高中数学折纸活动促进学生创造性思维品质养成的研究 76页

单位代码１０４４５｜２０１５３０２学．号１４８分类号全日制学习方式硕士学位论文（专业学位）论文题目高中数学折纸活动促进学生创造性思维品质养成的研究专业学位名称教育硕士学科教学（数学）方向领域名称申请人姓名段义峰指导教师傅海伦教授论文提交时间２０１７年４月２日 独创声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研宄工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人己经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得（注：如没有其他需要特别声明的，本栏可空）或其他教育机构的学位或证书使用过的材一料。与我同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。娘个学位论文作者签名：私导师签字：学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家冇关部门或机构送交论文的Ｅ印件和磁盘，允许论文被査阅和借阅。本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检尜，可以采用影印、汇编学位论文。（、缩印或扫描等复制手段保存保密的学位论文在解密后适用本授权书）学位论文作者签名：：导师签字１开签字日期：年ｒ月丨签字ｆ丨期：Ｍ７年谓 单位代码10445学号2015302148分类号G633.6学习方式全日制硕士学位论文（专业学位）论文题目高中数学折纸活动促进学生创造性思维品质养成的研究专业学位名称教育硕士方向领域名称学科教学（数学）申请人姓名段义峰指导教师傅海伦教授论文提交时间2017年4月2日 目录摘要...............................................................................................................................IAbstract.......................................................................................................................III第一章问题的提出......................................................................................................1一、问题提出的背景............................................................................................1二、本研究的意义和价值....................................................................................2三、本研究的主要方法........................................................................................3第二章相关概念的界定及研究现状..........................................................................4一、“折纸”及“数学折纸活动”的界定..........................................................4二、“折纸数理学”的发展及研究现状..............................................................5三、“数学折纸活动”及其研究现状..................................................................7四、“创造性思维”及其研究现状......................................................................9第三章折纸活动培养学生创造性思维品质的理论基础........................................13一、利用折纸活动培养创造性思维的可行性..................................................13二、本研究依据的主要教育理论......................................................................15第四章对高一学生开展数学折纸活动的调查研究................................................17一、调查目的......................................................................................................17二、调查实施......................................................................................................17三、问卷分析......................................................................................................17第五章“数学折纸”活动培养学生创造性思维品质的实验研究........................27一、实验目的......................................................................................................27二、实验设计......................................................................................................27三、实施策略......................................................................................................28四、创造性思维测试数据统计..........................................................................29五、实验过程与实验结果分析..........................................................................31第六章数学折纸活动教学案例................................................................................37一、《指数函数》教学案例................................................................................37二、《棱柱、棱锥和棱台的结构特征》教学案例............................................39三、数学折纸活动习题课教学案例..................................................................42 四、折纸微视频实录..........................................................................................45第七章研究的结论、存在的不足及展望................................................................55一、研究的结论..................................................................................................55二、研究存在的不足..........................................................................................55三、课题继续研究的展望..................................................................................56注释............................................................................................................................58参考文献....................................................................................................................60附录............................................................................................61附录一：高中生对于数学课堂折纸活动的认识情况调查问卷......................61附录二：高中生创造性思维测试......................................................................65致谢..............................................................................................................................67 山东师范大学硕士学位论文摘要数学折纸活动是一种与数学紧密结合的折纸活动。在高中数学教学中开展数学折纸活动，可以促进学生手与脑的协调统一，培养学生的创造性思维品质，即思维的流畅性、灵活性、独特性。首先，在理论研究方面，本文介绍了问题提出的背景、本研究的意义和价值，并对“折纸”、“数学折纸活动”、“创造性思维”给出了概念界定，叙述了数学折纸活动及创造性思维的研究现状。同时，本文论及利用折纸活动培养学生创造性思维的可行性，提出创造性思维品质与学生的逻辑思维能力及空间想象能力有密切关系，并以杜威的“从做中学”、建构主义等教育理论为支撑，为后续研究奠定了坚实的理论基础。其次，在调查研究方面，本文通过问卷的形式对山东师范大学附属中学高一年级6个班的学生进行调查，主要调查了学生对于数学折纸活动的认识，采集数据后分析得出，学生的逻辑思维能力以及空间想象能力都有较大的提升空间；大部分学生对于数学折纸活动的认识还比较片面，但总体对于开展数学折纸活动都持比较积极的态度。本文还对高一1、2两个班级的同学进行了创造性思维测试，作为实验的前测。在具体实验阶段，本文提出了利用数学折纸活动培养学生创造性思维品质的具体策略，包括课上渗透和组成兴趣小组、微视频等形式，并给出了具体的实施办法：将两个班分为实验班和对照班，实验班在数学教学中开展“数学折纸”活动，并在课下组成折纸活动兴趣小组，对照班则用相对传统教学模式进行教学。经过两个多月的实验教学之后，以后测的形式检测实施效果。对于两次测试的结果，本文借助Excel进行了数据统计，用SPSS统计软件进行了K-S检验、独立样本T检验，前后对比分析得出学生的流畅性还有待进一步改善，学生思维的灵活性、独特性都有明显提高。本文还结合大量折纸材料及高中教学实际，在借鉴的基础上进行了改造和创新，给出了数学折纸活动的教学案例，包括《指数函数》教学案例、《棱柱、棱锥和棱台的结构特征》教学案例、数学折纸活动习题课教学案例以及折纸微视频实录等。最后，本文总结了研究的结论及存在的不足，并对于后续研究提出了展望：I 山东师范大学硕士学位论文增强数学折纸活动与数学教学的融合性；开发更具实践意义的教学资源；开辟利用折纸活动培养学生创造性思维品质的新途径等。关键词：高中生；折纸；数学折纸活动；创造性思维品质；折纸教学案例II 山东师范大学硕士学位论文AbstractMathematicalorigamiactivityisakindoforigamiactivitiescombinedwithmath.Carringoutmathematicalorigamiactivitiesinmathematicsteachinghighschoolcanpromotethecoordinationofstudents"handsandbrain.Itcanalsocultivatestudents"creativethinkingquality,i.e.fluency,flexibilityanduniqueness.Firstofall,intheaspectoftheoryresearch,thispaperintroducesthebackground，significanceandvalueofthisresearch,andgivesthedefinitionof"origami","mathematicalorigamiactivities"and"creativethinking".Itdescribesthepresentresearchofmathematicalorigamiactivitiesandcreativethinking.Atthesametime,thispaperdiscussesthefeasibilityofcultivatingstudents"creativethinkingbycarringoutorigamiactivities.Wefindthatthereisacloserelationshipbetweenthelogicalthinkingability,spatialimaginationabilityandstudents"creativethinking.BasedonDewey"s"learningbydoing",constructivismandeducationtheories,thispaperlaysasolidtheoreticalfoundationforfurtherstudy.Secondly,intheinvestigation,Iinvestigate6classesingradeoneofAffiliatedMiddleSchoolofShandongNormalUniversity,mainlyinstudents"understandingofmathematicalorigamiactivities.Accordingtothecollecteddata,thereisgreatroomforpromotionofthelogicalthinkingabilityandthespatialimaginationabilityofstudents;Moststudents"understandingofmathematicalorigamiactivitiesarestillrelativelyone-sided.Butallthestudentsholdamorepositiveattitudetocarryoutmathematicalorigamiactivities.ThisarticlealsocarriedonthecreativethinkingtestasthepretesttothestudentsofClass1andClass2.Intheexperimentalstage,thispaperputsforwardsomeconcretemeasuresforcultivatingstudents"creativethinkingqualitybymeansofmathematicalorigamiactivities,includingpenetrationinclassandcompositionofinterestgroupsandmicrovideos.Itgivesthespecificimplementationmeasures:twoclassesweredividedintoexperimentalclassandcontrolclass.Theexperimentalclasscarriedoutmathematicalorigamiactivitiesinmathematicsteaching,andformedinterestgroupsoforigamiactivitiesafterclass.Thecontrolclasswastaughtwiththetraditionalteachingmodel.III 山东师范大学硕士学位论文Aftertheexperimentalteachingformorethantwomonths,Imeasuredtheimplementationeffect.Fortheresultsofthetwotests,thispaperusedExcelfordatastatisticsandusedSPSSforK-StestandindependentsampleTtest.Throughtheanalysisofthepretestandtheaftertest,itshowedthatthefluencyofthestudentsneedtobefurtherimproved,andboththeflexibilityofthestudents"thinkingandtheuniquenesshasbeensignificantlyimproved.ThispaperalsocombineswithalargenumberoforigamimaterialsandteachingpracticeinSeniorHighSchool.Onthebasisofreference,itcarriedonthetransformationandinnovation.Itshowsteachingcasesofthemathematicalorigamiactivities,includingtheteachingcaseon"indexfunction",“thestructurecharacteristicsofprism,pyramidandtrustumofapyramid”and“theuebungofmathematicalorigamiactivity”.ItalsoshowsOrigamimicrovideorecord.Finally,thispapersummarizesconclusionsandshortcomingsoftheresearch,andputsforwardtheprospectforfurtherresearch:toenhancetheintegrationofmathematicalorigamiandmathematicsteachingactivities;developmorepracticalteachingresources;openupnewwaysofcultivatingstudents"creativethinkingqualitybyorigamiactivitiesandsoon.Keywords:Seniorhighschoolstudent;Origami;Mathematicsorigamiactivities;Creativethinkingquality;OrigamiteachingcaseIV 山东师范大学硕士学位论文第一章问题的提出一、问题提出的背景1、新课程改革的需要及要求高中新课程标准提出：高中数学课程应该通过多种形式的自主学习和探究活动，要让学生体验数学发现和创造的历程，提高学生的数学思维能力，发展学生的创新意识；要体现课程改革的基本理念，运用多种教学方法和手段，引导学生积极主动地学习，发展学生的应用意识和创新意识。[1]新课程改革实施以来，国内很多数学教育工作者和一线数学教师，依据数学课程标准的理念，立足中小学数学课堂，在一些领域取得了丰硕的成果。但是，在高中教学中，由于课程紧，任务重，很多教师在教学中忽视讲授知识的发现、发生、发展过程，这是因为追求升学率的消极影响并没有根除。很多学生只是提高了解题技巧，在学生的创新精神和实践能力方面没有得到提高。因此，如何培养学生的数学应用意识和创新意识，以及如何培养学生的创新精神和实践能力，这些都需要从理论和实践上予以很好的解决，需要在数学教学中加强对学生探究、发现和创新的指导。2、发展中学生核心素养的要求学生发展核心素养，主要指学生应具备的，能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。六大核心素养中的“实践创新素养”包括：善于发现和提出问题，有解决问题的热情和兴趣；能根据特定的情境和具体条件，选择制订合理的解决方案，能将创意和方案转化为有形的物品或对已有物品进行改进与优化。[2]教育对于人的创新能力的形成具有关键作用，特别是多方面、多角度、多层次的长期有效的培养。要发展中学生的“实践创新素养”，就必须加强创新教育，培养创新型人才。而创新型人才的核心是创造性思维，所以，培养创新型人才的关键就是要培养学生的创造性思维。从数学教育的角度来说，数学核心素养应当是学生应该具备的适应终身发展和社会发展需要的数学品格和数学关键能力。[3]数学是培养学生思维的重要学科，要想培养创新型人才，在数学教学中，首要任务就是培养学生的数学创造性思维能力。1 山东师范大学硕士学位论文二、本研究的意义和价值1、理论意义目前关于折纸在数学中的表现以及折纸数理方面的研究较多，而在高中数学教学中开展数学折纸活动的研究不多，将折纸与创造性思维品质结合起来研究的几乎没有，因此相关的研究理论也很少。本研究在建构主义学习理论、杜威的“从做中学”的教育理论等理论指导下，依据新课程标准的理念，结合高中生的年龄特征和认知发展特点，对数学折纸活动的教育价值进行了理论分析，提出了利用数学折纸活动培养高中学生创造性思维的实施策略，从而丰富了这一领域的相关理论，可为研究折纸教学方面的教育工作者提供参考，具有一定的理论价值。2、实践意义本研究的目的是通过高中数学折纸活动促进学生创造性思维品质养成的研究，发现学生在创造性思维品质方面存在的问题，制定通过折纸活动来培养高中生创造性思维品质的实施策略，从课堂导入、概念生成、习题巧解等方面给出可行策略和案例，从而为高中数学折纸活动进课堂提供实践参考。本研究的实践意义主要体现在：（1）拓展了对数学折纸活动教学价值的认识折纸活动一般认为是儿童玩的游戏，即便是数学折纸，也很少有人注重其在教学中的应用。数学折纸活动注重探求折叠背后的概念、原理，通过直观形象的视觉展示，在课堂导入、概念生成以及习题巧解方面都有着不可忽视的独特价值。与一般研究意义上的折纸数理学不同，数学折纸活动不是高高在上的理论，其紧贴课堂实际，旨在辅助数学教学。（2）拓宽了数学课堂活动的形式和内容数学活动包括数学思维活动及操作活动等多种形式，而数学折纸活动作为一种手脑并用的数学活动，深受学生们的喜爱。学生通过自己动手折叠、制作模型、观察演示，动脑思考，能够变平面为立体，化抽象为具象，并且通过自身动手操作得出的概念、推论更能够使学生信服。将数学折纸活动与学生的独立探究与小组合作学习紧密结合，可以使课堂氛围更加活跃，同时使课堂更加高效。（3）为折纸活动教学提供了操作样本本研究提出的教学措施以及所采用的教学案例都是在查阅大量资料的基础2 山东师范大学硕士学位论文上进行的改造和创新，将数学折纸活动融入到一般的课堂教学环节，分布在课堂导入、概念讲解、定理验证、解决问题等不同的模块或者阶段。特别是在与高中数学课堂结合紧密的立体几何模块，折纸提供了一种独特的“教具”全程辅助教学，包括几何体、三视图、翻折问题等，这一点在全文来说是一个大的创新。本文给出了相应的教学案例，能够为一线教师教学提供借鉴和参考。三、本研究的主要方法在本研究中，笔者主要使用了文献综述法和问卷调查法这两种研究方法。文献综述法：文献综述是指通过搜集、阅读、整理相关文献，来获取与研究问题相关信息的一种研究方法。笔者查阅了国内外关于折纸、数学折纸活动及创造性思维方面的相关文献资料，并通过对文献的研究，对获取的信息进行整理、归类、分析，给出了相关概念的界定，介绍了其研究现状，为研究提供了科学的依据。问卷调查法：问卷调查是指采用书面的形式搜集研究资料的一种调查手段。笔者采用了问卷与测试两种方式：设计了《高中生对于数学折纸活动的认识调查问卷》，并依据Torrance创造性思维测验量表及戴江南的硕士论文《中学生创造性思维能力量表的编制及相关研究》编制了《高中生创造性思维测试》，通过问卷调查获取了相关信息和数据。3 山东师范大学硕士学位论文第二章相关概念的界定及研究现状一、“折纸”及“数学折纸活动”的界定1、折纸的概念及分类折纸（Origami），是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动。一般来说，折纸作品必须完全由纸张折叠而成，在折纸的过程中不能使用剪刀或胶水，而在折纸的作品上也无需多加任何色彩。[4]谷折、峰折和折痕是所有折纸元件中的三类折叠方法。峰折是指折出一个山脊的形状，谷折是指折出一个山谷的形状。将纸对折然后展开，会发现在纸上留下了一道折痕，这也是一类折叠。折痕能够提供参考点，在纯粹折纸（不用尺规等任何测量工具的折叠）里，只有折痕、折边和它们的交点能够用来做参考点。[5]折图通常采用线图形式。根据折叠形状的不同特点共有五类的线。纸边包括毛边（纸张原来的边）和折边，用实线表示；折痕用细线表示；谷折用短划线表示；峰折用链线（点-点-破折号）表示；“透视线”是虚线，用来指出藏在其它纸层的部分，能够表明隐藏的边、折叠或箭头。一般的简单折纸往往采用白纸，而折纸专用纸通常采用双色纸，一面白色、一面彩色。两种颜色在一些模型中会起到很重要的作用，色彩鲜艳的专用折纸经常要按照规格裁成方形。另外还有多种多样的较薄的艺术用纸，例如云龙纸、楮纸等；按照纸张的形状，可以将折纸分为：正方形折纸；长方形折纸；圆形折纸；三角形折纸；正多边形折纸等。2、折纸的发展历史及现状不少人相信，折纸2000多年前起源于中国，因为蔡伦最早于105年发明纸。造纸术在7世纪初传入朝鲜、日本、印度。隋炀帝大业六年，高僧昙征把造纸术传到了日本。日本神道在祭祀时用折纸，但折纸法并没有得到流传。到了室町幕府时期，纸变成了一种廉价品，折纸于是4 山东师范大学硕士学位论文渐渐流传到社会各个阶层。现代折纸在20世纪得到了飞速发展。吉泽章（AkiraYoshizawa）是著名的现代折纸之父。他建立了由实线、虚线与箭头构成的简单的符号系统，使折纸在世界范围内得以传播。20世纪80年代，吉泽章又创造了湿折法，这种方法大大提高了折纸的精确程度，使得以前一些看似很难完成的折法变为可能，折纸由此进入一个新的境界。美国折纸大师罗伯特·朗将数学原理与美学结合，让人们对折纸产生了新的认识，完成了人们认为折纸所不可能完成的任务。其最大的成就就是在折纸设计理论方面，所著的《折纸设计的秘密》（OrigamiDesignSecrets）介绍了树形图、circlepacking等一系列理论，其中的数学思想——工具、几何、结构和方程式，给人们提供一种超越折纸成品最终面貌的、超越线性折序的视角，去理解结构、构成元素、折叠步骤。他还发明了Treemaker软件来辅助设计折纸。今天，只要能想到的物体，不管它是自然的还是人工的，无论何人何地都有可能用折纸表现出来。近年来，折纸的应用领域也越来越广泛，引起了一些科学家和数学家的注意，计算机科学、数论以及计算几何学等科学领域都被用来支持和阐明折纸艺术。折纸与几何学、三角法以及数论、译码原理、二进制的研究、线性代数等都有着明显的关联。一些折纸设计者创造了更为复杂的结构和新的的应用折纸潜能的方法，将这项艺术上升到了新的高度。例如ChrisPalmer的错综复杂的几何图样，EricJoisel的曲面旋转的面具，VincentFloderer的有机褶皱体，重新定义了折纸本身的极限。此外，在建筑学、生物学、医学、航空航天、服装设计和现代家具设计等领域，折纸原理都有广泛应用，这些使得折纸在最近几年取得了长远的发展。二、“折纸数理学”的发展及研究现状数学与折纸有着密不可分的关系，很多的数学原理都是通过折纸的形式表现出来的，而折纸的雏形在数学中也能找到与之相对应的原理。一般来说，人们都只是为了折纸而折纸，却少有人去研究折纸里蕴含的数学思想。[6]而折纸数理学就是把折纸中的数学问题作为课题进行研究，以折痕为研究对象，作为几何学的一个分支进行研究的领域。[7]5 山东师范大学硕士学位论文关于折纸遵循的原理，即怎样才算合理的折纸，以及通过折纸可以做到哪些，目前国内外比较认可的是“折纸公理”（Huzita–Hatori公理）。下面，对这7条公理进行简单介绍，并与欧氏几何进行简单对比。[8]表2-1折纸公理公理内容与欧式几何比较公理1(两点折线）过已知两点能且只能折一对应欧几里得《几何原本》的第1条直线公设：“任意一点到另外任意一点可以画直线”。公理2(两点对折）两点可以重合对折且只有在欧氏几何中，用尺规作图作线段一条折痕。（折痕垂直平分连接两点的的中点或垂直平分线至少需要3线段）步操作，用折纸只需1步就可以完成。公理3(两线对折）两条线可以重合对折且只在欧氏几何中，用尺规作图作角的有一条折痕。（折痕平分两线所成的角）平分线，需要5步操作，用折纸只需1步就可以完成。公理4(过点对折）过直线上（或外）一点可欧氏几何中，用尺规作图过一点作以将该直线自身重合对折且只有一条已知直线的垂线至少需要4个步折痕。（折痕垂直于该线）骤，用折纸只需1步就可以完成。公理5(点折到线）已知两点和一条直线，可第5公理是欧氏几何中没有的，但以将其中一个点折到已知直线上，同时在折纸操作中是非常重要的一个°让折痕通过另一个已知点。公理，是折叠30角、等边三角形、正六边形等几何图形的基础。公理6(双点到线）已知两点和两条相交线，公理6也是欧氏几何没有的。折纸可以将其中一点折到一条直线上且同公理的前6条，从代数的眼光来时让另一点落在另一条直线上。看，就是仅足以解二次方程。公理7(点线线点）已知两点和两条线，可以折纸公理的第7条，相当于可解三将其中一点折到一条线，同时让另一条次方程。所以用折纸能作出直尺与直线通过另一已知点。圆规无法作出的图形，譬如三等分角、倍立方问题。6 山东师范大学硕士学位论文结合以上公理可以发现，折纸在操作过程中借用了三维空间。即欧氏几何作图是在平面上用直尺和圆规来完成的，而在折纸在操作中移动了“平面”，不使用任何作图工具。以折纸公理为数学折纸依据的基本原则，折纸数理学得到了迅猛发展。折纸科学与教育的国际会议已经召开过五次，极大地推动了折纸数理学这一新学科的发展。同时，国内也有很多专家在这方面进行了研究，取得了一些成就。上海师范大学的陆新生教授在《从芳贺第一定理看折纸数理学的教育价值》一文中提出折纸数理题材具有如下的特性：题材的活动性；结果的意外性；结论的有用性；课题的发展性；内容的趣味性；问题的挑战性；学科的成长性。[9]梁海声在《白银长方形：神奇的立体纸艺造型》一书中，用一张A4纸，不剪、不拼、不贴，可以折出三棱锥、三棱柱、四棱柱，还发明了用折纸立体四面体填充空间的方法，用一张A4纸最多折出了64个四面体的联合体。同时，折纸数理学也为数学教师通过折纸活动指导学生发现数学和创造提供了可能。一些数学教育研究者很早就认识到了折纸活动的教育价值，并利用折纸活动来改善数学教学，取得了很好的效果。[10]三、“数学折纸活动”及其研究现状1、“数学折纸活动”的界定、分类及其特点学生的数学活动就是学生在教师指导下开展的以实物、模型、数学语言、数学思想方法为操作工具，以完成某种数学任务为目标的行为活动、思维活动以及情感活动的活动集合体。[11]而数学折纸活动是一种与数学紧密结合的折纸活动，其与普通折纸的主要区别在于：不特别关注作品的艺术性，而重在揭示或诠释数学概念。[12]张奠宙教授认为“折纸数学活动的目的是学习数学中的概念、图形的变与不变等内容”。[13]黄燕萍在《数学折纸活动的类型与水平划分》一文中将三角形、平行四边形、长方形、菱形、正方形、梯形和风筝称为平面基本图形，将数学折纸活动的类型划分为图形的分解、合成和移动三类。其中，图形的分解是指通过折叠将一个基本图形分解成几个部分，并进行观察或分析；图形的合成是指利用两个和两个以上的图形板拼成一个基本图形或立体图形；图形的移动是指利用组拼好的合成图形，移动其中的一个或多个图形板将其变为其它图形。[14]7 山东师范大学硕士学位论文陆新生教授认为，数学折纸从完成形态来看，可以分为折痕折纸、平面折纸和立体折纸三大类。折痕折纸常见的的是椭圆、双曲线、抛物线的包络线折法，平面折纸的经典是几何排版系列，而立体折纸的典范当属鳖臑四面体折法。[12]他还提出了数学折纸活动的特点：实用性；综合性；趣味性；挑战性；发展性。2、“数学折纸活动”研究近年来，美国、日本等许多国家都在数学课程标准中对折纸活动给予了许多关注。以日本为例，日本人一直把折纸当做国粹，认为折纸有利于培养学生的创造力，不仅在中小学把折纸课程设为必修，在数学教科书中也加入了许多利用折纸帮助学生学习数学的活动，并出版了许多的相关著作。随着对外交流的不断深入，国内中小学的数学教学中与折纸相关的话题也渐渐多了起来。近几年，折纸中的数学问题也引起了许多数学教育研究人员以及数学教师的关注。黄燕萍在在《折纸与数学》一书中，将折纸与初中数学能用到的几何知识紧密连接，如垂直、平行、对称的概念；三角形、平行四边形、梯形的面积；三角形的中线、高、角平分线的性质等。梁海声创办了上海叠纸教育研究会，在上海市新世纪小学专门开设折纸课，让学生通过动动脑，动动手，开发智力。他还走进上海知名高中，为学生上立体几何拓展课，对立体折纸的推广做出了突出贡献。梁海声认为：立体折纸区别于其他折纸的地方在于，其只有一种模板，一种折痕，却有很多种变化。将立体折纸引入课堂，有助于培养学生的空间想象能力和创造性思维能力。总体来看，由于折纸操作简单，易教易学，在研究几何对象的性质以及几何概念直观化等方面都有显著的作用，国内数学界已经越来越多地把折纸视为几何教学的重要手段，但在这一领域仍存在着一些问题：一是研究中有关中考题的内容居多，高中的极少，相关的教材开发研究或教学研究偏少；二是研究不够系统，对国外的研究了解甚少，仅就某个小问题展开讨论。[10]三是在实际教学中，很多教学工作者更多地把注意力放在折出几何图形上，疏忽了对折痕间几何关系的研究。因此，如何开展富有成效的折纸活动来促进学生学习，培养学生的创造性思维，成为当下一个需要解决的关键问题。因此，笔者在这方面做了一系列的尝试，以期为高中教学同类研究和教学实践提供一定的参考。8 山东师范大学硕士学位论文四、“创造性思维”及其研究现状1、“创造性思维”的概念界定（1）创造性思维的概念至今为止，对于创造性思维的概念，还没有一个统一的界定。美国的托兰斯(Torrance)认为：能产生某种新的有价值的事物是创造性思维的典型特征。前苏联的卡尔梅科娃认为：创造性思维是一种使人有可能提出新问题，并能在不确定的条件下找到新的解决问题的方法，直接从已有知识中有所发现的思维形式。我国的吴宪芳等指出，创造性思维是在已有的知识和经验的基础上，对问题找出新答案、发现新关系或创造新方法的思维。任樟辉认为，创造性思维就是“创新过程中的思维活动”，即只要思维的结果具有新性质，则它的思维就是创造性思维。[15]还有学者认为，创造性思维就是指发散性思维，学生遇到问题时，能从多角度、多侧面、多层次、多结构去思考，不受现有知识的限制和传统方法的束缚。其思维是开放性、扩散性的。它解决问题的方法不是单一的，而是在多种方法和途径中去探索、选择。[16]综合来看，可以认为，创造性思维是指用独特新颖的方法解决问题的思维过程。它是人类思维的高级形态，是智力的高级表现。（2）创造性思维的结构创造性思维是多种思维的结晶。根据彭加勒的数学创造理论，在数学创造性活动中不仅需要聚合思维，更需要发散思维；不仅需要逻辑思维，更需要非逻辑思维（形象思维、直觉思维和灵感思维）。[15]也有学者认为，创造性思维是在抽象思维和形象思维的基础上和相互作用中发展起来的，抽象思维和形象思维是创造性思维的基本形式。[17]抽象思维是认识过程中用反映事物共同属性和本质属性的概念作为基本思维形式，在概念的基础上进行判断、推理，反映现实的一种思维方式；形象思维是以直观知觉形象和表象为支柱，在脑中对事物进行分析、综合、抽象和概括以解决问题的思维。在创造性思维过程中，形象思维与抽象思维是互相促进、互相渗透的。9 山东师范大学硕士学位论文还有学者将创造性思维的组成要素分为抽象思维、形象思维、直觉思维、灵感思维、发散思维、集中思维、分合思维、逆向思维、联想思维等。这些要素之间互相配合，每个因素都发挥各自不同的作用。综合以上观点，笔者认为，创造性思维既是发散思维和聚合思维的统一，也是形象思维和抽象思维的统一，但更多的表现在发散思维上。（3）创造性思维的活动过程德国心理学家韦特默(Werthermer)提出，创造性思维的过程不是形式逻辑的逐步操作，也不是联想主义的盲目连接，而是格式塔的“结构说”。这种格式塔结构不是来自机械的训练，也不能称之为过去经验的重复，而是通过顿悟获得。[18]对于创造性思维的过程，英国心理学家华莱士(G·Wallas)认为，任何创造过程都包括准备阶段、酝酿阶段、明朗阶段和验证阶段四个阶段。①准备阶段这个阶段是搜集、整理资料，作前期准备的阶段。②酝酿阶段这个阶段主要对前一阶段所搜集的信息资料等进行消化和吸收，找出问题的关键点，以便考虑解决问题的各种策略。③豁朗阶段这个阶段又称顿悟阶段。此时思维已达到一个非常成熟的阶段，在解决问题的过程中常常会进入一种豁然开朗的状态。④验证阶段这个阶段又叫实施阶段，主要是对前面三个阶段形成的方法、策略进行检验，以期得到更加合理的方案。（4）创造性思维的品质特征美国心理学家吉尔福特认为，创造性思维的核心就是“发散思维”，并在此基础上提出关于发散思维的四个特征：流畅性(fluenly)：在短时间内能连续地表达出的观念和设想的数量；灵活性(flexibility)：能从不同角度、不同方向灵活地思考问题；独特性(originality)：具有与众不同的想法和独出心裁的解决问题思路；精致性(elaboration)：能想象与描述事物或时间的具体细节。[18]陈元章在《数学创造性思维的品质特征》一文中，认为中学数学对学生各种10 山东师范大学硕士学位论文能力的培养，其核心是创造性思维能力的培养。创造性思维具有独立性、运动性、跳跃性和发散性等品质。[16]也有学者认为，创造性思维具有创新性、流畅性、批判性、深刻性、开放性、广博性、整合性、多维性等特点。[17]综合以上观点，笔者认为：创造性思维以发散思维为核心，因此本研究把发散思维的特征作为创造性思维的品质特征，即流畅性、灵活性、独特性。流畅性是指针对刺激能够很流畅地作出反应的能力，能不断提出新的构想；灵活性是指随机应变的能力，能机动灵活地转变思维方向，产生适合时宜的办法，善于选择最佳方案；独特性是指在思路的选择上，在思考的技巧上或者在思维的结论上，具有独到之处，具有一定范围内的首创性、开拓性。（5）创造性思维的作用和意义创造性思维是人类独有的高级心理活动过程，创造性思维在解决问题时带有鲜明的主动性，强调突破性和开拓性，体现着新颖和独特的社会价值。创造是历史进步的动力，而创造性思维是创造成果产生的必要前提。创造性思维在科学发现和技术发明等创造活动中起着至关重要的作用，离开了创造性思维，科技发明与发现就无从谈起。因此，培养人的创造性思维是推动社会前进的必要手段。2、创造性思维的研究现状笔者查阅了国内创造性思维的相关研究，发现大部分研究集中在2000年前后，这与新世纪倡导培养创新型人才不无关系，国内外许多专家学者都曾致力于创造性思维的研究。何克抗教授在《创造性思维理论》一书中构建了一套新的创造性思维的模型，称作“非随意创造性思维心理操作模型”。何教授在该模型中指出：解决思维方向性的指针是发散思维；实现创造性思维的主体是形象思维、直觉思维与时间逻辑思维；要解决高难度的复杂问题，就要以辩证思维与横纵思维为指导。[19]对于青少年创造性思维的发展特点、创造性思维的性别差异，国内一些学者进行了研究。有研究者发现：中学生创造性思维呈现持续发展趋势，但不是直线上升，而是波浪式前进。高中阶段中学生创造性思维水平明显高于初中，高三稍有下降；中学生创造性思维的性别差异总体不明显，但在创造性思维的灵活性和11 山东师范大学硕士学位论文图画独创性两个维度上存在显著差异。[20]沃建中等人发现我国青少年的创造性思维水平从小学四年级开始逐渐上升，六年级到初一阶段明显提升，初三时达到最高峰，进入高中后水平有所下降并呈稳定状态；小学阶段在发散思维上并没有男女差异，初中阶段女生显著高于男生，到了高中阶段，性别差异并不显著。[21]还有一些学者对于创造性思维发展水平的影响因素进行了研究，如学校教育、父母教养方式、人格特质等。12 山东师范大学硕士学位论文第三章折纸活动培养学生创造性思维品质的理论基础一、利用折纸活动培养创造性思维的可行性1、中学生具有创造性思维的能力高中生学习内容丰富而深刻，接近学科的完整结构；社会活动开始增多，人际交往频繁；同时面临升学和就业的双重考验。他们在思考、解决生活和学习中碰到的新问题时，认知结构相应地发生改变，从而促使创造性思维不断发展。同时，高中学生的很多想法是奇特、新颖的，这是创造性思维的基础。2、创造性思维具有可训练性心理学家张德诱曾提出：“创造性思维的发展与教育的作用具有密切的关系；环境、教育和学习必然影响创造性思维的发展；创造性思维作为认知结构的有机组成部分，自然是可以通过训练加以提高的。[21]托兰斯(Torrance)研究发现，创造性思维并非聪明的儿童才有，普通儿童也具有这样的潜能。因此，学生的的创造性思维能力可经过后天学习得到培养。3、创造性思维与逻辑思维能力的关系创造性思维并不排斥逻辑思维，而是要以逻辑思维作为自己的前提。创造性的思维成果，是继承以往科学成果和总结现实经验的产物。因此，人们在进行创造性思维以前，必须进行两方面的学习：一是接受人类文化遗产的教育，在这个过程里，起作用的主要是逻辑思维。二是接受社会实践的教育，从感性的经验材料中，使用比较、分类、分析综合的方法，抽象出一般性的结论来，这个过程也是运用逻辑思维的过程。这说明创造性思维首先应有逻辑思维的训练。[22]以此为指导，利用数学折纸活动培养学生的创造性思维，不能只注重学生思维的灵活性、独特性，同时要注重基本知识、数学事实的教学，积极引导学生在活动中抽象概括出相关知识，并能够利用所学的公式、定理去解决实际问题，能够总结自己的发现，并能将此结论应用到今后的学习当中，即要在培养逻辑思维能力的基础上促进创造性思维品质的养成。4、创造性思维与形象思维、空间想象能力的关系想象是一种特殊的思维活动，是人脑在感性形象的基础上创造出新形象的心理过程。数学创造性活动的整个过程都离不开联想、想象等科学的想象力。中学数学的想象是对事物的形状、结构、大小和位置关系的想象。[23]在问题解决的过13 山东师范大学硕士学位论文程中，自觉而有意识地把数学材料和数学事实形象化，进行直观性教学，是培养学生想象能力的重要手段；丰富学生关于客观事物的表象的储存，就成为培养学生创造性思维的必要途径。学生学习立体几何，因空间想象力比较差，往往会把空间图形看成平面图形。折纸使学生原有形成的平面顺利过渡到空间的概念，并且实践性强，学生乐于接受，兴趣盎然，在立体几何学习中往往能起到很好的效果。[24]学生在进行折纸活动时，为了完成折纸目标，需要动手操作的同时也需要动脑思考折纸的步骤和方法，通过不断地尝试、实践来验证学生的猜想，完成折纸目标。这个动手操作和动脑思考的过程就是提高学生空间想象能力的过程。另外，一张看似普通的纸，其实包含有无数条线段和无数个几何图形。在折纸活动中，学生的每一次折叠，都是一次新的尝试，都是一次运用创造性思维的表现。5、数学折纸活动可以培养学生的创造性思维创造性思维本身是逻辑思维与非逻辑思维的产物。以上述分析为依据，要培养学生的创造性思维品质，一个好的思路是：首先对学生进行形象思维的训练，即通过直观教学、形象、感知等抓住问题的实质，迅速找出问题的突破口，再通过逻辑思维做出严格证明。而数学折纸活动恰好提供了一个非常好的教学手段。[25]例如，在讲解立体几何中平面与平面的垂直关系时，通过一张纸对折，将一面竖起，很容易使学生理解垂直的概念；在认识几何体、学习几何体的结构性质时，让学生自己折纸做教具，如长方体、棱柱、棱锥等，在制作的过程中既训练了学生的形象思维，也培养了学生的空间想象能力，而且通过直观教学，学生对于几何体的认识更加清晰；在讲解抽象的数学概念或定理时，与生硬地接受抽象的概念定理相比，折纸过程中的纸看得见摸得着，因此学生经过动手操作得出的结论更容易受到认可，这将加深学生对概念定理的认同感；在解题的过程中，折纸活动让学生亲身经历观察、操作、推理、想象等过程。学生不借助任何现代技术，仅仅通过动手操作，使纸张由静到动，由平面变立体，再利用折纸的原理来推断，将会取得事半功倍的效果。这样既能帮助学生更好的理解，培养了学生的逻辑思维能力，也培养了学生的形象思维，提高了学生的空间想象能力，从而能够促进学生创造性思维的培养。14 山东师范大学硕士学位论文二、本研究依据的主要教育理论1、杜威“从做中学”的教育思想杜威是近代美国著名的教育思想家、实用主义哲学家。在杜威的实用主义教育思想体系中，教学论是一个十分重要的组成部分。杜威在批判传统学校教育的基础上，提出了“从做中学”这个基本原则。杜威认为，人们最初的知识和最牢固地保持的知识，其实是是“怎样做”的知识。因此，教学过程应该就是“做”的过程，“从做中学”也就是“从活动中学”、“从经验中学”。杜威认为：孩子应在做的过程中发现和发展自己，应该“对一切操纵、建造、积极的行动和制作的冲动给予运用和满足的机会”。[26]杜威的“五步教学法”反映了他“做中学”的教育思想。教学五步是指：（1）教师给学生创设一个课题，情境必须与实际经验相联系，使学生产生要了解它的兴趣；（2）给学生足够的资料，使学生进一步观察、分析，研究该课题的性质和问题所在；（3）学生自己提出解决问题的设想，或者提出一些不同的尝试性的解答方案；（4）学生自己根据设想，进行推理，以得到解决问题的方案；（5）进行实验验证，学生要根据明确的假设方案亲自动手去做，以检查全过程所达到的结果是否符合预期的目的。在做的过程中，自己发现这些设想、假设的真实性和有效性。[27][28]以杜威的教育思想为指导，在高中数学课堂中开展折纸活动，就要以折纸情境中产生的真实问题作为思维的刺激物，启发与引导学生从自己的生活经验以及折纸活动中“自然”产生出方法，来应对折纸情境中所产生的问题。[29]这样才能够使每个学生都能参与到活动中去，从而使数学知识“活起来”，使学生的数学思维“活起来”，在学习中锻炼思维，进而培养学生的创造性思维。2、建构主义教学理论1980年后，建构主义学习理论在教学领域中逐渐流行起来，成为国际科学教育改革的主流理论。（1）建构主义的学习观建构主义提倡在教师指导下的、以学习者为中心的学习。学生是信息加工的主体、意义的主动建构者，而不是外部刺激的被动接受者和被灌输的对象。学习是由学生的内部动机，即好奇心、进步的需要、自居作用及同伴间的相互作用驱动的积极主动的知识建构过程。学生的知识学习是一个类别化的信息加工活动15 山东师范大学硕士学位论文(或发现)，是自己主动形成知识的类目编码系统的过程。[30]（2）建构主义的知识观建构主义提出知识的客观性与主观性的辩证统一、以“建构”为主导的知识结构与建构的辩证统一、以“发现”为主导的知识的接受与发现的辩证统一，以及知识的抽象性与具体性的辩证统一。建构主义不仅重视知识，而且重视分析解决问题的能力，重视对原来的知识进行创新。（3）建构主义的教学观①学生是学习的主体，教师要尊重学生的主体性，不能够代替学生学习。②教学是激发学生建构知识的过程。要创设或者利用各种情境，帮助学生利用先前的知识与已有的经验在当前情境中进行学习和认知。③教师是学生学习的引导者、辅助者。在建构主义看来，教师的价值就体现在能否激动学生以探究、主动、合作的方式进行学习。④教学活动体现为合作、探究方式。教学要能引导学生主动参与知识的学习，一方面刺激学生对问题思考、探究，另一方面营造相互合作、互动的情境，让学生学会在合作中学习。⑤教学活动的展开是一个过程。教学应该注重的是过程而不是结果。教师不给学生提供现成的答案，而是在忍耐、观察中，引导学生成长。以建构主义理论为指导，利用数学折纸活动培养学生的创造性思维品质，就要利用折纸活动创设有趣的教学情境，在课堂导入及概念讲解时将数学知识直观展示给学生，重视知识探究的过程，引导学生主动发现、验证所学的公式、定理等，从而主动构建自己的知识网络，并能够在解决问题、思考问题时善于推陈出新。在这一过程中，学生为主体，教师为主导，从而真正实现数学活动的意义和价值。16 山东师范大学硕士学位论文第四章对高一学生开展数学折纸活动的调查研究一、调查目的了解高一学生对于数学课堂折纸活动了解的实际情况，包括学生对自身数学学习素质的评价、学生的折纸经验、学生对于数学折纸活动的了解情况、学生对折纸与数学关系的认识、对开展数学折纸活动的态度等五个维度的内容，为进一步开展数学折纸活动的实证研究提供数据支撑和策略依据。二、调查实施2016年10月，笔者在山东师范大学附属中学，围绕学生对于数学折纸活动的了解情况，对高一1-6班共6个班的学生展开了调查，调查采用问卷的方式进行。共发放问卷336份，最终实际收回320份。通过调查研究，笔者对于学生对数学折纸活动的认识情况有了初步的了解，为论文写作提供了客观依据。三、问卷分析在问卷的编制上，一共选取20个题目，根据所要调查的五个维度，每个维度设置3-5个问题。其中学生“对自身数学学习素质的评价”包含1、2、13、14题，学生的“折纸经验”包括3、4、5、6、8题，学生数学折纸了解情况包括10、11、12题，“折纸与数学的关系”包括7、16、17、18四个题目，“对开展数学折纸活动的态度”包括9、15、19、20题。具体分析如下：1、学生对自身数学学习素质的评价（1）学生数学学习兴趣调查表4-1你喜欢学数学吗？选项（第1题）所占百分比A.非常喜欢11.1%B.喜欢53.3%C.没感觉22.2%D.不喜欢13.3%从第1题来看，64.4%表示喜欢数学，这说明高一学生对数学的兴趣比较浓厚，但也有35%左右的学生不喜欢数学。经过采访学生得出，部分学生不喜欢数学是因为高中过于数学枯燥、抽象。17 山东师范大学硕士学位论文（2）学生数学学习困难调查表4-2你认为你现在在数学解题中最大的困难是什么？（多选）选项（第2题）所占百分比A.往往有思路，但是不能清晰的写出来2.7%B.讲了都懂，但做题不够灵活50.7%C.粗心，数学运算时常出错37.3%D.基础还行，但往往在大题、难题上往往没有好的灵感9.3%从第2题来看，学生目前在平时的数学学习中遇到最大的困难主要集中在解题的灵活性上。而解题的灵活性与思维的灵活性密切相关，这为而本文研究促进学生的创造性思维的灵活性提供了现实依据。（3）学生空间想象能力调查图4-1你觉得自己的空间想象能力如何？（第13题）从13题来看，大部分的学生对自己的空间想象能力比较满意，但仍有26%的学生表示有很大的提升空间。（4）学生数学学习能力调查图4-2你觉得在数学学习过程中自己欠缺哪方面的能力？（第14题）18 山东师范大学硕士学位论文从第14题来看，大约5成的学生认为自身缺乏逻辑思维能力，28.9%的学生认为自己缺乏空间想象能力。笔者采访后得知，一些学生认为自身缺乏逻辑思维能力是由于对于必修一的函数知识掌握不够牢固。总体来看，高一学生对数学学习仍具有较高的兴趣和热情，但仍有一部分学生不喜欢数学；学生的逻辑思维能力以及空间想象能力都有较大的提升空间。根据之前的理论分析，学生的创造性思维与逻辑思维能力和空间想象能力密切相关，这为进一步开展折纸活动教学提供了依据。2、学生的折纸经验情况调查（1）学生对于折纸的兴趣调查图4-3你是否喜欢折纸？（第3题）依据图4-3，从第3题来看，53.3%的学生喜欢折纸，说明学生对于折纸活动的态度比较积极，这为笔者进一步实施数学折纸活动提供了动力。（2）学生的折纸经历情况调查表4-3你有用纸折过一些简单的手工作品吗？（如纸船、千纸鹤等）选项（第4题）所占百分比A.折过，以前学会的大部分都记得26.7%B.折过，不过只记得一点48.9%C.折过，但早就忘了怎么折了22.2%D.没有折过2.2%从第4题来看，98%的学生都有折纸的经历，但是很多同学可能由于长时间19 山东师范大学硕士学位论文没有折，已经淡化了折纸的记忆。表4-4你是否会折千纸鹤？选项（第5题）所占百分比A.会很多种13.3%B.只会一种31.1%C.从前会，现在都忘了40.0%D.没有学过15.6%第5题也是为了调查学生的折纸经历，同样说明大部分的学生都有折纸的经历。笔者进一步调查了学生折纸经历最为丰富的阶段，结果如下图：图4-4你接触折纸最多的是在（第8题）从8题来看，学生接触折纸最多的是在小学阶段，一小部分学生初中有过，高中阶段几乎没有折纸的经历。笔者访谈得知，学生在初中阶段学习几何时接触过折纸活动，但大部分学生认为折纸只是数学课堂上的小角色，只是简单的对折，用于验证某些几何性质。（3）教师对于折纸活动的运用情况调查：为进一步调查数学折纸活动在数学教学中的实际应用情况，笔者设置了第6题：在学习立体几何时，数学教师有没有让大家通过折纸亲手制作几何体？调查结果如下图：从第6题来看，调查的6个班中，有两个班级的数学教师曾在课上或课前让学生折过几何体。经进一步调查得出，不少学生进入高中阶段以来，只有在学习必修二的立体几何部分时，才有机会接触到课堂折纸活动，并且由于任20 山东师范大学硕士学位论文课老师的风格不同，仅有2个班在教师的要求和指导下，在课前对于所需的几何体进行了折叠。图4-5教师对于折纸活动的运用尽管在课堂上开展数学折纸活动的班级较少，但是参与过折纸活动的学生表示：折纸活动得出的几何体更加直观具体，非常有助于帮助他们认识空间几何体，并且对于有些题目，当画图和想象不能解决时，折一折是一种很好的办法。总体来看，大部分同学对于折纸并不陌生，一半以上的学生对折纸很感兴趣，学生在小学时接触折纸最多，不过随着年龄的增长，折纸活动逐渐在课堂中淡化了，很可能跟课程难度加大，学生在课堂中折纸的机会和时间变少有关。笔者还对一部分学生进行了访谈，一些学生认为折纸是小时候的东西，而自己已经逐渐成熟，这反映出学生对于折纸的认识还比较片面。3、学生对于数学折纸活动的了解情况为了进一步调查学生的数学折纸方面的知识，笔者结合中学数学实际，编制了几道这方面的题目，结果如下：图4-6你认为通过折纸可以折出（或者用折痕围成）以下哪些几何图形/几何体？（第10题）21 山东师范大学硕士学位论文第10题为多选题，由统计数据来看，学生选择B、D、E三项的比较多，笔者分析认为，高一学生刚刚结束初中阶段的学习，因此对正方体、角平分线、中垂线更为熟悉，相比之下，由于学生还未系统学习椭圆和抛物线，对于“折纸的折痕能够围成椭圆”并不了解，因此选择这两项的比较少，而折纸折出圆已经超出一般学生的认知，所以一般认为是不可以的，除非借助剪刀等工具。之所以出现这种情况，一方面是由于学生真的对这些知识感到陌生，同时也体现了这些并不被大部分的学生所关注。图4-7你认为仅用尺规能将一个任意角分成相等的三个角吗？（第11题）从第11题得出，37.8%的学生认为利用尺规作图可以三等分任意角，而只有4.4%的同学知道尺规作图不能三等分任意角，这反映了学生对于三等分任意角这一尺规不能问题非常不熟悉。图4-8折纸能否将一个角三等分？（第12题）从第12题得出，对于折纸能否将一个角三等分，超过半数的学生认为是可以的，但仍有28.9%的同学不能肯定，这反映出学生相信通过折纸的方式能够三22 山东师范大学硕士学位论文等分任意角，但其实内心并不是真正肯定，因为对于这部分知识缺乏相关的经验和理论依据。总体来看，学生对于数学折纸的知识了解很少，根据前面介绍的理论分析，因此在利用折纸培养学生的创造性思维品质时，相关的数理知识的渗透将必不可少。4、学生对于折纸与数学的关系的认识为了顺利开展数学折纸活动，笔者调查了学生对于折纸与数学关系的认识，具体如下：表4-5你认为折纸对于数学学习有无帮助？选项（第7题）所占百分比A.非常有帮助15.6%B.有一点帮助55.6%C.不清楚20.0%D.没有一点帮助8.9%从第7题来看，71.2%的学生认为折纸是有助于数学数学学习的，其中有15.6%的学生认为折纸对于数学学习非常有帮助。这说明尽管学生对于折纸的认识不深，但学生对于折纸的作用还是非常认可的。图4-9你觉得高中的数学知识能否用折纸来验证或证明？（第16题）从第16题来看，大部分学生认为折纸能够用来验证或证明高中的数学知识，说明学生对于折纸对于数学学习的作用还是比较肯定的。有少部分学生没想过或者不清楚折纸对于高中知识的作用，这跟高中知识更为抽象不无关系，并且由于23 山东师范大学硕士学位论文教材中有关数学折纸的内容少之又少，教师也缺乏相对应的教学设计。图4-10折一些几何多边形或几何体时，有没有想过这样折依据的数学原理？（第17题）从17题来看，77.8%的学生都有折几何图形或者几何体的经历，其中能够思考折纸依据的数学原理的占42.2%，这一比例虽然仍不是很高，但已经超出了笔者的预想，反映了所调查的这些学生的素质比较高，更有利于下一步折纸活动的开展。图4-11你认为折纸和数学的关系如何（第18题）从18题来看，87%的学生认为折纸与数学有一定关系，这一数据比较高，同时从另一方面，认为关系密切的仅占7%，反映了学生对与折纸与数学关系的认识不够全面。5、对开展数学折纸活动的态度图4-12进入高中阶段以后，你认为有无必要在课堂上开展折纸活动？（第9题）24 山东师范大学硕士学位论文从第9题来看，大部分学生认为：在学习不紧张的情况下可以在课堂上适当开展折纸活动，有20%的同学建议改在课下开展，这符合当前高中学习生活紧张、节奏快的实际，这体现出学生对于折纸活动进课堂还有一定的顾虑，同时也有期待。图4-13如果让你了解一些数学课本(考试内容)以外的数学知识，你的态度?（第15题）从第15题来看，91.1%学生对于开展数学折纸活动表示支持、同意，没有不同意的。图4-14你喜欢怎样的数学课？（第19题）从第19题来看，15.6%的学生喜欢在课堂上以小组合作的方式学习，但更多的选择教师为主导，带领学生谈论探究，这一比例占66.7%，从中可以看出学生非常认可教师的教学方式，希望在学习时得到一定的指导，同时也希望有学习的自主性。这为笔者进行教学设计提供了启示：在教学时尽量采取小组合作学习的25 山东师范大学硕士学位论文方式。图4-15如果在高中数学课程中加入折纸活动，你是否会改变对数学的态度（第20题）从第20题来看，27%的学生认为课堂中加入折纸会非常有趣，64%的学生希望折纸能够带来简单轻松的数学学习体验，但也有一小部分学生不希望在现有课程中再加入数学折纸这种未知的东西。从整个问卷调查来看，笔者认识到大部分学生都有一定的折纸基础，对于折纸与数学的关系以及开展数学折纸活动都持认可的积极态度；同时，也反映出学生对数学折纸活动的认识还比较片面，对于折纸的作用、折纸在教学中的应用等还不甚了解，大部分学生对于数学折纸活动感到新奇，同时考虑到高中学习比较紧张，对活动的开展又有一定的顾虑。综合来看，此次调查结果比较符合当前教学实际，由于教材中折纸活动这一领域涉及很少，在平时学习乃至高考中显得微不足道，所以折纸活动的价值和意义并不被看好和认可，与此同时，大部分同学对开展折纸课程仍有抱有期待，但这更进一步激发了笔者的研究热情，通过开展折纸活动，争取本学期结束时，学生对于数学课堂的折纸活动有更加全面的认识，并且有效培养学生的创造性思维品质。26 山东师范大学硕士学位论文第五章“数学折纸”活动培养学生创造性思维品质的实验研究一、实验目的在高一数学教学中，通过开展“数学折纸”活动，增进学生对知识的理解，培养学生的创新意识，增强学生学习的主体性，培养学生的创造性思维品质，即验证通过开展“数学折纸”活动，能够有效促进学生“创造性思维品质”的养成。二、实验设计1、实验对象被试全部来自山东师范大学附属中学高一年级1、2班。其中高一2班作为实验班，1班作为对照班，两个班均为56人。两个班的学生在数学学习基础以及对数学学习的兴趣方面没有明显的差异；在实习期间，我的论文实践得到了原数学教师韩艳艳老师的大力支持，笔者认为可以利用折纸活动的一些新授课，例如必修一指数函数教学，必修二立体几何初步等，都得到了很好的实践。实验时间为2016年10月—2017年1月。2、实验变量自变量：在数学课堂新教学中，实验班开展“数学折纸”活动，并在课下组成折纸活动兴趣小组；对照班用相对传统教学模式进行教学。因变量为学生的创造性思维测试成绩。控制变量：在实验对象方面，实验班和对照班学生的数学学习成绩无明显差异；在教学方面，对待同一堂课，笔者分别在实验班和对照班进行教学，采用两种不同的教学方式；在教学投入方面，保证实验班和对照班在课程设置、数学课时等方面都相同；测试时采用统一的测试卷，测试时间都为20分钟，严格按统一标准阅卷打分。3、实验前测和后测在实验前，实验班和对照班都接受前测；在实验过程中，实验班在教学中开展“数学折纸”活动，且一部分学生组成兴趣小组，而对照班则保持原有的教学模式；实验之后，对实验班和对照班进行后测。4、实验假设在教学中开展“数学折纸”活动，有利于提高学生学习数学的兴趣，活跃课堂27 山东师范大学硕士学位论文学习气氛，有利于加深学生对折纸活动内容的理解，增强学生的创造性思维品质，即学生创造性思维的流畅性、灵活性和独特性成绩得到提高。三、实施策略在数学教学中，对实验班开展“数学折纸”活动，具体采用两种实施策略：1、课堂渗透是指在课堂上将折纸活动融入进来，例如指数函数的课堂导入，可以从将一张纸反复折叠，问折叠n次后有多少层或者面积是原来的几分之一。要求学生亲自动手操作，用一张正方形纸折叠，以纸张顶点作为原点，以相邻正方形的两边所在直线为x、y轴，建立直角坐标系坐标系，将点的坐标折出来，然后在纸上作出图像；在学习《立体几何初步》时，通过让学生展示自己亲手折纸制作的几何体，进一步学习柱、锥、台的结构特征；在学习三视图时，对于一些学生不容易想到的几何体，通过折纸可以直观展示；在立体几何证明题的解题阶段，对于有关翻折的立体几何证明题，可以利用折纸数理学的相关知识辅助讲解。2、开展兴趣小组主要利用每周四下午的社团活动时间4:40一5:20，在教室里通过PPT讲解与现场折纸演示的方式进行讲解，活动结束后将主要内容制作成微视频，同步上传到网络供学生观看学习。以下为主要的课程安排：课程安排内容选择折纸欣赏（神谷哲史、罗伯特·朗等艺术家作品欣赏）；折第一讲纸与应用（三浦折叠、人造血管等）第二讲折纸基础（折叠的基本符号、用语）第三讲折纸与数学（折纸公理、芳贺定理等）第四讲几何体折叠及折纸设计（正四面体、正三棱柱折叠与设计）第五讲treemaker软件介绍及操作28 山东师范大学硕士学位论文四、创造性思维测试数据统计笔者依据Torrance创造性思维测验量表及戴江南的硕士论文《中学生创造性思维能力量表的编制及相关研究》编制了《高中生创造性思维测试》，通过问卷调查获取了相关信息和数据。在数据的统计上，流畅性体现在答案的数量上（偏题、跑题的除外），因此把各个题目答案总的数量加起来，作为该学生流畅性的成绩；对于答案中出现的种类数量，作为灵活性的指标；将不同类答案中最新奇、与众不同的，即出现频数最少的答案的个数，作为独特性的成绩，1个记1分。现将本次测试的结果展示如下。1、图形意义解释：当你看到下面的图时，你想到了什么？请你为这个图形作出尽可能多的解释。例如：（圆形可以是眼睛，黑的是眼球）这道题目主要是为了考察创造性思维的独特性与灵活性，就答题的情况来看，学生的答案主要分为以下几类：（1）从位置关系上，提出日食月食的最多（2）从形状上来看，这类的答案最多，例如蛋黄、烧饼、汉堡、苹果、汤圆、大饼、果冻（咬过一口）（3）用圆形与阴影部分的位置关系来表示物体，例如丸子、汤圆、酒心巧克力，眼球，阴影部分分别为酱料、馅料、酒心袋、瞳孔（4）利用整体与部分的性质差异，如生锈硬币，脏的球，黑药丸、没洗干净的盘子等（5）比较独特的如从不同方向看图：如逆时针旋转90°，袋子、易拉罐，阴影部分为袋子开口、易拉罐口（6）联想到相关人物，如岳云鹏和郭德纲的发型（7）情景再现型：显微镜观察细胞；望远镜里不完整的月亮；煎鸡蛋鸡蛋29 山东师范大学硕士学位论文跑偏了；趴在井口向下看；盘中的叶子；屁股坐在马桶上；雾霾笼罩下。（8）联想到学科知识：如数学题求图中阴影部分的面积，生物上的胚盘、地理上的极昼极夜等。2、组合图形：请使用下面的四个图形组成一幅“画”，要求在每幅画中下面的四个图形都用上，但不能重复。尽可能多画几幅。完成每幅画后，紧挨着为它起个名字。画的名字要尽可能与众不同。本题主要考察学生思维的灵活性与独特性，学生想到最多的主要是面部表情及人物，如表情有刀疤脸、虎牙、鬼脸、哭笑不得、悲伤的脸，人物有搞怪的人、小女孩、舞者、稻草人、被囚禁的人、搞怪的小丑、考完试想上吊的我、戴帽子穿裙子的小人、没有眼睛的人等；物体类学生想到最多的是天平；最为独特的如落日余晖、云霄之亭、床边的红酒杯，形象生动而富有意境。其余的如烛台、向恶势力低头、圣诞树、警示牌路标等也比较独特。还有一位同学什么改动也没做，取其名曰“平庸”。现将部分作品展示如下：30 山东师范大学硕士学位论文3、你能用几种方法将一条线段分成相等的两部分？A.1种B.2种C.3种D.很多种本题主要考察学生思维的灵活性与独特性，在学生的答案中，出现次数最多的是：两边折叠；尺子找中点；做中垂线。其他比较独特的有：先画一条线，再画一条等长线段；找一条与该线段长度相等的绳子对折，再从线段上找点；以它为对角线作平行四边形，连接另一对角线；剪一个纸板和它一样长，用手找重心；两端平挂，绳上挂重物，静止时位置是分点；将线段围成圆，作一条直径；以线段为底作等腰三角形，作底边的高。还有更另类的答案，如凭直觉；问数学老师。4、带数字的词语：有许多词或短语都是与数字有关的，而且这里的数字都表示具体的数量含义。如：双胞胎、三角形等。请你尽可能多地写出这样的词语，越多越好。本题主要考察创造性思维的流畅性，就回答的情况来看，平均个数为20个左右，其中含数字一、三的个数最多，其次是四、五，以一为例：一个人，一双手，独生子，单身狗，一山不容二虎，一本正经，一石二鸟，一箭双雕，一曲成名，一语双关，一刀两断，一心一意，一分为二，一目十行，一元二次方程，一指禅，独角兽，单车，单细胞，一氧化碳，一溜烟，一线生机，一念之差，命悬一线，单枪匹马，一刹那。不难发现以成语居多，也有些是与学生的学习生活密切相关的，如一元二次方程，单细胞，一氧化碳等，可见流畅性这一思维品质是以学生的知识储备为基础的。在所有数字组成的词语中，出现频数最多的词语是三胞胎、三头六臂、四边形、四面八方、五颜六色、七上八下，这也是由于学生对于这些词更为熟悉。同时，在统计时，笔者注意到有些学生常常围绕某一类写词语，比如四边形，五边形，六边形，四面体，八面体等，这些虽然能够使数量上变多，但不能说明流畅性的水平很高。整体来看，笔者所调查的山东师范大学附属中学1、2两个班有一些学生的表现令人欣喜，给出的答案灵活多样，构思独特令人赞赏。不过同时，在大部分学生在思维的流畅性、灵活程度及独特性上还有很大的提升空间。五、实验过程与实验结果分析1、前测：实验班和对照班数学成绩（前测）的单样本K－S检验和独立样本T检验的31 山东师范大学硕士学位论文结果与分析：实验开始前，对高一年级1、2班学生进行了创造性思维测试，要求学生在20分钟内完成试题。在对试题进行统计的基础上，笔者对2班（实验班）和1班（对照班）的测试成绩进行了单样本K－S检验和独立样本T检验，结果如下表：表5-1实验班前测成绩Kolmogorov-Smirnov检验类型2班流畅性2班灵活性2班独特性N565656正态参数a，b均值27.0713.3020.17标准差12.2424.1377.173最极端差别绝对值.171.117.104正.171.117.104负-.070-.104-.103Kolmogorov-SmirnovZ.934.643.569渐近显著性(双侧).347.803.902从2班（实验班）K－S检验的结果来看（如表5－1）：流畅性K－SZ＝0.934，P＝Sig.＝0.347>0.05；灵活性K－SZ＝0.643，P＝Sig.＝0.803>0.05；流畅性K－SZ＝0.934，P＝Sig.＝0.347>0.05；独特性K－SZ＝0.569，P＝Sig.＝0.902>0.05。因此，实验班前测成绩服从正态分布。表5-2对照班前测成绩Kolmogorov-Smirnov检验类型1班流畅性1班灵活性1班独特性N565656正态参数a，b均值21.379.6714.47标准差12.9394.1637.427最极端差别绝对值.142.154.105正.142.154.105负-.103-.103-.092Kolmogorov-SmirnovZ.778.845.574渐近显著性(双侧).580.473.897从1班（对照班）K－S检验的结果来看（如表5－2）：流畅性K－SZ＝0.778，P＝Sig.＝0.580>0.05；灵活性K－SZ＝0.845，P＝Sig.＝0.473>0.05；独特性K－SZ＝0.574，P＝Sig.＝0.897>0.05。因此，认为对照班学生的测试成绩服从正态分布。32 山东师范大学硕士学位论文综合分析，本次测试具有较好的区分度。表5-3对照班与实验班流畅性独立样本T检验方差方程的均值方程的t检验Levene检验FSig.tdfSig.均值标准误差分的95%置信区间(双侧)差值差值下限上限假设方差.005.9421.75358.0855.7003.252-.81012.210相等假设方差1.75357.823.0855.7003.252-.81012.210不相等针对流畅性这一指标，笔者对实验班和对照班的进行了独立样本T检验：F值为0.05，显著性概率为0.942>0.05，因此可以认为两个班测试成绩的方差是齐性的；根据方差相等的T检验结果：t值为1.753，显著性概率为0.085>0.05，所以可以认为实验班和对照班学生在流畅性这一指标中的测试成绩没有显著差异。表5-4对照班与实验班灵活性独立样本T检验方差方程的均值方程的t检验Levene检验FSig.tdfSig.均值标准误差分的95%置信区间(双侧)差值差值下限上限假设方差.026.8721.56758.1221.6001.021-.4433.643相等假设方差1.56757.319.1231.6001.021-.4443.644不相等针对灵活性这一指标，笔者对实验班和对照班进行了独立样本T检验：F值为0.026，显著性概率为0.872>0.05，因此可以认为两个班测试成绩的方差是齐性的；根据方差相等的T检验结果：t值为1.567，显著性概率为0.122>0.05，所以可以认为实验班和对照班学生在灵活性这一指标中的测试成绩没有显著差异。这为进一步对比分析前、后测成绩得出结论作了铺垫。33 山东师范大学硕士学位论文表5-5对照班与实验班独特性独立样本T检验方差方程的均值方程的t检验Levene检验FSig.tdfSig.均值标准误差分的95%置信区间(双侧)差值差值下限上限假设方差.209.649-.16458.870-.2331.425-3.0852.619相等假设方差-.16457.948.870-.2331.425-3.0852.619不相等针对独特性这一指标，笔者对实验班和对照班进行了独立样本T检验：F值为0.209，显著性概率为0.649>0.05，因此可以认为两个班测试成绩的方差是齐性的；根据方差相等的T检验结果：t值为-0.164，显著性概率为0.870>0.05，所以可以认为实验班和对照班学生在独特性这一指标中的测试成绩没有显著差异。综合来看，针对创造性思维品质的三个维度，对实验班和对照班进行独立样本T检验，两个班的测试成绩没有明显差异。2、后测结果与分析（1）实验班和对照班创造性思维综合测试（后测）的结果与分析：在实验班和对照班分别用两种教学模式教学后，临近期末时笔者对两个班的学生再次进行了创造性思维测试，主要考查学生的创造性思维品质有无明显差异，主要在思维的流畅性、灵活性和独特性方面有什么变化。笔者对测试成绩进行单样本K－S检验和独立样本T检验，结果如下表：表5-6：实验班后测成绩Kolmogorov-Smirnov检验类型2班流畅性2班灵活性2班独特性N565656正态参数a，b均值27.1013.3020.17标准差11.9004.1377.173最极端差别绝对值.170.117.104正.170.117.104负-.076-.104-.103Kolmogorov-SmirnovZ.933.643.569渐近显著性(双侧).348.803.902从表5-6来看：后测成绩流畅性K－SZ＝0.933，P＝Sig.＝0.348>0.05；灵34 山东师范大学硕士学位论文活性K－SZ＝0.643，P＝Sig.＝0.803>0.05；流畅性K－SZ＝0.569，P＝Sig.＝0.902>0.05。因此认为实验班学生的测试成绩服从正态分布。表5-7：对照班后测成绩Kolmogorov-Smirnov检验类型1班流畅性1班灵活性1班独特性N565656正态参数a，b均值21.909.6714.47标准差12.4494.1637.427最极端差别绝对值.161.154.105正.161.154.105负-.116-.103-.092Kolmogorov-SmirnovZ.880.845.574渐近显著性(双侧).421.473.897从对照班K－S检验的结果来看：流畅性K－SZ＝0.880，P＝Sig.＝0.421>0.05，灵活性K－SZ＝0.845，P＝Sig.＝0.473>0.05，独特性K－SZ＝0.574，P＝Sig.＝0.897>0.05，因此认为对照班学生的测试成绩服从正态分布。因此该测试题有较好的区分度。表5-8：对照班与实验班流畅性独立样本T检验方差方程的均值方程的t检验Levene检验FSig.tdfSig.均值标准误差分的95%置信区间(双侧)差值差值下限上限假设方差.006.9411.65458.1045.2003.144-1.09411.494相等假设方差1.65457.882.1045.2003.144-1.09411.494不相等针对流畅性这一指标，笔者对实验班和对照班进行了独立样本T检验：F值为0.006，显著性概率为0.941>0.05，因此可以认为两个班测试成绩的方差是齐性的；根据方差相等的T检验结果：t值为1.654，显著性概率为0.104>0.05，所以可以认为实验班和对照班学生在流畅性这一指标中的测试成绩无显著差异。由此笔者认为，在此次创造性思维的培养实验中，虽然鼓励学生在短时间内更多的调动自己的思维，但在由于折纸活动仍有一定的局限性，实际教学中更多35 山东师范大学硕士学位论文的侧重了鼓励学生用多种角度、多种思路去认识、研究问题，在流畅性的培养上有所缺失。表5-9：对照班与实验班灵活性独立样本T检验方差方程的均值方程的t检验Levene检验FSig.tdfSig.均值标准误差分的95%置信区间(双侧)差值差值下限上限假设方差.180.6733.39158.0013.6331.0721.4885.778相等假设方差3.39157.998.0013.6331.0721.4885.778不相等针对灵活性这一指标，对实验班和对照班进行独立样本T检验：F值为0.180，显著性概率为0.673>0.05，因此可以认为两个班测试成绩的方差是齐性的；根据方差相等的T检验结果：t值为3.391，显著性概率为0.001﹤0.01，因此可以认为这两个班的学生思维的灵活性有显著的差异，实验班成绩明显好于对照班。由此笔者认为，在此次创造性思维的培养实验中，通过一系列的折纸活动教学，学生的创造性思维的灵活性得到了提高。表5-10：对照班与实验班独特性独立样本T检验方差方程的均值方程的t检验Levene检验FSig.tdfSig.均值标准误差分的95%置信区间(双侧)差值差值下限上限假设方差.268.6073.02458.0045.7001.8851.9279.473相等假设方差3.02457.930.0045.7001.8851.9269.474不相等针对独特性这一指标，笔者对实验班和对照班进行独立样本T检验：F值为0.268，显著性概率为0.607>0.05，因此可以认为两个班测试成绩的方差是齐性的；根据方差相等的T检验结果：t值为3.024，显著性概率为0.004﹤0.01，因此可以认为两个班的学生思维的独特性有显著的差异，实验班成绩明显好于对照班。由此笔者认为，在此次创造性思维的培养实验中，通过一系列的折纸活动教学，学生的创造性思维的独特性得到了提高。36 山东师范大学硕士学位论文第六章数学折纸活动教学案例一、《指数函数》教学案例1、案例选取本节课选自人教B版高中数学教材第三章第一节《指数与指数函数》，是一堂新授课。指数函数是重要的基本初等函数，学习它既可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，又可以进一步熟悉函数的性质和作用，为研究对数函数打下坚实的基础，具有承前启后的作用。2、教学过程首先，上课开始，老师请大家拿出自己准备好的纸，如图6-1，将一张纸对折，而不展开，再对折......直到不能折叠为止。图6-1在折的同时，研究以下3个问题：1.纸张的层数是怎样变化的？2.纸张的面积是怎样变化的？（设一开始的面积为1）3.你最多能将这张纸折叠多少次？折完之后填写以下表格：表6-1折叠次数012345x纸张层数纸张面积学生通过动手操作，共同研究，容易得到纸张的层数、纸张面积与折叠次数37 山东师范大学硕士学位论文x1x的关系，得出当折叠次数为x次时，纸张的层数是2，纸张的面积为（），为2进一步归纳指数函数的性质，研究图像作了铺垫。1xx接下来，教师列举出y()、y5.2等函数，让学生观察这类函数的性质，3x总结出指数函数的概念：形如ya(a0且1）的函数叫作指数函数，其中x为自变量，a为常数，定义域为R。x1x在学习了指数函数的概念之后，回到一开始举的例子，对于y2与y（）2两个函数，用描点法作出它们的图像，自行补全当x取负值时所对应的函数值，进一步深入探索指数函数的图像、定义域、值域、过定点及单调性。具体不再详述。这样，本节课由折纸活动导入，激发了学生学习的兴趣，进一步引入了新知，达到了预期的学习效果，在临近下课时，笔者提出这样一个问题，“如果能将一张0.1mm的纸对折20次，纸的厚度能达到多少”，并将求得的厚度与三层楼高度相比较。学生经过计算，认识到了指数级增长的迅速。但在实际折叠中，学生很容易认识到，最多将一张纸折叠7次，就非常困难了，更不用说20次了，这主要是因为在层数增长厚度增加的同时，纸张也在慢慢变小。在本节课最后，笔者进一步提出了这样一个问题，“要想将一张0.1mm的纸折叠12次，你认为至少需要多长的纸。”这道题目留给学生课下思考。笔者事先对于这道题目进行了一定的研究，并在课下与学生进一步探讨。3、案例分析在本节课的教学中，笔者采用了更为新颖的导入方式，用折纸活动导入，将实际操作与学习新知紧密结合，并将折纸活动贯穿课堂，达到了“在做中学”的目的。学生在这个过程中，不仅亲自操作，学到了数学知识，更认识到了数学与现实生活的紧密联系。通过实际操作探究，直观感知，激发了学生的学习热情，培养了学生思维的灵活性。在课堂结尾，笔者布置了具有挑战性和趣味性的题目，促进了学生创造性思维品质的养成。综合来看，运用折纸活动作情景导入，直观教学，为指数函数教学提供了一种新的思路。当然，在与课堂融合方面，本节课还需进一步修改、完善。38 山东师范大学硕士学位论文二、《棱柱、棱锥和棱台的结构特征》教学案例1、案例选取本节课选自高中人教B版数学教材必修二第一章第一节第二小节，是一堂新授课。学生之前已经学习了空间的基本元素，本节课主要学习棱柱棱锥和棱台。在实际教学中，笔者事先让学生用一张纸制作出棱柱、棱锥，为了降低操作的难度，节省时间，允许必要的剪切、粘贴。上课时，通过让学生展示自己制作的几何体模型，让学生通过直观感受，观察、讨论、归纳、概括所学的知识，培养学生的空间想象能力和抽象概括能力。同时，在构思制作模型时，并没有较多的相关资料可以借鉴，笔者与学生亲自构思改造，培养了学生的创造性思维品质。2、教学过程在上课之前，笔者给学生布置了一项作业，运用一张纸制作下节课所需的几何体模型，主要是棱柱、棱锥、棱台，可以自己上网查相关资料，可以自行设计，不拘泥于折纸的严格限制，可以裁剪、粘帖，当然老师也提供了几种设计思路来供学生自行选择：以正三棱柱为例：（1）利用几何体展开图制作正三棱柱（如图6-2，图6-3）在纸上作出上图。用剪刀剪出相应的图形，将其拼接起来，形成一个正三棱柱，可用胶带固定。图6-2图6-3图6-4图6-5图6-6图6-7（2）利用折纸制作正三棱柱39 山东师范大学硕士学位论文首先，如图6-4，细线（虚线）为谷折，粗线（虚线）为山折，按箭头方向折叠，最终如图6-5；继续按箭头方向折叠，将上部分按虚线谷折，将下部分塞入到上部分的“口袋”中，如图6-6；这样就形成了一个“无盖”的三棱柱。如图6-7，沿虚线将图中的小正方形剪开，用其作出正三棱柱两个底面，则可形成一个完整的正三棱柱。上课开始，笔者首先让大家拿出自己制作的几何体，同学们展示的棱柱、棱锥、棱台，各式各样，学生经过相互比较，很容易从中发现棱柱、棱锥、棱台的性质。下面简单展示一下学生做出的几个几何体模型。正三棱柱正四面体斜三棱柱四棱锥（底面是菱形）图6-8：几何体折纸模型接下来，以棱柱为例，笔者首先让学生观察：这类图形有什么共同特征？观察思考后，师生共同归纳其性质：棱柱有两个面互相平行；其余各面都是四边形；相邻两个四边形的公共边互相平行。教师总结：满足这三个特征的多面体，叫做棱柱。在初步了解了棱柱的结构特征后，老师问大家：哪位同学能给棱柱下个定义？这样，自然而然的，学生很容易能够给出棱柱的概念：一般地，有两个面相互平行，且各个面都是四边形，并且每相邻两四边形的公共边都互相平行，由这些面组成的多面体就是棱柱。然后笔者给出其附属概念：棱柱的面：棱柱中两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底，其余各面叫做棱柱的侧面；棱柱的侧棱：相邻侧面的公共边；棱柱的顶点：侧面与地面的公共顶点。在学习了棱柱的概念之后，通过让学生进一步观察比较，对棱柱进行分类：底面是三角形、四边形、五边形......的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱......经过亲自动手操作和直观展示、观察概括，学生也给出了棱锥的定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体就是棱锥；多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做40 山东师范大学硕士学位论文棱锥的侧棱。类比棱柱，也可根据底面的边数把棱锥分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥......在此基础上，同样，学生也给出了棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分，这样的多面体叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；原棱锥的侧面被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧面；原棱锥的棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；底面与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点。由三棱锥、四棱锥、五棱锥等截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台......在下课时，笔者布置了一道选做题：如图6-9所示，四边形ABCD为正方形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，若沿EF、FG、GH、HE将四角折起，试问能折成一个四棱锥吗？为什么？你从中能得到什么结论？图6-93、案例分析在本节课中，如何引导学生掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征是关键，笔者通过让学生制作折纸几何体模型，学生实际动手操作及展示、观察、归纳、分析，即握了棱柱、棱锥、棱台的结构特征，为进一步学习各几何体的表面积及体积作了铺垫。同时，通过课下的拓展延伸，学生能进一步思考棱锥的结构特征。本节课做到了折纸活动与课堂教学有序结合，展示了折纸的独特魅力，增进了学生对折纸活动价值的理解，通过直观展示、总结归纳，培养了学生的空间想象能力、逻辑思维能力，运用折纸进行教学，也培养了学生的创造性思维。综合来看，数学折纸活动对于立体几何教学中的“概念形成”环节有着独特的作用，对于一些比较抽象的知识，折纸往往能够起到意想不到的效果。41 山东师范大学硕士学位论文三、数学折纸活动习题课教学案例1、三视图（1）案例选取在必修二的学习中，对学生空间想象能力的培养至关重要，在习题课中巧借折纸展示立体模型，有助于学生更为清晰的分析、解决问题，下面将笔者在实际教学中遇到的案例进行简单说明。在学习三视图时，一些学生表示对于一些看似复杂的图，往往没有好的解决方法，自己也想象不出来，笔者在为学生答疑时，一位同学问了这样一道题目：例1.(2016黑龙江哈尔滨期末）一个棱锥的三视图如图6-10（尺寸的长度单位m），则该棱锥的表面积是A.4+26B.4+6C.4+22D.4+2图6-10（2）教学过程这是一道三视图的题目，在讲解这道题目时，有些同学表示想象不到这个立体图形，因此也不会画出其直观图，进而求出其表面积。而笔者恰好接触了梁海声的《白银长方形》中的四面体的案例，觉得很相像，于是用了1分钟的时间，按下图的顺序，折出了立体图形。如图6-11，首先将一张A4纸如图折出5条折痕（全部谷折）；分别用左右手的拇指与食指捏合左右两边的纸角，围拢四个角到一点上，就得到一个三棱锥。图6-1142 山东师范大学硕士学位论文如图6-12，分别为这个几何体的不同角度的立体图片，学生很快从中找到了题目的原型，画出了直观图，并且计算出了该棱锥的表面积。立体图正视侧视俯视图6-12因为左侧面和底面垂直，并且底与高都是边长为2的等腰三角形。所以两个1面的面积和为2224；前后侧面是全等的等腰三角形，两腰都是5，底21边是22，高为3，则两个面的面积为2236。所以选B。2不过，与此同时，细心的同学发现，折纸展示的立体图形跟题目并不完全吻合，因为虽然形状相同，但A4纸的长宽比不是2:1，于是笔者启发学生课下进一步探讨，为什么将一张A4纸按这样折出来的立体图形左侧面和底面是互相垂直的。学生通过查阅资料和认真思考，了解到A4纸的长宽比是2：1，则利用边长很容易证明垂直关系。（3）案例分析在此案例中，笔者将折纸的经验技巧与课堂紧密结合，直观展示解题结果的同时，还体现了数学折纸的独特价值。学生对于这种解题的思路感到新奇和赞叹，认识到了折纸还能解决数学问题，更激发了对数学折纸的兴趣。在解决三视图这类问题的过程中，学生需要一定的空间想象能力，此案例为学生提供了一种更为灵活的解决问题的思路，能够培养学生的想象能力，因此也能够培养学生的创造性思维品质。2、立体几何翻折问题（1）案例选取立体几何在高考中占据重要的地位，高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空间中点、线、面位置关系的判断及空间角等几何量43 山东师范大学硕士学位论文的计算，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力；通过分析近几年的高考情况，经常出现平面图形的折叠问题。由于其涉及平面图形和空间图形，所以对学生的空间想象、识图及分析能力都提出了较高要求。鉴于笔者实验的对象是高一学生，因此实验着重培养学生的空间想象能力，即对空间几何体的观察分析和抽象的能力，要求“四会”：会画图；会识图；会析图；会用图。[31]为此，笔者结合教材及学生掌握情况，有针对性的上了一节关于立体几何翻折问题的习题课：例2.如图6-13，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°。证明：平面ADB⊥平面BDC.图6-13（2）教学过程教师让学生用一张三角形纸片折叠，然后与学生一起，分步进行研究。通过实际折叠，能够增强学生解决问题的兴趣。①让学生分析折叠前后量的变化情况处理这类题型的关键是画好折叠前后的平面图形与立体图形，注意对翻折前后线线位置关系、线面位置关系、所成角及距离等加以比较；要充分挖掘和利用题目中的不变关系和不变量，主要是平行、垂直关系和角度的大小、线段的长度等。以本题为例，在折叠前后，AD⊥DC，AD⊥BD，这两个垂直关系没有改变。②找到证明所依据的几何学公理、定理本题要求证明平面ADB⊥平面BDC，即证两个面垂直，依据的是面面垂直的判定定理：如果一个面过另一个面的垂线，那么这两个面互相垂直，在本题中是证明AD⊥平面BDC；接下来用的是线面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就与这个平面垂直，在本题中即用AD⊥DC，AD⊥BD。③将证明过程条理清晰地写出来。此步是为了规范学生的证明步骤。44 山东师范大学硕士学位论文证明：∵折起之前AD⊥BC，∴当折起后，AD⊥DC，AD⊥BD，又∵DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC，∵AD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC（3）案例分析立体翻折问题是空间几何与平面几何问题转化的集中体现，研究这类问题就是为了培养学生空间想象力及辩证地分析问题的能力。在这类问题的习题教学中，笔者依据教学目标，运用折纸类问题巩固学生所学的线线、线面、面面平行和垂直的相关知识，起到了很好的教学效果，折纸问题灵活多样，对培养学生思维的灵活性有重要意义。四、数学折纸微视频实录1、三等分任意角的折纸作法在数学的历史长河当中，“三等分任意一角”作为三大几何问题之一，已被证明为“尺规作图不能问题”，就是不能用无刻度的直尺和圆规作出。不过我们仍然可以通过其他方法得到一个角的三等分角。下面首先给出三等分锐角、直角的折纸作法。（1）折纸三等分锐角首先给出三等分锐角的折纸作法：①如图6-14，在一个正方形纸片中折出所要三等分的角。②如图6-15，向上翻折，在正方形底部折出一条折痕。③不必展开，继续向上翻折，折出第二条折痕，如图6-16。④如图6-17，将A点折向A′点，而将B点折向B′点，AB两点是在图形的左边上，而A′点是在最早制作的那个折痕上，B′则是在最靠近底边的折痕上(图中为l1）。⑤将∠A′BB′对折，折痕为BO，连接BB′，则BO、BB′将最初的角分为了三个相等的角，如图6-18。45 山东师范大学硕士学位论文图6-14图6-15图6-16图6-17图6-18图6-19在这里选用的是正方形纸片，在实际折纸中，正方形纸不是必备条件，只是选用正方形纸片比较方便。简单验证一下，如图6-19，经过这样折叠后，连接相应点，可以得到图中三个直角三角形，且一直角边长度都为h，易证三个三角形全等，所以对应角相等，即将原来的锐角分成了三个相等的角。（2）折纸三等分直角下面给出三等分锐角的折纸作法（具体原理比较简单，篇幅所限，不再赘述）：①将一矩形纸片ABCD对折，EF为折痕②继续沿过点C的直线CO对折，使点B落在EF上得到点G，则CO、CG就把∠BCD三等分了。（如图6-20、图6-21）图6-20图6-21（3）折纸三等分钝角首先说明一点，以上三等分锐角与直角的作法对钝角并不适用。笔者在与折46 山东师范大学硕士学位论文纸兴趣小组的共同探索下，沿着三等分锐角与直角的思路，探索出了2种三等分钝角的折纸作法，并在视频中展示了出来。第一种：先分后折①把钝角对折，分成两个锐角（图6-22、图6-23）②将对折后的“一半”按照锐角的三等分方法进行三等分（图6-24）③将另一半同样三等分（可沿图6-24所得三等分角折痕直接对折得到），展开后会得到这样6个相等的角。（图6-25）④则其中的两个角合在一起，即为三等分角。（图6-26）图6-22图6-23图6-24图6-2560°l2l1图6-26图6-27第二种：借用60°角折纸工具折纸与尺规作图不同的地方还在于，可以以一定的单位长度或角度为标准，制出可以度量的“尺子”。例如我们可以借助这样的工具来三等分一个钝角：①如图6-27，取一张纸，首先折出一个60°角，并将角的一边反向延长（可利用三等分直角得出，图6-21中∠OIC即为60°)②另取一张纸，如图6-28，作出所要三等分的钝角，再折出与钝角的底边平行的一条线，将所得的同旁内角（锐角）折纸三等分，并将最下方的一条三等47 山东师范大学硕士学位论文分线标记为l3。③如图6-29，将两张纸上下叠在一起，先使①中60°角的一边l1与②中的l3重合，再移动纸片使l2经过钝角的顶点，则此时的l2即为钝角的一条三等分线。l2l3l3图6-28图6-29这样做的原理在于：同旁内角互补，若上下两角分别三等分后，l1与l2的夹角必为60°。第三种：借用中垂线工具①如图6-30，选两张同样大小的透光性好的长方形纸片，在其中一张上作出所要三等分的钝角。②分别将两张纸片如图图6-31，6-32对折，一分为二。③如图6-33，将第二张纸片（无角的）置于第一张纸片上方，旋转第二张纸片，使得长方形纸的两个顶点，其中一个在l1上，另一个在钝角的一边l2上，移动纸片，使得折痕l3经过钝角的顶点O。图6-30图6-31图6-32图6-33④如图6-34，将长方形纸片两个顶点的最终位置记为A、C，将AC的中点记为B，延长OB、OA，则射线OB、OA即为钝角的三等分线。48 山东师范大学硕士学位论文图6-34图6-35实际上，国外的JacquesJustin也提出过三等分钝角的折纸方法，而且比较简单，在此一起欣赏一下（如图6-36）：①作折痕ZOZ"和XOX"②对折XOX"得垂线OY，任取两点OA=OA"③将A折至OX"上，A"折至OY上得到折痕④作O到折痕的垂线，即为ZOX的三等分线图6-36本文讨论了三等分任意角的折纸作法，向学生展示了“三等分角”这一尺规不能问题，展示了折纸的独特价值与魅力。其中钝角比较特殊，用一般的折纸方法不易做到三等分，笔者与学生共同探讨提出了自己旳折纸方法。其中蕴含的数学原理直观、生动，希望对广大师生及折纸爱好者有所启示。2.折纸作正五边形我们在初中就学过正五边形的内角为108°，但是如何作一个正五边形呢？首先简单地介绍一下尺规作正五边形的方法（如图6-37）。49 山东师范大学硕士学位论文图6-37(1)作⊙O互相垂直的直径AB，CD；(2)取OB的中点E，以E为圆心，CE长为半径画弧交AB于点F；(3)以CF为弦长，在圆上取弦GC=CH=HM=MN=CF；(4)连结GN，则五边形GCHMP即为正五边形。51-具体原理在此不再赘述了，在此简单提一句：=72°，cos72°=，作图4的核心在于根据作出相对应的正五边形的边长，有兴趣的同学可以自己查阅相关资料。今天呢，仿照尺规作图的形式，我们一起用折纸的方法作出正五边形。（1）如图6-38，用一张纸折出两个正方形，先上下对折一次，再左右对折，形成如图的折痕。（2）为了折叠方便，如图6-39，用剪刀去多余的部分。（3）找到如图6-40A、B、C所在的位置，先折出折痕AC，再将AC边折向CD边，折痕为l（4）如图6-41，将B点折向边l，交l于点O，折痕为m（这样使得AO=DO=AB）图6-38图6-3950 山东师范大学硕士学位论文图6-40图6-41（5）如图6-42，折出AO、DO，则∠AOD=∠，以∆AOD这个三角形为“标尺”，依次对折便得到正五边形ADFGH。图6-42为什么这样做折出的一定是正五边形呢？对比尺规作图我们知道，折纸图（5）中AD与AO（DO)的长度比值与尺规作图中CG与CO（GO）的长度比值是相同的，所以我们首先作出了一个相同的∠，最后就能得出一个正五边形。如果你觉得这样做很麻烦，在这可以提供给大家一种折纸近似作正五边形的作法，误差也不明显，几乎可以以假乱真。（1）如图6-43，将正方形沿中线对折，将得到的长方形如图折出两条折痕，焦点为O。图6-4351 山东师范大学硕士学位论文（2）如图6-44，将右边端点A折向O，折痕为l图6-44（3）如图6-45，将右边的角反折回来图6-45（5）如图6-46，将左边的角再折过来图6-46（6）如图6-47所示，反方向对折，剪刀与右侧边垂直（由折叠易得要剪的是正五边形边的一半，的另一边为正五边形的对称轴，由正五边形是轴对称图形可得边垂直于对称轴），剪下上面部分。图6-4752 山东师范大学硕士学位论文（8）如图6-48，展开即得一个“正五边形”。图6-48为什么这样就能得到一个近似的正五边形呢，我们一起来看一下。如图6-49，我们将未剪前的纸展开，会看到有四条折痕，由折纸过程我们很容易知道∠1=∠3=∠4=∠5。图6-49那么为什么说是近似的，而不是精确的呢？原因就在于∠1∠2，我们不妨来验证一下。图6-50如图6-50，过O作OC⊥AN，垂足为C，设OC=1，则CN=1，MN=2，AN=4，设BA=x，则由折叠知OB=x，则BC=AN-CN-AB=3-x，由勾股定理知5OC2+BC2=OB2，即1+（3-x）2=x2，得x=。353 山东师范大学硕士学位论文4即OC:BC:OB=3:4:5，OBCarccos36.87°，则其余四个角的度数为535.78°，而标准正五边形OBC应该等于36，所以我们说几乎可以假乱真，但仍旧是近似的。关于折纸作正五边形的方法，可以尝试着做一下。同时，在这个示例中，我们可以看到：折纸背后蕴藏着丰富的数学知识，这需要我们对高中三角方面的知识有很好的掌握，不要小瞧折纸哟，有兴趣的同学可以找到自己的折纸方法，没准你的更加简便呢。54 山东师范大学硕士学位论文第七章研究的结论、存在的不足及展望一、研究的结论新课程改革的不断推进，以及中国学生发展核心素养研究成果的发布，都对学生创造性思维品质的培养提出了更高的要求。本文通过理论分析和实践研究后得出：在高中数学教学中开展数学折纸活动，能够培养学生的创造性思维品质。首先，在理论研究方面，本文得出：中学生的确具有创造性思维的能力，创造性思维与空间想象能力及逻辑思维能力有密切的关系；创造性思维具有可训练性，而数学折纸活动可以培养学生的创造性思维。其次，在调查阶段，笔者分析得出，学生的逻辑思维能力以及空间想象能力都有较大的提升空间；大部分学生对于数学折纸活动的认识还比较片面，但总体对于开展数学折纸活动都持比较积极的态度。再次，在实验阶段，本文提出了利用数学折纸活动培养学生创造性思维品质的具体措施，包括课上渗透和组成兴趣小组、微视频等形式，并给出了具体的实施办法；经过两个多月的实验教学之后，对于前后两次测试的结果，对比分析得出：学生的流畅性还有待进一步改善，学生思维的灵活性、独特性都有明显提高。二、研究存在的不足1、“数学折纸进高中课堂”缺少现实可行的课例范本折纸虽然简单易行，见诸于书籍及网络的折纸教程也已经数不胜数，但在高中阶段，由于能够与高中教材内容呼应的折纸案例比较少，折纸的教育价值并不为大多数人所认识，现有的教学设计中主动加入数学折纸活动的更是少之又少。现有的研究中，虽然有人将折纸作为初中、高中数学校本课程开发项目，但课程内容缺乏系统性，很多内容与高中数学教学关系不够紧密，且由于时间并不能做到相对固定，并不能直接对数学教学与学生学习产生直接促进作用。因此，对于本次笔者研究的课题，即将数学折纸活动与课堂教学结合，缺乏成形的可以直接借鉴的材料或案例，这就需要在国内外折纸题材包括相关折纸书籍的基础上进行深加工，从中挑选出适合高中数学教学的题材，设计出适合课堂教学的案例。在本次实验过程中，笔者凭着自身对于数学折纸的兴趣及对高中课程的解剖，将数学折纸活动与高中数学教学进行了结合，但是由于缺乏可依据的样例，因此55 山东师范大学硕士学位论文在教学设计上难免有所缺漏，在数学折纸活动的形式上还有些盲目，缺乏规范的、可依据操作的教学程序，对待不同的课例缺乏灵活机动的有针对性的教学策略。因此，关于“数学折纸进高中课堂”的课例样式和活动设计还需要进一步研究。2、实验研究的时间偏短笔者所实验的对象都处于高一年级第一学期，实验开始时正在学习人教B版高中数学教材必修1部分，这一部分的内容主要是集合、函数与基本初等函数，能够与数学折纸关联的内容不多，因此在前半学期，主要是让学生对于数学折纸有一个大致的了解，总体上属于酝酿阶段。在学习必修2时，由于“认识空间几何体”、“空间几何体的结构特征”以及“三视图”还有“空间中的平行、垂直关系”这些立体几何知识与折纸活动更为密切，因此在必修2的教学中，笔者将数学折纸活动与课堂教学紧密结合。总体来说，实践研究的时间主要集中在高一第一学期期中至期末，实验研究的时间偏短，有些实验部分实践的比较仓促，学生对于数学折纸活动的了解还不够深入；因为所讲的例子不多，学生对于利用折纸活动解题还不够熟练。3、利用数学折纸活动培养学生创造性思维品质的针对性不够强在理论部分，笔者已经介绍了创造性思维与逻辑思维能力、空间想象能力的密切关系，以及直观教学和直觉对创造性思维品质的培养作用。但在实际实验中，由于对学生逻辑思维能力、空间想象能力的培养是长期的、持续的，因此笔者将教学的重心放在了首先使学生的创造性思维建立在扎实的知识及对数学折纸的认可的基础上，其次利用制作模型、直观展示、概念抽象、习题巧解等与课堂教学密切相关的环节来促进数学折纸活动的有效实施，同时在课下组成兴趣小组，增进学生对于数学折纸活动以及折纸数理学的认识。这样一来，能够起到间接促进学生的创造性思维养成的作用。但是针对创造性思维品质的三个重要维度：流畅性、灵活性、独特性，并未采取更具针对性的措施，比如如何利用折纸活动培养学生思维的独特性，这是需要进一步认真考虑的。三、课题继续研究的展望虽然本研究在利用数学折纸活动培养学生的创造性思维品质方面取得了一定的成绩，但不可否认的是还存在着多方面的不足，但笔者在研究过程中深深的感受到次研究的重大意义，可以为今后的教学工作提供很多可以借鉴的教学案例，56 山东师范大学硕士学位论文因此必须进一步思考继续研究的可能及改进策略。1、增强数学折纸活动与数学教学的融合性本次研究主要是针对的是高一学生，特别是针对必修2的学习，其实，在函数、数列、三角以及圆锥曲线等部分仍有很多可以与数学折纸活动紧密结合。在本次研究中，数学折纸活动仅仅是作为了课堂上一个用来展示、归纳所学知识的“前奏”或者“插曲”，并没有专门的利用折纸活动来探究或者解决实际问题，这就需要将课程内容与教学资源进一步整合，给折纸活动留出更为充分的时间，使学生真正地投入其中，能够把折纸作为一种学习数学的工具，利用折纸来解决一些数学问题，从而加深学生对于数学折纸活动的认识，增长见识，开拓思维，进一步促进学生创造性思维品质的提升。2、开发更具实践意义的教学资源在本次研究中，为了拓展学生的视野，笔者精选了芳贺和夫、罗伯特·朗、陆新生、黄燕萍等国内外折纸领域专家文章、著作中的相关内容，在教学中或者在微视频中尽可能多的做了介绍。但就目前来看，对这一领域的研究者主要是折纸艺术家、数学家及普通的折纸爱好者，而广大一线教师对此研究或者了解较少，因此如何将现有资源与高中阶段数学教学有机结合是需要解决的问题。例如，笔者通过一段时间的实践研究，发现用一张A4纸可以折叠成诸如正三棱柱、斜三棱柱、正三棱锥、底面为菱形的四棱锥等几何模型，这使得教师的教具更为广泛化，也使得课堂教学更加直观形象。在进一步的研究中，应该继续发掘现有资料中可用的部分，开发更具实践意义的教学资源。3、开辟利用折纸活动培养学生创造性思维品质的新途径在本次研究中，除了课堂教学，笔者还尝试用微视频、组成兴趣小组的方式促进对学生思维的影响和训练，但从结果来看，学生思维的流畅性并没有提升。这就要求必须开辟新途径来培养学生的创造性思维品质，比如对于流畅性的培养，可以利用一个折出的几何体模型，让学生思考可以提出或者解决哪些问题等；对于学生思维灵活性的培养，可以引导学生利用折纸开发出更多的几何模型，或者利用折纸解决数学问题，集中时间做展示与交流；对于学生思维独特性的培养，可以鼓励学生在折纸活动中提出与众不同的想法或者改进思路等。57 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山东师范大学硕士学位论文附录附录一高中生对于数学课堂折纸活动的认识情况调查问卷亲爱的同学：你好！为了解学生的数学学习现状,以便更好地研究数学教学，我们特别设置本问卷。本问卷采用无记名的方式，仅作为科研使用,我们会严格保密,请根据你的实际情况，真实填写,谢谢你的支持！首先介绍一下数学课堂折纸活动：数学课堂折纸活动是为了辅助数学教学,在课堂上所实施的折纸活动，通过将一张纸简单或重复对折，可以折出不同的折痕，通过研究所折图形整体或者折痕中的几何关系，可以使数学知识、数学原理等更加形象直观。比如在初中阶段，教材中曾有用折纸验证垂直平分线、角平分线、等腰三角形、轴对称图形的性质等。1.你喜欢学数学吗？A.非常喜欢B.喜欢C.没感觉D.不喜欢2.你认为你现在在数学解题中最大的困难是什么（可以多选）A.往往有思路，但是不能清晰的写出来B.讲了都懂，但做题不够灵活C.粗心，数学运算时常出错D.基础还行，但在关键的大题、难题上往往没有好的灵感E.没有困难F.其他3.你是否喜欢折纸A.非常喜欢B.喜欢C.一般D.不喜欢4.你有用纸折过一些简单的手工作品吗？（如纸船、千纸鹤等）A.折过，以前学会的大部分都记得B.折过，不过只记得一点C.折过，但早就忘了怎么折了D.没有折过61 山东师范大学硕士学位论文5.你是否会折千纸鹤？A.会很多种B.只会一种C.从前会，现在都忘了D.没有学过6.在学习立体几何时，数学教师有没有让大家通过折纸亲手制作几何体？A.有B.没有7.你认为折纸对于数学学习有无帮助？A.折纸对于数学学习非常有帮助B.我认为有一点帮助C.不清楚有没有帮助D.我认为没有一点帮助8.你接触折纸最多的是在A.小学阶段B.初中阶段C.高中阶段D.幼儿园阶段9.进入高中阶段以后，你认为有无必要在课堂上开展折纸活动？A.折纸有助于对知识的理解，认为非常有必要B.在学习不紧张的情况下可以适当开展C.课堂时间很紧张，建议在课下开展D.跟考试无关，所以认为没有必要10.你认为通过折纸可以折出（或者用折痕围成）以下哪些几何图形/几何体？（多选）A.椭圆B.正方体C.抛物线D.角平分线E.中垂线F.圆11.你认为仅用直尺和圆规能将一个任意给定的角分成相等的三个角吗（比如。65）？A.我认为可以B.有的角可以，有的角不可以C.不太清楚D.了解过，尺规作图不能三等分任意角12.如下图，在一张正方形纸上，以B为顶点，以BC为底边，在正方形的边DE上任取一点A，连接BA，构成∠ABC，你认为能采用折纸的方式将其分成相等的三个角吗（忽略对折产生的误差）？62 山东师范大学硕士学位论文A.我认为可以B.跟A的位置有关，有的可以，有的不可以C.不太清楚D.不可以13.你觉得自己的空间想象能力如何？A.非常好，学立体几何很容易B.还行，有时虽然想不到，老师讲了也都能懂C.一般，有时听了讲解还是想不到D.很差，对待大部分题目都找不到方法14.你觉得在数学学习过程中自己欠缺哪方面的能力?A运算能力B逻辑思维能力C空间想象能力D不欠缺15.如果在数学课或其他时间让你了解一些数学课本(考试内容)以外的数学知识，你的态度?A.非常支持B.基本同意C.不同意D.无所谓16.你觉得高中的数学知识能否用折纸来验证或证明？A.不清楚B.绝不可能C.有可能D.没想过17.你在折一些几何多边形或几何体时，有没有想过这样折依据的数学原理？A.我折过，但没思考过这样折依据的数学原理B.我折过，也曾思考过这样折依据的数学原理C.我没有折过，一般都是用的其他方法，比如想象、画图等D.我没有折过，也不清楚它有什么数学原理18.你认为折纸和数学的关系如何?A关系密切B有一定关系C没关系D没想过这个问题63 山东师范大学硕士学位论文19.你喜欢怎样的数学课?A.老师讲述为主B.老师为主导，带领学生讨论探究C.学生小组互助学习D.自学为主，有不懂教师答疑20.如果在高中数学课程中加入折纸活动，你是否会改变对数学的态度?A.只要加入折纸，数学一定会变得有趣B.如果折纸不是太难，会吸引我会数学的兴趣C.本来就对数学没什么兴趣，再怎么弄也不会有兴趣D.高中数学原本就很难了，还是不要再加入其它的东西了64 山东师范大学硕士学位论文附录二高中生创造性思维测试1.图形意义解释：当你看到下面的图时，你想到了什么？请你为这个图形作出尽可能多的解释。例如：（圆形可以是眼睛，黑的是眼球）2.组合图形：请使用下面的四个图形组成一幅“画”，要求在每幅画中下面的四个图形都用上，但不能重复。尽可能多画几幅。完成每幅画后，紧挨着为它起个名字。画的名字要尽可能与众不同。3.你能用几种方法将一条线段分成相等的两部分？A.1种B.2种C.3种D.很多种65 山东师范大学硕士学位论文请把你的方法简单写下来：4.带数字的词语：有许多词或短语都是与数字有关的，而且这里的数字都表示具体的数量含义。如：双胞胎、三角形等。请你尽可能多地写出这样的词语，越多越好。66 山东师范大学硕士学位论文致谢匆匆，是两年的时光，时至毕业，感慨良多。两年走过，回想起当时的选择，我对自己所读的学科教学专业更加认同和骄傲，因为我收获了很多。在深感幸运的同时，在此也要对一直帮助，鼓励我的老师同学致以最诚挚的感谢。最先要感谢的是我的导师傅海伦教授，傅老师不仅是我学业上的导师，更是我教师生涯的引路人。自本科至研究生阶段，我一直受益于您的谆谆教导:在教学方面，在您的指导下，我在教学设计、说课讲课方面都有了质的改变，我能够多次参加学院、学校乃至全国性的比赛，离不开您严谨耐心的指导;在论文写作方面，您非常支持我的研究兴趣和研究方向，一直鼓励支持我深入进去，能研究出属于自己的东西。您帮我指明了论文研究的方向，在论文的写作框架、写作思路上给予了详尽的指导，并提出了宝贵的修改意见。对我来说，能够研究自己喜欢的东西，并且能够得到您的指导，并能够有望将自己的研究真正实践到一线教学中去，这真是莫大的幸运。感恩老师，感谢您一直以来的关注和厚爱!同时，还要感谢杨泽忠老师，杨杰老师在专业课上的教导和帮助，使我在研究生阶段学到了本科阶段学不到的新知识，特别是在教学软件、数据分析等方面，为今后进入岗位从事教学和研究工作打下了坚实基础。老师们钻研为乐，严谨求实，永远是我学习的榜样。还要感谢山东师范大学附属中学的韩艳艳老师，感谢老师在教学实践和论文写作方面给予的支持和帮助，同样感谢高一数学组的全体老师，你们的严谨、充实、和谐、快乐，使我感觉到了身为教师的幸福，激励我在今后的教育教学中不懈向前。同时要感谢我的学科教学专业的全体同学，感恩缘分，我们一起度过了美好的时光，祝愿每位同学都能在自己的岗位上作出成绩，都能体会到教师的光荣和价值。最后要感谢我的父母、亲人，感恩有你们一直给予的支持。前路漫漫，唯有奋进，才能将鼓励和支持化作绵绵不尽的动力，才不负期望，不负时光。67