历史故事与数学思想方法 - 副本 3页

历史故事与数学思想方法张晓辉在我们熟悉的历史故事中，有不少蕴涵着常用的数学思想方法。如果我们能利用这些历史故事来启发、引导学生进行相关的数学思维，解决数学问题，往往会收到事半功倍的效果，学生容易理解，并能主动运用。下面举几例来说明。一、鲁班造锯与类比思想鲁班造锯是学生熟悉的一个历史故事。当鲁班的手不慎被一片小草割破后，他通过仔细观察发现小草叶子的边沿布满了密集的小齿。于是便产生联想，根据小草的结构发明了锯子。鲁班在这里就运用了“类比思想”。所谓“类比思想”，就是在两类不同的事物之间进行对比,找出若干相同或相似点之后,推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种思维方式。类似的故事还有“叩诊法”的发现。18世纪中叶，奥地利医生奥恩布鲁格，从制酒商经常用手指关节敲叩木制酒桶，凭着叩声的不同，就能准确地估计出桶内还有多少酒。由此他联想到，是否可以把人的胸腔类比作酒桶，根据用手指敲叩患者胸部所得的不同音响来作出诊断呢？由此他发明了“叩诊法”，此法至今仍是临床医疗中常用的诊断方法之一。在中学数学中，应用类比推理的例子是很多的。比如，从整数的运算与性质，可以推想有理数的的运算与性质；从分数的有关性质与法则，可以推想分式的有关性质与法则；从实数的有关运算，可以推想代数式的有关运算；可以根据三角形的性质，推想四面体的性质；等等。二、曹冲称象与转化的思想（化归的思想）在曹冲称象的故事中，聪明的曹冲运用了这样一种方法：要知道大象的体重但不能直接去称，便把问题变为容易办到的去称石头的重量，最后由石头的重量还原为大象的体重。这里曹冲运用了一个极为普遍的思想：转化的思想。即把有待解决的问题，通过适当的方法，转化为已经解决或已经知道其解决方法的问题。类似的故事还有“七桥问题”：在18世纪，东普鲁士哥尼斯堡（今属立陶宛共和国）内有一条大河，河中有两个小岛。全城被大河分成四块陆地。河上架有七座桥，把四块陆地联系起来。当时许多市民都在思索如下的问题：一个人能否从某一陆地出发，不重复地经过每座桥一次，最后回到原来的出发地。这就是历史上有名的哥尼斯堡七桥问题。大数学家欧拉用“一笔画”的方法解决了这个问题，就是巧妙地运用了转化的思想。在中学数学教材中，运用转化方法的例子是很多的。如，多边形内角和定理是转化为三角形内角和定理而得到解决的；分式方程是转化为整式方程得到解决的；方程组（不等式组）是转化为方程（不等式）得到解决的；等等。三、司马光砸缸与逆向思维的思想司马光砸缸的故事，是人们很熟悉的历史故事。当一个小朋友掉进大水缸里以后，其他小朋友想到的是让“人离开水”，当无法把落水小孩捞起时便惊慌失措。司马光想到的却是让“水离开人”，在紧要关头把缸砸破让水流去，救活了这个小朋友。这里便运用了逆向思维的方法，即“人离开水”的逆向思维是“水离开人”。3 逆向思维是一种积极的具有创造性的思维形式。它可以培养人们思维的灵活性与创造性。然而人们却往往受习惯思维（思维定势）的影响，喜欢从正面，也就是顺向去思考问题，而不愿意或很少从反面，也就是逆向去思考问题。实际上，有些问题，正难则反，如果我们不要受思维定势的影响，从反面逆向的去思考问题，或逆用公式、性质等，常常可以收到意想不到的效果，而且还训练了学生的灵活思维能力。逆向思维的运用是很广泛的。我们可以逆用公式、性质、法则等进行计算、化简、求值；运用逆向思维进行巧妙的证明（如，反证法与分析法）；甚至在游戏中也可用逆向思维的方法。四、开普勒以直代曲的思想微积分源于解决四大问题：速度、切线、最值、面积（体积）。其最基本的思想就是“以直代曲”。这里还有一个有趣的故事：开普勒很喜欢喝啤酒。一天，喝着喝着，突然怀疑起啤酒商的啤酒桶的体积来，想验证一下体积是否符实，有没有耍什么花招。经过苦思，找到了一种《测定啤酒桶体积的新方法》，书中讨论了多种旋转体的体积，基本思想就是“以直代曲”。五、“道旁李苦”与反证法的思想王戎七岁的时候，和小朋友们一道玩耍，看见路边有株李树，结了很多李子，枝条都被压断了。那些小朋友都争先恐后地跑去摘。只有王戎没有动。有人问他为什么不去摘李子，王戎回答说：“这树长在大路边上，还有这么多李子，这一定是苦李子。”摘来一尝，果然是这样。（《世说新语》）这个故事说明,王戎小时候能够勤于观察、善于动脑，能根据有关现象进行推理判断，而且他的推理是正确的。这里王戎运用的就是反证法的思想：论题是树在道边而多子，此必苦李，论证过程应是：假使不是苦李，那么长在道边没人看管的李子一定会被人吃了，但实际上李子却没有人吃，这与假设相矛盾。所以，假设不成立，一定是苦李。六、“大敦穴”的发现与归纳法的思想《内经》是我国最古老的一部医学宝典，其中的《针刺篇》曾记载了这样一个故事：有一个樵夫经常犯头疼病，但找不到治疗的办法。有一次，这个樵夫上山去砍柴，无意中碰破了足拇指，出了一点血，但这时他却感到头部不疼了，当时他也没有在意。后来，他的头疼病复发，在砍柴时又偶然碰破了上次碰破过的地方，这时他的头疼病又好了，这次却引起了他的注意：奇怪，为什么碰破了这个部位,我的头疼病就好了呢？于是便记住了这个部位。以后，每当他犯头疼病的时候，就有意识地去刺破这个部位，结果头疼病马上就好了，或是减轻了疼痛。这个樵夫所碰的部位，就是现在人体穴位中的大敦穴，它在足拇指的指甲的外侧根部。这个樵夫发现大敦穴的过程，就是采用了归纳法的思想。归纳法就是从特殊的具体的认识推进到一般的抽象的认识的一种思维方式。它是科学发现的一种常用的有效的思维方式。比如：“哥德巴赫猜想”的发现、多面体中的“欧拉公式”的发现、费尔马大定理的发现都是运用归纳法的典型例子。中学数学中的例子更是多的不胜枚举：多边形内角和定理、幂的运算法则等无不是用归纳的思想得出的。七、《庄子》与无穷的思想　3 早在远古时代，无限的概念就比其它任何概念都激动着人们的感情，而且远在两千年以前，人们就已经产生了对数学无穷的萌芽认识。在我国，著名的《庄子》一书中有言：“一尺之棰，日取其半，而万世不竭。”从中就可体现出我国早期对数学无穷的认识水平。而我国第一个创造性地将无穷思想运用到数学中，且运用相当自如的是魏晋时期著名数学家刘徽。他提出用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的“割圆术”，并阐述道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”可见刘徽对数学无穷的认识已相当深刻，正是以“割圆术”为理论基础，刘徽得出徽率，而其后继者祖冲之更是得出了圆周率介于3.1415926与3.1415927之间的领先国外上千年的惊人成果。八、“二桃杀三士”与“抽屉原理”《晏子春秋》里记载了一个“二桃杀三士”的故事：齐景公门下有三名武力超群的勇士,他们虽为齐国立过不少功劳,但却都因居功自傲而目中无人、横行霸道。齐国的宰相晏婴就想除掉他们。晏婴知道,用武力绝对制服不了三人,只能用别的计谋。于是,他请齐景公赏赐三名勇士两个桃子,并且吩咐说：“你们自己按各人功劳的大小去分配桃子吧!”三名勇士都要求自己单独吃一个桃子,否则,就意味着自己的功劳不大,岂不有失勇士的面子,这是绝对不能让步的。但他们又感到虽然自己单独吃一个桃子是受之无愧的,但这样一来,其余两位就只能合吃一个桃子了,这将使他们感到奇耻大辱,为了夸耀自己而羞辱朋友，又有损哥们义气。他们左右为难，便都赌气自杀了。晏子不费吹灰之力便达到了预期的目的，实在算得上“阴谋”。但有趣的是，他却运用了数学中的一个重要的原理-------抽屉原理。抽屉原理又名鸽笼原理或狄力克雷原理。这个原理形象的说法就是：把三件物品放到两个抽屉里，一定有一个抽屉里至少有两件物品。这个故事中两个桃子可看作两个抽屉，三名勇士可看作三件物品，把三件物品放到两个抽屉中，至少有两件物品要落进同一个抽屉里，即至少有两名勇士只能合吃一个桃子。由于三名勇士都争强好胜，互不相让的性格弱点，就决定悲剧结局的不可避免，老谋深算的晏子就凭简单的抽屉原理而稳操胜券了。类似还有：“在13个人中必有2个人是在同一个月份出生的”，“在同一年出生的367个人中至少有2个人生日相同”，等等。（此文发表于《数学教学通讯》2008年第3期）3