编织锭子循环的重复单元的步进阵问题，而以编织锭子循环为重复单元所进行的分析可以与预型件的单元结构相关联。由于重复单元中的元素比较少，相应的编织模式的总数也不多，从中选择出符合要求的编织模式也就容易一些。以重复单元的编织模式为基础，循环扩展到实际大小的编织盘，可以得到单元结构符合要求的预型件的实际编织模式。以此分析为基础，通过实例，归纳了以预型件单元结构为依据，获取编织模式的具体步骤。论文进一步应用图形等距变换原理，分析后得知纵横编织中只有7种形式的等距变换，且与每种形式的等距变换都存在相对应的编织模式变换方法。以重复单元作为主体阵，构筑出基础单元，并依据基础单元中编织锭子的移动轨迹，构成显示角形截面形状的编织锭子排列基础图。接着按照纵横编织的要求，对基础图进行等距变换，得到各种变换图以及相应的编织模式。然后通过基础图与变换图结合、变换图与变换图结合以及它们的综合操作，得到更为复杂的结合图并总结出对应的步进阵结合原则，就可以构筑出各种截面形状的特性图及其编织模式。同样基础单元中元素的数量也比较少，相应的编织模式的总数也不多，从中选择出符合要求的编织模式也比较容易。通过实例，论文详细阐述了所应用的基本原理，并归纳出依据预型件截面形状获取编织模式的具体步骤。最后对各章节中实例应用的和设计的编织模式，在所研制的三维编织机上，分别编织出了相应的三维预型件，验证了论文总结归纳的获取编织模式方法的合理性和步骤的可行性。同时通过应用示踪纱线法，进一步证明了置换理论计算结果的正确性。关键词：三维编织纵横编织编织图编织模式方格阵置换置换群平面等距变换 StudyontheBraidingLawofThree—DimensionalRectangleBraidingAbstractOtieofthemainfeaturesof3-Dbraidingcompositeisperformancedesignable．Itrequiresthat3-Dpreforrnsshouldbebraidedaccordingtocompatibleuniteellstructure．CROSS-sectionaIshapeandsize．3-Dbraidingisalleffectivetooltofabricate3．Dtextileperformsandthetrackandcolumnbraidingisoneofthemostactivetechnology．Duringbraiding．t11emovementofbraidingcarriersdeterminestheuniteellstructureandtheshapeofcross-sectionofthepreform．TKsthesisstudiestherelationshipbetweenthebraidingpattemandthemovementofbraidingcarriers．Theobjectiveistodevelopamethodtoobtainanexpectingbraidingpatternforthepurposeofpossibleperformancedesignablerequirements．Toforrn3-Dbraidedpreformswithgivenyamorientationandinterlacingarchitecture．thefreeendofthebraidingyamsshouldbemovedinaplatforminagivenorderwiththeotherendofthebraidingyarnswillforminterlacingatapositionabovethebraidingplatform．Trackandcolumnbraidingigoneoftheeffective3-Dbraidingtechniques．Bydrivingbraidingcarriersalongtracksmaangedinrowsandcolumnsinthebraidingplatfornl，variousbraidingpatternscanbeobtained．Thekeyisstleofthebraidingtechniqueistocontrolthemovementofthebraidingcarriers．Therefore．thelawofbraiding，tracksinthebraidingplatformandthearrangementofbraidingcardersarethreefundamentalelementsin3一Dbraiding．Tobraida3-Dpreformwithadesiredbraidingarchitecture，alawgoverningthebraidingprocessisessentiai．bywhichthemovementofthebraidingcarriersisdetermined．Abraidingplantodescribethetrackandcolumnbraidingisjngoducedinthisthesis．Someconcc：ptssuchaslatticearray,mainarray,sidearray,Z-array,H—arrayandsteppingarrayaredefined．Thebraidingplanisconsistedofalatticearrayandasteppingarray,bywhichtIleessentialfactorsofthetrackandcolumnbraidingarerepresented．Filledwithdifferentcolorsorsymbols，thelatticeairaycanrepresenttheinitialarrangementofthebraidingplatform，includingthepositionsofbraidingandnon-braidingcarriers，thecross—sectionof3-Dperform，andetc．ThesteppingarrayisconsistedofaZ．arrayandaH．arrayrepresentingmovementofcarriersinthecolumndirectionandrowdirection．respeetively．T11isdigitalizedrepresentationofthebraidingplanwillfacilitatethestudyofthebraidingprocessing．Thecorrectconfigurationofthebraidingplatformandtheinitialarrangementofbraidingcarriersonthebraidingtracksarediscussed．ThelatticeartayiscomposedofamainarrayandslLrroundingsideairays．Thenumberofcolumnsinthesidealraysonbothsideofanyrowinthemainartaymustbeequal．Similarly,thenumberofrowsinthesideartaysonbothsideofanycolumninthemainarraymustalsobeequaI．Butthenumberofcolumns(orrows)ofdifferentrOWS(orcolumns)inthesidearraysisunnecessarytobethesame．Inpractice，whenconsideringtheversatilityofflbraidingplatform，alatticeshouldbesobuiltartaythatthenumberofcolumnsin thes10earraysrow’wiseISequal，soasnumberofrowsinsidearrayscolumn。wise．Butnumberofcolumnsandthatofrowscouldbearrangeddifferently．Inthesis，thepositionofbraidingcarriersinbraidingplatformisdecidedmathematically．Toconductouttrackandcolumnbraiding，theremustnotbeanyblankelementinmainartay．Inotherwords，themainarraymustbefilledwithbraidingcarriersfully．Beforebraiding，theremustbebraidingcarriersinsidearrays，andnumbersofcarriersmustnotbelessthannumberofcolumns(orrows)Illsidearraysrow-wise(orcolumn—wise)Whenbraidingaprofiled3-Dpreforrn，arectangularlatticeartayt11atcanlocatetotalnumberofbraidingcarriersisused．inwhichbraidingcarriersarearrangedtof01-i／1profiledcross-sectionandnon-braidingcarriersarearrangedtotransferdrivingmotion．Mathematically,thelatticearraycanfullerbedefinedbyasetandbraidingpattern，Z-andH—array,canberegardedasamapcarriedonset．Byjoiningbothendsofelementsinsidearrayrow-wisetogethertoforillacontinuousloop．soaselementsinsideartaycolumn．wise．theprocessofbraidingisactuallyapermutation．Eachstepofbraidingprocesscanberepresentedbypermutationandwritten,asaproductofdisjointcyclepowerswithelementsinZ．orH．array．Theexpressionofacompletebraidingcyclebypermutationistomultiplypermutationofsinglebraidingstepsaccordingtoprocessingorder,Whenpermutationofbraidingcycleiswrittenasaproductofdisjointcycles．theinitialarrangementofbraidingplan，thenumbersofcarriersgroups，thenumbersofcarrierswithinagroupandnumbersofbraidingcyclesthatallcarriersreturnto血eiroriginalpositionscanbeobtained．AgeneralpurposedrelationshiPbetweenbraidingparternandmovementofbraidingcarriersaresetupsuccessfi．dly．Theconceptofgroupisintroducedtoanalyzeformationprocessofbraidingpatterninageneralmeaning．Thesetofa11permutationsrepresentingbraidingcycle，basedonproductofpermutations，definesagroupcalledbraidinggroup，whichissubgroupofpermutationgroup．Becausenumberofelementsinpermutationgroupisdefiniteandnumerable．thenumberofelementsofbraidinggroupisalsodeftniteandnumerable．Theelementsinofbraidinggroupcanbeexpressedbyaproductofcyclepower,whichrepresentsmovementsofeveryentirerowforcolumn)ofelementsin1atticearray．TheindexofcyclepowercorrespondstoabraidingpartelTl，thUSnumberofelementsinbraidinggroupisequaltonumberofpossiblebraidingpatterns．ThenecessaryconditionstoformabraidingpaRernare：themovementsaccordingtoZ—andH—arraymustbealternative．thebraidingpatternmustincludea伽1braidingcycleandbraidingcarriersmustnotmoveoutofbraidingplatform．Mlennecessaryconditionsarewrittenbymathematicforms，thecalculativeformulaoftotainumberofbraidingpatternisobtainedbymearlsofcombinatorics．Ifbraidingparametersaredetermined，everybraidingpatterncouldbelistedoutconcretely．Thepurposetoobtainarequiredbraidingpatternisrealizedbyanenumerativemethod．Tosimplifyenumerativemethod，theprocessofobtainingarequiredbraidingpattemisdividedintoprOCCSSofobtainingtllepatternaccordingtostrnctureofunitcellandthataccordingtocross—sectionshapeof3-D perform．Throughapplicationofthesettheory．thesetelementsinthelatticearrayaregroupedaccordingtothemovementrepeatofthebraidingcarrierandtheprocessofobtainingarequiredbraidingpattemistranslatedintotheoneofobtainingabraidingpattemofknownPatternrepeat．Theresultsoftheanalysisbasedonthepattemrepeatarecorrelafivetothestructureofthe11nitcell．IiI伪enthebraidingpatternofapattemrepeatiSobtained．t11ebraidingpattemofthelatticeall"ayCanbedevelopedbyextendingthepattemofthepatternrepeatcircularly,ThisiSthewaytoobtainabraidingPattemaccordingtothestructureoftheunitcellof3-Dbraidingprefotin．Byapplyingtheprincipleofasymmetrytransformation，itisfoundthatthereare7typesofplanarisometrytransformationthatCanbeoperatedintermofthetrackandcolumnbraiding．ThemethodiSdevelopedtotransformZ．alld／orH．arrayrelatedtoeachtypeoftheplanarisometrytransformation．Takingamainarrayasabasicelement．followingthemovingtracesoftIlecarriersinthemainarray,abasicplanofL．shapefilledbybraidingcarrierscanbeformed．Accordingtotherequirementofthetackandcolmnnbraiding，someisometrytransformationsareoperatedandthetrailsformplanandthecorrespondingtranSformZ—and／orH．arrayCanbeobtained．Aseriesofplanswit}ldifrerentcross—sectionsarebuiltbycombiningthebasicplanwiththetransforuledplan，bycombiningthetransformedplanwiththetransformedplanand／ortheirmixoperation．ThecorrespondingZ—andH．arrayiSaiSObuiItaccordingtothecombiningprincipleofZ—and／orH—arrayrespectively．ThisiStllewaytoobtainthebraidingpatternaccordingtothecross—sectionof3-Dbraidingperform．Byapplyingthebraidingpatternusedinthiswork，onadevelopedbraidingmachine。thecorresponding3-DpreformSarebraided．Therationalityandfeasibilitytoobtainabraidingpatternincludedinthethesisaredemonstrated．Byaddingtracingyamsinthe3-Dpreforms．thevalidityofpermutationresultsisalSOverified．Keywords：3-DbraidingTrackandpattemLatticearrayisometrytransformationcolumnbraidingBraidingplanBraidingPermutationgroupPlanar V．75801,,东华大学学位论文原创性声明本人郑重声明：我恪守学术道德，崇尚严谨学风。所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究上=作所取得的成果。除文中已明确注明和弓If|牛l的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品及成果的内容。论文为本人亲自撰写，我对所写的内容负责，并完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名：多芗缸F芝日期：≯呼年主／月’孑日 东华大学学位论文版权使用授权书学位论文作者完全r解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅或借阅。本人授权东华大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，町以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。本学位论文属于保密口，在——年解密后适用本版权书。不保密口。学位论文作者签名锄砹、指导教师签名：j盲日期：。，年勺月，3日u期：加r年f月呷u 三维矩形编织规律的研究第一章前言广义理解，由二种或二种以上化学或物理性质不同的物质，以细观或宏观的形式，组合而成的多相固体材料，都可以称为复合材料。这个意义下，天然的木材、竹材，加工出的钢材、钢筋混凝土等都是复合材料。狭义的复合材料，或者说现代意义的复合材料，是指将一种材料以一定的方式分散在另一种材料中，以克服单一材料的某些弱点，发挥综合优势而加工制造出来的固体材料。从这个定义讲，天然材料不包括在现代意义的复合材料范围内【1“】。复合材料中各组份材料都保持相对独立性，各组份之间通过界面取得联系从而获得综合性能。分散包埋在另一组份之中的组份，称之为分散相，一般是较强的、脆性的、高模量的材料，习惯上称为增强材料；另一组份称之为连续相，一般是较弱的、韧性的、低模量的材料，习惯上称为基体。作为分散相的增强材料可以是纤维、颗粒或弥散的填料；作为连续相的基体可以是聚合物、金属或陶瓷等。复合材料中加入的一些弥散性材料，是起改善加工成形性、增加色泽或降低制造成本的作用¨“J。复合材料常用的分类方法是依据所用的增强材料的类型或所用的基体的类型进行分类。依据所用的增强材料的类型可以分为纤维增强复合材料，颗粒增强复合材料等。依据基体的类型可以分为聚合物基复合材料，金属基复合材料，陶瓷基复合材料等。根据研究和应用的需要，也可以采用其它的分类方法15～10}。最早的现代意义的复合材料制品为纸或布增强的酚醛树脂，大约出现在1909年。本世纪30年代，以玻璃纤维增强塑料(俗称玻璃钢)为标志性产品，现代意义的复合材料得到确立并进入了全面开发研究时期。复合材料是继木、石材料，金属材料，高分子材料之后，人类开发利用的新一代工程材料。它综合了各种材料如纤维、树脂、橡胶、金属、陶瓷等的优点，实现了材料之间性能上的“取长补短”，首先在军用雷达防护罩、航空和航天领域得当广泛的应用。目前在一般工业如建筑、造船、汽车、化工、电子、能源、体育器材、医疗器械等方面的应用正在不断深入。随着复合材料及其制品成型工艺的不断改进和发展，其应用范围亦将进一步扩大17～13】。一般认为，纤维增强复合材料中都会用到以各种短纤维和长丝制成的纱线以及各种织物作为增强结构，都可以称为纺织复合材料。但从专业意义上讲，用 三维矩形编织规律的研究各种纤维制成的二维或三维形式的机织物、针织物、非织造物和编织物作为增强结构所割成的复合材料才称为纺织复合材料。它包括以橡胶为基体的柔性复合材料和以其它树脂、金属以及陶瓷等为基体的刚性复合材料【”1。三维结构纤维增强复合材料通常采用具有三维整体结构的纺织预型件作为增强体，克服了二维织物增强复合材料层间强度低、易冲击损伤的缺点，具有比强度高、比模量大、特殊力学耦合性好、可设计性好等一系列优点。由于三维结构纤维增强复合材料具有上述～些独特的性能，因而受到广泛的重视。许多研究人员从复合材料的整体性能出发，对增强纤维束在三维空间中的取向和排列提出要求，设计出具有各种特性的增强纤维三维预型件。用手工方法可以制作出这些结构的模型，但预型件的均匀性和尺寸一般很难达到实际使用要求，因此许多学者都在努力研究和开发各种机械手段制备三维预型件。连续纤维三维预型件是复合材料重要的构成基础，制备三维预型件的方法和技术成为复合材料一个重要的研究领域。1．1研究背景三维编织技术是目前获取三维预型件的有效手段，它是由二维线带和绳索编织发展而来。妇女结辫子就是典型的二维编织过程。将二维编织物沿厚度方向扩展，就可以得到三维编织物。从这一概念出发，自20世纪60年代后期以来，不断有新型的三维编织技术开发出来，发展至今形成了两大类编织技术，即回转角轮编织技术和纵横编织技术，而纵横编织是其中发展最快的一种技术。1982年，Florentine发明了称为Magnaweave的编织机∽”】，奠定了纵横编织的技术基础。从此，对纵横编织技术和编织预型件的研究进入一个新时期，80年代末至90年代中期出现了一个研究高潮，在编织模式、编织设备以及编织预型件的结构和性能方面都取得了相当大的进展。迄今为止，纵横编织仍有许多问题需要进一步的探讨和研究，仍是三维编织技术中一个主要的研究领域。现在的纵横编织技术，按照编织盘的结构，主要分为矩形和圆形两种。本文的研究将基于矩形编织盘结构，在没有特别需要的情况下，文中不再对此进行说明。复合材料的重要特点之一是性能的可设计性，反映在三维编织上就是要求能够按照需要的单元结构、截面形状和尺寸编织出三维预型件。纵横编织中，编织锭子的移动轨迹决定了最终三维预型件的单元结构和截面形状，这一点已经得 =维矩形编织规律的研究到众多学者的认同。然而目前有关纵横编织的研究工作大多数仍是建立在编织锭子移动模式已知的基础上，分析编织锭子的移动轨迹和预型件结构的关系，讨论在已知的编织结构下预型件的性能等，对编织模式本身的内在特性进行系统研究的报道并不多见。探讨编织模式、单元结构和三维预型件截面形状之间的基本关系，从面向性能要求的纤维集合体结构和截面形状入手，实现真正意义上的性能可设计性的研究尚未见报道。虽然有资料介绍了一些获取编织模式的方法，但由于基本上是建立在经验的基础上，因而不具有普遍的意义。而且通过经验获得的编织模式数量并不多，这就限制了三维预型件的品种开发和应用。总之，应用纵横编织法编织特定单元结构和异形截面三维预型件问题并没有得到系统解决。为此，本文将在分析现有研究的基础上，通过一系列的抽象和假设，将编织过程转化为数学运算过程，应用集合论、置换、群论、组合数学以及对称变换原理等数学工具，就编织模式与编织锭子的移动之间的关系问题进行深入的探索，目的是得到具有普遍意义的获取编织模式的方法，为最终解决具有特定单元结构和异形截面的三维编织预型件的制备问题奠定基础。1．2研究意义纵横编织中，编织锭子的移动轨迹决定了最终三维预型件的单元结构和截面形状，而编织模式又决定了编织锭子的移动轨迹。多年来众多的学者为分析‘一定编织模式下编织锭子的移动轨迹进行了大量的研究，总结出了一些有意义的结论，为三维预型件结构和性能分析做出了积极的贡献。但相关的结论通常是建立在大量实践的基础上，是直观的、经验性的总结，因此这些结论的适应范围不大，对实际编织过程的指导意义非常有限。至于有关编织模式的内在特性方面，尚未见到比较系统的研究报道。这样一个对纵横编织至关重要的问题没有得到解决之前，面向性能设计三维编织预型件的问题也难以解决。本论文应用集合理论和置换理论，建立了普适性的编织模式与编织锭子移动轨迹之间的解析表达，将编织过程这一工程问题转化成为置换运算这一数学问题，应用数学原理分析编织过程中的现象，探索其中的规律和本质，将纵横编织过程的研究从实践水平提升到理论层次，必将促进相关研究领域的进一步开展。本论文应用置换群理论，首次系统地对编织模式的内在结构和特性进行了分析，通过进一步应用集合理论和图形平面等距变换原理，归纳出了依据预型件 三维矩彤编织规律的研究单元结构和依据预型件截面形状获取编织模式的方法和步骤，为最终实现面向性能设计三维编织预型件的目标奠定基础。1．3研究内容及方法本文将在综合分析现有研究的基础上，就编织模式与编织锭子的移动之间的关系以及获取所需编织模式的方法等问题进行深入的探索。研究的内容和方法包括：1．应用机织物组织分析的思想和方法，建立编织图以描述纵横编织的过程。在此基础上，找出实现纵横编织的基本要素，确定这些要素之间的基本关系，归纳和分析实现纵横编织需要遵循的基本原则，为进一步的研究奠定基础。2．以编织图为基础，应用集合理论和置换理论，对纵横编织进行数学抽象，将编织过程转化为置换运算，从而建立编织模式与编织锭子移动之间的数学关系。3．应用置换群、组合数学等数学工具对编织模式的基本特性进行了深入研究，将纵横编织过程中所必须遵循的原则转换成置换运算的约束条件和初始条件，探求构筑编织模式的基本方法，为获取面向性能可设计的编织模式奠定基础。4．应用集合理论，搜寻出构筑异形截面的基础单元，建立基础图概念，并以此为基础，应用图形平面等距变换原理，导出获取各种截面编织预型件的编织模式的统一的方法。5．在自行研制的纵横编织机上，通过实际编织，验证分析研究过程中的一些结论。1．4论文章节安排本论文共有九章。纵横编织是复合材料研究中的重要领域，因此第一章就一些综合性的内容进行扼要的介绍，同时对本论文的研究背景、研究意义、研究内容及方法、论文的章节安排和论文的创新点等作了全面的阐述。第二章为文献综述，主要介绍了目前纵横编织研究的总体状况和进展，特别是对三维编织原理和纵横编织工作原理进行了归纳与总结，指出要达到设计三维编织预型件的目的，必须能够构筑出编织模式，而构筑出编织模式的前提是建 =维矩形编纵规律的研究立编织锭子的移动与编织模式之间的关系。第三章重点介绍了本论文提出的描述编织过程的工具——编织图，并引入了方格阵、主体阵、边阵和步进阵等⋯系列概念，特别是将编织模式表示成为由纵向步进阵和横向步进阵组成的步进阵，使编织模式具体化、数字化。不仅得到一种清晰易懂的描述编织过程的方法，更重要的是还为理论分析和实际编织之间的相互转换架设了桥梁。第四章首先对纵横编织过程中编织盘的合理结构进行了讨论．为进一步的分析确定了研究对象的结构和形式，同时也可为编织机的设计提供思想。接着对编织锭子在编织盘中安放时应当遵循的原则进行了讨论，所得出结论是实现编织的前提条件。最后指出了编织锭子移动必须遵循的原则。第五章首先将方格阵进一步抽象为数学中的集合，编织模式抽象为对集合的映射。在进行了必要的假设之后，这种对集合的映射可以表示成为对有限元素的置换，最终将编织过程抽象成为数学中的置换过程。利用置换这一成熟的数学工具，对编织模式与编织锭子的移动轨迹之间的关系进行深入的分析，从中获得具有普遍意义的结论。第六章引入了数学中群的概念，从普遍的意义上对编织模式的特性进行分析，试图通过枚举法解决编织模式的获取问题。运用群理论就编织群的存在问题、结构问题和数量问题，进行了深入的探讨，在得出了编织模式是有限弗可数的结论后，应用组合数学原理，得到了编织模式总数的计算公式，归纳出了在一定条件下，写出所有编织模式的方法。第七章进一步将获取编织模式的问题，分解为依据预型件单元结构和依据预型件截面形状获取编织模式的问题，以简化枚举法过于烦琐的难题。运用集合分类原则和方法，得到了以预型件单元结构为依据，获取编织模式的步骤。以相对较小的编织盘为基础单元，得出编织锭子排列基础图，应用图形等距变换原理，得到了获取各种截面形状三维编织预型件编织模式的方法。第八章通过实际编织，对一些分析研究的结论进行验证。第九章总结了所获得的结论，指出了论文存在的不足并对进一步的研究作了展望。1．5本论文的创新点 三维矩形编织规律的研究本论文在研究过程中，在下述几个方面有所创新：1．针对本文的研究对象——纵横编织过程，抽象出了一个有限集合，并在这个集合之上建立元素间的一对一的关系，即雹换成立，应用置换理论解决了纵横编织中的一些基本性的问题。具体而言就是将编织盘抽象为一个集合，将编织盘中编织锭子可能占据的位置抽象成为集合中的元素，将纵横编织过程转化为置换运算，将编织模式对应为置换的幂指数，建立了具有普适性的编织模式与编织锭子移动之间的关系。在编织模式已知时，应用置换计算出了编织锭子的移动轨迹，得到了编织锭子的分组数、每组中有多少编织锭子和需要多少个编织循环才能使所有的编织锭子回到初始位置等重要参数，一方面为确定不同类型编织锭子的位置、得到编织盘的初始状态、编织出相应的预型件奠定了基础，同时也为更深入研究纵横编织的基本特性提供了有效的理论工具。2．将表达编织过程的置换组成一个集合，并将编织模式的连续执行定义为建立在集合之上的乘法运算，使这个置换组成的集合满足群的定义，构造一个表达编织过程的编织群。在分析编织群元素的数量问题时，将编织模式看作为～定形式的置换幂指数汇聚，将实现编织的基本要求转化为选取幂指数的约束条件，并将这些约束条件进行了数学表达，在此基础上，运用组合数学方法得到约束条件下所有的可能的编织模式的总数。依据约束条件，可以具体写出所有的编织模式，相当于知道一定大小的编织盘上有多少种编织锭子移动轨迹。将这些移动轨迹汇集成一定形式的图谱，需要时可以从中选择所需的轨迹，就能够得到对应的编织模式。通过这种枚举法思路实现了获取所需编织模式的目标。3．应用集合论中元素分类方法，对编织盘上的编织锭子进行分类，获得编织锭子的重复单元，再运用置换方法得到重复单元中编织锭子的移动轨迹后，分析了预型件单元结构与移动轨迹之间的一些对应关系，然后以重复单元的编织模式为基础，循环扩展到实际大小的编织盘，得到了以预型件单元结构为依据，获取编织模式的步骤。应用图形等距变换原理，分析出纵横编织中可能的等距变换，并归纳出与等距变换相对应的编织模式变换方法，接着以相对较小的编织盘为基础单元，依据基础单元中编织锭子的移动轨迹，构成显 三维矩形编织规律的研究示角形截面形状的编织锭子排列基础图，接着按照纵横编织的要求，对基础图进行等距变换，得到各种变换图以及相应的编织模式，然后通过基础图与变换图结合、变换图与变换图结合以及他们的综合操作，构筑出各种截面形状的特性图及其编织模式，得到了以基础单元为基础，获取各种截面形状三维编织预型件编织模式的方法。4．借用机织物组织图和上机图的描述思想，设计了称为编织图的表达方式，用以表达纵横编织过程。即用一个方格阵表示编织盘，用填绘色泽或符号的方格表示锭子在编织盘上的初始排列状态，在方格阵的左侧相应位置用数阵的形式表示锭子的横向所有行的移动模式，在方格阵的顶侧相应位置用数阵的形式表示纵向所有列的移动模式。编织图表达出了实现纵横编织的三个基本要素，即编织盘的结构，编织锭子在编织盘上的初始排列和编织模式，特别是将编织模式表达为数阵的形式，为进一步的理论研究提供了基础。此外，理论分析的结果，可以通过编织图这一桥梁转化到实际纵横编织中，只要能够得到某种三维预型件的编织图，就奠定了编织出这种预型件的基础。 兰维矩形编织规律的研究第二章纵横编织研究的状况和进展1982年，Florentine发明了称为Ragnaweave的编织机m¨j，从那时起，纵横编织的研究得到众多学者的重视。综合有关的文献资料，可以将研究方向归结为三个方面，即编织模式、编织设备和编织预型件性能。2．1编织规律邵俊["l就三维编织机的工作原理和编织纱在编织盘上的分布排列进行了研究，文中认为三维预型件是以正六面体为单元结构，各编织纱按照它的棱、体心、体对角以及面对角方向组合排列，并以此为基础进行循环、开拓和扩展，从而形成立体的网络结构体。文中用“磁编”称呼纵横编织技术，其来源是纵横编织技术的发明者FIorentIne所称的№gnaWeave技术。为了表达编织过程，文中采用方格代表编织盘上的移动块，编织纱束的一端连接在方格上并随方格一起移动，将编织单元结构中的纱线抽象为纱元，纱线的取向抽象为纱元的移动路径，以此为基础，通过对纱元的运动规律进行设计，采用计算机进行模拟，得出了几种三维结构预型件的编织模式，并在研制的雏型编织机上进行了试编，获得了几种特殊单元结构的预型件。文章率先指出了用Magnaweave技术可以编织出复杂单元结构三维预型件，特别是有关编织模式的求取方法的探索，对目前的研究仍然具有一定的指导意义。Li等f23]将FIorentine发明的Magnaweave技术的基本原理进行了归纳，总结成为称之为“Four—step”(4步法)的编织工作原理，同时文中指出，如果改变编织过程中每一步的步长，结合循环次数的增加，可以得至4一些单元结构更为复杂的三维预型件，这实际上就是用纵横编织法编织复杂单元结构三维预型件的原理所在，只是文中没有给出有关的实例。此外为了区分不同的编织模式，文中开始采用数字法表达不同的编织模式，这种方法对一些相对简单的编织模式描述起来比较方便，因而得到不少文献资料的采用，特别是“4步法(Four—step)”的称谓开始作为Magnaweave技术的代名词。之后有关的文献资料在介绍“4步法”工作原理时，大多直接引用该文中的描述，而“磁编”的称谓在中文文献中的使用也逐渐消失。韩其睿等【251认为所谓三维编织实际上就是纱线在空间上的相互交缠，从代数的角度看，可以把所有可能的交缠结构作为一个集合，而预型件的单元结构就 三维矩形编织规律的研究是该集合中的一个元素，运用数学中的群论工具，可将所有的单元结构作为一个群，具体的一个单元结构作为群中的一个元素处理．如能求出群生成元表达式，就可以画出各种预型件的单元结构图。这一方法为研究三维预型件的单元结构并采用CAD手段模拟显示具体三维预型件提供了一种理论工具，但对于如何实现纱线的交缠，文中并没有论及，此外三维预型件单元结构与整体结构之间的关系如何确立，文中也没有讨论。DuandKo【26】对常用的几种三维编织方法进行了综合讨论。讨论中开始采用“Track吨nd—Column”的称谓替代通常采用的“Four—step”或Magnaweave所代表的编织技术。在综合分析传统的“4步法”和“2步法”编织过程和特点后明确指出，从编织原理上讲，传统的“4步法”和“2步法”编织技术是相同的，只是实现的方法有所差异，通过在适当的位置安放编织锭子并在编织盘中加入轴向纱，就可以用“4步法”编织出单元结构与“2步法”完全相同的预型件。这一结论迸一步从原理和实践上说明了“4步法”技术的灵活性，同时也说明了用“4步法”表达纵横编织的局限性，白此国外大部分相关文献开始采用“Track—and—Column”来表达纵横编织，而将“4步法”作为纵横编织中的一种特殊形式。Li等【23】和韩其睿【271以“4步法”为编织模式，以整个编织盘为研究对象，采用图示推导的方法，对锭子的在编织盘上的移动规律进行了初步的探索，得到的结论有：①任何锭子在“4步法”编织过程中，其位置是确定的，也就是说任一锭子的运动轨迹是固定的，是可以跟踪和描述的：②设编织盘上横向和纵向编织锭子的数量可表示为m×n，m和n的最大公约数为g，则任一锭子经过s=(mn+m+n)／g个编织循环后将回到其初始位置，⑨编织盘上的所有锭子可分为g组。这些结论为建立编织锭子与编织纱线的空间结构之间的关系有一定的指导意义，但这些结论只是针对传统的“4步法”编织模式，且所采用的经验推导过程也难以拓展到其它的复杂编织模式，因此结论的局限性较大。Kostar等m301提出了“多步法”概念，尝试了加大编织循环和锭子移动距离，得到更为复杂的编织预型件单元结构的可能性，这既为研究复杂的编织规律提供了基础，也为获取复杂编织模式指出了方向。文中给出的“8步法”编织模式以及构成方法，成为以后许多学者研究的对象。文中还给出了一种“8步法”的编织锭子的分组和各组编织锭子数的分析结果，发现从“4步法”得到的一些 三维矩形编织捌律的研究基本结论在“8步法”并不适用。但文中并未提及所采用的“8步法”编织模式的合理性，更没有涉及如何得到复杂编织模式的问鼷。钟智丽【33134J就几种三维编织技术的工作原理进行了讨论，在编织实践的基础上，提出了在编织过程中可连续改变移动距离，使获得的预型件的单元结构发生连续变化的新的预型件编织概念，并编织出带大小双孔的三维预型件，开始涉及将三维预型件的单元结构和整体结构进行综合考虑的问题，即在同一个三维预型件上，可以应用不同的编织模式，在不同位置得到不同的单元结构和整体结构。肖丽华等口2‘351也提出了相似的概念，指出三维编织的目的不仅仅是获得单元结构，更重要的是获得具有一定单元结构的整体结构，特别是获得各种异形截面的三维预型件，这样才能满足复合材料的可设计性的需求；道德锟等口0】对目前主要的三维编织技术进行了综合讨论，就几种异型截面预型件的编织方法进行了详细的分析，特别就如何应用“4步法”为基础编织模式，采用分组编织方法编织出各种异型截面预型件的技术进行了全面的介绍，所提出的“混合式样法”，其基本思想比分组编织方法有着显著的不同。综合各种文献资料，作出以下归纳：从二维正交结构出发，可依据三维空间的笛卡尔坐标方向，设计出具有3向正交特性的三维结构。如果用单元立方体来描述3向正交结构单元结构，假定图2-I3向正交结构图2-24向结构连续纤维束的轴线都呈直线，可以看出，该结构中连续纤维束的取向与立方体三个垂直平面的法向相一致(见图2-1)。如果连续纤维束的取向与立方体的4条对角线相一致，则可以得到称为4向的三维结构(见图2-2)。拓展开来，利用 三维矩形编织规律的研究立方体的几何特征参数(如面对角线和体对角线)以及各类参数的组合，还可得到称为5向、7向和13向等结构。若将单元立方体中排列的连续纤维束投影到单元立方体的某一平面上，则任意取向的连续纤维束都会在平面上得到一个点或一条直线。投影为点表示该连续纤维束与投影方向平行，而投影为直线表示连续纤维束与投影方向有一定的夹角。从编织的角度来看，单元立方体中连续纤维束在某一平面上的投影意味着一个编织循环后，编织纱起始点与终了点之间的连线。投影为点表示对应的编织纱经过一个编织循环后回到了原位置，而投影为直线表示对应的编织纱经过一个编织循环后，到达了新的位置，而所有的编织纱经过一个编织循环后都要沿投影方向移动了某一段距离。通过这样的转换，复杂且困难的连续纤维束空间取向和排列工作，可以由相对简单的编织纱端点的平面运动结合垂直于平面的移动来获取。归纳而言，具有某种连续纤维束取向和排列的三维预型件的制备工作，在将单元结构中连续纤维束的取向和排列抽象为单元立方体中一些直线的取向和排列之后，可以转化为编织纱端点在某一平面上运动与垂直于该平面的移动的组合来完成。这就是三维编织的原理所在。纵横移动编织作为一种三维编织方法，也遵循这一基本原理，是通过编织纱端点沿纵横交叉的轨道以一定的规律移动来实现三维编织的。“4步法”纵横编织过程如图2-3所示【221，图中每一个方格代表一个编织纱端点，方格外的箭头表示对应一组方格的移动方向，并按此方向每组方格每一次移动一个方格的距离。规定第一次移动为纵向，如图2—3(a)所示，奇数列向下移动～个方格的距离，偶数列向上移动一个方格的距离；第二次为横向，如图2—3(b)所示，奇数行向右移动一个方格的距离，偶数行向左移动一个方格的距离：第三次纵向移动与第一次方向相反；第四次横向移动与第二次方向相反，经过这4次移动意味着完成了一个编织循环。跟踪图2—3(a)中的黑色方格，可以看出经过一个编织循环后，其位置到达图1(a’)所示的位置。在平面上这两点之间的连线为一个正方形的面对角线。通过观察可知，其他方格的移动轨迹也为面对角线。如果结合编织纱在垂直方向的运动，对照图2-2可知通过上述编织过程所得到的三维结构为4向结构。此外还可看出，完成一个编织循环锭子在纵横方向只需移动4次， 三型壁望丝重型堡塑!塞一．。．编织循环等于4步。●(a)●▲(c1●●(a’)图2．3“4步法”编织过程若变动图2-3中纵向或横向每一次移动的距离，如移动的距离取两个方格或更多的方格，则可以得到结构更为复杂的三维编织预型件。Kostar等㈣301将多于“4步”的编织循环称为“多步法”。无论“4步法”还是“多步法”，从字面上讲都只是表达了完成一个编织循环所需的锭子移动次数，不足以表达该方法的基本特征。而将这种编织方法称为纵横步进编织法既能反映出方法的基本特征，也符合“TrackandColumnbraiding”的原意，因此本文将采用这一表达方式，并将该方法简称为纵横编织。2．2编织设各Floretine的发明∽1卯，构筑了三维编织机的编织盘的基本结构；Brown等㈣发明的编织轨道及编织锭子为编织的顺利实现提供了保障；邵俊f"1制作了一台25行×25列的雏形编织机，采用手动操作，可以编织出多种三维预型件样品；Spai"n等‘1纠发明了一种编织盘为半圆形的编织机，可以部分解决各编织锭子到编织口距离差异较大的问题。Du等口q和Byun[”1用简图对三维编织机的主要机构进行了描述，但没有对具体的机构和部件进行任何详细的介绍和分析：Milwich等【42】系统介绍了几种编织机的整体结构、编织盘结构以及编织锭子结构，并就这些结构之间的差异、特点和应用方向提出了一些见解。文中不仅采用简图方法描述装置的作用原理同时也提供了部分实物照片；丁辛【4剐介绍了回转角轮法三维编织技术，其编织的预型件单元结构与“4步法”相同；道德锟等”oJ综合介绍了当前主要的三维预型件制作技术，包括圆筒立体织物、三维正交立体织物、方形立体织物、T形立体织物、工字形立体织物和多层接结立体织物织造技术以及矩形三维和管状三维编织技术等；阁建华【211发明的大型三维编织机，编织导轨由多条载纱排上的T形槽组成。纵横交替驱动编织锭子和载纱排，可实 三维矩形编织规律的研究现编织锭子在编织平台上的移动，使编织锭子所引出的纱线在垂直于编织平台上方的编织点处交织，满足编织的要求；Freitas[221发明了一种编织锭子，采用一套回绕编织纱的弹簧系统，一套控制正常编织纱输出的离合系统和一套传动编织纱轴的齿轮系统来控制编织纱的输出。敖利民【46“7l综合讨论了各种形式的编织锭子的特点，分析了回绕法补偿装置的补偿原理，设计制作了一种具有储纱筒式补偿装置的编织锭子，为自动三维编织机的研制提供了基础。有关编织装置的研究综合如下：依据三维编织原理，可将三维编织机构的基本形式用图2—4来表示。从图2—4可看出，实现三维连续编织需要三个基本运动，即：(1)编织纱端点在编织盘上的移动，(2)编织成的编织物连续引离编织口的卷取运动，(3)将编织纱连续输入编织区域的喂入运动。由于实现编织物垂直向上的卷取运动并不困难，设计三维连续编织机的关键归结为解决两个问题：(1)实现编织锭子在编织盘上以一定的规律连续移动；(2)从编织锭子中按要求连续输出编织纱。图2-4三维编织机简图三维编织物成型板编织口编织纱段轴向纱编织锭子编织平台雷嚣圈圈嘲姻鞠瓣嘲麟誉鞠图2-5编织平台简图编磐5锭了图2-5为纵横编织机的编织平台简图。从图中可看出，实现编织锭子的纵横移动需要两套装置。一套为编织锭子的纵横移动提供轨道，构成编织盘；另一套驱动编织锭子的移动，称为驱动装置。编织盘上轨道的形式有多种类型。归纳起来可分为两种：一种为移动式轨道，另一种为固定式轨道。移动式轨道如图2-6所示。构成纵向轨道的固定导块装在以一定间隔排列的滑动导杆(1、2和3)t。当固定导块相互对齐时，就会形成与滑动导杆相垂直的纵向轨道。编织锭子就能沿着纵向轨道移动移动。而当滑动导杆沿横向相对滑动时，就会改变固定导 三维矩形编织规律的研究块之间的对位关系，使锭子沿横向移动。固定式轨道如图2-7所示。固定导块以纵横等距的方式排列在底板上，固定导块之间的间隔构成了编织锭子的移动轨道。图2-6移动式轨道3周定图2-7固定式轨道由于机构的限制，编织锭子纵横移动的驱动装置通常只能安装在编织盘的四周，通过推或拉或推拉结合的方式作用在最外侧的编织锭子上，使编织锭子在纵横轨道上移动。显然，编织锭子在编织过程中还要起到传递运动的作用。驱动装置不仅要提供编织锭子移动的动力，同时还控制着编织锭子每次移动的方向和距离。提供动力的方式有多种，可以采用凸轮、电磁力、液压和气动。各种方式各有优缺点，以气动方式应用较多。这些方式大都能很方便地实现自动控制。纵横编织的另～个关键的问题就是如何实现编织纱从编织锭子中连续输出。从三维编织机的基本结构图(图2～2)中可知，编织锭子到编织口的距离因所处的位置不同而有较大的差异，相应的编织纱段会产生长度上的差异。如果不对这种差异进行补偿，编织纱段的张力就无法稳定。因此，编织锭子要能够根据在编织过程中位置的变化，释放或收紧编织纱。考虑到这一因素，编织锭子应具储纱筒图2-8曲折法补偿原理．14．图2-9回绕法补偿原理 三维矩形编织规律的研究有的基本功能应当为：编织纱的储存、输出、张力控制和长度补偿。传统绳编中采用的是称为曲折的方法来实现长度补偿的，其原理如图2—8所示。编织中一般采用回绕法的补偿方式，此方式的原理如图2-9所示：编织纱输入端的张力为Fl，方向通过储纱筒的轴线；编织纱输出端的张力为F2：储纱筒上绕有圈数为n的编织纱并受到力矩M的作用。当F2随着编织纱段的变化而变化时，由于力矩M的作用，储纱筒上的绕纱圈数会随之发生变化，从而起到长度补偿的作用。2．3编织预型件的性能有关三维编织的另一个重要领域是预型件结构与性能的研究。邵俊¨7J对三维预型件中编织纱截面构型分析及计算、预型件单元结构的理论分析方面做了系列工作，建立了编织纱在三维结构中取向的理论模型和三维预型件单元几何构型的理论模型，并通过几何作图法，确定了理论上的最大编织纱体积分数：Poper等㈨191发现了几种三维预型件的复杂单元结构，并做了详细的分析。Li等矧对“4步法”编织预型件进行了系统研究，指出预型件的结构与编织纱、编织纱的排列、编织模式以及编织工艺条件有关。韩其睿等l矧建立了新的单元几何模型，并推导出有关参数之间的关系。Du等【26l提出了描述三维预型件单元结构的系列模型，也得到一些结论。Kostar等∞30]就“多步法”编织预型件的单元结构问题进行了理论探讨，得到了新的单元结构的设计参数和工艺参数。钟智丽【36l对常用的三维预型件的单元结构模型提出了一些修改意见，通过实际测试认为经修改后的模型更合理。Chen等酬和万振凯等㈣重点对编织预型件的表层结构和转角结构问题进行了详细的计算和分析，指出由于表层结构和转角结构与内部均匀结构之间存在较大的差异，在编织预型件整体尺寸不大的情况下，这种结构上的差异会对预型件的整体性能产生较大的影响，在设计和性能预测时要加以考虑。李泽宏等‘811和袁晓娟‘删研究了“4步法”编织预型件中编织纱线的空间结构，在对实验数据进行曲线拟合后，得到了编织纱的三维曲线图，验证了“4步法”编织下，编织锭子的分组规律。邹晓龙等1831对“4步法”编织预型件在准静态条件下的侵彻性能进行了实验研究。进行这方面研究的目的是希望通过模型的建立，找出预型件的特性与结构参数之间的关系，从而为预型件性能的预测和设计提供依据。由于本论文的重点是研究编织模式方面的问题，有关三维预型件结构与性能方面的问题在此不再作更详细的论述。 三维矩形编织规律的研究2，4综合讨论纵横编织是通过编织纱端点沿纵横交叉的轨道以一定的规律移动来实现三维编织的。这～工作原理下，无论锭子是纵向移动还是横向移动，无论移动的方向是什么、距离为多少，都～定是纵向整列和横向整行移动，这是实现纵横编织必须遵循的一条基本原则。由于机构的限制，编织锭子纵横移动的驱动装置通常只能安装在编织盘的四周，通过推或拉或推拉结合的方式作用在最外侧的编织锭子上，使编织锭子在纵横轨道上移动。显然，编织锭子在编织过程中还要起到传递运动的作用，这样才能保证编织锭子满足整行或整列移动的要求。纵横编织三维预型件的过程为：以一定的形式安放在编织盘上的编织锭子，在驱动装置的作用下，以一定的规律沿编织轨道进行纵横移动，在选定的区域内一些具有特定移动轨迹的编织锭子上装上编织纱，形成载纱锭子，从载纱锭子引导到编织口的编织纱段就会相互交织而形成一定单元结构和截面形状的三维预型件。也就是说，纵横编织是通过编织锭子的移动来实现编织纱端点的移动，因此纵横编织三维预型件的问题，可以转化为在编织盘上安放和排列编织锭子、确定编织锭子的移动轨迹以及选定载纱锭子等问题。编纲锭子的移动轨迹与编织模式直接相关，一定的编织模式下反映出来的是所有编织锭子的移动轨迹。为此，本文将重点分析和研究编织锭子的移动轨迹与编织模式之间的关系。为了方便起见，本文将纵横编织简称为编织，编织锭子简称为锭子。归纳而言，有关纵横编织研究已经取得了大量的成果，特别是对“4步法”编织模式、编织设备、编织工艺及其预型件结构与性能等方面的研究已经相当完善。同时也发现，由于对纵横编织的一些基础性问题，如编织锭子每次移动的距离可否为任意自然数?复杂编织模式下编织锭予的移动轨迹如何确定?预型件的单元结构和整体结构与编织锭子的移动轨迹之间的关系等都没有解决，这就限制了纵横编织预型件品种的开发和应用的范围的扩大，影响了复合材料性能可设计性特点的发挥。因此深入开展纵横编织的基础研究有着重要的意义。在本文的研究过程中，将应用群以及相关的数学概念和原理。人们在观察某种客观事物时，观察的对象一般总是隶属于某一确定的范围，所有观察的对象 三维矩形编织规律的研究都在该范围内，而在该范围之外的则都不是。数学上将某一范围内的对象的全体叫做一个集合，组成一个集合的每个对象I儿4做这个集合的元素f7⋯。设已知一集合F，如果对于集合F中按一定次序取出的任意两个(相同或不相同)元素，根据某一规律相结合，可使属于同一集合中的完全确定的第三个元素和它们的结合相对应，则称在集合F里面定义了一种代数运算，群就是一类特别的带一个代数运算的集合[67】，是最简单的代数体系。物体的形状往往具有这样或那样的“对称性”，描写这些对称性的数学方法称为群论。“群”的概念来自于二维正多边形和三维正多面体的转动和反射变换。数学上的“群”的概念出自于n个文字的一些变换所构成的置换群【631。随着群论研究的深入，发现在大多数问题中，重要的不是构成群的置换本身，而是一个集合在代数运算下的性质。群的概念是数学及其很多应用中的最基本的概念之一，已经在很多数学分支中起着重要的作用，同时在近代和现代物理和化学中得到广泛深入的应用【687”。韩其睿等口41曾将群论应用到三维编织预型件单元结构的系统表述之中，认为任何一个单元结构都可以由一些基本的结构元以一定的方式构造出来，结构元的数量是有限的且是可确定的，单元结构与单元结构的结合仍然是单元结构；在此条件下，所有的单元结构在以结合方法抽象的运算下成为一个群，分析研究出结构元以及构造单元结构的方法后，应用群理论可以得到所有的编织预型件的单元结构；采用CAD技术，可将所获得的单元结构应用于三维预型件的模拟显示之中。除此以外，尚未见到有关群论在三维编织研究中的报道。经初步分析发现，经过一定的抽象处理后，编织过程可以用数学中的置换过程进行表达，置换过程应用到的一些重要参数都可与编织模式相对应。进一步分析发现表达编织的所有置换在置换的乘法运算下可以构成一个群，且这个群是置换子群，而置换子群具有置换群的所有性质。置换群的元素是有限的、可数的，因此置换子群的元素也是有限的、可数的。既然是可数的，就可以采用数学中的枚举法，将置换予群中的所有元素列出，这就是说可以应用群论将所有的编织模式都找到。得到了所有的编织模式后，可以进一步得到相应编织条件下所有锭子的移动轨迹。依据锭子的移动轨迹，就可以选出所需的编织模式，就有可能编织出所需的预型件，从而为设计复合材料奠定基础。由于群论分析的是基本的普遍的规律，因此基于置换群的纵横编织模式研究的成果一定具有普适性。 三维矩形编织规律的研究第三章编织图与基本概念为了研究编织模式和锭子的移动轨迹之间的关系，首先需要对实际编织过程进行书面表达，目的是全面反映实现编织过程的基本要素，利于分析、讨论和迸一步数学抽象，并可以将分析讨论的结果转化到实际的编织中。经过分析文献资料，可以发现目前采用的书面表达方式都存在不尽合理之处，因此本章提出一种新的表达编织过程的方法。此外对于研究过程中将应用到一些基本概念，本章中将集中进行介绍和解释。3．1编织图3．1．1几种表达方式分析编织是制各三维预型件的有效方法，它是通过锭子沿编织盘上纵横交叉的编织轨道的移动来完成编织过程。由于锭子在编织盘上的移动轨迹将决定三维预型件的截面形状和单元结构，因此有关这方面的研究有着重要的意义。在研究和分析锭子在编织盘上的移动轨迹时，需要对编织盘的构成、锭子的排列、锭子在编织盘中的状态以及编织模式进行抽象描述，以利于研究工作的进行和对研究工作的理解。图2—3用方格加箭头的方式表示了“4步法”编织过程。Kostar等㈣也是用方格加箭头的方式表示了‘‘8步法’’编织过程(见图3-1)。Li等f23J采用卜—IlI[f}l1『fl一嚣；卷静三静嚣三尝step6step7图3一i“8步法”方格加箭头式描述方法FHI1Il【1l}IJ一-●b-● 维行形编织蛳悼的研究了规则排列的圆点求描述锭子在编织盘上的排列状态，并对圆点进行了编号，以利于跟踪锭予，分析移动轨迹，同时也用处于相应行(或列)位置的箭头来表示锭子的移动模式。实际上这样的描述方法与图3～1所示的方格箭头法是一样的，这些方法可以统称为方格箭头法。这些方法中，方格或圆点没有表示出编织盘的完整结构，箭头表达不出锭子移动的距离。Li等【23J还指出可以用1×l、1×2、2／1×2／1的方式表示各种编织模式，乘号前面的数字表示纵向各列锭子每次移动的距离，乘号后面的数字表示横向各行锭子每次移动的距离，称为数字法。这种方法没有表示出编织盘的结构，也没有表示出那组锭子移动以及移动方向。由于简单的几种编织模式下编织过程并不复杂，因此许多公开的文献资料中都参考沿用这两种表示方法。道德锟等【50】用实心圆点表示载纱锭子，用方格表示编织盘主要结构，用每一次移动后的载纱锭子位置图表示编织过程，但由于没有表示出其它锭子的位置，给编织过程的理解带来一定的困难。分析这些描述方法，可以发现它们存在以下不足之处：>图示法过于繁复。“4步法”最少需要4个图才能完整地表述其运动过程，“8步法”需要画8个图，如果。个编织循环所需的移动次数进一步增加，或者锭子数较大，则描述起来将是十分麻烦的。》数字法过于简单，没有把编织的基本要素完全表示出来，无法清楚表示复杂编织模式及编织过程。≯无论数字法还是图示法都不够完整。数字法只能表示锭子特定几种移动方式，无法表达出锭子的移动轨迹；图示法只表示了载有编织纱的锭子移动方式和轨迹，但没有将参与编织的所有锭子都表示出来，同时也没有将编织盘的结构加以表示。》几种方法都没有对编织模式进行充分表达。数字法中的数字表达的不是确定的意义，要依据锭子的行列位置和具体那一次移动来确定含义，显然这不利于进行深入的分析。图示法采用的是在对应行列画箭头的方式表示编织模式，即使在简单的编织过程中没有辅助的文字说明一般很难表达清楚锭子的移动状况，如果编织模式比较复杂表达和理解起来就有相当的难度。基于现有方法中存在的这些缺点，为了使得以后的研究工作能顺利进行，必须建立一种能适用于不同编织过程的、自＆够将实现编织的基本要素全部表达清 维矩形编织规律的研究楚的、准确的抽象编织过程的方法。3．1．2编织图与编织方格阵在机织物的组织分析中，分别采用了数字法、文字法和方格图法来表示纵物组织，而在表示上机织造过程中，采用的是称之为上机图的表示方法，在此基础上进行的分析研究既方便又容易理解。借用机织物组织图和上机图的描述思想，本文设计了称为编织图的方式，用以表达纵横编织过程。就是用一个方格阵表示编织盘，用标有符号或色泽的方格表示锭子在编织盘上的初始排列状态，在方格阵的左侧相应位置用数阵的形式表示锭子的横向所有行的移动模式，顶侧相应位置用数阵的形式表示纵向所有列的移动模式，并将此两个表示移动模式的数阵与方格阵一起称为纵横编织图，简称编织图。图3—2为图2—3所示的“4步法”的编织图。图中的每一个方格代表锭子在编织盘上可能占据的位置。灰色方格表示相应位置被锭子占据，空白方格表示没有占据。粗线区域内的方格构成的是主体阵，位于主体阵四周的方格组成边阵。可以看出边阵分为4个部分，分别是上边阵，下边阵，左边阵和右边阵。主体阵和边阵一起构成编织方格阵，简称方格阵。方格阵就是编织盘的抽象结果，它表达了编织轨道的结构和锭子的排列。在方格阵上方的数阵中，列出的是纵向对应的每列锭子的移动模式，称为纵向阵，记为z。从上到下，z的第1行，代表方格阵上对应的所有锭子列在纵向的第一次移动，总行数就是一个编织循环内纵向移动的总次数；在方格阵的左侧的数阵中，列出的是横向对应的每行锭子的移动模式，称为横向阵，记为H。从左侧开始，H的第l列，代表横向的第一次移动，总列数就是一个编织循环内横向移动的总次数。纵向阵和横向阵合称为步进阵，+l_11一l+lI+1—1—1+1，图3-2“4步法”编织图主体睹边阵一霉，：隰邕_隧一一 三维矩形编织规律的研究表达的就是编织模式。步进阵中的数字代表对应的每列(或行)锭子每次移动的距离，数字前面的正负号代表锭子移动的方向。由于锭子移动的距离一定以锭子间距为单位，在方格阵中以方格为单位，因此锭子的移动也称为步进。这里将步进阵中的每一个数字与其前面正负号一起称为步长。主体阵纵向和横向每组锭子，按照纵向阵每行和横向阵每列所有步长完成步进后，称为编织了l步，纵向移动与横向移动的总次数相应称为总步数。为了便于说明，图3—2中还在纵向阵的左侧和横向阵的上方写出了各步的序数，以后的编织图中不再作这样的表示。纵向移动的总步数与横向移动的总步数之和就是步进阵的总步数。“4步法”和“8步法”中的4步和8步就是指步进阵的总步数。图3—2中纵向阵的第i行第1列的步长“+1”，表示纵向第一步中，主体阵第1列锭子向下步进1个锭距；第1行第2列的步长“一l”，表示纵向第一步中，主体阵第2列锭子向上步进1个锭距；⋯⋯，第2行第1列的步长“～I”，表示纵向第二步中，主体阵第1列锭子向上步进1个锭距；第2行第2列的步长“+1”，表示纵向第二步中，主体阵第2列锭子向下步进1个锭距：⋯⋯。与纵向步进的表达类似，横向阵的第l列第l行的步长“+l”，表示横向第一步中，主体阵第1行锭子向右步进1个锭距；第1列第2行的步长“一1”，表示横向第一步中，主体阵第2行锭子向左步进1个锭距；⋯⋯，第2列第1行的步长“～l”，表示横向第二步中，主体阵第l行锭子向左步进1个锭距：第2列第2行的步长“+1”，表示横向第二步中，主体阵第2行锭子向右步进1个锭距；⋯⋯。可以看出，步进阵中的步长与锭子的移动次序、方向和距离有了直接的对应关系，因此步进阵是对编织模式的清晰表达，同时由于这种表达的数字化，为进一步的分析研究提供了基础。此外，图3-2不仅清晰表达了“4步法”的编织模式，而且编织盘的结构、锭子在编织盘上的位置都一目了然。图3-3是预型件截面为口字形的编织图，其基本结构与图3—2相似，但步进阵的总步数为8。纵向阵和横向阵中都出现了数字“0”，它表示该步该列(行)不动。为了编织出图中粗线标识出的口字形状，依据锭子的移动轨迹，一部分锭子要装上编织纱，成为载纱锭子，用深灰色的方格表示；剩下的锭子只参与移动，但不装上编织纱，成为空载锭子，用浅灰色的方格表示。当然也可以用其它的标识方法来区分不同作用的锭子。可以看出，浅灰色的方格都集中在粗线小方框内． 三维矩形编织规律的研究大小方框之间的载纱锭子形成口字形状。对照图3-2和3～3可知，两者正好表达了两种类型的编织，即矩形截面预型件与异形截面预型件编织。r十l—J+】一l+】一l+】一I}J一1+l一1、I+-：=1：=：4-：：-。1：1。010：：=：：：=：Jl一1+】一】+l0o0o～l+1一】+1J+】一l一1+1+1一l—l+10O0+I—I一】4-1+l一1—1+l图3～3口字形截面编织图总而言之，编织图中的方格阵不仅可以表示锭子在编织盘上的初始排列状态，而且可以表示不同作用的锭子的初始排列位置，并可以显示出预型件的截面形状。由于编织图表达出了实现编织的三个基本要素，即编织盘的结构，锭子在编织盘上的初始排列和编织模式，因此，只要能够得到某种三维预型件的编织图，就奠定了编织出这种预型件的基础。总结编织图的特点为：>方格阵中所有的方格全面准确地表达了编织盘的结构。≯用不同的色泽标识出不同作用的锭子时，方格阵清楚地表达了锭子在编织盘上的初始排列状态，同时还可以从载纱锭子的排列形状看出所编织的预型件的截面形状。》步进阵简单明了地表达了编织模式，步进阵中的数与锭子的纵横移动直接相对应，以数阵形式来表示编织模式，将大大方便进一步的分析和研究。3．2基本概念在编织图的建立过程中，已经提出了一些概念，如方格阵、主体阵、边阵、纵向阵和横向阵等等。在以后的分析研究过程中，还将遇到许多其它的概念。这里借助于已经建立的编织图，对几个概念和表示符号进行定义和说明。本文所应0O0o“o“OO0OO“o“o0 三维矩形编织规律的研究用的重要概念和表示符号参见附录l，有关的定义和说明详见相关章节。步长：锭子每次移动的锭距数与方向称为步跃，在步进阵中用数字加前面的正负号表示。纵向阵中的步长称为纵向步长，记为Z¨=横向阵中的步长称为横向步长，记为h。，。本文规定向下和向右为正，向上和向左为负。由于锭子每次移动的距离只能是锭距的整数倍，因此z。。和h，。应当是整数或0。步进循环：当纵向和横向步进模式到达重复时称为步进循环或编织循环，完成一个步进循环所需的步进次数称为步进循环数或编织循环数。在一些文献中常将步进循环称为机器循环或运动循环【2卜501。从编织图中可以看出，步进循环数就是纵向阵的行数与横向阵的列数的和。将纵向阵的行数称为纵向步进循环数；将横向阵的列数为横向步进循环数。如图3—2中，步进循环数为4，纵向步进循环数为2，横向步进循环数也为2；图3-3中，步进循环数为8，纵向步进循环数为4，横向步进循环数也为4。锭子循环：在主体阵中，当锭子的纵横移动模式达到重复时，称为一个锭子循环。构成一个锭子循环的锭子的列数称为纵向锭子循环数，构成一个锭子循环的锭子的行数称为横向锭子循环数，锭子循环记为纵向锭子循环数×横向锭子循环数。如图3—2中，纵向第3、4列锭子的移动模式与第l、2列相同，横向第3、4行锭子的移动轨迹与第1、2行相同，因此纵向锭子循环数为2，横向锭子循环数也为2，锭子循环为2×2。图3-3中，纵向】2列锭子和横向12行锭子的移动模式都不达到重复，因此其锭子循环为l2x12。从编织图中还可以看出，直接通过步进阵也可以得到锭子循环，即锭子循环也可为z阵的列达到循环时的列数×H阵的行达到循环时的行数。 三维矩形编织规律的研究第四章纵横编织的一般原则图3—2和3—3所示编织图是从实际编织过程得到的，因此方格阵的结构以及锭子在编织盘上的排列都是合理的、可行的。现在的问题是，是否任意结构的方格阵以及锭子在编织盘上的任意排列都是合理的?这个问题涉及的是实现纵横编织的一般原则，对于确定正确的研究对象有着积极的意义。从第二章节2．4可知，纵横编织工作原理下，锭子一定是纵向整列和横向整行步进，这是实现纵横编织必须遵循的一条基本原则，同时由于机构的限制，编织锭子在编织过程中还要起到传递运动的作用，这样才能保证编织锭子满足整行或整列步进的要求。上述的原则和要求对编织盘的结构以及锭子在编织盘上的排列等必然产生～定的限定性。因此，并不是任意结构的编织盘都是合理的、可行的，锭子在编织盘上的排列也不是随意的，即方格阵的结构和各种状态方格的分布也必然要符合一定的规则和要求。遵循这些原则和要求才能使建立在方格阵基础上的各种分析过程是可靠的、合理的，同时使分析研究的结论能够应用到实际的编织中。4．1方格阵的构成4．1．1合理的方格阵图4-1所示为填满锭子的方格阵。假定箭头所示的行要向右步进Jh“l的距离。依据编织原则的规定，处于同行中所有的锭子都要沿同方向步进相同的距离。显然，该行最右侧的锭子必然要移出方格阵，为了保证编织的实现，该行右侧必须要有{hi．1个方格用于存放移出的锭子；同样若该行向左步进lhi，I的距离，则该行左侧也必然要有Jhfi}个方格用于存放移出的锭子。类似的要求同样适应于其它的行以及所有的列。这就是说，图4-I所示的方格阵要实现纵横编织，在方格阵的上下左右还必须存在一定数量的方格，这些方格统称为边-／图4-1填满锭子的方格阵图4-2主体阵和边阵 三维矩形编织规律的研究阵。以图4．1所示的方格阵为主体阵，可以构成如图4-2所示的方格阵。由此可知合理的方格阵应当具有主体阵和位于四周的边阵。设图4-2箭头所示的行中的锭子向右步进1个方格，如果左边阵中没有锭子补充到主体阵该行左侧中来，则会在主体阵上出现如图4．2所示的空格，相当于编织盘上该位置没有被锭子占据，留下了一个轨道空档。由于没有锭子传递运动，下一步该空档所在列就无法实现纵向整列步进，所以在编织过程中必须有锭子不断地从边阵补充到主体阵中，以保证纵横编织过程的实现。考察图4．2主体阵的第1行，该行的左边阵比右边阵多了最左侧虚线所示的方格，若该行的左边阵中有锭子，由于该行的右边阵中只有两个方格，则虚线方格中的锭子无法进入主体阵参与编织；若虚线方格没有锭子，则该行无法实现锭子步进，因此第1行左右边阵的方格列数一定要相等，其它的行和列也一样。这就是说，合理的方格阵中，主体阵任意一行(列)两侧边阵中的方格数必须相等。至于行与行、列与列以及行与列之间边阵的方格数可以不相等。如图4-2所示的方格阵去掉虚线方格后，主体阵横向第1行、第4行两侧边阵均为2，而第2行、第3行两侧边阵的方格数均为1；纵向第1列、第4列两侧边阵均为2，而第2列、第3列边阵均为l。Kostar等∞571采用如图4．2所示的方格阵(去掉虚线方格)，编织出了三维预型件，说明不同行、不同列之间两侧边阵的方格数不要求必须相等。4．1．2应用分析4．1．2．1矩形截面预型件从晟初的“4步法”编织原理图，到大量资料报导时所采用的描述纵横编织过程的图及实际编织经验都可以发现，在进行矩形截面预型件的编织时所采用的编织盘结构，用方格阵表示，都是由ITI行和／1列(记为m×n，m和n可以相等或不等)组成主体阵，然后在其周围加上一定方格数的边阵。按一定的方式排列上锭子后，就可图4-3矩形截面方格阵以进行编织(如图4-3)。这一构成方格阵的规则适用于所有的矩形截面编织情形。只是依据截面尺寸的不同、编织模式的不同，主体阵和边阵的大小需要分别 三维矩形编织规律的研究进行设置。4．1．2．2异形截面预型件对于异形截面编织，首先可不考虑实际编织时的可行性，只讨论编织盘结构的合理性，则编织盘的结构可以是由与预型件截面形状相同的异形主体阵和周围的边阵组成。如图4．4为～种工字形截面理论上的编织盘结构图‘5们。可以发现各行列之间边阵的方格数差异较大，最大的边阵方格数达到3，而最小的为0，且边阵不再是简单地由上下左右组成，而是环绕异形主体阵构成的复杂的形状。但是，有一条基本原则是必须遵守的，即同一行(列)的两侧边阵的方格数必须相等。工字形截面编织时其主体阵在理论上就可以是与截面形状相同的工字形。对其它的异形截面如口字形(见图4-5)、L字形、T字形、吕字形、田字形、品字形等都可以依相同的方法得出其理论上的编织盘结构图。——广——]}Il麟溅潮鬻溺潮JI1lIl黼黼黼lI1瀚缫I鞘嚣黼谶璇戮黻麟l穗黼flJI翅潮嚣戮麓辎Il11躐瓣黼鞭溅渊IlLJ图4—4工字截面理论编织盘结构图图4-5口字截面理论编织盘结构图4．1．2．3实际的方格阵结构理论上的分析认为行与行、列与列或行与列之间边阵的方格数不要求必须相等，而且边阵的形状可以很复杂。但是在实际编织时，考虑到机构上实现锭子步进的难易程度和编织盘的品种适应性等因素，一般不会将方格阵边阵的方格数设计成行与行、列与列或行与列之间不相等，造成编织机的结构非常复杂，编织品种受到严格限制，而是采用所有列的边阵方格数相等和所有行的边阵方格数相等的方式设计编织盘。在进行异形截面的编织时也不会采用如图4-4和4-5所示的异形的主体阵，而是用可以包含异形截面的矩形主体阵来进行实际的异形截面 二维矩形编织枷律的研究预型件的编织。图416是与图4-4对应的实际方格阵，图4—7是与图4．5埘应的实际方格阵。显然，图4-6和图4—7所代表的编织盘结构比图4-4和图4．5所代表的结构要简单得多，而且从形式上看图4-6和图4．7是相似的，只是主体阵和边阵的大小依彳i同的需要进行了相应的设讣。可以认为，4i论是矩形截面还足异形截面预型件在进行实际编织时，都可以采用基本形式相同的方格阵，只须根据具体情形确定具体的主体阵和边阵的人小。图4-6对应于工字截面的实际方格阵图4—7对应于口字截面的实际方格阵由于同一行的左边阵与右边阵方格数相等，且实际主体阵各行的左(右)边阵方格数也都相等。为了简化起见，将左和右边阵统称为行边阵，行边阵的大小用石：(或右)边阵巾方格的列数表示，称为行边阵列数。同样，列边阵的大小用边阵中方格的行数表示，称为列边阵行数。方格阵实际结构确定后，接下来的任务是如何在上面安放锭子。归纳而占，实际可行的方格阵应当满足以下的原则：≯方格阵山}体阵和阴周的边阵组成≯主体阵各行的左与右边阵的方格数相等，各列的上与下边阵的方格数相等4．2锭子的排列规则编纵过程中，编织盘上的锭了‘定要采用整行和整列的方式步进，锭子在这种运动形式下具有传递运动的功能。显然，锭子的运动自由度就受到了限制。锭子须在。定的条件下才能步进，才能保证整行或攀列步进相同步长。反映到方格阵中，当排列锭子初始状态时，必须符合‘定的规则，才能保证锭子按照编织模式运动。因为方格阵是由主体阵和四周的边阵组成，所以在对排列规则问题进 维矩彤编织规律的研究行讨论时NJ’将其分解为在辛体阵中的排列和四周边阵中的排列两个问题。4．2．1锭子在主体阵中的排列规则考察图4．8所示主体阵，假如没有被锭子填满，第2列第3行化置存在一个窄格，则当第3行向右步进时，由于空格的存侄，位于空格右侧的锭子该次就iU‘能不能步进，违背了锭子应当整行或整列步进图4-8没填满锭子的主体阵相同步长的要求；如果是该行向左步进，则会导致空格左侧的锭了不能步进的问题；同理列向步进也会存在类似的问题。分析表明，无论空格存在于主体阵中的哪个位置，在整个编织过程中总会出现这种小符合整行整列步进要求的情况。所以在主体阵内不能有空格存在，必须以锭予填满主体阵。至于锭子上面是否载纱，■圈图4-9矩形截面编织时的主体阵图4—10L字形截面编织时的主体阵并不影响到锭了是否能够步进的问题。如图4-9丰体阵内全部为载纱锭子，而图4一lO主体阵巾深色方格为载纱锭子，浅色方格为空载锭子。4．2．2锭子在边阵中的排列规则考察图4一11主体阵第3行，若该行的锭子向右步进l格，当方格④上的锭子向右步进到达方格⑤时，方格③l二的锭子也将向右步进1格，若此时左边阵中方格②上没有锭了及时补充到方格③，则在主体阵中会留下了1个空格，卜．次该空格所在的列就难以实现纵向的整列步进。所以在该行的左边阵巾的方格②上应该有补充这种空位的锭子。糟该行的锭子向右≈离㈡室《F磷、i圆+簿》“爱+《溺‘l⑤⑥{曩，《l弧}”}图4-11锭予在边阵的初始排列 二维矩形编织规律的研究步进2格，则方格④上的锭子向右步进到达方格⑥，若此时左边阵中方格①上没有锭子及时补充到方格③，则在主体阵中也会留下了1个空格，下次该空格所在的列也难以实现纵向的整列步进。对于方格阵的列向也是同样的道理。为了编织的正常进行，边阵中一定要有一定数量的锭了。讨论合理的方格阵时已经得知，方格阵任意一行或一列两侧边阵的方格数必须相等。按照整行整列步进的原则，在一般情形下，对于任意行或列，理论』I要求边阵中安放的锭子的数量与边阵的行(或列)数相等。如图4—1l主体阵第3行的行边阵列数为2，因此在方格①和②上安放有锭子，而方格⑤和⑥没有安放。也可以在方格②和⑤上安放有锭子，而方格①和⑥是空格。若边阵中安放的锭子的数量大于边阵的行(或列)数，即图4—1l中方格⑤上有锭子，则方格①上的锭子始终也进入不了主体阵，不能参与实际编织，或者说该行不可能实现锭距为2的步迸，但此时也可以认为该行的边阵列数减少1，相当于对行边阵列数进行了调节。反之，若边阵中安放的锭子数小于边阵的行(或列)数，即若图4—1l中方格①上没有锭子，则有可能产生主体阵内出现空格的问题，这种情况是不允许出现的。此外，锭子在边阵中还必须是相邻排列，如果图411中方格②上的锭子安放到方格⑤上，则该行不可能实现整行步进的要求。至于行与行之间、列与列之间、行与列之问锭子在边阵中的初始排列位置，随着编织模式的不同而会有各种不同的排列方式。归纳而言，锭子在方格阵中的排列应当满足以下的原则：≯主体阵必须填满锭子》行边阵各行中安放的锭子的数量不能小于行边阵列数，列边阵各列中安放的锭子的数量不能小于列边阵行数≯锭子在边阵中必须是相邻排列4．2．3实例分析实例1：“4步法”中锭子的排列图4—3就是“4步法”矩形截面编织时方格阵上锭子的初始排列。可以发现，在整个初始方格阵中，主体阵中排满锭子；边阵中锭子呈交替分布。在边阵的行(列)数都为1的情况下，由于主体阵第1列上边阵中安放了一个锭子，而与其相对应的下边阵中就是一个空格，没有被锭子占据；与其相邻的第2列下边 维矩形编织规律的研究阵中安放了一个锭子，则相应的卜边阵中预留了～个空格，其余各行列均同理排列锭子，形成了图示的初始排列图。这只是简单的“4步法”矩形编织中锭子的初始排列图，但是反映了所有纵横编织巾锭子排列的基本思想。实例2：复杂截面编织时锭子的排列先不考虑实际编织时的可行性，只考虑编织盘结构的合理性，则在对异形截面预型件进行编织时，方格阵的结构就可以是由与预型件截面形状相同的异形主体阵和四周的边阵组成。对图4-4所示的工字梁理论上的方格阵结构图，按照上述的一些规则，在与预型件截面形状相同的异形主体阵内放上载纱锭子，并按照边阵中锭子的安放原则排列载纱锭子，这样可形成了如图4．12所示的锭子的理论排列图。图4—12锭子在理论方格阵中的排列图4-13锭子在实际方格阵的排列在实际进行异形截面预型件编织时，由于机构设计上的限制，一般需采用包含此异形截面的规则矩形方格阵，如图4-6为图4-4这种工字梁编织时所采用的实际方格阵结构图。这样一来，锭了的安放也必须在理论方格阵的基础上加以调整，形成实际上的锭子排列图。根据锭子必须填满主体阵的原则，在理论排列图的基础上，实际排列图中主体阵内，除了载纱锭子所占据的位置以外，全以空载锭子填满。观察图4—12中带×号标记的位置，这4个位置实际上并不是理论方格阵上所存在的锭子可以占据的方格，它们只是由于周围轨道的存在而形成的一个形态上类似于空格的空间。但在实际方格阵上这4个特殊空间也成为锭子可I与据的方格，因此需要让空载锭子占据，以保证编织的进行。此外图4一】3方格 维矩形编织规律的研究阵的行(列)边阵的列(行)数都为3，但并非所有行(列)的边阵列(行)数都需要达到3。如图4一13主体阵第l列的边阵在编织过程中步进的距离始终都只有一个方格，也就是说边阵行数只需要I，所以通过在该列的下边阵中除了安放一个载纱锭子外，还在上下边阵中各增加了两个空载锭子，这些锭子是始终都不进入主体阵的。其余行列也是同样的道理，这样最终可形成了如图4—13所示的实际方格阵上锭子的初始排列图。图4．14和图4—15也是依同样的排列规则而形成的其它截面预型件编织时的锭子初始排列图。图4—14锭子初始排列图(吕字形)图4—15锭子的初始排列图(品字形)最后需要指出的是，依据编织工作原理以及方格阵构成和锭子排列原则，锭子在方格阵中的步进方式还必须满足一定的原则，那就是在主体阵中，锭子可以纵向或横向步进，而在列边阵中锭子只能纵向步进，在行边阵中锭子只能横向步进。4．3本章小结通过对合理且可行方格阵的构成原则、锭子在方格阵中排列原则以及锭子在方格阵中的步进原则的讨论，为进一步的分析研究确立了基础。同时进一步的研究成果在转化为实际编织过程时，可以依据所确立的原则指导操作过程。此外还可看出，方格阵表达方式是一种清晰易懂的方法，对分析过程的进行和分析结论的理解都有很大的帮助。本章的结论汇总如下：l，方格阵由主体阵和四周的边阵组成2．主体阵各行的左与右边阵方格数相等，各列的上与下边阵方格数相等 =维矩形编织规律的研究3．主体阵必须填满锭子4．行边阵各行中安放的锭子的数量不能小于行边阵列数，列边阵各列中安放的锭子的数量不能小于列边阵行数5．在主体阵中，锭子可以纵向或横向步进，而在列边阵中锭子只能纵向步进，在行边阵中锭子只能横向步迸。6．异形截面预型件编织时，一般采用包含此异形截面的矩形方格阵，通过在方格阵中按需要安放各种形式的锭子构成初始方格阵。 三维矩形编织规律的研究第五章编织过程的置换分析第四章通过应用第三章引入的方格阵概念，对实现纵横编织的一些基本原则进行了分析，归纳出了一些重要的结论。这些结论对纵横编织设备的研制和编织实践有着一定的指导意义。但第三章和第四章的分析总的来讲仍然建立在直观的、经验的基础上，在编织模式比较简单的情况下，锭子运动与编织模式之间的一些关系如锭子在主体阵中的初始安放位置等能够直接得出，但对于一些比较复杂的编织模式，分析起来就相当困难，如编织异型截面三维预型件时，空载锭子的安放问题等。纵观编织过程的相关研究，可以发现目前采用的研究手段大多数都是建立在经验的基础上，以直观图的方式进行编织过程描述，因此得出的一些结论只能针对某一具体的编织过程，难以适应其它的编织过程。为解诀上述问题，本章拟从普遍的意义上建立各编织要素之间的关系，从理论上对编织过程中的本质问题进行论述。为了达到这一目的，本章将采用数学中集合和置换理论，建立步进阵与方格阵之间的数学模型，将编织过程转换为数学运算过程。在此基础上，应用有关的数学规律和定理，研究和归纳编织的内在规律。5．1基本数学概念为了便于理解，首先简单介绍应用到的集合与置换中的～些基本概念，详细的理论觅参考文献【6卜吲。1．在数学中，把某一范围内的对象全体叫做一个集合；组成一个集合的每个对象叫做这个集合的元素(或元)。用A表示一个集合，Ⅱ表示一个元素，如果Ⅱ是集合A的元素，记为：a∈A(5-1)2．表示一个集合A可以用列举A的所有元素的方法，也可以通过这个集合的元素所具有的属性来表达，如：A={口1l1i=l，2，⋯⋯，rrlj=1，2，⋯⋯，13．)(5-2)3．设A，B是两个集合，如果A的每个元素都属于B，则说A是B的子集，记为：A[B(5-3) 维矩形编织规律的研究4对于给定的集合A和B，如果存在一个法则毋，通过它，A中的每个元素口，都在B中确定准一元素a’，则法则函叫作A到B的～个映射，口’叫做a的象，记为：≯：A-->B或A山B(5-4)5．设西，gr都是A到B的映射，如果对于每个d∈A均有西∞)=矿【∞，则说映射西与映射扩相等，记为：西=矿(5-5)6．设咖：A—B，如果对于每个d，b∈A，口≠6，有咖(力≠庐(6)，则毋叫做单射；如果毋(A)=B，则毋叫做满射；如果既是单射又是满射，则西叫做双射或单满映射。7．集合A到A的映射毋叫做A的一个变换，相应有单变换，满变换和双变换。8．对于任意的d∈A，如果有：西：a—d(5-6)则此时变换曲叫做A的恒等变换，记为IA，常写为I。9．设毋，∥都是A的变换，如果有：咖∥=I且矿庐=I(5-7)则矿叫做西的逆变换，记为庐。=F10．设集合A中含有n个元素，A={ala2⋯⋯吼)。若对集合A的变换西一定是元素a。的一一变换，R口自身到自身的单满映射，则庐叫作对集合A的置换，也叫13．元置换，记为：≯：f口：口；⋯⋯口：1‘5渤Lala2’⋯a∥11．根据映射相等的规定，置换记号中的第1行可以不按顺序排列，只要把相应的元素的象写在下面即可，如：一=(：{：{：i口i：l】可写作一2l：i≥：{aa．,o：：2aj＼01az0J‘d5』＼n3“‘Ⅱ5口l“1，12．两个n元置换驴l和妒2的乘积定义为：西I驴2(f)=庐2(曲I(f))，乘积庐l庐2的作用定义为先作用西l后作用毋2，西l毋2也可写成≯1’驴2。 三维矩形编织规律的研究13．如果置换与自身相乘，则称为置换曲的幂，记为毋1，t为整数。t=+l时可以省略不写，并规定莎o=j。14．对于置换西，使函4=I的最小正整数^，称为置换西的阶。15．如果一个置换以下述的方式作用在一个集合上：dl一啦，口2一a3，∞一出’幽一日I则称这个置换为轮换。通常写成(4l口2a3a4)的形式。16．含有L个元素的轮换叫做长度为L的轮换或L一轮换，简称轮换。当L=2时，称为一个对换。17．两个轮换中如果没有共同的元素，则称这两个轮换不相交。上面这些概念的核心是集合、映射、变换和置换。广义理解，任何运动和变化都可以用集合上的映射表达。建立在集合与集合基础上的映射往往是多对多的关系，通常这种关系比较复杂。如果将问题限定在集合自身范围内，相当于建立一对多的关系，显然问题就会简化很多。而如果可以在集合自身范围内建立一对一的关系，则问题可达到进一步简化。如果进一步针对有限元素组成的集合建立一对一的关系，则从数学的角度讲建立的是置换，而有限元素组成的集合中建立的一对一的关系问题的解是存在的、有限的和可解的。此外，从形式上看，这种关系也比较明确并容易理解。也就是说，如果能够针对本文的研究对象——编织，抽象出一个有限集合，并在这个集合之上建立元素间的一对一的关系，即置换成立，就可以应用置换理论解决编织中的一些基本性的问题。5．2纵横编织的数学抽象与置换分析在第二章中的讨论指出锭子的移动轨迹是本文的研究重点所在，在第三章中建立了编织图表示法表达纵横编织过程，并指出编织图中的方格阵表达了编织盘的结构以及锭子的排列状态。由此，可以将研究的对象集中在方格阵上。依据所介绍的集合概念，将所研究的对象——方格阵抽象为一个集合，记为F，将方格阵中每一个方格抽象成为集合F中的元素。步进阵(zH)可以抽象为作用在F上的映射妒(zH)，方格阵按步进阵(zH)运动的结果成为映射妒(zH)作用在F上的结果。为了使集合F中的元素在毋(zH)下的像都保持在集合F中，即所有方格都在方格阵内交换，设定左边阵的左侧与右边阵右侧相接，形成封闭，也就是说，左边阵可视为右边阵向右边的延伸，或者说，右边阵可视为左 三维矩形编织规律的研究边阵向左边的延伸；同理，上边阵的顶部与下边阵底部相接，亦形成封闭。这样，西(ZH)成为作用在F上的变换。又由于方格阵中的方格数总是有限的，且方格在交换过程中既不会增加，也不会减少，因此变换毋(ZH)就成为作用在F上的置换，简记为(zH)。采取了上述的抽象之后，编织过程转化成为了对集合F的置换。通过应用置换的性质和定理，可以对编织过程进行深入的理论分析。下面通过实例，对上述抽象过程进行详细的讨论，同时通过置换运算，分析存在于编织过程中的一些基本特性。5．2．1“4步法”编织的置换分析实例1：主体阵m=n，mXn=2×2图5．1(a)为mxrl为2×2的“4步法”的编织图。依据集合的概念，将对应的方格阵抽象为集合F，方格阵中所有的方格成为集合F中的元素，如图5一l(b)所示。为了便于分析和理解，每个元素标记为磊，其中i是元素的行坐标，与主体阵对应的第1行为l，从上到下按升序排列；J是元素的列坐标，与主体阵对应的第l列为l，从左到右按升序排列。五，l如，2‰fl，1／i3^，3●旧正。1^2A,3五．】^，2(a)编织图(b)集合F图5．1“4步法”编织的抽象(m×n宅x2)“。步法”的编织模式为：z：(+：+-。1]H=C：：：]，设第1步为纵向移动。纵向阵第1行第1列的步长“+1”，对应于主体阵第1列的锭子全部向下移动一个锭位，在相应集合F中，这将导致：fo，l嘲，l35，1嘶，1正。1嘶，1石，1■而，1(5-9)纵向阵第l行第2列的步长“一1”，对应于主体阵第2列的锭子全部向上移动一个锭距，在相应集合F中，这将导致：^o■正，2正。吖，2^，2■而2如，2嘶，2(5-10) 三维矩形编织规律的研究而行边阵中的锭子在纵向步进时保特小动，即：五，o—顿"o正，o吆，。五3嘲，3五j_疋．3(5一lj)用置换Pt表示第1步纵向移动，有：即阮六f2，．。o；：』：幺幺多曩幺乒曩影lcs-㈣式(5—12)中，第3～6列元素对应的是式(5．9)所示变换；第7～10列元素对应的是式(5，10)所示变换，第l、2列和第11、12列是式(5—11)所示变换。按照置换理论，在置换中保持不变的元素可以不写出，即式(5—12)可写成：。一帆．，。厂：，，厂，，．厂。厂。^：厂。21(5．13)均一l^，，：。厂。凡。厂：，：厂。兀．，厂，．：j观察后发现，式(5．13)中的前4列元素和后4列元素各自成为一个轮换，且两个轮换中没有共同元素，是不相交的轮换，因此Pl可以表示为这两个不相交的轮换的乘积，即：P。：(／。fuf：．。厂。)(厂。厂：，：厂l，：，。)‘5’14’轮换中的元素也应当写成坐标升序的形式，则式(5—14)的后一个轮换要写成：(，。厂：．，^：，。，2)；(厂。f。f。：厂，．∥‘5舶’置换的逆在这里表现为反向交换，由此式(5—14)可写为：P。：(厂。f。，：。，，，．)(厂。^：厂。，。)。1‘5。16’将省略的幂指数“+1”补上，则式(5—16)成为：Pl=(厂¨^。厂：．。／。)“(厂¨^：厂：，：厂。]。‘5朋’可以看出，Pl为不相交的轮换的乘积形式‘63t701,每一个轮换就是对应集合F列元素的纵向步进，各轮换中(即括号中)的元素按照行坐标升序排列时，轮换的幂指数正好就是纵向阵Z中第～行对应的步长。同理，对应于横向阵第l列，即第2步，不相交的轮换的乘积形式表示的置换P2为：P2=(f。厂J，f。厂，，)“∽。f。六：六，；)-1(5。8’ 三维矩形编织规律的研究可以看出，P2中的每一个轮换对应行元素的横向步进，各轮换中的元素按照列坐标升序排列时，轮换的幂指数正好就是横向阵中第⋯列对应的步长。同样，第3步(纵向步进)和笫4步(横向步进)，分别表示为P3∽．．，．六．、六，rlk：厂．：／。厂。)“(5—19)P4∽。^．／。／。)。c厂：。六。厂。厂：，)．1(5—20)观察式(5一】7)、式(5-18)、式(5．19)和式(5．20)，可以看出：>“4步法”的每一步都可以用置换表达。对于每一步，都可以分解成每一列(或行)元素沿列(或行)向的交换，而这些交换都是相互独立的，因此可以单独写成轮换，并且这种轮换形式正好与锭子的整行整列移动要求相对应。≯置换表达中各轮换没有共同的元素，在数学上称为不相交。由此可见每一步可以写成不相交的轮换的乘积，每一个轮换正好对应于列(或行)元素的纵向(或横向)步进。》各轮换中的元素按行(或列)坐标的升序排列时，各轮换可写成幂的形式。为了清晰起见，在轮换表达中将“+1”这个可以省略的幂指数也写出来。可以发现，各轮换的幂指数正好就是对应的纵向阵(或横向阵)中相应位鹭的步长。这一方面说明将编织模式进行的数字化处理所具有的合理性，同时也为进一步的研究起着积极的作用。≯每一步的置换表达与步序并没有关系，也就是说，只要步进阵已知，就可以直接写出各步的置换表达。≯F中所有的元素都在置换过程中得到了充分的表达，因此图5-1(a)的方格阵中任何一个方格的每一次的步迸都可以清晰表达，这意味着相对应的锭子的移动在一定的编织模式下都是完全确定的，通过大量编织实践得出的关于锭子前驱位置和后续位鼍的确定性的结论02”，在这里明确地得到表述和证实。“4步法”由4步构成一个步进循环，完成一个步进循环意味着要将代表每一步的置换按照编织顺序相乘。若用b表示一个步进循环后的置换结果，并规定第1步总是纵向步进，则b是式(5-17)、式(5—18)、式(5-19)和式(5-20)的乘积，即有： 三维矩形编织规律的研究b2P1’P2。P3。t"42[∽．厂。厂：．厂。)“∽：^：厂。，。一【护。，。，。厂，)“(厂：。厂：，厂：：厂：，)。1][帆^．f。．厂。)’1儿^：f：：厂。)“】【(厂。六，，厂。工，，)。驴：，。厂：，／：：／。yI】(5-21)为了清楚表达运算过程，将第1步恢复到式(5—12)的形式，即：b=f^。f：，。厂。厂。厂：．。，。厂。，：，：^：，。^，厂：．，1l厂。厂：，。厂。，：．，。，。，：，：^：厂。厂。厂。，：，J[帆厂。厂。^，rh，。厂，：厂：，)。1】[∽。，．。‘。六、。y’∽。，：六，。六，：)“】[∽，。，【。一．：一，，)～(f2．。厂2．f2：厂2．，y1】=∽。f：，f。f。f：。厂。厂。厂：：，。厂。f。厂：．^∽，厂：．，^：厂：，。厂。，。厂。一，厂。，。^。厂。j[h／。厂：。厂。)-‘h，。厂：．。厂。)“】[h^，，。，。r杪：．。，：．．厂：，：厂。y1】文{．、{1。{。}t|}。f。{3：il：j。}。{。l2、I厂。厂：．。厂：，，，：．．，：，：厂3．厂。^：，。。厂o，：厂。厂。j。(／。，：．，厂。^。)(^。／。厂：，：^：)(厂。)(厂。)(厂：．。)(^，)‘5。22’从式(5-22)中可以看出：>b中有4个元素即石1I、知，2、^o和■，3为恒等元素，即这4个元素经过一个步进循环后保持不变，这些元素可以在轮换表示中省略。但对于图5-1(a)所示的编织图而言这些元素却非常重要，因此式(5-22)中将这些元素列出。依据第四章节4．2．2所归纳的边阵中锭子安放原则，对照图5-1(a)中的方格阵，可以看出，这些元素对应的是边阵中的空格。这说明通过置换方法可以计算出边阵中空格的位置。 三维矩形编织规律的研究≯b中有两个不相交的轮换，轮换的长度都是4，这意味着，图5．1(a)所示的“4步法”编织中，所有的锭子可以分成两个组，每组有4枚锭子，分别以两种移动轨迹运动。置换的轮换表达中，不相交的轮换的长度的公倍数等于置换的阶16”。b中两个轮换都有4个元素，两个轮换的长度都等于4，因此b的阶也为4。这也意味着，图5-1(a)所示的编织，经过4个步进循环后，所有的锭子都回到初始的位置。这些结果与“等【23】、韩其睿1273以及道德锟等150l的公式计算结果完全～致。》b中，参与轮换的元素共有8个，这些元素都是确定的，这意味着实现图5．1(a)所示的编织，需要8枚锭子，这些锭子安放的位置也是确定的。》从b中还可以清楚看出每次步进循环后，锭子之间所发生的位置变化关系，并可知位置的变化关系都是确定的，从而为追踪锭子的移动轨迹提供了基础。Li等【231、韩其睿口71以及道德锟等‘501的计算公式中没有包含这些内容，因此对实际编织的指导意义有限。实例2：主体阵m≠n，mXn=4×5图5-1(a)中只有一个锭子循环，相应的置换表达也比较简单。图5．2(a)也是“4步法”的编织图，但其主体阵的纵向列数和横向行数分别为奇数5和偶数4，此时主体阵的纵向列数不是锭子循环的整数倍，而横向行数是锭子循环的整数倍。应用置换理论分析如下：+1—1～1+1“-1—1+1F+I—i+1一I+1]L-l+1—1+1～lj矗、1矗工矗．3矗一而。5．／i．0正，1^。2^．3矗冉^．5一』正．0丘l正．2正．3正J正j正，6^of3，1正上f3．3石-f3，5五，6f4，0／"4，1五。五．3五．4五。5^，6^．1石．2f5．3^o矗，s(a)编织图(b)集合F图5．2“4步法”编织的抽象(m×n=4×5) 三维矩形编织划律的研究将编织模式单独驰有：z-[：+-江1臻lH2㈥-1l-1+】一1+l—ll1．，，1L-·+d与实例1相似，每次步进的置换表达为：P-2∽，．，，。六，^，六．。六．．r∽：厂．：六：六：工：六．：rb。，fi，≠t3f。f。f31b。f．；f。f1、f。、f了‘s氆1Ⅵq，{j、{。{1。{。{jP22眈兀凡工，六。丘，一6)_1k。六。六：厶L兀，六，(5—24)飞。、{。{3。{。{。{。{：l＼l。{。f。{。{．{。。{3P32k，厂1．，厂2．厂3，，厂．。^．f’∽．：厂l：厂2．：六，：厂4：六．。}1垮■‘■，．tn厂--_^『l㈣：，，U。。fl，九f3，f。，fjt⋯一P45k。六．工：工，六。厂L，对1k。六。六：L六．L，六6)|1Ⅵ。{。{。j。{3、{。{N。j。{。{。{。。{。{3。s嘲同样也用b表示一个步进循环后的置换结果，也有：b=Pi·Pz·P3·P4(5-27)由于元素数量较多，这里不列出每步的运算过程，只以元素^l为例，说明而，1—上L÷^．1—尘L斯。—上b正。2—上w，3(5—28)对于F中其它的元素，都可以采用相同的方法进行运算，最终可得：b2U。。f1，f4，f。。f。f一：f一3f。、f。；f。f。。f。。，。厂。厂。六，：，：，．凡六，，厂。，。f。f：一fo，^．，六．，六．。六．：厂1．。执．：比。抄。耽．，执．，执，。抗．。护，。阮．。)c，渤)从式(5．29)可以看出，b中只有一个轮换，其中有29个元素。对照图5．2(a)的编织图可知，在mXn为4×5的情况下，实现“4步法”编织需要29枚锭子，所有的锭子组成1个组，以1种移动轨迹运动，经过29个步进循环后所有的锭子才回到初始的位置。图5—2(a)中9个空格的位置也在b中有了明确的 三维矩形编织规律的研究表达。从这里也可知，相同的编织模式下，由f主体阵行列数不同，锭子分组数与锭子轨迹等会有比较大的差异。袁稚娟‘821就“4步法”编织模式下，不同主体阵行列数时锭子分组数问题进行了实验编织分析，实验编织结果与本文的计算结果完全一致。由于嚣换一定是自身到自身的单满映射，表示一个步进循环的置换结果最终总是可以表达成不相交的轮换的积的形式，而且表达方法(除轮换的次序外)是唯一的m6”，因此通过置换理论对“4步法’’编织模式的推演，完全可以应用到其它的编织模式。特别是应用置换方法可以计算出边阵中空格位置，解决了方格阵的初始状态的确定问题，从而为实现编织提供了依据。5．2。2“8步法”编织的置换分析：参照Kostar[29一oJ中介绍的“8步法”编织方法，构筑一个编织模式，在设计的编织盘上，计算出方格阵的初始状态，然后画出方格阵，以此为例，说明置换理论可以应用到“多步法”编织模式，并得到一些通过直接的经验观测难以得到的有关锭子移动轨迹方面的结论。实例3：构筑的“8步法”编织模式为，，．1，，．?fJ．3}¨矗1知?2如j3五一九lk0{tjl^．2五，3^，一f15九6正．1^o正+1-，j．2正，3正．4正5正．6^．．，石，0石．f石．I石．j五．J石．5正．6戈l^口f4,，}l?2^?^4知5凡j6fJ,，强l厶j石，Jf6,』f6,2^．j兀，(a)集合F(b)“8步法”方格阵图5—3“8步法”编织的抽象 三维矩形编织规律的研究U。{n3一⋯l。{0V。{，。⋯⋯}。j0／、2，、十2P4=∽。九⋯·-六．，厂L6)“∽一．厶。⋯一^，^6)_】心。．f。⋯⋯{。{3沁4。{A，⋯⋯{。{jPs=(厂-。，。⋯⋯氕^J“∽，。厂。：⋯厂。／J沁。{。⋯．{s。{蔷沁。{。、⋯⋯{s。{葛Pe=∽，．^。⋯⋯厂1．，硝‘∽一。^。⋯⋯厶，^6)+1沁。f3。⋯．f。sD-"ts,j．f。⋯·f。fjLP，=∽。氕⋯厂。，。；厂∽。，。：-，．，。：，。厂U。f。⋯f。f6再Ijf。。f。。⋯fs。fSPs=(^．⋯f。⋯．，。厂】．以厂。厶～，：．，厂：．6]十IU。f。⋯．，。f3j。◇47lf4。⋯·f。f。≥I同样，用置换b表示一个步进循环后的结果，有：b=P1·P2⋯⋯‘·P7·P8⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(讨挥省略)(5—32)(5—33)(5．34)(5．35)(5．36)(5—37) 维矩形编织规律的研究。(，。，厂。，。)(^：厂，，。^顶厂。广，厂。)(，：．，厂：，。，。。)I、，，jf27l，。f2f67疆jf。3，5j4，。fl。，。?3(厂。，。厂。，。，。厂：．。厂。)(^。^。^。厂。。厂。)∽](厂。．](厂。：)(厂。)[厂，，，](厂。)(，。．。)(^。)(厂。M。)(，。](，。](厂：，。．](厂：，。)(^，。)(厂。)从式(5-38)中可以看出：(5．38)》b中有8个不相交的轮换，而其中4个轮换的长度为3，4个轮换的长度为5，因此b的阶为15。这说明按照所示的“8步法”编织模式，编织锭子可以分成8组，其中4组有3枚锭子，4组有5枚锭子；需要15个步进循环才能使所有的锭子回到初始位置。》b中共有16个元素保持不动，而这16个元素都在边阵内，依据第四章节4．2．2所归纳的边阵中锭子安放原则可知，这些都是空格位置。据此，可以画出所应用的“8步法”编织模式相应的初始方格阵，参见图5．3(b)。通过置换方法可以计算出复杂编织模式下边阵中空格的位置，这对于复杂编织模式的实现有着重要的意义。编织模式确定后，编织锭子的分组、每组中有多少锭子和需要多少个步进循环才能使所有的编织锭子回到初始位置等参数，是编织中的非常重要的问题。Li等【231、韩其睿【271以及道德锟等【50】给出的只是“4步法”编织模式下这些参数的经验计算公式，Kostar[291应用计算机模拟方法，搜寻出“8步法”编织模式下的相关参数，但并没有得出规律性的结论。本章的分析研究表明，应用置换方法后，这些参数不仅都可以直接计算出来，而且各组锭子的具体位置都可以加以确定。这说明置换充分表达了编织模式和锭子移动之间的关系，是一种分析研究编织过程的好方法。为验证本节计算结果的正确性，在本文第七章的编织实践中，在编织上述“8步法”编织模式的预型件时，应用示踪纱线法，得到了各组编织纱的纱线根数和所有锭子回到初始位置所需的步进循环数(附录5照片E一6)，编织结果与计算结果完全一致，证明了置换分析的正确性。上面是以矩形截面预型件的编织为基础进行的分析，对于编织模式更为复杂的异形截面预型件编织过程，也可以应用相同的方法进行分析。 三维矩形编织规律的研究5．2．3异形截面预型件的置换分析实例4：图5-4所示为第三章中国3—3所示的预型件截面为口字形的方格阵抽象成的集合。实践表明运用这样的方格阵，结合所给出的编织模式，可以编织出截面为口字形的三维预型件。通过经验分析，确定边阵中载纱锭子的安放位置并不十分困难，但如何确定图3—3中小粗线方框中的载纱锭子和空载锭子的位置，却不是一件容易的事。以往的做法要经过反复的推敲并进行必要的预编织，才可以确定这些锭子的位置，并且所获得的经验方法往往在编织模式变化后就不适应了，这当然限制了编织品种的变化和实际编织的进行。所以学者们一直希望有一种通行的方法能够解决这一类问题。届．1^2西．3”肌黪／06五．7，／o8蕊≯五lo西m‰2i、．：●—_陌^，I黔。强。。jj。辫锈≯∞if盖。12六}j点Z罄n^6{、I^F；”二．，^霉t—，；·≯⋯；“‘。‘卜矗1慧，：。，囊攀一f^篱《。西。ni壕，12点"，．?赛雾渗；誊，藏。}氛l矗，《曩毒彰。。{强矗{hi悸瓤’簿；：粪i鳞j藜。。露．．两岛|i鬻i蒸j1螽H÷：氖2，、l、H+一．“√^』^n勇，i一瓣羹豢囊+粼。纂泓≯：是12-厦馘；瓣i簿漉撑}，p}“氨】2．茄．13％．：”。二I一嚣f‘。it7矗，0海，l?辩≮鎏藜，嚣^．5菰≯^．7¨’繁i+西茧j河譬32尤11；一≯t__‘．隽；睫i辫⋯誊j～■店，IJ商j蕊。i黉鹾鬻；五，6五．7^．8；瀵黪I镳囊、篱m2『一五．13“}¨『?“}办舟讲，l。。?：鬻鎏鬻+鬻^，5^．6^．7西纛鬻誊辫!鞭；寿砖^】、{}～^o巍：．箍i鬻蒸：^’6正，7^’8鏊粪鬻：淼≤：舞。12石13≯p一。奠。t1E。J鏊辫一；麓蕊J2五1、．焉，0^l+蒌豢橥粪獭i鎏藕2磐焉I撼∥{^址nAo，I簿z—t糍÷攥；蓊簿r囊警撕o7“五。茹，、扎⋯’囊；黉j》m点o、13；黧：一’，}，Ji强委鳃l鬻t东舰1j≮≤蠹囊l。12，¨1≈五1，0五1，1t誉嚣舔i攀j’颤唾fil,7，，．^119：趣《*≥^^谚}E^一^¨1{℃2．1{文攀拶i糍辫：强2$点27五孵4离i、舞赫蕊羲■2．12^213；t¨ru．：。I^31点3工-，i3，3臻浮／i35并耶^17五j8。“^39再≈1∥^3ll五3．12图5-4由图3—5所示方格阵抽象成的集合F第二章节2,4中曾指出纵横编织三维预型件的过程为：以一定的形式安放在编织盘上的编织锭子，在驱动装置的作用下，以一定的规律沿编织轨道进行纵横移动，在选定的区域内～些具有特定移动轨迹的锭子上装上编织纱，形成载纱锭 维矩形编纵规律的研究子，从载纱锭子引导到编织口的编织纱段就会相互交织而形成一定单元结构和截面形状的三维预型件。从本章前面几节的分析中可以得知，应用霞换可以直接算出所有方格的置换规律，相当于得到了所有锭子的移动轨迹。在确定边阵中空格的位置时，已经发现空格与表达一个步进循环的置换b中某些保持不变的元素相对应。这就给出启迪，即只要得到那些位于小粗线方框中的元素的置换规律，就可以依据第四章节4．2．1所归纳的锭子在主体阵中的排列原则，确定出空载锭子的位置。为此，本节继续应用置换进行相应的运算，以期通过对比分析，找出解决此类问题的方法。相对于本章前几节的分析时使用的集合而言，图5_4所示的集合中的元素要多得多，因此分析过程将显得复杂一些。首先列出所用的步进阵：由于Z阵的行数和H阵的列数都为4，因此该步进阵的步进循环数为8，可以说也是一种“8步法”，只不过主体阵m×n为12×12，编织模式比节5，2．2中的实例3要复杂。同前几节的方法一样，先写出每一步的置换表达。从节5．1的基本概念可知，置换的幂指数等于0时，置换为恒等置换，通常在置换乘积中省略不写，但由于这些置换中可能含有与空载锭子对应的元素，因此仍在每一步的轮换表达中列出。全部8步的置换见附录2，这里只列出第l步(纵向步进)的置换如下：0O0Oo“o“O0O0OO“o“oO0一¨■“00Oo“o““o“o0o0O“o“o一+一+一+一十一+～+～o“0O“oO00“0O¨■0Oo“o““o“■一十一十+一+一 三维矩形编织规律的研究P1此时表达步进循环的置换b为b=P1·P2⋯⋯-·P7·P8(5-40)从式(5—40)可以看出：≯b表达为10个不相交的轮换的乘积，其中长度为26的有3个，长度为14的有4个，长度为12的有1个，长度为6的有2个，由此可算出b的阶为1092(13×7×6x2)。选定所有10个轮换中的元素作为载纱锭子，以深灰凡丘凡凡允凡厶允丘丘氏几厶凡无凡厶厶厶凡厶丘矗丘ju¨Hu*pu”邶Ⅲ呲，，Z工，Z工工，，Z，厶丘丘凡凡丸厶丘厶氏‰丘厶^厶厶厶厶厶厶厶丘厶丘兀凡厶兀丘凡兀凡厶凡凡丘^厶厶凡厶厶厶厶厶厶厶厶兀兀兀L兀无‘L厶丘矗丘‘厶厶L厶厶厶厶厶丘矗厶L丘厶凡凡九厶^厶凡矗丘厶厶厶厶兀厶厶L厶厶厶厶厶厶厶厶L厶厶厶厶厶厶丘兀凡无兀兀兀兀兀厶凡矗丘^厶厶凡凡兀矗凡厶丘丘丘兀厶厶，厶凡^凡，允似M厶¨厶¨^丘^^¨^^凡砌胍厶凡厶L_厶^√o^√丘玩堪厶_丘厶几兀^o√厶√凡嘛螂矗轧厶厶允丘厶_o厶以。肌蚴凡气允凡厶丘厶_√厶√厶M虮L厶凡L厶L兀^_L_“w触厶名凡凡厶凡L允丘凡凡_ww凡刖凡m厶kL氏^凡厶^伽似nwt“tⅢ-o丘凡t^伽似从川从～从^从“从从从从一一 二维矩形编织规律的研究色表示如图5-4所示集合F上，可以看出已经构成了口字形截面。对应的锭子分组数，各组锭子枚数，锭子全部回到初始位置所需的编织循环数以及各组锭子的具体位置都得到了确定。》与节5．2．1和节5．2．2的分析相似，在方格阵的边阵，也可以得到在初始状态不安放锭子的空方格的位置，这些位置是元素^3，1、正3，3、■3，5、』3，，、^3，9、^3，II、丙，2、^"4、fo，6、矗，8、fo，10、fo，12、■，13、正，13、^，13、^，13、西．13、^1，13、A，0、．五，0、石、0、^，0、正o，0和^2，o所对应的位置。>对于办，5、西，5、石，6、石"6、五，6、石，7、石，7、^，7、石，8和五，s10个元素，它们在置换b中也保持不动，依据节3．2．1选定这些元素作为空载锭子，并在图5．4中将这些元素的符号加粗并放大、元素所在的方格涂上浅灰色。很明显，这里采用置换运算方法解决了图3．3小粗线方框中的载纱锭子和空载锭子的位置确定问题，相比经验方法有了质的飞跃。在图54所示集合上，将三种不同特性的元素用不同深浅的灰色以及白色进行标识，得到的结果与图3．3完全一致。为验证计算的正确性，本文在第八章的编织实践的实例5中，对式(5-40)中2个6一轮换，即坼2，l^2，2Jio，4西^西，3石l，1)和坼。9A,9五，10正。12^，12^1【I)应用示踪纱线法进行了追踪。在图5_4上用加粗元素符号的方法标识出这2个6一轮换后可看出，2个轮换的位置分别位于图5-4的左下角和右上角，这一规律通过经验直接观测是难以得到的。在编织出的预型件上(见附录5照片E．5)，可以清楚看出相应编织纱组的纱线根数以及所处的区域，编织结果与计算结果完全一致。由此可知，采用置换表达后，编织过程转换成为集合中元素的置换过程。只要编织模式即步进阵得到确定，集合F中所有元素的置换和相互关系都能得到确定，即从理论的角度得到了一定编织模式下，编织盘上所有锭子的初始位置以及移动轨迹，依据移动轨迹进一步可确定锭子的类型。编织盘上锭子的类型和初始位置在以前的文献资料中都是通过经验摸索并通过实际编织才能确定，这里通过置换运算就可以直接得到这些锭子的位置所在，同时锭子的移动轨迹、分组数、组内锭子枚数以及各组锭子的具体位置等特性也可直接从数学表达式中得出，因此在纵横编织过程中引入置换理论有着重要的实用价值。5．3本章小结 三维矩形编织规律的研究总结本章的分析内容，可以认为置换是一种能够充分表达纵横编织过程的方法。在编织模式已知的条件下，通过应用置换中一些定理和特性，直接可以得到具有普适意义的有关编织锭子初始排列以及移动轨迹等特性。而对于通过编织实践摸索出的一些经验，可以应用置换理论加以证明或说明，特别是通过置换可以运算出复杂编织模式下各种类型锭子的初始位置以及某些锭子的特殊移动规律，这对于复杂编织模式的实现以及相应预型件的性能分析和应用都有着积极的意义。归纳起来本章有以下的结论：1．将方格阵抽象为集合后，在设定左边阵的左侧与右边阵右侧相接，形成封闭；上边阵的顶部与下边阵的底部相接，亦形成封闭的条件下，编织模式成为作用在集合之上的置换2．用置换可以准确表达纵横编织的每一步，表达式与步序无关，将表达纵横编织的每一步的置换写成轮换幂形式时，幂指数就是纵向阵(或横向阵)相应位置的步长。3．完成一个步进循环就是将代表每一步的置换按照顺序相乘，结果也可表达为一个置换。4．当表示一个步进循环的置换表达为不相交的轮换的乘积时，可以从表达式中得出纵横编织的一些特性，如：》不相交的轮换的个数就是锭子的分组数。≯轮换的长度就是各组中锭子的枚数。》轮换中元素的位置就是各组中锭子的位置≯各轮换长度的公倍数，即置换的阶就是编织锭子全部回到初始位置所需的步进循环数。》由于任一置换都一定可以表达为不相交的轮换的乘积，且表达是唯一的，因此上述结论总是成立的5．边阵中空格的位置与位于边阵的某些保持不变的元素相对应6．一些位于主体阵中具有特殊置换规律元素，与异形截面编织时空载锭子的位置相对应，即采用置换方法可以计算出异形截面编织时方格阵的初始状态。 维矩形编织规律的研究第六章编织模式的置换群分析第五章通过置换理论的应用，建立了编织模式与锭子移动规律之间的关系。如果编织模式己知，就能够通过置换运算分析编织过程，讨论锭子的分组状况和移动轨迹等特性，为进～步编织出预型件并研究预型件的性能奠定基础。但面向性能设计三维预型件时往往要求的是依据锭子的移动轨迹，获得所对应的编织模式。但从目前公开的资料中，尚无法找到一种有效的获取编织模式的方法。对第五章应用的置换运算过程直接求逆，虽然是一种好思路，却很难得到具体的运算方法。因此需要采用新的思路以解决问题，获取编织模式成为进一步研究的关键所在。依据置换理论，含有n个有限元素的集合A，其可能的置换有n!种．是有限的。编织过程中，一定大小的编织盘上锭子可能占据的位置数是有限的，因此所能够编织的三维结构也是有限的。而且，由于编织方法的限制，表达编织过程的置换的总数不可能达到n!种。从第五章建立的编织模式与锭子移动之间的置换关系中可以看出，在元素～定时置换的总数取决于行列元素置换时的幂指数的取值，而编织模式可以看作为一定形式的幂指数汇聚。如果能够将实现编织的基本要求转化为选取幂指数的约束条件，得到约束条件下所有的置换，就可以知道一定大小的编织盘上有多少种锭子移动轨迹。将这些移动轨迹汇集成一定形式的图谱，需要时可以从中选择所需的轨迹，得到对应的幂指数即编织模式。也就是说本文试图通过这种枚举法思路来实现设计所需的编织模式的目标。为此本章将应用群论和组合数学来探讨编织模式的基本特性以及构造方法。6．1群的定义和性质设已知一集合G。如果对于集合G中按一定次序取出的任意两个(相同或不相同)元素，根据某～规律相结合，可使属于同一集合中的完全确定的第三个元素和它们的结合相对应，则称在集合G里面定义了一种代数运算‘701。群就是一类特别的带一个代数运算的集合。6．1．1群的定义由无限或有限个元素e，a，b，c，⋯组成的集合G，若满足下面四个 三维矩形编纸规律的研究条件l，具有封闭性G中任意两个元素的乘积或任意一个元素的平方，仍然是G中的一个元素。即：若a∈G、b∈G，则ab∈G，aa—a2∈G，bb=b2∈G(6．1)2．G中元素的乘法满足结合率目口若a∈G、b∈G、c∈G有a(bC)=(ab)C∈G(6-2)此外，任意个元素相乘，结合率也必须成立。3．G中必须有单位元素e存在单位元素与集合中其它元素相乘，无论左乘还是右乘，都等于各元素本身。即：若a∈G则ea=ae=a(6-3)单位元素又可称为恒等元素。4，G中每个元素都必须有自己的逆元素即若a∈G必有a’1a=aa一1=e则G形成一个群，表示为：G={e，a，b，c，⋯}当群G只含有有限个元素，则称G为有限群G的元素个数叫做G的阶。6．1．2群的基本性质(6．4)(6．5)否则称G为无限群。有限群≯群中存在唯一的恒等元素≯群中每一个元素有且只有一个逆元素≯群中的乘法满足广义的结合率，但一般不满足交换率》指数律成立≯消除律成立 三维矩形编织规律的研究≯有限群中的元素一定都是有限阶元素6．1．3置换群对于n元置换，有这样的定理脚70J；n元置换全体组成的集合S。对置换的乘法构成一个群，称为n元置换群，其阶为n!。置换群是比较具体的一种群，它的元素和运算都可以具体地写出来，并且每个有限群都和一个置换群同构。6．1．4子群G是一个群，如果G的一个子集B对G的运算构成一个群，则称B是G的一个子群。子群不仅具有群的～般性质，同时还具有父群所具有的特殊性质。从第五章的分析可知，编织过程可以用置换表示。若将这些表达编织过程的置换组成一个集合，并在这个集合中定义一种运算，使这个集合满足群的定义，就可以构造一个由表达编织过程的置换组成的群。如果可以确定这个群是置换群的子群，则利用置换群的元素和运算都可以具体地写出这一特点，则可将子群中的所有元素具体写出。有了子群的所有的元素，也就是得到了所有的编织模式，就可以从中选择出所需的编织模式。从群论角度而言，研究表达编织过程的置换组成的群，需要解决三大问题，即群的存在问题，构造阔题和数量阀题。6．2纵横编织置换群的存在问题回到方格阵所抽象成的集合F，由于集合F的元素是有限的，按照置换群的定义，可知F的所有置换构成一个置换群s。。将表达步进循环的置换所组成的集合记为B，显然有B∈S。，即B是S。的子集。考察B中的任意两个元素b。和bJ，其乘积b，·6『按照第五章的定义就是先按照编织模式b。进行编织，然后按照编织模式巧进行编织，显然最终的结果仍然是作用在F上的置换，即有：Vb⋯b∈Bjb．·b，∈B(6—6)依据子群判定条件三[63’701，有B是S。的子群，即表达步进循环的所有置换所组成的集合B，对置换的乘法运算构成一个群，这个群是置换群S。的子群。这里将群B称为纵横编织置换群，简称编织群。至此，编织群B的存在问题得 三维矩形编织规律的研究到解决。由于子群不仅具有群的一般性质，同时还具有父群所具有的特殊性质，因此B具有S。所具有的特殊性质。应用群的性质以及S。所具有的特殊性质，可以直接得到编织过程中一些基本的特性。如：由于s。是有限群，因此B也是有限群。而有限群都是周期群，即群中的所有元素都是有限阶元素，也就是说B中的任意元素b。的阶是有限的，对于编织过程而言这意味着在任意的编织模式下，经过有限个步进循环后所有锭子都将回到其初始位置。韩其睿(27l和道德锟等‘5叫指出的在“4步法”编织模式下“任一引纱器经过s个机器循环回到其初始位置”的结论在这里得到理论证明。第五章中应用的其它编织模式实例，都能够算出锭子回到初始位置的步进循环的次数的原理也在于此。6．3编织群的构造问题6．3．1生成元与生成系如果一个群G中一个子集合Q所生成的集合{Q)和群G本身重合，集合Q就称为这个群的生成元素系，简称生成系。要使集合Q是群G的生成系，其充分必要条件是：G中任何一个元素至少可用一种方式表示成Q中有限多个元素幂乘积的形式。集合Q中的这有限个元素也叫做群G的生成元[67，701。从这一原理出发，可知要分析编织群B的构造问题，必须首先找出在表达步进循环的置换中，那些是基本置换操作；然后分析这些基本置换是以何种幂乘积的形式表达编织群的元素；最后将这些基本置换操作构成一个集合，就是群B的生成系Q，其中的元素就是B的生成元。在第五章中，曾对几种已知的编织过程的置换表达及其抽象过程进行了详细介绍。对于表达步进循环的置换b，它是表达每一步的置换的乘积，而表达每一步的置换又是整列(或整行)的轮换幂的乘积，这也符合第二章节2．4所指出的纵横编织一定是纵向整列和横向整行移动的基本原则。由此可见，b可以用F中整行或整列元素的轮换幂乘积的形式表达，F中整行或整列元素的轮换就是B的生成元。6．3．2生成元的一般表达式 维矩形编织规律的研究首先依据第四章得到的编织盘的合理结构，给山集合F的一般形式。令主体阵行列数为m×11，行边阵列数为st，列边阵行数为S。，显然m，n，Si和s。都为正整数，由此得到集合F如图6．1所示。为了清晰起见，图6—1中对应方格上．只写出元素的位置坐标。F中纵向第j列的轮换0可以写成为：c32q，舢{。铷⋯j吣{q⋯{。3{咄3⋯{峨}j=l，2，⋯，n(6—7)横向第i行的轮换^可以写成为：t、Iql。jA{l。jn⋯{ln{lL⋯{l。{l黼⋯{t叶。≥卢1，2，⋯，m(6．8)显然，元素b就是式(6—7)和式(6-8)的某种形式的幂乘积，因此都是B的生成元，由此B的生成系Q可以写成为：Q--(c】c2⋯巳t】f：⋯t。J(6—9)有了生成系，接下来的任务就是如何用生成元构造编织群B的元素。一sc+i，1一sc+l，n0．10，n1，一st+lI，01．11，nl，n+ll，n+马m，-st-F1111，0m．1m，12m．n+1m，n+St⋯m+】．1．．．m+l，nm+sc，lm+se,n图6-1集合F6．3．3编织群元素的表达步进阵中，纵向步进循环数与横向步进循环数一定相等，因此这里令纵向步进循环数和横向步迸循环数都为k，则图6-1所示集合F的纵向阵和横向阵可分别写成为： 三维矩形编织规律的研究z协剖f厄、，⋯觑，0肿}㈡；lL玩，．⋯办¨J即彳”·《”．．．P2=tl^·寸=鹏7硝．r拾m1i=1P2k-I=C；k”·譬_⋯．旁=彤。j=lp2k=t?一．≯。“》跗’／=-1则b的表达式为b=Pl·P2⋯··P2k．1·P2k=∞，·c≯．．爵”胁-·毋，·(6—10)(6—11)(6—12)(6—13)(6．14)(6—15)一毋一胁t·毋一．净．t)(6-16)由于纵横编织时总是纵横交替进行步进，因此可将纵向一步和横向一步结合，这样的结合一共有k个，由此式(6．16)最终写成为：b：矗fnc≯．nf”1。。琊，r=l＼J=1i=1／观察式(6．17)，可以发现b已经写成生成元的幂乘积形式，其中幂指数就是步进阵中的步长，乘积顺序就是编织顺序。至此，编织群B的构造问题得到解决。噼甜睁噼日睁 三维矩形编织规律的研究6．4编织群元素数量问题由于方格阵是可以确定的，即对于b而言，生成元是确定的，这样b的变化取决于幂指数的变化。而幂指数与步进阵中的步长相对应，这说明步长的取值范围和步进阵的构造，决定了不同步进阵的数量。有多少种步进阵，就有多少个b，步进阵的数量以及如何构造步进阵问题成为研究编织群元素数量问题的关键所在。B是S。的子群，由于编织方法的限制，B的阶一定小于s。的阶。因此必然存在一定的约束条件限制步进阵中步长的取值，使b不可能取到S。中的所有元素。分析编织过程中的～些基本特性，找出可能的步进阵需满足的约束条件是迸一步研究的基础。由于步进阵已经是数字化形式，若将约束条件转化为对步迸阵的数学形式的约束，就可以应用数学工具最终解决编织群元素数量的问题。6．4．1必要条件及其数学表达编织过程中，锭子只能在编织盘上移动，应当满足整行或整列移动的基本要求，这只是锭子运动的基本特征，在式(6-17)中已经有所体现。此外锭子的移动还应该满足顺利完成编织过程以及由于编织机构的限制所提出的条件，这些条件是实现编织的必要条件，也就是构成步进阵时应用满足的必要条件。6．4．1．1必要条件1编织时锭子的运动一定是纵向步进和横向步进交替进行，也就是说一次纵向步进之后，接着一定要进行一次横向步进，反之亦然。编织过程中不能连续进行两次纵向步进或两次横向步进，因为在一个方向上连续移动2个步长等价于移动1次这2个步长的代数和。根据这一要求，可以推知在一个步进循环中，纵向步进循环数一定等于横向步进循环数，表现在z和H上，要求Z的行数一定要等于H的列数。设步进循环数为R，则纵向步进循环数k=横向步进循环数k=R／2，且R为偶数。同时，在Z中不能有一行所有的步长均为0，因为当各列锭子运动的步长都为0时，相当于该次并没有发生纵向步进，那么就会产生了两次连续横向步进的问题。H中也存在同样的要求，即H中不能有一列的所有步长均为0。将上述分析归纳为：必要条件1；纵向步进和横向步进必须交替进行 三维弹形编织规律的研究推论1：Z阵的行数一定要等于H阵的列数推论2：z阵中不能有一行所有的步长均为O，H阵中不能有一列所有的步长均为0。例1：Z+l一1—1O0O+1+l一1O+l0一lO圩=+l—l一10+1O一1+l0O0+10一lO例1中z阵的第3行步长全为0，而H阵的第3列步长全为0，违反了推论2的要求，类似这样的数阵均为不合法的步进阵。6．4．1．2必要条件2纵横编织过程是步进循环不断重现的过程。在经过一次步进循环后，纵向步进模式和横向步进模式都要达到重复。表现在步进阵上，就是要求在z阵中，任何∑2H=0(6—18)在H阵中，任何一行的所有步长的代数和为0，即：∑^”=0(6-19)由这一条件也可以推论出最小的k为2，最小的R为4。将上述分析归纳为：必要条件2：步进阵是一个完整的循环。推论3：z阵中，有：圭乃：o；H阵中，有：圭～=o推论4：最小的k为2，最小的R为4，且R为偶数z任㈡日悟!嗣例2中Z第1列元素的代数和为1，H第2行元素的代数和为1，均不符合推 三维矩彤编织规律的研究论3的要求，为非法步进阵。6．4．1．3必要条件3编织盘作为锭子安放和运动的载体，显然在整个编织过程中，锭子就只能在编织盘上进行移动，任何导致锭子移出编织盘的运动都不允许发生。反映在步进阵已就会对每次整行或整列移动的步长以及步长与步长之间的配合有一定的限定。从熟知的“4步法”编织可以得知，如果边阵方格行(列)数为l，而某次运动步长的绝对值大于1，则移出的锭子没有可被接收的空间，当然这样的运动不允许发生。～般而言，在给定的列边阵行数S。和行边阵列数s。下，锭子组任一次纵向或横向运动的步长的绝对值都不能超过S。和s【，反映在Z和H中，有：z》l≤s。和⋯≤sr(6—20)为保证编织过程中锭子始终不会移出编织盘，除了以上对任一步长的要求外，还应要求z阵的每列(或H阵的每行)、任意相继x(1≤xs。，而由于kI§＆，那么就必然导致毛斗岛+岛≠o，这与推论3矛盾，所以假设不成立，即不可能存在相继两次步长大于s。的情形。所以此时也仅需对Z阵中第-，列每个少t瓦皿’1xJ-瓤畀‘，即：孑=f1}；(3)当R=8，k=4，可推出：x={1，2)；(4)当R=10，k=5时，可推出：x=0,2}；(5)当R=12，k=6时，可推出：x={l，2，3}；(6)当R=14，k=7时，可推出：x={1，2，3}；％蝴水刚卸0舻曼hh№ ：维矩形编织规律的研究口J以让明(参儿附录3)，对十所定义的R或k，有：x={xJl≤x_k1I1∑矗，+∑～j铒扛1，⋯，t；x=，』∈整数}；h=rn；IlJ或同理，对于H阵，也可以得到相同的结果：薹kIs。，=-，·一，t：x={z)·sxs协“；，，re整数)；j+x-lNk若‰卜产l"⋯，虹”小“州》罐数j；(6．25)(6．26)(6—26a)(6．27)慝‰+”剥x-l-ks一川，⋯，¨斟⋯¨专艇叫；j+x-l>k㈤27们归纳而言，有：必要条件3：编织过程中锭子始终不能移出编织盘推论5：z阵中，有：{善l小t矧，⋯，t；x=纠，≤x蜘《ne整对；i+x-l<_k盼+”剥s巳㈦⋯，¨=纠⋯m咖t整数}；+x-l>k11i+xI1Il∑毛，+∑毛肛巳f_，⋯，≈；x={。≤xsmt(号)，，∈整数}；n2In‘LoJH阵中，有：胁卜川，⋯，¨=x1_1；同时还可看出，第4行与第1行步长代数和的绝对值卜1+(十1)f=2>l，也违反了必要条件3，所以在驴1的情况下，该z阵不合法。例4：日：+l～10一l十1O+10一l一10+1—1+l一1十1+l—l+l例4所示H阵的k为5，X_{1，2}。由于第1行的第5列与第1列步长的代数和为l+1+(+1)1=2>l，所以st=l时，该H阵不合法。6．4．2步进阵的数量通过综合分析，提出了合法的步进阵应当满足的必要条件，即构造的Z和H只有满足上述的必要条件1、2和3才能在纵横编织机上进行正常编织，同时对所总结的必要条件，都以推论的形式作出了数学描述。接下来的任务就是将各推论作为约束条件，用组合数学方法推导出合法的步进阵的数量并列出构造合法步进阵的方法。下面以z阵为例，通过分析z阵的结构，求取满足3个必要条件的可能的z阵数量。6．4．2．1z阵中每列可能的种数对照式(6—10)可蚍看出必要条件1、2和3只是对z阵的每列设定了限制，并没有对不同的列之间的关系提出限制。因此只有得到构成z阵中每列的可能的种数，才能进一步分析构成一个z阵的种数。已知列边阵行数为S。，依据必要条件2，则步长可能的取值构成的集合t为： 维矩形编织规律的研究I2(一sc，一s。+1，一sc+2，，·一，0，I，，·一，sc一1sc)(6．28)显然E中一共有2s一1个元素。应用组合数学原理，将构成Z阵的1列的可能的种数&问题转化为：命题1：对于；中的2s。+1个元素，有sEE‘，从所有的n中不限重复次数地选取k个元素的排列，求出所有满足推论5的总数只．。解：1．令k=2，则z中任一列的形式为f；·，]，由式(6．18)可得＼。2，／盼髓)㈦㈦，⋯；㈨(o)m··；㈤㈤㈣(6-29)此时，尸=2s。+1(6—30)一般地，P-是组合数学中的递归关系问题，而推论3可看作是对递归关系的进一步约束，因此，只．是关于s。和k的多项式‘60’65棚1，即：巴=∑d：S：(6．31)采用数值计算方法，可以求出多项式的各项系数d，，从而得到具体的多项式。多项式的导出原理以及系数的计算方法详见参考文献【59】和附录3。部分计算结果：当k=3时，只．=3s；+3s。+1(6—32)当k=4时，只．=4s；+6s；+4s。+l(6—33)当k=5时，只=5s?+lol+10s；+5s，+1(6·34)命题1解毕。6．4．2．2Z阵的总数式(6．10)所示Z阵的列数为rl，因此得到z阵中每列的可能的种数后，构成z阵的问题成为数学上的排列问题。为了推导方便，将一定k值下的P^表达为只。，则求取可能的z阵的总数Qk，z的问题转化为： 二维矩形编织规律的研究命题2：在只。中，不限重复地选取n个元素，求出满足推论2的排列种数。解：在go。中，不限重复地选取n个元素的排列的总数Q’k．z为：Q’k，z=(t．^)“(6—35)依据推论2，应当排除构成的Z阵中某1行的步长全为0的情况。设第1行出现了全为0，则出现这种情况有Q’krl‘z种可能，设第2行出现了全为0，则出现这种情况也有Q’¨z种可能，⋯，综合可知z阵中某1行的步长全为0的可能性共有kQ’k．I，z种，因此有：Qk，z-Qk,Z-kQ¨，z=(置．t)n．k(只卜，)”1(6—36)同理，对于H阵，其行数为m，满足必要条件1、2和3的H的总数Qk,H为：Qk，H=(只，。)r“趣只卜，)m-l(6—37)6．4，2．3步进阵的总数步迸阵是由z阵和H阵组成的，组成时没有先后次序之分，即1个z阵和1个H阵只能组成1个步进阵。得到Q蛇和QkH后，可能的纵横编织模式的总数，即可能的步进阵的总数Q。．H的问题依据组合数学的积则畔"651，有：Qz，H=Qk,z·Qk”=【(只，I)"-k(只。一．)“1]．[(只。)m．k(只一～．)”1](6—38)由推论4可知k不小于2，因此当k=2时，需令go，1=只¨120，才能使式(6—38)的计算结果有效。式(6—38)的推导过程中有关的条件、推论以及公式的严格的数学证明参见附录3。至此，编织群B的数量问题得到解决。归纳而言，编织群B的三大问题都得到回答，从而可以应用群论对编织模式问题进行更为深入的研究分析，为实际编织过程提供更多的理论指导。6．4．2．4编织模式总数的讨论给定式(6—38)中的品和St、n和m以及k的值，就可以得到具体的QzlHo这里将S。、S，、13．、m和k统称为编织参数。例如，设：k=2，&习尸1，n=m=2 三维矩形编织规律的研究则：QzH=(2s。+1)2·(2st+I)2=(2×1+1)2·(2x1+1)2=81(6．39)可以看出，式(6—39)所用的编织参数正是“4步法”编织所使用的参数。显然，就目前所能检索到的资料而言，“4步法”编织只有一种有效的编织单元结构，编织实践也证明了这一点。但式(6．38)的计算却有81种可能，两者之间有很大的差异。出现这种情况的根本原因在于本章的分析是建立在锭子平面运动基础之上，式(6-38)仅表明理论上步进阵可能的数量，是锭子在编织盘上可能的移动轨迹数量。至于某种步进阵是否最终能够编织出三维预型件，并没有加以体现。此外，由于与主体阵对应的编织盘区域具有矩形的外形，编织出的三维预型件的截面形状和单元结构必定存在着一定的对称性，因此肯定会有相当一部分在数学形式上不一样的步进阵所编织出的三维预型件的截面形状gi／或单元结构完全一样。考虑到上述两个因素，如果在步迸阵的选取时进一步设定某些约束条件，则可以得到更接近实际的计算结果。例如，规定步进阵中，z不能存在任意两列完全一致，H不能存在任意两行元素完全一致，则命题2相当于：在t，。(或只，。)中，无重复次数地选取n(或m)个元素，求出满足推论2的排列种数。又设定n列或m行都达到了锭子循环，命题2进一步成为：在只。(或只一)中，无重复次数地选取n(或m)个元素，求出满足推论2的圆排列种数。此时Qk．z和Qk．H分别为：Qk"z=[(Ps。,k)(只J一1)⋯(只J-n+1)-k(只一一．)(只。一．一1)⋯(只扣1-n+1)]／n(6-40)Qk，H；【(只小)(只一一1)⋯(只一一m+1)一k(Pf,k-I)(只,．k-i-1)⋯Psi,k-1"m+1)]／m(6—41)仍将式(6—39)的编织参数k=2，s。习，1，n=m=2代入式(6—40)和式(6—41)，有：Qk,z=等矗Qk,I-1=等=s(6-4z)相应的Z和H分别为： 三维矩形编织规律的研究————————————————————————————～—————一——互=㈦：：1孕(：㈡牛∽：]耻(Il+01]牛一noI]则：Qz，H=Qk，z·Qk，H=9(种)，即：①帅小『(=：：：](=：-I：：]]②fZ㈤，=[(：㈦㈠1)]③【Z·H，·。[(：：：：](乞1j1)]④【Zz日·】=[(：：：)(+-1。：：]1⑤区也】2旺：。0)(j1乞1)]⑥fZ2码】=[(：；。0)(苫二1)]⑦眩训2[(=：。0)㈠-1I)]⑧囟讣[(：㈡(“]1⑨眩址峭扎1训考虑到结构的对称性因素，去除掉那些编织出重复结构的步进阵，可以发现实际上能编织出不同结构的编织模式有且仪有3种【591，即：①瞄：∽-l划啪：∽捌啪：)(■]1通过编织实验发现，②和⑤不能形成三维整体结构，因此仅有一种步进阵是行之有效的，即：Ⅷ=[(-㈦m-I：)]这就是“4步法”的编织模式。在编织参数较小时，参照上述步骤叮以经验地直观搜寻出行之有效的编织模式，但编织参数增大后直接搜寻就非常困难159J。65j矗诽B车的桷诰书蕊-65 ～维矩彤编织规律的研究综合本章的分析，归纳出构造步进阵的步骤为：(1)构造Z阵：①．确定S。，n，k，②．写出数列卜S。，一sc+1，一Sf+2，，⋯，0，1，，⋯，Sc一1S。)③．按照推论3，构造所有可能的④．按照推论5，检验构造的⑤．按照设定的列选取原则，选取13个排列出所有可能的z阵(2)构造H阵：确定了S，、m、k以及设定的行选取原则，按照构造Z阵相同步骤，可以排列出所有可能的H阵。(3)组合Z和H，构造所有的编织模式。附录4给出了2个构造纵向阵的实例。1个是在设定s。=1，n=2，k=4的条件下，按照不能存在任何两列元素完全一致的原则，并考虑到n为锭子循环时，构成的所有可能的纵向阵。另1个是在设定s。=3，n=4，k=2的条件下，按照不能存在任何两列元素完全一致的原则，构成的所有可能的纵向阵。6．6本章小结通过综合分析，构筑了编织群，并解决了编织群的三大主要问题，即存在问题、构造问题和数量问题。特别是群元构造问题和数量解决后，从理论上讲可以构造出任意纵横编织条件下所有的编织模式，在此基础上，就可能选择出所需的编织模式。本章获得的结论为： 维矩形编织规律的研究1．按纵横编织模式所构成的所有胃换所组成的集合B，对置换的乘法运算构成一个群，这个群是置换群S。的子群。应用群的性质，可以从一般的角度分析和归纳纵横编织的规律和性质。2．任意编织过程可以表达成纵向和横向锭子组移动的幂乘积形式，编织模式可以看作为一定形式的幂指数汇聚。3．合法的编织模式应用满足的必要条件为：纵向步进和横向步进交替进行、编织模式是一个完整循环以及编织过程中锭子始终不能移出编织盘。4．给定式(6．38)中的编织参数S。和&、1-1和m以及k的值，就可以得到编织模式的总数。如果进一步设定约束条件，可以得到更具有实用意义的编织模式的总数。5．按照所给定的构造步进阵的步骤，可以构造出一定条件下所有的步进阵。 维矩形编织规律的研究第七章编织模式的获取通过第六章的综合分析，从理论上讲可以构造冉任意纵横步进编织条件F所有的编织模式，且可以从中选择出所需的编织模式。但从编织模式总数的计算公式可以得知，1定的编织参数条件下，可能得到的编织模式的种数是非常多的，这给编织模式的选取带来一定的困难。同时，在第五章的分析中还发现，同样采用“4步法”编织模式，如果主体阵的行列数不同，则锭子在编织盘上的移动轨迹等特性会有较大的差异，直接从移动轨迹判断预型件三维结构时，往往也会认为单元结构会不同。而相关文献已经指出，“4步法”编织模式下所编织出的三维预型件的单元结构都是相同的。因此，直接依据锭子实际移动轨迹等特性选择所需的编织模式，实现起来也会有难度。事实上任何一件三维预型件总是存在某种单元结构或基础结构，在结构与性能分析时许多学者常常以这种单元结构或基础结构为对象，将问题进行简化。在得到单元结构或基础结构的分析研究结果后，再以一定的方式拓展到整个结构上。依据这一思路，本章也采用分析主体阵的重复单元或基础单元，获取相应的编织模式，再将所获得的编织模式以一定的方式拓展到整个主体阵的方法。为讨论方便起见，本章首先就重复单元问题进行分析，通过采用集合元素分类”⋯”1和类元素置换分析，得到以重复单元为基础，获取给定的单元结构的三维编织预型件编织模式的方法；然后将重复单元问题扩展为基础单元，将类元素表示成基础图，应用数学中图形的等距变换原理，得到以基础单元为基础，获取给定截面形状三维编织预型件编织模式的方法。7，1依据预型件单元结构获取编织模式7．1．1数学概念1．集合彳的一切子集所组成的集合叫做A的幂集，记为尸‘妙。2．设A是任～集合，Q∈P(A)，如果满足下列条件；(1)A=Uss∈o(2)VS，T∈p，s≠T，有sn7’=， 三维矩形编织规律的研究(3)JgQ则Q叫做A的一个商集．Q的每’个元素S叫做一个类列研究对象进行分类的目的是为了简化研究对象，并更有条理地探讨研究对象的性质。一次成功的分类需要满足3个条件，即：①A的每个元素都必须分在一个类罩②A的每个元素都必须只分在一个类里③侮个类都必须含有A的元素如果对方格阵抽象成的集合F的元素也进行～次成功的分类，由于每个类中的元素都有一些共同的特征，则分析这些特征时只需分析类中的1个元素即可，出此可以大大简化所研究的对象，著且得到的结论也可直接加以推广。如果在类元素基础上获得了编织模式，则可以比较方便地将这一编织模式推演到方格阵上。7．1．2集合F中元素的分类对于一个主体阵为m×n的方格阵，记横向锭子循环数为p，纵向锭子循环数为管，锭子循环为pXq，集合F中的元素按照P和g的分类分别为：按P分类，即将方格阵的行分类：fs0={，，∈Fljs0，／=1,2，·一，胛}1i=2，=(p～i)J=PJ2{，，∈F}i=(了一1)p+1)U，，∈Fli=0—1)p+2}{，、，∈F{i=(x—t)p+P一1j{，，∈Fli=埘m2i≥lx=1,2，·一，xp≤mJ=吖，+1，一j，+2，·，-，0,1，⋯，胛十1，行4-2，·～，n+S，f>啪={，。∈Fli>m，J=1，2，⋯，珂}(7一1)式(7—1)所示的分类中，面是上边阵对应的元素组成的类，巧、一2j、⋯⋯、i是元素主体阵元索的行坐标被p除后，余数为l、2、⋯⋯、0的元素所组成的类，7j历为F边阵对应的元素组成的类。按q分类，即将方格阵的列分类： ÷‘维矩形编织规律的研究．，≤0--W,．，∈Ff，≤0，；=1,2，⋯，班；li={，，∈Fl_，：(y一1)日+l}2i={，．，∈F1J=(y一1)q+2)(g—1)f={．，；，∈FJj-=(y～1)q+q一1}∥=M，∈Ff_，=Yq}门≥_，≥ly=1，2，⋯，Yq≤"i：q，+l，一s。+2，⋯，0，l，一一，#／-／+l，卅+2，·一，m+s。J>孵={，，∈FlJ>扎，i=l，2，·一，m}(7—2)同理，式(7．2)所示的分类中，7三可是左边阵对应的元素组成的类，订、2i、⋯⋯、；■是元素主体阵元素的列坐标被q除后，余数为1、2、⋯⋯、0的元素所组成的类，_，>n为右边阵对应的元素组成的类。上述两种分类方式都保证了：①．F的每个元素都分在某个类里②．F的每个元素只分在一个类里③．每个类都含有F的元素因此，两种分类都是成功的分类。由此有：F=fi≤0，IJ、2／、⋯⋯、∥，i>埘}(7-3)和：F={J≤0，li、2i、⋯⋯、F，J>i"I}(7—4)在横向置换时，显然式(7-3)中的每一类中元素的置换幂指数都是相同的，而且f三可和ij鬲两个类中元素的置换幂指数始终为0。同样，在纵向置换时，式(7．4)中的每一类的置换幂指数也都足相同的，7孬和万鬲两个类中的，i素的置换幂指数始终为0。因此，对于某种编织模式的表达，理论上只需表达出与{lJ、2j、⋯⋯、PJ}对应的横向阵和与{“、2i、⋯⋯、矿}对应的纵向阵即可，没有必要将其他重复的部分写出。例直n“4步法”编织模式，只需将fZHl皲【(十㈡-I∽瑚。 维矩彤编织烈律的研究7．1．3边阵的处理第四章曾指出，为实珧三维编织，t体阵必须有上下左右4个边阵。原因在于机械结构无法实现从主体阵--N移出的锭子直接从主体阵的另一侧移入，但如果是进行理论分析，只要设定宅体阵上与下、左与右直接相连，则完全可以实现主体阵一侧移出的锭子直接从主体阵的另一侧移入。由此可见，边阵中的元素在理论分析时并不是必须的，如果将这些元素略去，有可能使理论分析更其针对性。若略去边阵元素，则式(7-3)和(7-4)分别成为：F={lj、2／、⋯⋯、∥}(7-5)F={li、2i、⋯一、矿)(7-6)将式(7—5)和式(7-6)组合，可将主体阵中的元素分成pXq个类，即：译巨12——22lq_——2q，2⋯，g(7．7)将式(7．7)中的类作为元素，记为6。并将这些元素组成一个集合，记为A。显然△与锭子循环相剥应。可以看出，建立在△基础上的理论分析，获得的是处于同一类中的元素的共同的特性。结合第二章总结的编织原理可知，单元结构中纤维束在方格阵上投影的起始点和终了点，应当位于重复单元的相同位置上，因为作为单元结构中的纤维束都应当达到循环。反映到集合△中，完成个单元结构意味着△中的元素经过置换后都回到初始位置。由此可见，消去边阵后有利于进一步的分析。7．1,4名义分析与编织模式的获取通过}二述的分孛斤，编织模式的获取问题从以F为基础转变到了以△为基础，显然△中的元素比F中要少得多，问题得到简化。这里称以△为基础进行的分析为名义分析，所涉及的参数称为名义参数，主要有：名义生成元，记为互．和r，，有：t=岭，，嘎。⋯芬，，)户1，2，⋯，q(7_8) 二三维矩形编织规律的研究i：=幢．万、：⋯巧。)i=l，2，⋯，P(7剐名义编织群元：方=瑰(瑰≯·琅引㈣㈨接下来通过实例分析，讨论所得到的结果，归纳出一些有意义的结论。实例1：“4步法”编织t一4步法，’编织时，p×口：2×2，对应的△为I占u威zI。为了便于运算和分1J：．疋：I析，将A中的元素用数字代替，并写成图7一I所示形式：图7一i△的形式“4步法”编织模式：[(：：+-，I)(：j：：)]名义生成元t：石2(1，3)：^15(2，4)应用式(7一i0)，计算出名义编织群元云为6=(1，3)+1(2，4)‘1(1，2)+1(3，4)一1(1，3)。1(2，4)+‘(1，2)一1(3，4)+1=T(7-11)从式(7-11)可清晰看出，b是一个4元恒等置换，4个元素彼此之间不相交，而从文献资料可知：“4步法”编织的预型件在1个单元结构中有最多有4种不同的纤维取向，经过1个步进循环后即可形成1个单元结构，这里名义编织群元反映出的结果与实际相一致。实例2：“8步法”编织在节5．2．2中应用的“8步法”编织，经分类处理后，其△的形式也与“4 维矩形编纵规律的研究步法”相同，因此编织模式可以写成f：；+-。2]f+-+·一·一·1]I+2—2jL-1一+l十Ijjl一2+2j则名义编织群元b为：b一(1，3)”(2，4)。2(1，2)”(3，4)。(1，3)。(2，4)+2(1，2)”(3，4)。(1，3)”(2，4)。(1，2)。(3，4)“(1，3)。2(2，4)。(1，2)1(3，4)“=I(7—12)可以看出，式(7—12)与式(7一11)相同，因此也可认为节5．2．2中应用的“8步法”编织在一个单元结构中也有4种不同的编织纱取向，也是经过1个步进循环后就能形成1个单元结构。由此可见，建立在△之上的置换运算，可以与三维预型件的单元结构中一些重要信息相呼应，如不同取向编织纱的最大数量以及所需的编织循环数等。A中的元素代表的是锭子循环，一般数量不会很大，采用第六章节6．5的步骤构筑出的步进阵，都可以方便地按照本节提出的方法得到相应的名义编织群元。反之，当所需的预型件单元结构设计出来后，先依据编织原理，提出对△的要求，接着选择出符合要求的名义编织群元以及相应的步进阵，最后将步进阵循环扩展到实际主体阵，得到实际所需的编织模式。这一方法就是以三维预型件单元结构为依据，获取编织模式的方法。如将本节实例l的纵向阵横向重复1．5次，横向阵纵向重复1次，即可得到第五章节5．2．1中实例2所采用的编织模式：将本节实例2的纵向阵横向重复1次，横向阵纵向重复1次，即可得到第五章节5．2．2中实例3所采用的编织模式。不过，从本节的实例也可看出，不同的编织模式其名义群元有可能是相同的，圉此依据名义群元选择步进阵时并不充分，目前的条件下仍需结合一些经验才能选择出符合要求的步进阵。归纳以三维预型件单元结构为依据，获取编织模式的步骤为：1．取得预型件的单元结构，依据编织原理，提出对锭子循环的要求2．选择出符合要求的名义编织群元，结合一些经验得到相应的步进阵3．将步进阵重复扩展到实际主体阵，得到实际所需的编织模式7．2依据预型件截面形状获取编织模式 维矩形编织规律的研究三维预型件中的另个差要类型是要求其截面具有某种特定的形状，而编织这’类预型件的主体阵中，常常没有重复单元，因此以重复单元为基础，获取编织模式的方法不能解决这类问题。但通过分析发现，这一类三维预型件主体阵可以由基础单元以一定的方式拓展而成。如果将重复单元扩充为基础单元并建立基础图，不是采用重复的方法将基础图的步进阵简单扩展到实际主体阵，而是采用数学变换的方法对基础图进行变换，然后通过图形结合拓展至实际主体阵，最终可以得到获取这一类预型件的编织模式的方法。为此，本节首先以较小的编织参数为基础建立编织图，接着经过置换运算，在主体阵上，依据锭子的移动轨迹，构成显示一定截面形状的锭子的排列图，称为基础图。然后应用图形变换原理“⋯，得到各种变换图，最后通过图形的结合，构筑出矩形截面和异形截面的特性图，并得到对应的步进阵构筑方法，就可以建立一种实用的获取所需编织模式的方法。第六章节6．4．2。4已经讨论了较小的编织参数下可能的编织模式的总数和构筑步进阵的方法，因此画出所有的基础图，并绘制出图谱的问题可以认为已经解决。F面的工作归结为如何以此为基础，应用图形对称变换原理，构筑出编织实际尺寸的三维预型件所需的编织模式。7．2．1对称变换原理1．数学上讨论平面图形的变换时，将使图形上任意2点距离保持不变的变换称为等距变换。2．为了确定一个平面等距变换，只需画一个三角形以及它们在此等距变换下的象。3．平面等距变换只有4种类型，即：旋转、平移、反射和滑移反射(图7—2)。O关于0的旋转平移关于L的反射滑移反射图7-2平面的4种等距变换7，2．2基础图的等距变换与图形的结合-74一入△。睑＼ 维矩形编织规律的研究图7．3所示为一个基础图，有a、e、i和64个元素。将图7．3绕自身轴心进行900、1800、2700顺时针旋转，以及垂赢和水平反射后所得的图形如图7-4(a)～(e)所示。这些操作都足图7，3的平面等踊变换㈨，其特征是变换前图7—3基础图后图形中的任意两点间的距离保持不变。为方便起见，以后将平面等距变换摘称为变换。图7-4(a~e)中字母前的负号表示反射后的状态。因为平移后的图形没有变化，图7-4中没有列出。由于纵横编织的基本特点，决定了基础图的变换只能在水平和垂直方向进行，实际上可能的变换只有图7-4所示的5种加上水平和垂直平移总共7种形式。田田匠围困(a)900旋转(b)1800旋转(c)2700旋转(d)水平反射(e)垂直反射图7-4基础图变换后图形将基础图和变换后的图结合，就可以得到+些复杂的图形。以复杂的图形为基础，还能够结合成为更复杂的图形，见图7-5(a)一(f)。此外，也可以将基础图的局部进行变换，然后与基础图进行结合，得到各种结合图形，如图7-6(a)～(b)所示。同样由于纵横编织的基本特点，决定了图形的结合也只能在水平和垂直方向进行。至此可以发现，用基础图、变换图和局部变换图可以结合出各种图形，而结合出的图形都源自于基础图。现在的问题是：变换对应于步进阵的哪些变化?哪些图形结合形式可以通过编织实现?ae^lO—l—O^—a一e(a)^卜一aA^e^卜一lI^O【fblae1OaelO(c) 维矩形编织规律的研究|aelt0t1eaI【6l^I龟aelo(e)图7-5基础图形和变换图形的结合eOalaelO(a)(b)图7-6局部变换图与基础图的结合7．2．3变换与步进阵变化的关系对于基础图的变换，都有与之相应的步进阵的变化，这些变化是：》平移：无论水平还是垂直平移，对应的步进阵都不笈生变化。》900旋转(顺时针)：纵向阵和横向阵首先转置，然后交换，原纵向阵成为新的横向阵，原横向阵成为新的纵向阵，接着将新纵向阵的列的次序颠倒。。》1800旋转(顺时针)：纵向阵的列和横向阵的行的次序颠倒。》2700旋转(顺时针)：纵向阵和横向阵首先转置，然后交换，原纵向阵成为新的横向阵，原横向阵成为新的纵向阵，接着将新横向阵行的次序颠倒。>水平反射：先将纵向阵中所有的步长取反，然后将列的次序颠倒，而横向阵保持不变。≯垂直反射：先将横向阵中所有的步长取反，然后将行的次序颠倒，而纵向阵保持不变。7．2。4图形的结合与步进阵的变化讨论图形的结合与步进阵变化的关系时又将遇到两个问题，一是哪些图形 三维矩形编织规律的研究町以结合?二是结合后步进阵如何变化?7．2．4．1图形结合规则图7—5所示的基础图形和变换图形的结合，在纵横编织工作原理下并不一定都能实现。图7-5(a)是基础图与垂直反射图在沿纵向的结合，由于纵向阵相同，冈此可以结合：图7-5(b)是基础图与水平反射图在沿横向的结合，由于横向阵相同，因此可以结合；图7-5(c)是纵向平移与基础图沿纵向的结合，显然是可行的结合；对于图7-5(d)和图7-5(e)，由于图形与图形之问是偏接，因此需要采用外形与结合的图形完全一致的主体阵才能实现编织，这与主体阵为矩形的基本要求不相符，因此是不可行的；图7-5(f)是基础图与2700旋转(顺时针)图沿纵向的结合，由于两个图形的纵向阵不同，因此结合的图形无法通过编织实现；至于图7—6(a)和图7-6(b)，它们结合的方向和平移的方向相同，也是可行的。综合上面的讨论，可以总结出图形的结合的规则是；》基础图与变换图只能沿纵向和横向对接>当两个图形沿水平方向结合时，其横向编织模式必须相同，》当两个图形沿垂直方向结合时，具纵向编织模式也必须相同。这样，与基础图可行的结合方式有：≯水平方向：基础图形与水平半移和(或)垂直反射图形>垂直方向：基础图形与垂直平移和(或)水平反射图形7．2．4．2步进阵变化方法依据图形结合方式和规则，可以总结出编织结合的图形时，步进阵与原图形步进阵之间的关系，即：>当两个图形沿水平方向结合时，加。≯当两个图形沿水平方向结合时，加。7．2．5编织模式的获取方法横向阵保持不变，纵向阵按结合顺序叠纵向阵保持不变，横向阵按结合顺序叠综合前几节的分析，已经可以得出构筑实际参数下编织预型件的编织模式的步骤。下面按照矩形截面和异形截面的分类习惯，通过实例分析，分别归纳出 维矩形编织规律的研究相应的构筑编织模式的步骤。7．2．5．1矩形截面预型件的编织模式的获取以图7．3为基础图，垂直平移后的图形与基础图形的结合如图7-5(c)所示。再将图7-5(c)作为新的基础图形，并与其水平平移后的图形结合，可以得到图7-7(a)所示图形。如果将图7-7(a)中的aiai列进行水平平移并与图的右侧相连，得到的是图7-7(b)所示图形。aeaelOlOaea垂lOl0aeaeal01Olaeaealol0j(a)(b)图7—7平移后的图形与基础图形的结合实例3：令图7-3对应的编织模式为“4步法”的步进阵，即：㈣，2[(=：+-，1](=：：1]1m13)则图7-5(0的步进阵是：+-1．]+I—l4-1十l～l—l+1可以看出，式(7．14)是纵向阵保持不变，横向阵按结合顺序叠加的结果。图7-7(a)的步进阵是：【zH】2舱+1—1一、+l+l—I—l+I可以看出，式(7—15)是横向阵保持不变，纵向阵按结合顺序叠加的结果。图7-7(b)的步进阵是：(7—14)(7一l5) 三维矩形编织规律的研究+l一1一}+l+1—1+l(7一t6)式(7．16)也是横向阵保持不变，纵向阵按结合顺序叠加的结果，它就是第五章节5．2．1．1中应用的步进阵。归纳而言，矩形截面预型件编织模式的获取步骤是：1．选择基础图，得到相应的步进阵2．对基础图进行平移操作，得到实际参数下的结合图3．构筑结合图的步迸阵对照节7．1．4的结论可以发现，矩形截面预型件编织模式的获取步骤与以三维预型件单元结构为依据获取编织模式的步骤基本一致，原因在于矩形截面预型件的基础单元就是其重复单元。7．2．5．2异形截面预型件的编织模式的获取从第2章的讨论可知，异形截面预型件编织是通过包含异形截面的矩形主体阵实现的，异形截面编织与矩形截面编织的差异关键在于前者存在区域较大的空载锭子而后者不存在。直u果选择的基础图上存在形成空载锭子的元素，且通过基础图与变换图的结合，可以扩展这些元素的存在区域，就可以在实际主体阵上构筑出异形截面，进而获取相应的编织模式。令基础图如图7罐(a)所示，图中使用了3×3个方格，其中5个灰色方格部分代表可以形成预型件截面的载纱锭子且不区分它们的运动差异。显然图7-80)是‘种角形截面。图7-8(a)的垂直反射结果如图7墙(b)所示。将图7-8(a)和图7-8(b)结合，I】丁以得到图7-8(c)和7-8(d)；而将图7-8(c)和7-80)进一步作水平反射，得到的是图7-8(e)和7-8(f)：将7-8(0和7-8(0、7-80)和7-8(0结合就可以得到7-8(g)和7-8(h1。可以非常清晰地看出，应用角形基础图的变换图形以及它们的结合所构成的图形可以得到所需的T形、槽形、工字形和口字形截面。应用第六章节6．5．4．4和6．5．4．5总结的方法，采用较小的m×n、s。、s，和k，得到所有可能的步进阵并画出所有的基础图，可从中选择出形成角形基础图的步进阵。以此为基础，再进一步构成编织具体尺寸下各种截面形状的预型件的步进阵。下面通过实例详细介绍相关的步骤并予以说明。 二维矩形编织规律的研究盟霜露蕊(a)(c)霾糜凰霞(e)(f)(g)图7-8角形基础图、变换图与结合图实例4：(I)选择步进阵从附录4中，选用编号为(五]的z阵，将编号为G)的阵进行矩阵转置后作为H阵，构成如下步进阵：(2)写出基础单元编织图，抽象出集合F一：三j矗，【纯I五，。谶ij、贞，2螽，3I五，。篱：箍’2正，3五、1五，2(a)编织图(b)集合F图7-9基础单元编织图与集台F(3)进行置换运算，得出基础图)7，一7(n¨O-0P}01O，，●．●Ln『__=叫_=叫U+一●一0Ⅳiiiiiii¨1llHZ【+一十一㈠⋯㈨㈨ 三丝堑堑塑堡型堡墅竺塑—一b=【(工，⋯六，)“(工。【(^，⋯六、，)“(兀。【(工．⋯厶．y(fo．：【(兀。⋯^．)”兀，：六：)“】【(Z。六。)。】f(f。六：)“1【“。A：)。1【(／：。Z：)。(六。Z；)“(六。、f，)。(厶。Z，)o(^。A，)01工，)。】丘，)“J厶，)。】=(工。工．：五。)(工．：A，：Z，，)(7-18)将式(7．18)中的2个不相交的3．轮换的元素在图7-9(b)的F中用灰色标出。依据第四章节4．2．1的分析，可以看出，如果将五，1作为边阵元素，则五J、^，l和无．1将形成角形截面(参见第四章图4—10)。由此得出基础图如图7—10(a)所示。粤雩翠零豳函薷牵(e)(f)。图7-lO角形媾础国、变换图与结合图(4)图形的变换以及步进阵的变化①．基础图雩皂至谢结果如图7·Io(b)所示，相应的步进阵为【zH卜一1+l+1—1一l0十10f11：_]1(7一19，②．图7．10(a)与图7—10(b)銮：兰二弼的结合，结果如图7·lo(c)所示，相应的步进阵为：[zH13一l+I+l一104-10一l一【+l十1—10+1Of—l+1O【00+lf7—20)③，图7．10(b)与图7—10(a)水平方向的结合，结果如图7_10(d)所示，相应的步进阵为： ～维矩形编织规律的研究一—————————————————————————————————————～一[zH]～1+I—l+I+1一l+1—1一l04-1+10一lf11：■]]④·图7一lO(c)栅iN，结果如图7．10(e)N示，相应的步进阵为一I十1l++l—l+l一0+1—10一l+10∽二⑤．图7-10(d)Tk平反射，结果如图7．10(f)N示，相应的步进阵为[ZH】=E+l一1+l—l+l—l0+10—1∽三(7-21)(7—22)(7—231⑥·图7_10(c)N7-10(e)垂直方向的结合，结果如图7．10(g)所示，相应的步进阵为：【ZHI=一l"t-J—l4-1+I—l十1一l0+1一l0一I十l0一l+J0+l一10一I+l+l～10(7-24)⑦．图7一lO(d)L一图7-10(0垂直方向的结合，结果如图7—10(h)所示，相应的步进阵为：[ZHI=一1十104-1—10—1+l+1一l0(7—25)⑧．局部变换与结合应用节7．2．2介绍的局部变换与结合方法，将图7_8幢)上端的一行元素水平反射并与上端相接，下端的～一行元素水平反射并与下端相接；中阳j两行元素垂直平移后与原元素垂直相接；左边一列元素垂直反射并与左边相接，右边一列元素垂直反射并与右边相接，呵得到图图7-11局部变换与结合图(2Ii字形)+一+一+O0¨--O0}l一+一+ 维矩形编纵规律的研究7-11所示图形，相应的步进阵为：⋯，2+1-I+1-I+|-11l+l0O0十{1l+】O0+1一一1++1—1+0Df7—26)式(7-26)就是文献1501中提到的以“4步法”为基础，编织工字形截面预型件的编织模式。与网7-1l类似，将图7-10(h1外周的行列元素分别进行水平和垂直反射后与图7-lo(h)结合，并同时扩展中间元素的行列数，可得到图7一12以及相应的步进阵：图7—12局部变换与结合图(口字形)Ⅳ一1十1一I[zH]2悒：■1U+I—lo三{"](7—27)式(7-27)就是文献㈤中提到的以“网步法”为基础，编织口字形截面预型件的编织模式。实例5：(1)选择步进阵从附录4中，选用编号为[i1的z阵，将编号为[i]的阵进行矩阵转置后作为H阵，构成如下步进阵：⋯，们0。：狐驯p28’(2)写出基础单元编织图，抽象出集合F一十一+¨o0Oo¨OO¨o0O 维锋形编织规律的研究E习溅躲：，t燃畿，囊lI1滋臻‘强i蕞澎f鬻㈣瓣舅聪攀]卜#蒜器麓缫n《≯卜{蓊蓐驴嚣《+溪(a)』!，坌f2，-2-稻鬣-，l、+lf2．．1厂3、一1厂【．of2，0燃l，．2．1f—1．】fo．1㈤f2，I㈣灞剖^。翰翳凿鞫l，_2，2f—1．2{q2徽h3{j?2厂4．2I厂5、2{672I．厂．23f—I，3fo．3厂1．3鬻溺瀵戮厂4．31厂5"3{h．3f1．4．厂2．4厂3．4fl，5。f2，5f3，5厂1．6．f2、6f3．6(b)图7．12基础单元编织图和集合F(3)进行置换运算，得出基础图(^．一：⋯五，。)。(六．一：(，：：⋯五：)o(，。(工，。⋯五，。)。(六一：(厂：：⋯工：)o(厂。，Z。)“】-工．，)“】Z。)。]·以，)。J=旺，，4。工．，姒，／b‘。姒，，厶，。厶，，)惦．。五，五、。)(7—29)将式(7—29)中的4个不相交的3．轮换的元素在F中也用灰色标出。由于轮换(／：，工。Z．。)中的元素集中于F的左下方，在F中特别用浅灰色标出。依据第四章节4．2．1的分柝，可以看出，如果将^，z和五，3作为边阵元素，将五，3，而，3和^。作为空载锭子，则^"l、正，-、五小办，2和西．3将形成角形截面，由此得出的基础图与图7-8(a)相同。(4)图形的变换以及步迸阵的变化 三维矩彤编织规律的研究⋯卜I／-3圳0蚓伊3o)②．图7-8(a)与图7-8【b)水平方向的结合，结果如图7-8(c)所示，相应的步⋯矾I／-"0⋯4-3-⋯30：：]㈤{口3”③．图7-8(b)与图7-8(a)zk平方向的结合，结果如图7-8(d)所示，相应的步迸⋯，㈣0：_-10。：；∽剥p32)④．图7-8(c)A(平反射，结果如图7-8(e)所示，相应的步进阵为：⋯啪鬻0⋯-30：1]㈤l仔33)⑤。图7-8(d)7](-平反射，结果如图7—8(O所示，相应的步进阵为：⋯，渊0_-⋯10；)㈤{口34)⑥．图7-8(c)-与图7-8(e)3fi矗方向的结合，结果如图7—8(蓟所示，相应的步进cz盱[(：：：：；-+3，矧+3—30O～I十l+1—10～l+3f7—351⑦．图7-8(d)与图7-8(0垂直方向的结合，结果如图7-8(h)所示，相应的步进阵为： 维矩形编织规律的研究／+3—3rz毕陀。0“1。0卦!!。?。“7l+1一lJ0I～】+3f7—36)同样也通过上下端行元素的水平反射与结合，同时也将中间两行元素垂直平移后与原元素垂直相接，得到图7一ll和步进阵：图7-11结合图(工字形)【z旰㈦㈡-+，3：：l、(7-37)式(7～37)就是文献【50l中介绍的混合式样法的编织模式。将图7-8(h)外周的行列元素分别进行水平和垂直反射并与图7-8(h)结合，同时将中间2行和2列元素分别垂直和水平平移后与原图结合，得到图7—12，相应的步进阵为：图7—12结合图(口字形) 维矩形编织规律的研究fzH1：『f十3—3o+1l+1～l。’Lk-3+30一l+1—1+l(7-38)至此，异形截面预型件的编织模式的获耿问题得到解决。归纳异形截面预型件的编织模式的获取步骤为：1．选取具有转角形状的基础图，得到相应的步进阵2．通过对基础图进行反射、结合以及它们的综合操作，得到实际参数下的结合图3．按照节7．2．3和节7．2．4．2总结的方法构筑结合图的步进阵7．2．6本节综合讨论对于矩形和异形截面预型件编织模式的获取问题，一般认为须通过不同的途径解决，而且文献””对异形截面三维预型件的编织模式的获取方法又分为两种，即分区联合法和整体成形法。由于应用的方法都是建立在经验分析基础上，因此得出所需的编织模式并不容易，同时方法的普遍适应性也存在问题。对比节7．2．5．1和节7，2．5．2所归纳的编织模式的获取步骤，发现其实质是一样的，即通过基础图的建立和图形变换原理的应用，可以获得通常所需的矩形和异形截面预型件的编织模式。由于建立的足基于理论基础的、统一的编织模式获取方法，这样的方法就更具有普遍适应性。为此将编织模式的获取步骤归结为：依据所需预型件截面，选取的基础图，得到相应的步进阵通过对基础图进行整体和(或)局部的平面变换、变换图与基础图的结合、变换图与变换图的结合以及它们的综合操作，得到实际参数下的结合图按照节7．2．3和节7．2．4．2总结的方法构筑结合同的步进阵7．3本章小结1．应用数学分类原理，将集合F中的儿素按锭子循环Pxq分类之后，求取可能的步进阵总数的问题得到简化。以p×q分类为基础进行的名义 维矩形编织规律的研究参数分析可以反映预型件单元结构的一些信息。2．依据三维预型什单元结构，获取所需编织模式的步骤为：1)取得预型件的单元结构，依据编织原理，提出对锭子循环的要求；2)选择出符合要求的名义编织群元，结合～些经验得到相应的步进阵：3)将步进阵重复扩展到实际主体阵，得到实际所需的编织模式。3．以较小的编织参数为基础建立编织图，经过置换运算，在主体阵上，依据锭子的移动轨迹，可以显示出构成一定截面形状的锭子的排列图，称为基础图。4．由于纵横编织的基本特点，决定了基础图的变换只能在水平和垂直方向进行，实际上可能的变换图总共只有7种形式。5．与基础图的变换相应的步进阵的变化是：≯平移：无论水平还是垂直平移，对应的步进阵都不发生变化。≯9∥旋转(顺时针)：纵向阵和横向阵首先转置，然后交换，原纵向阵成为新的横向阵，原横向阵成为新的纵向阵，接着将新纵向阵的列的次序颠倒。≯1800旋转(顺时针)：纵向阵的列和横向阵的行的次序颠倒。≯2700旋转(顺时针)：纵向阵和横向阵首先转置，然后交换，原纵向阵成为新的横向阵，原横向阵成为新的纵向阵，接着将新横向阵行的次序颠倒。》水平反射：先将纵向阵中所有的步长取反，然后将列的次序颠倒，而横向阵保持不变。≯垂直反射：先将横向阵中所有的步长取反，然后将行的次序颠倒，而纵向阵保持不变。6．通过基础图与变换图的结合、基础图与局部变换的结合以及它们的综合操作，可以得到各种预型件截面图形。7．图形的结合的规则是：基础图与变换图只能沿纵向和横向对接；当两个图形沿水平方向结合时，其横向编织模式必须相同；当两个图形沿垂直方向结合时，其纵向编织模式也必须相同。 维祚形编织规律的研究B．当两个图形沿水平方向结合时，横向阵保持不变，纵向阵按结合顺序叠加；当两个图形沿水平方向结合时，纵向阵保持不变，横向眸按结合顺序叠加。9．依据预型件截面形状，获取所需的编织模式步骤为：11选取基础图，得到相应的步进阵；21对基础图进行整体和(或)局部的甲面等距变换31通过对基础图与变换图的结合、基础图与局部变换图的结合、变换图与变换图的结合以及它们的综合操作，得到实际参数下的结合图；41按照归纳的方法构筑结合图的步进阵。．89 维锋彤编织规律的研究第八章编织实践为了验证理论分析结论，同时编织出性能均匀稳定的i维预型件供研究使用，研制了一台三维编织机。通过编织实践以验证在本论文中应用到的编织模式实例。8．1编织机研制研制的技术关键是编织机能够在一定范围内根据编织要求实现载纱锭子的平面运动、以保证编织预型件的外形和纤维细观结构：同时要求在编织过程中载纱锭子能提供合适而均匀的编织纱张力，使编织预型件的性能和质量稳定。图8．1是研制的编织机的示意图。该机可以实现三维连续编织所需要的三个基本运动，即：(1)编织纱由锭子带动在编织平台上的移动，以达到相互交织的目的，(2)编织成的预型件连续引离编织口的卷取运动，(3)将编织纱连续输入O卷取装置2．三维编织物3．成型板4．编织口5．编织纱段6．机架7．轴向纱8．编织锭子9．编织盘10气缸图8-1编织机示意图 维矩形编织删律的岍究编织区域的喂入运动。为了实现上述的三个基本运动，编织机主要组成部分有：编织盘、锭子、锭子驱动装置及控制系统、以及卷取装置等几个部分组成。编织过程为：锭子在驱动装置的推动下沿编织盘上的轨道移动，锭子中输出的编织纱在编织口处形成三维预型件，卷取装置将形成的三维预型件不断引离编织u，从而得到连续的三维预型件。8．1．1编织盘编织机的编织平面如图8—2所示，编织盘控制锭子移动方向的纵横轨道组成。由。为了实现锭子可在纵横方向上按整列(或整行)的形式平稳移动，编织盘的结构是整机设计的关键之一。除了要保证锭子在平面上能按照要求的方式移动外，设计中还必须考虑移动轨道加工和安装的要求，即对相邻轨道的间距、平行度以及相交轨道的垂直度要提出符合实际的要求，以满足锭子顺利地沿纵或横方向移动的需要。锭子气缸图8—2编织平面示意图在本设计中，编织盘由一定数量的伞形块等间距排列而成，如图8—3所示。伞形块的横截面由大小不一的两矩形上下组合而成，使其纵横截面都呈T字形。每个伞形块都固定在机架．L，相邻的伞形块之间保持固定的间距，伞形块上部保持在同一平面，以形成纵横轨道。在轨道的引导下，锭子可沿纵向或横向移动，其移动的距离应等}轨道间距的整数倍，以保证锭子轴心始终位于纵横轨道的交错点。这种形式的编织盘只起控制锭子运动方向的作用。锭子步进的动力来自于 维矩形编织规律的研究纵横两个方位四个方向的推动力。图8-3锭子和编织盘伞形块锭子8．1_2驱动装置和控制系统在编织过程中，锭子应能沿纵向(或横向)成列(或成行)作往复运动。由于锭子的数量众多，为了缩短传动链和简化传动结构，所研制的编织机采用了以气动元件来控制锭子运动的设计方案mI。为了满足编织机上的每行(或列)锭子往复运动的单独控制，对应于每组(行或则)锭子配置～组(两只)气缸，即在每组锭子两端的机架上分别配置一驱动气缸，分别控制该组锭子的往复运动，如图8-4所示。每组气缸配置一只二：位四通电磁阀，通过控制电磁阀的离合，推动该组锭子沿导轨往复移动。当一端气缸推出时，对应端气缸缩回，使所控制的一组锭子朝一方向移动。气缸电磁阀空压机图8-4气动系统原理图电磁阀的工作可以由计算机控制，也可以用手动开关控制。在调试时，一般通过手动开关来实现对电磁阀的控制。编织机正常工作由计算机控制，将设计的编织模式输入计算机，计算机自动生成控制命令使不同的电磁阀按需要离合， 三维矩形编织规律的研究驱动锭子按照编织模式移动。8．1．3锭子锭子的作用是：(a)按照编织模式，带动编织纱沿编织盘的轨道运动，使编织纱相互交织以形成三维编织物；(b)按照编织要求，向编织区均匀输出编织纱，并保持恒定的编织纱张力。图8—5为锭子的结构示意图。在编织过程中，锭子沿编织盘卜的轨道运动，其相对于编织口的距离始终发生变化(见图8—1)，导致编织区中编织纱的长度随编织过程不断变化。为了补偿编织纱的长度变化带束的张力变化，在锭子中设计了带有涡卷弹簧5的储纱筒6，在弹簧5的控制下，根据锭子与编织口的距离，通过收卷储纱筒来达到补偿编织纱长度的目的。锭子底座2．纱轴3．轴芯4．支撑轴5．蜗卷弹簧6．储纱筒7．顶导纱眼8．中导纱限9．上导纱眼10．编织纱11．下导纱眼12．壳体图8-5锭子结构示意图8．1．4卷取装置为了控制预型件结构的密度和保证编织工艺参数的稳定，本设计采用了交流变频调速的卷取装置，可无级控制编织物的卷取速率，将已成型的编织物按设计要求逐步牵引出编织区域。 维矩彤编织规件的研究卷取装置如图8-9所示。电动机通过链轮系统和涡轮蜗杆减速器带动卷绕轮转动，卷绕轮上的引绳通过转向轮连接到吊钩，吊钩上挂着编织物。考虑到三维预型件弯曲后会产生一定的结构变化，因此采用了直线提升的卷取设计。整套卷取装置位于机架的顶部，结构非常紧凑。211．编织物2．吊钩3．机架4．引绳5．转向轮6，卷绕轮7．减速器8．电动机图8-6卷取结构示意图8．2编织实例实例1：矩形截面预型件m×n=12×12，1．确定基础图及其“4步法”编织模式矩形截面预型件基础图如图8—7所示，编织模式选择为“4步法”：圈图7．7矩形截面顸型件基础图“。步法”编织模式：czH，2f(：：：1]C：：1]]c8_1， 雏矩形编织删律的研究2．对基础图进行平移操作，得到m×n=12×12的结合图如图8-8所示图8-8矩形截面预型件结合图(m×n=12×12)3．构筑结合图的步进阵Z：f+1—1+1—1“一1+1一l+1一‘+I—qHt-1+l—l+l一1+l一1+l—l+1～1+1J4．确定初始方格阵，写出编织图“l-1“一l+i一1+l—l+l～1+t—心l—I+l一1+1一l+1—1+1一l+1一I+lJ图8-9矩形截面预型件编织图(113×n=12×12)5．上机编织编织操作过程略，实物照片见附录5照片E—l。 ：维矩形编织规律的研究实例2：工字形截面预型件III×n=12×121．确定基础国及其编织模式圈图7—10工字形截面预型件基础图编织模式：(ZH)一1+1十l—lO+l0一lf—l+l010+【2．对基础图进行平面等距操作，得到m×n=12×12的结合图结合2————————————■行局部变换与结合，得到最终结合图——————————--———--—-————————+(8-2)圈掣圈型墅塑銮垫皇笙鱼图8．11基础图、平面等距操作和结合图3。写出变换后的步进阵，构筑结合图的步进阵水平翻转：lZH)+1一l一1+l十IO—l0，l+l0l0+lf8一孙 维矩形编织规律的研究结合1：(zH)垂直翻转：(zH)结合2列局部变换与结合：f+l一1十I—11＼一l+l一1+j1f+1o0—1l一100+l／／q-I～】+1～I～1十l～1+I十10～l～Io0+f+l一14-1一l—l-Ft一1+I+10一I一10+({：0最后通过行局部变换与结合，得到结合图的步进阵4．确定初始方格阵，画出相应编织图97．揭oⅥ(8—4)一1Jl∞0"f8-51(8—6)(8—7)(8-8)0PO—O，，●jI●、，●●●●●‘●●●j、、●●、●J¨O一0O一0r，，●●●，●＼}0O，0O}+一+0“O0—0O“■“一广“+一+一o“o“¨0O0“O0“0O0“O0“1O1_HO0+一十一o¨o“n忆i兰=卜=，一¨一“ooo一“o““o“一0O00“一“一0o“一¨O0O0OO“一¨叫O0O“o¨o一“一““00O0以00“oO0¨00¨0O1“00¨o¨一o“一“；1ni旷虻JJ 二=维饵聪编织规律的研究图8一12工宁彤截面预型件编织图(mXn=12×12)5．上机编织操作过程略．实物照片见附录5照片E．2。实例3：门字形截面预型件mxn=12×12基础图同图8．10，变换方法和步进阵构造方法与(2)相似，编织图见图8-13编织操作过程略，实物照片见附录5照片E一3。图8．13凹字形截面预型件编织图(m×n-12)(i2)，一“一“ooo一川一““叫¨-_0o00¨_“10O00一“．-¨O0O00“．_“__0O0山川I叫刊¨一“●+一十+一+一“O0H0●“0Oi●00+一十+一+一十一十—h。卜“ 三维矩形编织规律的研究实倒4：凸字形截面预型件mXn=12X12基础国同图8-13。变换方法和步进阵构造方法与(2)相似，编织图见图8-14．编织操作过程略，实物照片见附录5照片E_4。图8-14凸字形截面预型件(mXw=12X12)实倒s：口字形截面预型件mXn=12X12纂础图同图8-13，变换方法和步进阵构造方法与(2)相似。编织图见图8-15。依据第五章式(5-39)中2个6一轮换，即坼王l舅站石¨向南石-，1)和坼’9五’9石，Io五’12^，12^’11)中元素的位置，在编织图上用黄色和红色分别标示出。在编织操作过程巾，对黄色标示出的位置上的载纱锭子进行特别处理。其中的5个锭子矧同种颜色编织纱，另1个单独用1种颜色编织纱，红色的也作同洋处理。其它裁纱锭子上都用白色编织纱。通过上述示踪纱线法，编织出盯字形截面预型件见附录5照片E-5。在预型件相对的两条棱刚近，可以清晰看出色纱只‘i色纱之问相互交换空间轨迹，与自色编织纱之问没有空问轨迹的交换，而色纱与色纱交换的循环正好为6。由此说明颜色编织纱的确构成的是相对独立的编织纱组，且纱组数为6，证明了第五章式(5—39)计算结果的正确性。同时电提示，采用置换方法，可以找到具有某些特刊空问轨迹的编织纱或纱组的位置，这对于小．．圳引础¨40O{“00以4O一“1““o¨o}t一+一+一+一J¨OO¨0O0o“OO“■O一+一‘一}00 暑啦矩形编织趣律的研究预型件的性能研究和应用必定会有所帮助，对预型件的设计也有积极的意义。+l-100、一l+l0O+I—10O一1+J0OO+l一10O．—t+_10O+I—IOO—l+l+1一lO一0一I+In0+l—lO—l+lO0图g-15口字形截面预型件编织圈(mXa=12x12)实例6：第五章节5．2．2中的“8步法”编织模式，mXE--4X4，编织图见图8．-16，依据式(5-37)，对奶，，五皿／i，．1．，0I五-o)和<岛豇天I)中元素的位置，在编织图上也用黄色和红色分剔标示出。f+J卅。：J1l一1一l+l+1Il+l+l—l～11Ll—t+I+IJ『+2o+2一lI一2+2—2+2ll+2—2+2—2I【一1+2—2+划图8-16。8步法”(mXn=4X4)在编织操作过程中，采用与实例5相似的处理方法对编织纱进行处理，编织出预型件见附录5鼢i-E-6。在预型件表面上，同样可以清晰看出色纱只与色纱之间相互交换空间轨迹，与白色编织纱之间没有空问轨迹的交换，而一组色纱_：●¨●¨d～+一十“_“o一“一“““¨oo“0O¨“nOq“0O“一oo一“一““o“以o“一“!l“I卜_二r卜 维矩形编组剧律的副‘兔的交换的循环为5，另一组与色纱的交换的循目=为3，15个交换的循环后各组色纱正好都回到同～起始侮置。也证明了第血章式(5-37)计算结果的正确忡和昔换计算方法的口J靠性。r实例7：式(7—34)编织模式下的项型件，编织图如图g-17所示=编织操作过程略，实物照片见附录5照片E一7。∽：；?；捌陶8一17T_字形截面预型件编织图(m×n=6×6)实例8；式(7-35)编织模式下的坝趔件，编织罔如图8—1R所示，实物照片见刚录5照片E．8。～3o0}11_l10．3』__3∞0～I“I1103}3J罔R．18u字形截面预型件编织图(m×n=10x10) 维矩形编织规律的训究8．3本章小结1．所设计的三维编织机呵以较好地完成一些预型件的自动编织工作。2．通过在预型件上应用示踪纱线法，证明了第丘章应用的置换计算结果的正确性和方法的可靠性。3．应用本论文第七章提供的方法，可以获得了所需的编织模式，通过编织实践，得到了相应的预型件。4．编织实践表明，本论文所归纳的结论和步骤是合理的、可行的。 维矩形编织规律的甜究第九章总结和结论经过理论上的综合分析和编织实践，本文在纵横步进编织法的编织模式的研究方面取得了一定的进展，主要对编织原理性问题进行了系统的归纳和总结：对编织过程的描述提出了一种实用的图形表达方法：应用置换理论准确表达了编织过程，使编织这一工程实践过程转化为数学运算过程；应用置换群理论对编织的核心问题——编织模式进行了深入分析；最后应用平面等距变换原理寻找到获取编织模式的行之有效的方法，有关的研究和获得的方法对于进一步开展编织过程、编织模式的研究和三维编织预型件的设计与应用有着积极的意义。归纳起柬本文获得了如下的主要结论：1．编织图表达出了实现编织的三个基本要素，即编织盘的结构，锭子在编织盘上的初始排列和编织模式2．方格阵中所有的方格全面准确地表达了编织盘的结构和锭予可能占据的位置，用不同的色泽标识出不同作用的锭子的初始排列状态后，方格阵清楚地表达了锭子在编织盘上的初始排列状态，同时还可以显示出所编织的预型件的截面形状。3．步进阵简单明了地表达了编织模式，步进阵中的步长与锭子的行列移动有直接的对应关系，以数阵形式来表示编织模式，将大大方便进一步的分析和研究。4方格阵由主体阵和四周的边阵组成；方格阵中，任意一行或一列两侧的边阡方格数必须相等，但行与行、列与列或行与列之间的边阵方格数可以不相等。在实际编织时考虑到实现锭子移动的难易程度和编织盘的品种适应性等因素，一般所有的行边阵列数和所有的列边阵行数设计为相等，但行与列之间不一定相等。5．在主体阵内不能有空格，必须以锭子填满主体阵；开始编织前必须有锭子放到边阵中，边阵每行和列中锭子的数量不得小于行边阵列数和列边阵行数。6．编织异型截面三维预型件时，一般采用包含此异型截面的规则矩形编织方格阵。并在包含此异型截面的主{奉阵内，用载纱锭子安放出异型截面，并按照编织模式确定其它载纱锭子与空载锭子的位置。 二雏矩形编织规律的研究7．依据集合理论，可将所研究的对象——先格阵抽象为一个集合，将方格阵中每～个方格抽象成为集合中的元素，并设定左边阵的左侧与右边阵右侧相接，形成封闭；上边阵的顶部与下边阵的底部相接，亦形成封闭，则步进阵可抽象为作用在集合上的置换，编织过程转化成为置换运算过程。8．用置换可以准确表达纵横编织的每一步，且每一步的置换表达与步序没有关系9将表达纵横编织的每一步的置换写成不相交的轮换乘积形式时，每个轮换正好与锭子的整行整列移动要求相对应，各轮换中的元素按行(或列)坐标的升序排列时，各轮换可写成幂的形式，幂指数就是纵向阵(或横向阵)相应位置的步长。10．完成～个步进循环就是将代表每～次步进的置换按照顺序相乘，结果也可表达为～个置换。11．当表示一个步进循环的鬣换表达为不相交的轮换的乘积时，可以从表达式中得出纵横编织的一些特性，如：》不相交的轮换的个数就是编织锭子的分组数。》轮换的长度就是各组中编织锭予的枚数。》各轮换长度的公倍数，即置换的阶就是编织锭子全部回到初始位置所需的步进循环数。≯由于任一置换都一定可以表达为不相交的轮换的乘积，且表达是唯一的，因此这些结论总是成立的，且具有普遍意义。12．边阵中空格的位置与位于边阵的某些经过一个编织循环后保持不变的元素相对应。13．一些位于主体阵中具有特殊置换规律元素，与异形截面编织时空载锭子的位置相对应，即采用置换方法可以计算出异形截面编织时方格阵的初始状态。14．按纵横步进编织模式构成的所有置换所组成的集合，对置换的乘法运算构成一个群，这个群是置换群的子群，称为编织群。15编织群元素可由方格阵抽象的集合中整行或整列元素的轮换幂乘积的形式表达，编织群元素是有限的、可数的。16构造编织模式时应满足的必要条件为：纵向步进和横向步进必须交替进行、 维矩形编织规律的研究编织模式必须是一个完整循环以及编织过程中锭子始终不能移出编织盘。17，构成z阵(或H阵)的l列的jj能的种数是组合数学中的有约束条件递归关系问题，是关于S。和k(或st和k)的多项式，可以采用数值计算方法得到具体的多项式。18．构成z阵(或H阵)的问题是有约束的数学排列问题。19．可能的纵横编织模式的总数可依据组合数学的积则算出。20给定编织参数S。和st、P和q以及k的值，可以写出每种编织模式的具体形式。21．在将表达方格阵的集合F中的元素按锭子循环p×q分类之后，求取表达置换幂指数的纵向步进阵和横向步进阵的问题，简化为求取表达锭子循环p×q的置换幂指数。22．以P×q分类为基础进行的分析可以与预型件的单元结构相关联。23以三维预型件单元结构为依据，获取编织模式的步骤为：1)取得预型件的单元结构，依据编织原理，提出对锭子循环的要求：2)选择出符合要求的名义编织群元，结合一些经验得到相应的步进阵：3)将步进阵重复扩展到实际主体阵，得到实际所需的编织模式。24．应用图形等距变换原理，分析可知纵横编织中只有7种形式的等距变换。通过基础图与等距变换图的结合、基础图与局部等距变换的结合以及它们的综合操作，可以得到各种预型件截面图彤。25．受到编织方法的限制，图形的结合的规则是：基础图与等距变换图只能沿纵向和横向埘接；当两个图形沿水平方向结合时，其横向编织模式必须相同；当两个图形沿垂直方向结合时，其纵向编织模式也必须相同。26当两个图形沿水平方向结合时，横f_阵保持不变，纵向阵按结合顺序叠加：当两个图形沿水平方向结合时，纵向阵保持不变，横向阵按结合顺序叠加。27．以三维预型件截面形状为依据，获取编织模式的步骤为：11选取基础图，得到相应的步进阵；21对基础图进行整体和(或)局部的平面等距变换31通过对基础图与变换图的结合、基础图与局部变换图的结合、变换图与变换图的结合以及它们的综合操作，得到实际参数下的结合图： 维矩形编织规律的研究4)按照归纳的方法构筑结合图的步进阵。虽然在编织过程和编织模式的分析研究方面取得了一定的成果，初步解决了获取编织模式的问题，但尚待进一步解决的问题还有许多，主要为：1．群理论的应用是初步的，只是应用了一些基本的性质。进～步的应用包括有关群的其它特性与编织的关系，以及应用群理论中的有关定理解决编织模式的分类问题等。2．由于编织预型件在窄间结构上是～个整体，而可能的编织模式中存在不能编织出整体结构的问题，如何从理论L判断并归纳出这些编织模式，需要进‘一步研究。3．由于编织预型件的结构在空间上存在对称性，因此一定编织参数条件下的编织模式中存在大量的重复，如何从理论上判断并归纳出这些重复的编织模式，需要进一步研究。4．目前的工作基本上都是建立在锭子平面运动分析的基础上，三维编织预型件无论是单元结构还是整体结构，都是立体的，虽然从平面角度的分析可以间接判断立体结构状况，但问题最终还是要归结到立体结构，这是需要进一步解决的重要问题。 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附录2“口”字形截面预犁件编织的置换表达步进阵(m×n=12×12)：0“00“0O__“00“00一+一+一+一+一+r≮Lp二‘pPpp卜¨p一卜率驻驺M驺耵辅驴¨"邶丘矗允允允几厶矗‘‰矗如却翠∞抖芦；导茚翠爷狱m丘丘允乇丘允厶元允‰厶允p卜¨卜pP户Pp卜pp3i，．一凡厶厶凡厶厶氏丘t‰‰氏2i，I凡厶矗丘丘厶k屯丘‰‰气i旺u“骖拍耵惦归邺m眦，●；●i¨i工兀厶兀矗^兀兀矗厶丘丘凡厶厶厶厶‘厶兀厶氏^丘丘丘允凡凡丘厶丘丘‰‰丘丘丘厶‘矗厶厶丘丘‰‰‰厶厶厶厶厶厶厶厶厶丘矗矗兀厶厶厶厶厶厶厶厶允丘允厶丘厶厶兀丘厶兀厶允矗丘兀厶厶厶厶厶厶凡‘氏氕尼厶厶厶厶厶厶厶厶厶厶厶厶凡厶厶厶厶厶厶兀厶丘凡后厶厶厶厶兀厶厶厶厶丘厶丘九厶厶丘厶厶丘丘丘丘凡允厶厶厶厶厶厶厶厶厶厶矗矗九厶厶厶毛厶厶厶‘允允乇凡凡厶凡凡凡厶厶厶凡矗丘兀厶厶厶L厶厶丘厶凡丘丘厶厶厶厶厶厶厶厶厶厶厶丘兀厶厶厶厶厶厶兀氕氏凡允厶厶厶厶凡厶厶厶L厶矗丘凡厶凡丘丘厶厶丘厶凡允允兀凡兀凡兀兀兀兀厶凡矗凡兀厶厶厶厶厶厶厶厶凡^厶数兀厶凡凡兀凡兀厶厶丘矗‰毵兀厶厶厶厶厶厶厶厶凡丘允第n第眩 耻盐翦M拍即翠靼驰驯工Z工工工_Z，Z兀^无犁砧∞弘筇拍驴珥爷那圳琳工Z工工ZZZZZ无Z^U驻UHU垆耵搏p眦UⅢ工工工工工∥工正‘_工，m啦∞时晒嘶钾呻妒州犁牝厶丘允矗氏氏丘丘矗‰‰‰厶厶厶厶厶厶厶厶厶矗厶丘厶丘兀厶凡丘矗厶‘矗厶丘厶厶厶厶厶厶厶厶厶丘厶厶兀厶兀凡厶元‘厶厶丘矗厶厶凡厶厶厶氏厶厶厶厶厶厶^凡凡凡凡凡厶厶厶厶厶丘厶凡厶厶厶丘厶厶厶厶丘厶厶厶厶厶厶厶厶厶厶厶厶厶兀无兀凡兀兀兀凡凡丘丘丘步兀厶兀凡兀凡矗矗元允允矗第h允厶厶‘矗丘矗矗丘‰几厶丘丘丘凡厶矗‰丘丘‰‰k矗厶厶矗厶厶厶矗矗‰‰矗0O0O0O0Oi¨凡厶矗凡矗厶厶厶厶‰‰‰兀厶厶厶厶厶厶厶厶凡厶厶兀厶厶厶厶厶厶厶厶凡凡矗兀厶厶厶厶厶厶厶厶丘允如兀凡厶凡厶厶厶厶厶丘凡允兀厶厶厶厶厶厶兀凡凡丘几凡厶厶厶厶兀厶厶厶凡凡矗兀厶厶厶矗兀厶矗凡丘凡允凡厶厶厶厶允厶厶厶丘允允兀厶厶厶矗厶厶兀厶凡兀允步凡厶厶厶厶厶厶厶厶丘“L第艮 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置换b(．厶．六；^，．厂4。／：。．氕。六，，厂，，／j。，77。六。，。厂：．。厂。{、。{q3{ql{ju{j。{ju{q、{。。{b、{sA{i。{j、、tfLtf。f。f。f92fqlf．。f。。jij。fj。f。f。。f。．fj。2j、m■f。氏f4。{。。f。。}。f。，fi。九f、：、(厂。六：厂、，六，厂。／!I。六．。fo⋯厂"．，六。六。fo．。六。，，。{u、{i。q{?；{q、{。{、u{。{。。{。{。{14{sI、L{4、{4：{。fo．s{1，k{。、fo．jt{。{l，{。{j。{13{s。、(六，^．六，，。，，：。，：。，。．。．，j．：工．，六。六。工。工，六，，)t；1、f。f。1f。{。f。。j。。}。：j。f。j。。j。L，{i3、l{1，{h：{。{。。{Hfo．1{。fo?、{。{q。{q，{j。{。{．。、(六。六．，六，，。，厂：。，。厂。六。六。六。工。厂，)(厂：．厂：：厂。六。fo．，，。。)(六。六。六．。^．：六。：，。)氓，)讥，)cf,，)旷，)眠，9)旷。)瓯)哌)蛾c)吼8)吼，)瓯。)皈．)畈，)畈。)畈．，帆．)∽。。≥皈0)(厂4J皈≯(fJE。0)(，1：0吼．)(fOE0识J皈0(，5≯蛾≯虮7)皈≯皈≯ 附录3第六章中几个数学表达式的证明1．问题的提出：纵横步进编织法规定锭子的运动彤式是璺交替进行横向和纵向步进，不能连续进行两次横向或者纵向步进。设步进循环数为R，纵向步进循环数为^，则横向步进循环数是^，而且R=2k。Mn,t，纵向(或者横向)步进阵的每一行(或者每列)不能全为0。设纵向步进阵为z2(乃J。。。，f白峰N，横向步进阵为H=(％)。，f％峰M，则有约束条件：Ⅲ，ZIhI‘o，扛1⋯‘和羔lhI≠0，f．1，”·，k(c1·1)纵横步进编织过程是步进循环不断重复的过程，在经过一次步进循环后纵向和横向步进规律都要达到重复，用数学的语言描述就是满足约束条什：0和∑_。=o．(c1．2)岗此，R是大于3的偶数。编织盘作为锭子存在和运动的载体，其结构确定以后，锭子就只能在编织盘上移动，任何导致锭子移出编织盘边界的运动都不能发牛，反映在纵横步进阵上就是对每次整行或者整列的行进步长和步长之间的配合有限制，要求连续Ⅳ次步长代数和之绝对值必须不超过边阵的最大空格数，用数学语言描述就是满足约束条件：川≤Nzl，+z2Jl≤Nz，，+⋯十Gs[<-N，⋯，I‰+⋯+。一。．，I≤Ⅳf⋯h≤M，⋯，k卜M{”也zB虮．．，Ihst+_t怿膨驴l，．√(cl-4)J⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯··lih,．+¨．+hs。l<-M⋯，Ihs。+¨．+_卜。卜M于是就产生了问题11“和R或者k之间有41-／厶关系?问题1．2在满足约束fcl．1)，(c1．21和(c1．3)，fcl-41条件下可能的运动方式有多少种?2．问题的求解条件(cI．3)和(c1．4)对于"的限制是等效的，冈此以下只考虑纵向步进阵，横向步进阵结果是类似的。对于问题1．1可以用数学语言萤述为：问题2．1求满足条件(CI．2)，(C1-3)和约束条件jZl，+¨．+气!>Ⅳ或1乞J+¨．4-Zu扎√>N或⋯．或IzⅫ+乞扎，+”．4-zhJl>N(c2-1)的“的最人值。对于此问题，我们有．C1．oC(聊I=Ⅳ≤Ⅳ钆<一}％～ 命题2．1仍然记满足问题：．，的“的最火值为“，删“=int(圭)，其中int表示向。方向取整的运算。证明：用反证法。假设“>int(鲁]，则由条件cc，．：，得到由于“满足条件(c1·3)，不妨设fzll+一+z。lf>N。因为ZII+⋯+z。。J=lz。。．，+⋯+z+，J>N但是根据假设“>int(鲁]，则k-u<_u-1，再根据条件cct一，，得到Jz¨，1+⋯+z女1j3的情况。以下考虑约束条件(C1．3)，满足k，+z2，I>N的整数格点为O(N：)。类似地，满足f乞，+z，，}>Ⅳ或者{卸。，+z目}>N，⋯，或者p目+气，{>Ⅳ的整数格点分别为。(Ⅳz)。冈此满足条件{h』+z2JI>N或⋯或Iz目+zl』l>N)的整数格点为D【Ⅳ2)。同理，满．C2． 足条件(1z。，+z：，+乃，f>Ⅳ或⋯或卜目+z。，q-Z2)I>Ⅳ)的整数格点为p(Ⅳ，)，⋯，满足条什{旧，+⋯+～l>N或⋯或旧。+⋯+z+一，!，Ⅳ}的整敬格点为D(A『tu)。因此不满足条件(cl·3)的整数格点为D(Ⅳ‘”)，而满足条什毛，+z2J+⋯+‰=0的整数格点为O(N‘1)个，R，I为从满足五J+z2，+⋯+‰=0的整数格点中把不满足条件(C1—3)的挚数格点去掉后的个数，可是O(N“1)的最高项阶数为k一1>“，(t>3)，所以满足条州((：j_1)，(CI一2)和(cl-3)以及z口∈{-N，⋯，一1，0⋯1．．，Ⅳ}的(：I，，⋯，％)7的取法总数为O(N“1)，即PⅣ，女=()(Ⅳ⋯)。由矩阵Z的各列的无差异性。对于各列都骨气，。=o(．v“1)．命题证毕。问题2．3根据得到的Z的列构造矩阵Z，求Z的取法总数(记为Q)，要求满足约束条件：互≠互，(1≤i≠J兰m)(c2—2)z，≠0，(f=1一·，m)(C2．3)其中Z。．，Z。依次为矩阵Z的列向量。对丁此问题．我们有命题2．3Q：鱼：!：!鱼：!二!生』垒：!二竺±!!，竹什为当k=2，N=1，m=2时Q2=3。tQ+其中m是Z的列数，初始条证明：由命题2．2Z。，(i=1，．，m)的取法为Rk种，根据对纵横步进编织的机构分析z”．，z。取定后，(z”．．，z，)和(z2，．．．，z。，z，)事实j二是等效的，即结果相同，再考虑到约束条件(C2—2)，则Z”．，Z。是一个圆排列的问题。满足条件(C2．2)的Z取法有一t‘(尸Ⅳ，I一1)⋯‘·(PⅣ，女一m+1)／m种。以r考虑约束条件(C2—3)，如果Z的某一行(不妨设为第一行)全为0，即z=(zi⋯．，z：，)，其中z；=(0，z：川．，z。)7，(f=1r．，加)。记r=(z：川．．，z。)7，(f=l⋯．，埘)，则r，(i_1，，m)取法有R．。种。问题退化为求Y=“，．，k)的取法总数，要求满足约柬 条件：F≠r，(1si≠／≤m)，F≠0，(i=1，．，m)。这是一个递p1问题，沿用前面的记号则y的取洼有Q—j种。由z各列的无差异件。则小满足条件(C2—2)的z的取法共有^珐一，种所以满足条件(c2-2)，(C2—3)的Z的取法9满足递归式Q：必tQ—I(C2—4)当k=2，N=1，m=2时，即传统的“4步法”，此时有92=3，命题证毕。对r横向步进阵，用玮k表示横向步进阵日的任意一行满足条件(c2一1)，(C2—2)(C2—3)和A。∈{-Jv，．，一1，0⋯1．．，Ⅳ}的取法总数，Qi表示在得到Ⅳ的行所有取法后H的取法总数。用和纵向步进阵完全类似的方法(证明从略)。我们得到命题2．4匕，。=o∽“’)，其中D∽“’J表示M“1的问阶多项式．命题2．5魏=白，々‘(吃。I—1)⋯(兄^一，+1)一＆Q：一，，其中l是H的行数，Q；=3。综上所述，我们得到问题1．2的解，即在满足约束(Cl-1)、(CI一2)、(Ct一3)和(C1·4)条件P可能的运动方式有玖×么=o(N“‘)×O(M“1)种。3．关于计算1日题在求解g×Q；时，核心的问题是蹋．^的计算问题(％，±类似)。一般说来，PⅣ，t(巧．*类似)是没有统一的表达式的，例如：只．=1，R：=2N+l，，R，=3N2+3Ⅳ+1日。=4N3+6Ⅳ2+4N+I，只5=SN4+10Ⅳ’+10Ⅳ2+5N+IPⅣ广去(352n845Ⅳ4+925Ⅳ3+565Ⅳ2+193Ⅳ瑚)。对于固定的女，由于PⅣ。=o(N“)，因此可以设昂，。=∑qN‘，其中口，，(i=o，-，k一1)是待求的参数。分别令N：0,1，．，k一1由条件(C1．I)，(c1．2)和(cI．3)，根据穷举法(这用MATLAB很容易实．C4． 现)分别得到N=0,1，¨，，k一1时的PoD门。．，R_Lt，由此得到k个等式．联立得到一个线件方程组的求觯问题．即求解方程I％=R．々=1j％+at卜_·Ⅷ¨2墨‘(c3-1)I⋯⋯⋯⋯⋯·-·【日D+d1(t一1)+．+ak_I(女一1)‘～=只l，I解此线性方程即可得到待求的参数a，，(f：0，．，k一1)，从而得到日★或石，女。解毕。 附录4一定条件下所有的Z阵实例1．编织参数为：s。=l，n(p)=2，k=4，进一步约束条件为任意两列不重复和n为锭子循环(n印)，ⅡJ能的z阵的总数及具体形式。1．先写出可能的列：只．=4s。3+65。2+4s。+1=4+6+4+1=15种剽3．可能的Z阵数：Q虹：垡竖墨二』：半钏s种2二4．z的具体形式：一般形式为：f如如1z：l221Z22lJZ3l232JLZ41Z42，㈤m]I]}|oil：／jc；{为了表达清楚每一个具体的z，这里在z前用fYxl／作为z的编号，则有：《㈤-D1-《a习㈦=心卜H㈨一、_-OO“㈤--¨O0P00一“0一O都列的能可种述知可算验经得可筋、占式据依蛐靴徽、●●●●●●●●●●●●，，J0O}一⋯¨㈨㈨叭J叫州√咧⋯¨㈨㈨=护㈦，，●●●●Lq叫列。一“。E㈨㈨《1引。：。¨o0O，，●●●●●●●●●●，●●，，●l=、、，●●JE1叫Ⅲ叫⋯㈧㈨㈤、吣叫叫叫晤¨㈦㈢晴、lI●lJ0．一0+0O“0一，0●0O●l0rfll、l“，卜Ill、＼=高㈦㈨㈨、；n㈤、ill、lJ、【，、l，1J吐叫刊■划川0刊叫一+。o“叫ooⅥo。p“。。。、誓瓣㈦飞—Ⅵ仁飞_一∞㈢q叫叫川卟叫叫叫⋯㈧㈨㈨=nWq刮U引“一00，，、●●●●●●●●●●●●、●●＼II，=，V，，●●●L“o0O，，●●●●●●●●●●●●●●●●＼、=J=l”／，．．．．．L1湖⋯㈦㈨㈨；0，，．．．＼州引⋯㈠㈨㈨="二IV，，．。，．．L0}O一¨o0O-，，●●●●●●"●●●I●，●●lL、；乱l刚，，，●●．L、●●，●、●●●●●●●●●J0O}一“oO0，f1【Illll}}l～ ㈤：一Lu㈡臣爿翔习㈦(≯(∞”㈦(：]博=睁习割(习阿㈢《㈦=恳∽唐淞=嗣；曩∽：·D2．巨睁㈢篙㈤=E㈤=陋㈤=悖防(；]：G)=盼(匀㈡=习O0}"}O0一，，，．．；，．。．．．．．，．，．．．．．．1；、、●●』36，，●●●Lm--叫、州}叫0O¨o小0刮∞“Oo■__“OO，一+OO、川叫叫叫。一o“⋯㈤㈨㈠～}0O¨0Oo，．，．．．．，．．．．，．．．。．．．．．．LE＼●●●／3l，，●●●I、、】●J卜∞0“oO■O¨O_“叫¨，¨√川卅¨_-叫刊¨√川刊r”k～㈨㈨⋯㈨㈨⋯㈩、．卜，jJJJ㈢—剖1驯，●，l／●●●＼一。。“。一“。，¨叫川1列“一¨一，n叫川爿，H⋯㈨㈨¨⋯㈨㈨一。“o～㈨⋯㈨，。oo“G㈦㈢∞吖叫列。。¨。吖川圳叶叫划叩叫≈叶叫刊¨。。一⋯㈨㈨㈠、Ll*¨⋯㈨㈤=、●，、J-_㈤W、1●fltt●●●，rl，一+，+¨_O0ll、、，●，卜∽、、●，，t●l●JJ●，J+一十一¨o0、，●，JpmG㈤、，●，，；●●，●，一+一}0P一0．“0O一⋯㈨㈨H，1mW、、，●●●●，●，●●，／¨√川⋯叫¨_¨叫、=㈨㈨一H㈨㈤一叽叫叫叫卟叫川州“一“■⋯㈨㈨㈠m∽P0O一吖到1刊，。。“。、、●●』卜№一0O“，，．．．．．．，．．，．．．．．。．L=、，●J●J6吣J，，●，●Lo“o_『㈨¨㈨一、，0，，l』llll，iln√川⋯圳．一“一“，“_¨_、l●●●●，●，●●／＼，●●，●●●，，●●』O+0一+一+一OO¨on吲O0O“01，，，，．．．．．．．，．．．．．．．．。．L=、、，●J8b，，．．．．．L吖引刊1叫刊1川甜。一“。¨√川I川}叫叫“一¨。一。“¨。川1州l叫，～㈨¨㈨U吲钋叫，，●●●L，，，●●L㈠㈨：三¨I|m吲H㈨㈨¨、、●，／卜∽～OOL，，，．。．．．．．．．，，．．●．．1|】、、●●，』6H，J●●●，L，。“o_“一¨一oo一¨叭√川√圳m．川，叫I叩仨《《¨圳㈦㈨㈨⋯一㈨㈨”O0}一，，，，．，．．．．．．．．．．．．．1ff、、●●／7旧，，●●●lOO“__r{●iJIOO¨1，●j●●●●●●，，●，LO“0o，，J，．．．．．．．．．．．．．．．．．，．Lf{、、，●J8佗，，●，●●L0■O“O¨0o，，，．●●●●●●●●●●●●●．●●，l＼=、l，●J8¨，，．，．．L㈨H一㈨、、，●，●●●●●，／+一十一∞—■叫，吖O}～O=、，，‘●Jp∽ 睦：{{011习三i]习虱习㈦割习实例2．编织参数为：Sc=3，n=3，k=2，进一步约束条件为任意两列不重复，可能的Z阵的总数及具体形式。1．先写出可能的列：Psc=2s。+1-2x3+1=7种，即(驯：扎∽)㈥-1(-+2：)(-+3，)2．Z阵的k为2，依据式(6．25)可得x={1}，经验算可知上述7种可能的列都符合要求。数：一1)x(Ds,-2127×6×52210*十4．Z的具体形式：‘般形式为：z屯孙Z12a同样姚小：{](!]==：=*，3，(；]5：：][{]=(：：．D3．十loo)／!l=(：：。0：科m；O．0+，llllll}lJIllllO0一}，rlllf}，IllllI、、们“√，，●●。●L㈨一H㈨O一}O，，．．．．．．．．．．．．．．．．，．．．1=、●●●●J24，，．．．LP㈨卜㈩阳H⋯∽一lI、，，』、●●●／j423"=b九bq到■圳㈨㈨一Ho—o“㈨㈨一r叫川川_㈨㈨～¨0—0}，J●、．．．。．．．，I。．1|．、、●，』l4J，，．．．．L叭—叫封㈨～㈧¨一十一+H—H一、+一+一阳㈨㈨㈨、磬轳，，，，L，，●●L0U州匕阵&zb的×聪R1Q有m斗号编的Z为作、、、●，，●●，，Xyz，／，●●●0●●●●●＼V甬一刖之Z在里这、、●●J}一也oS、●●●●J一+0OeG㈧⋯U习吣吖心o+～瞳-．nohH，，，，●●●●lL一+@0O卜卜II㈤ 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