非阿贝尔全息超导模型理论研究 78页

南京大学博士学位论文l南京大学研究生毕业论文中文摘要首页用纸毕业论文题目：非阿贝尔全息超导模型理论研究翌途塑堡专业至咝级博士生姓名：堕丝矍指导教师(姓名、职称)：宗红石教授摘要AdS／CFT对偶(AdS／CFTcorrespondence)，又称Maldacena对偶，或者更广泛形式的规范理论／引力理论对偶，是弦论的一个很重要的一个结果。它指出规范场理论和引力理论可以通过全息原理彼此对应，或者说二者是等价的。由于互相对偶的规范场理论和引力理论中的耦合常数是互为倒数关系，所以AdS／CFT对偶是强弱对偶，这一特征决定了它是一个研究强耦合场论的很有效的工具，除了用来研究量子色动力学和宇宙学外，它也已经被用来研究各种凝聚态物理的现象，特别是超导和超流。在本文中，我们主要研究一种叫做非阿贝尔全息(AdS／CFT)超导(超流)模型的性质，包括磁场对超导的压制，在临界温度处的超导关联长度和穿透深度，以及在磁场下序参量分布的形式。在第一章，我们简要介绍AdS／CFT(引力／规范场)对偶的基本概念及其在凝聚态各个方面应用的现状。详细介绍AdS／CFT(引力／规范场)对偶是一个很大的工程，由于本文的重点在研究全息超导模型的性质，所以只对AdS／CFT(引力／规范场)对偶的基本概念作一个简单的介绍，重点介绍对偶词典，也就是具体的对应方式以及如何通过研究引力理论来得出我们所需的场论中信息的方法。AdS／CFT(弓l力／规范场)对偶已经被尝试用于研究凝聚态物理的各种方面，比如超导，超流，量子临界现象，分数量子霍尔效应，拓扑绝缘体和拓扑超导体，也取得了一定的成果，我们试图对现在的研究进展做一个简单的介绍。在第二章，我们首先介绍非阿贝尔全息超导(超流)模型。这个模型也叫做爱因斯坦一杨一米尔斯模型，是由一个纯的su(2)规范场和引力场耦合组成，通过选择凝聚的非阿贝尔规范场的不同，它对应的是p波或者p+i徵的超导体。然后我们研究了磁场对超导的抑制作用。通过考虑带磁荷的黑洞背景，我们发现和现实世界的超导体类似，磁场的确压制超导的出现。它有一个临界磁场。在临界磁场以下，当温度足够低时会有超导出现。这个临界磁场对应于黑漏能带有的最大磁荷，这和Gubser的结论是一致的，如果黑洞要超导，它必须要有一个视界。对 2于P波背景，我们也得到类似的结果。阿贝尔全息超导模型的临界磁场最早由Nakano和台湾大学的Wen—YuWen给出，其加磁场的方法和我们一样，磁场是作为背景来加入的，并没有直接和标量场耦合。通过数值方法计算在不同温度下的临界磁场，我们绘制了其在磁场中的相图。经过自由能的计算我们发现，在磁场存在的情形下，发生在临乔温度下的超导相变仍然是二级相变，这个结果和现实超导体也是类似的。在第三章，对于自发对称破缺的二阶相变，一个很重要的性质就是在临界点时，系统的关联长度趋向于无穷大，这对应于重整化群的固定点。作为一种全新的描述相变的理论，我们自然会要问全息超导模型的关联长度在临界温度处的行为。为此我们研究非阿贝尔全息超导体的超导相干长度和穿透深度这两个很重要的物理量。为了研究超导相干长度∈，我们用微扰展开的方法研究在临界点附近引力理论的空间涨落，通过解析求解本征方程，得到了∈在疋附近的行为：{正比于(1一T／Tc)_1／2。通过加入一个很小的外界磁场，我们发现穿透深度入o((B一?)1／2。这两个结论和金兹堡一朗道理论是完全吻合的，也和阿贝尔全息超导模型(s波全息超导模型)是一样的。在第四章，我们研究了非阿贝尔全息超导体在磁场的液滴解。类似于在上一章所用的方法，我们在上临界磁场Be2附近作微扰级数展开，通过求解与空间相关的非线性偏微分运动方程组我们得到空间分布的液滴解。和阿贝尔全息超导模型不同的是，我们并没有得到涡旋晶格解，也许系统的求解非线性偏微分方程组可以得到涡旋解。这个原因来自于在非阿贝尔模型中，电磁场并没有通过协变导数与凝聚的规范场耦合，而只是非阿贝尔规范场的自耦合。我们同时还给出了超导体在磁场下的相图，当温度接近临界温度瓦时，上临界磁场的行为是玩2。((1一T／Tc)：这和BCS理论的结论是一致的。当我们把这个全息模型解释为超流时，我们得到序参量空间分布形式为余弦三角函数的解一FLllde—Ferrell—Larkin—Ovchinnikov态。同时，我们还研究了d波全息超导体在磁场下的行为，发现其和S波全息超导体类似，也有涡旋品格解。在第五章中，我们做了一个简单的总结，并着重介绍了未来工作的方向。关键词：AdS／CFT；全息超导(超流)；爱因斯坦．杨．米尔斯理论；金兹堡．朗道理论 南京大学博士学位论文3南京大学研究生毕业论文英文摘要首页用纸THESIS：TheoreticalResearchesofnon-AbelianHolographicSuperconductorsSPECIALIZATION：TheoreticalPhysicsPOSTGRADUATE：Hua-BiZengMENTOR：Prof．Hong-ShiZongAbstractAsaveryimportantresultofStringtheory,TheAdS／CFTcorrespondencehasbeenappliedtomall),areasofcondensedmatterphysics，likesuperconductor，superfluid，h"actionalquantlmlhalleffect．Inthispaperwestudythepropertiesofthenon—Abelianholographicsuperconduc—tor(superfluid)model．Inthefirstchapter，webrieflyreviewAdS／CFTcorrespondenceanditsapplicationstomanyaspectsofcondensedmatterphysics．Wemainlyintroducehowtousetheholographicmethodtocalculatethephysicalquantitiesinthefieldtheoryfromthedualgravitytheory．Inthesecondchapter，wefirstlyintroductionthenon-Abelianholographicsuperconductormodel，whichisaclassicEinstein-Yang-MiUstheory．Westudythepropertiesofthisholographicsuperconductorinthepresenceofallappliedconstantexternalmagneticfield，neglectingback—reactiononthegeometry．Thesuperconductorisimmersedintoaconstantexternalmagneticfieldbyadml唱aradially(theextradimension)dependentmagneticfieldtotheblackhole．Asforrealsuperconductors，thereisacriticalmagneticfieldabovewMchnosuperconductiv—i够canappear．Thecontinuityofthefirstderivativeoftimfreeener母"differencebetweenthesuperconductingphaseandthenormalphaseatthecriticaltemperaturesuggeststhatthesuperconductingphasetransitionwithappliedmagneticfieldisofsecondorder．hithethirdchapter，Inordertocalculatethesuperconductingcoherencelength{oftheholographicsuperconductornearthesuperconductingphasetransitionpoint，westudytheper-turbationofthegravitytheoryanalytically．Thesuperconductiongcoherencelength∈isfoundtobeproportionalto(1一T／冗)一1／2nearthecriticaltemperature疋．Wealsoobtainthemag-neticpenetrationdepth入。((瓦一T)1／2byaddingasmallexternalhomogeneousmagneticfield． 4TheresultsagreewiththeGinzburg-Landautheory．Inthefourthchapter，thenon-Abelianholographicsuperconductorundere)(temMhomoge-neou8magneticfieldisstudiedanalyticallywithspatialdependentoalsaxtz．Itshowsdropletsolutions，butshowsnovortexlatticesolutionswhichisdifferentfromtheAbelianmodel．Themodelcanalsobeinterpreteda8superiiuid，inthesuperfluidinterpretationwegettheinterestingFFLOstate．Inthefifthchapter，webrieflypresentasummaryandprospect．Keywords：AdS／CFT；Holographicsuperconductor／superfluid；Einstein—Yang-Millstheory；Gindzburg-Landautheory 目录1绪论1．1AdS／CFT对偶．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1．1．1引言．．．．．，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1．1．2大Ⅳ极限和全息原理．．．．，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1．1．3反德西特空间和额外维．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1．1．4基本的对偶词典和有限温．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1．2AdS／CFT对偶在凝聚态中应用的现状简介．．．．．．．．．．．．．。．．．．．．．。1．2．1超导和超流．．．．．．．．．．．．．．．．．，．．．．．．．．．．．．．．．．．1．2．2量子临界现象和其他．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1．3本文的工作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2磁场对非阿贝尔全息超导的压制202。l非阿贝尔全息超导体。．．．．．．，．．．．．．，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．202．2磁场对超导的压制以及相图．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．262．3自由能的计算．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．282．4小结．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。29参考文献．．．．．，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．313非阿贝尔全息超导体的超导关联长度和穿透深度3．1研究背景．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，．．．．．．．．．．．，．．．．．3．2超导关联长度．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3．3穿透深度．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3．4阿贝尔全息超导体的关联长度和穿透深度．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3．5小节．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1l2347145●i37934&34 114非阿贝尔全息超导／超流液滴解和超流Fulde—Ferrell—Larkin—Ovchinnikov态4．1研究背景．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4．2超导液滴解和在磁场下的相图．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4．3超流Fulde—Ferrell—Larkin—Ovchinnikov态．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4．4阿贝尔全息超导体模型的旋涡晶格解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4．5D波全息超导体的晶格旋涡解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4．6小结．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5总结与展望论文发表情况致谢盯鼹弱∞略雅盯阳仫 第1章绪论AdS／CFT对偶，是指AntideSitter时空背景下的超弦理论和共性场论的对偶，通常也泛称为弦理论和规范场论(或者引力理论和规范场论)的对偶。它和”全息原理”这一深刻的概念有着十分紧密的联系，它把看似完全不相关，适用于不同尺寸范围的两类理论联系了起来。由于AdS／CFT对偶是一种强弱对偶，我们可以通过研究一个弱耦合的弦理论(或者引力理论)，来得到强耦合的场论中的一些信息。反过来，利用场论也有助于解决引力理论中的一些重要的强耦合问题。在高能以及在凝聚态领域，有许多非常重要的强耦合问题，比如夸克禁闭、高温超导、非费米液体等等，而这些强耦合问题用传统的处理方法来研究通常比较困难。作为一种全新的视角，AdS／CFT对偶为研究这些问题提供了一个很好的方法。AdS／CFT对偶在QCD(量子色动力学)中的应用已经取得了一些和实验定性符合的很好的结果，而把AdS／CFT用来研究凝聚态系统相对来说是一个全新的领域，我们可以把它叫做AdS／CMT，CMT是凝聚态理论(CondensedMatterTheory)的缩写。尽管离用AdS／CMT来研究真正的凝聚态系统还有很长一段距离，但在过去的两年中，AdS／CMT还是得到了不少有意义的结果。1．1AdS／CFT对偶1．1．1弓l言AdS／CFT对偶是弦论最重要的结果之一，它告诉我们引力理论和量子场论之间的一种令人惊奇的对偶性，有时我们把它叫做规范场一引力对偶。AdS／CFT对偶最早的原型，是Maldacena于1997年提出，他指出在ty2aeIIB弦论(定义在AdS5×&上)和一个四维的N=4超对称杨．米尔斯理论之间存在有一种精确地对应关系。1AdS5是五维空间中的反德西特空间，＆是五维的球体。反德西特空间是在负的宇宙常数F，爱因斯坦方程具有最大对称性的解。五维反德谣特空间的最大对称群和四维的N=4超对称杨一米尔斯理论(这个理论是共形不变的)共形对称群是完全一致的。AdS／CFT这个名称也是由这个例子而来，CFT是共形场论(ConformalFieldTheory)的缩写。现在，很多另外的规范场／引力对偶的例子被发现了，其中有的例子中引力理论并不是定义在反德西特空间，有的例子中对偶的场论也不是共形的，而且也不局限于五维和四维的对应。不管怎样，我们仍然把所有的这些对偶都叫做AdS／CFT对l 2偶。现在有很多总结介绍的文章，从中我们可以学到更多的背景知识和细节。2-11这种普遍形式的对偶表示如下d维时空中的量子场论～d+1维的量子弓I力理论(1．1．1)引力理论和非引力理论之间的这种对偶性是令人惊奇的。到现在为止，一个完全自洽的引力理论仍然是未知的，但是弦论提供了一个自洽的理论框架来计算经典广义相对论的量子修正。但对于弦论来说，它的全部非微扰结构仍然需要进一步的研究。AdS／CFT对偶把一个d维的引力理论和一个d．1维的局域的场论联系起来(d是非零整数)。如果这是正确的，它说明对在同一个维度下的引力理论和局域场论来说，引力理论的量子自由度不能包含局域场论所有的自由度。而这是显而易见的，如果我们假设引力的自由度是局域的，那么可以想象在一个任意大的空间下有一个确定的不变得能量密度。而对于一个不变的能量密度，当空间足够大时，黑洞就形成了，所以这和经典引力理论是矛盾的。事实上，还有一些例子表明这种规范场／引力之间的对偶能够存在，特别是在三维时空下。三维的引力理论能用一个陈．赛蒙斯理论(Chem—SimonsTheoD,)来描述。12，13陈．赛蒙斯理论是一个拓扑场论，当把它放到一个有边界的流形上时，它退化为一个边界上的1+1维场论。14，15对于紧的规范群，我们能找到希尔伯特空间和关联函数之间的一种精确的关系。而对于非紧的规范群，比如和2+1维引力理论相关的规范群，在作用量的角度来看仍然有一些共同点。但是希尔伯特空间和关联函数之间的一种精确的关系仍然需要进一步的研究。陈．赛蒙斯理论和两维的共性场论之间的对偶和AdS／CFT萍]"偶之间有很多的共同之处。AdS／CFT对偶的弱形式要求着我们在弦论这边把它限制在低能的范畴。在低能下，typeIIB弦论变成了超引力理论。这时，在对应的场论那边，相当于我们取Ⅳ和峁。彳Ⅳ都很大的极限。在这里，Ⅳ是N=4超对称规范场的U(N)群的秩(而不是超对称N=4的N．)，gYM是规范耦合常数。这种弱形式的对偶已经被很好的检验过是正确的。1．1．2大Ⅳ极限和全息原理AdS／CFT对偶和物理学两个深刻的思想密切相关。第一个思想是规范理论在大Ⅳ极限下和弦论是一致的。16一个大Ⅳ极限下的规范理论用Ⅳ和卵rMⅣ展开的形式为Z=∑Ⅳ2一幻厶(A)，g>O(1．1．2) 南京大学博士学位论文3其中A兰峁MⅣ是霍夫特耦合常数。而弦论的圈图展开形式为Z=∑9尹-2乙，(1．1t3)9≥O可以看出，如果把弦的耦合常数吼看作和1／Ⅳ一样的话，这两种展开形式是完全类似的。通过一些特别的而且没有完全理解的机制，规范理论的费曼图变成了表示相互作用弦的面。17很明显，这恰恰就是AdS／CFT对偶在做的事情。还有一点特别需要说明的是，在大N极限下，(1．1．1)式右边的量子引力理论变成了经典的引力理论，d维时空中的大N量子场论～d+l维的经典引力理论。(1．1．4)在本文的讨论中我们都是在(1．1．4)式的框架下进行的。在场论的大N极限下其对偶的引力理论是经典的可以由一个简单的讨论来理解。我们考虑一个算符o(x)=Tr(⋯)。对于它的n点函数，非连接图形的贡献是连接图形的N的幂指数倍。所以，这些单迹的算符是经典的，或者说是“平均场”的，例如(p(z)D(可))=(D(z))(p(Ⅳ))+D(N一2)(1．1．5)第二个深刻的思想就是全息原理，这个思想最早是在研究黑洞热力学是产生的。18，19贝肯斯坦和霍金发现黑洞能够视为有温度和温度的热力学系统。黑洞的温度直接和黑洞的黑体辐射相关，而黑漏的熵S=A／aG，G是牛顿常数，A是黑洞的面积。通过这样的定义，广义相对论的爱因斯坦方程和热力学定律是一致的。由统计物理我们知道，熵是衡量一个体系自由度的物理量，所以说一个黑洞的熵正比于黑洞的视界面积这个结果还是很令人惊异的。假如我们假设在同一维度下的一个黑洞和一个场论是一样的，那么黑洞的熵应该正比于体积。这时不自洽的，可以想象，一个自洽的图像应该是，一个d维的引力理论和一个定义在它的边界上的d．1维场论是对偶的。这和全息照相是类似的，在一个二维的照片里包含三维物体的全部信息。由此可见，AdS／CFT对偶是全息原理的一个例子。1．1．3反德西特空间和额外维考虑一个负的宇宙常数的爱因斯坦一西尔伯特作用量洲=瓦1／dd+lx厅(卧掣)．(1．埔)冗是里奇(Ricci)标量，L是AdS空间的曲率半径，K是引力耦合常数．d+1是空问的维度。这个作用量的爱因斯坦运动方程为Rab=一云gab，(1．1．7) 4％6是里奇(Ricci)张量。这个方程的最大对称性的解就是反德西特空间，其度规是ds2=L2＼-dr+名。dxidxi·+万dz2)(1．1．8)坐标俄∥)是用来描述场论所在的空间的，而z就是图1中的额外维度。z取值从z=0(视界)一直到z=CK)(边界)。空间(1．1．8)的等长群是SD(d，2)，这和d维空间的共形群是一样的。这意味着边界上的场论是共形不变的，特别的是，它的标度对称性为{￡，z。，z)-÷{入t，L,r‘，Az)，(1．1．9)在这种变换下，度规显然是不变的。这意味着额外的径向坐标z和能量标度有关：当A>1时，我们标度变换到一个大的时间，同时我们变换到一个小的Z，所以z=0对应于低能(红外)的区域，类似的，Z：oo对应于高能的区域。图1．1引力理论的额外维对应于场论的重整化群流．所以，引力理论的额外维度是边界上场论的重正化群标度。21,22在图1．1中给了出示意图。1．1．4基本的对偶词典和有限温到现在为止。我们只是简单介TAdS／CFT的基本事实，如果我们要用它来做具体的计算，还需要了解对偶的具体内容。AdS／CFT对偶在刚提出是并没有给出具体对偶的方式，在随后的 南京大学博士学位论文5两篇文章中给出了具体的对应法则。23,24在整个对偶词典中，最基本也是最有用的事实就是：对于场论这边的每一个规范不变的算符侈，在引力理论这边总有一个场咖和其对应鬻～动黼?≯(1．1．10)(场论)～(引力)．，这种量子场论和比它高一维的量子引力理论的对偶性现在有很多的证据，在文献[24，25]q丁给出了概念性的介绍。在上一节的讨论中，在引力我们只考虑的纯的爱因斯坦一希尔伯特作用，罴洞并没有与任何剐的物质场耦合。如果我们需要研究不同的系统，在引力这边还得根据需要加上不同的物质场，我们所要用到的场一算符对应列表如下：能量动量张量：T缈度规：灿和整体规范不变性对应的流：ju标量算符：0口～费米算符：OF麦黼≯(1．1．11)标量场：西卜一～’费米场：移．图1．2场论中算符0的源J对偶于引力场中对应于0的多场的边界条件6≯(o)。求解引力这边痧的运动方程可以求出《D)的期待值。有了这些对应原则，我们可以知道这些量之问的动力学关系：如果我们要给算符o)Jn上一个源J，相当于给其对应的场≯在无穷远(边界)处强加一个边界条件：当Z_O时≯=6西f0)=3，‰k【西_‰1=唧．(1．1．12) 6图1．3有限温场论对偶于黑洞公式(1．1．12)可以形象的由图1．2来表示。这个公式是整个AdS／CFT计算最核心的公式，我们可以用它算符p的期待值，它的11点关联函数可以由左边对J=砸(o)微分得到。还有一个很重要的结论是，引力这边的局域规范对称性对应于场论这边的整体规范对称性。Globalsymmetry(QFT)一Gaugedsymmetry(gravity)．(1．】．13)要把AdS／CFT2：寸偶用于凝聚态以及有限温QCD，我们还需要在引力这边引入温度。这可以通过引入一个黑洞来实现，我们仍然考虑爱因斯坦一西尔伯特作用量，不同的是温度的引入引进一个能量标度，这样破坏了标度不变变换。如果我们不仅仅限制于保持标度变换对称性的解，而只要求满足空问旋转和时空变换不变的解，这个解就是施瓦茨．AdS黑洞解，其度规为群=箬(刊肌篙埘彬)，(1．¨4)其中m一一(丢)d．n¨5，黑洞的视界由，p一)=0得到，解，r+就是视界。而黑洞的霍金温度由q决定I熹．(1．1．16)4—芹r。、 南京大学博士学位论文7同时这也是其对偶的场论的温度。在图1．3中给出示意图。到现在为止，我们已经介绍完本文中需要用到的Ads／CFT对偶的基本内容，在下一节中我们将介绍AdS／CFT对偶在凝聚态中应用的一些进展情况。1．2AdS／CFT对偶在凝聚态中应用的现状简介作为一个相对来说全新的领域，AdS／CFT已经应用到了凝聚态的种种方面：超导和超流，量子临界现象，费米及非费米液体，经典霍尔效应，分数量子霍尔效应，拓扑绝缘体和拓扑超导体。我们希望这个全新的语言能给凝聚态理论的发展起到重要的作用。1．2．1超导和超流从场论的角度来看超导和超流现象，最核心的概念就是自发对称破缺，超导和超流的出现分别破坏的是局域的和整体的U(1)规范对称性。超导可以认为是带电荷的超流，超导和超流之间有很多的共通之处。对于超流，自发对称破缺的是整体的Ⅳ(1)对称性，并没有希格斯机制。对于超导，由于局域(规范)的U(1)对称性被破坏，使U(1)规范场(电磁场)获得质量，这就是麦斯纳效应。根据对偶词典(1．1．13)，如果我们需要构造一个全息超导(超流)的模型，在引力理论这边它要有一个自发对称破缺U(1)的解，换句话说我们需要一个在某个霍金温度以下能超导的黑洞。其中第一个提出的AdS／CFT超导体是8波的超导体，因为它的序参量是一个标量，而且其和金兹堡一朗道理论有一些类似的地方。最早，普林斯顿大学的Gubser指出，一个四维的AdS黑洞和一个Abelian．．Higgs模型(包含一个复的变量场和和它耦合的电磁场)耦合以后可以有自发破缺局域U(1)对称性的解(复的标量场会在视界处凝聚)，也就是黑洞的确能超导。27，28其中大概的物理图象如下，黑洞中的物质场同时会受到引力的吸引作用以及电的排斥作用，当二者达到平衡时，超导凝聚(非零的标量场)就能在视界处流动。首先，超导凝聚不会被引力吸引到视界里边，因为电的排斥作用会大于引力的吸引。其次，超导凝聚也不会被电的排斥作用推到无穷远，因为AdS4是弯fHl的而且标量场是有质量的，如图1．4所示：在这个模型基础上，哈弗的Hartnoll，普林斯顿的Herzog以及加州大学圣巴巴拉分校的Horowitz进一步从全息原理的角度研究黑洞和超导的关系，他们发现，这个模型的确存在一个临界温度，在这个温度以下，这个复的标量场有非零解，这个非零的解破坏了V(1)的对称性。29他们考虑一个比较简单但是能抓住物理本质的技氏量为：口1L=R+茜一言Fn6R6一y(I妒I)一IV妒一ieA妒12．(1．2．17) 8R2,jhofizon+r=◇Qr=珞t，x，Y图1．4当引力和电磁力平衡时在视界处的超导凝聚。砂+是有质量的粒子，由于电的排斥作用会推到无穷远，但是由于AdS4是弯fHl的而不能到达边界。由于电的排斥作用，它也不能被引力吸入视界以内，所以只能在视界处凝聚。HⅡ网项是弓l力场嚣15分，具孚西雨毅是贝附。后两琰是物质场邵分，包含复的称重场相与它耦合的电磁场，V是空IN协变导数。在e---+∞的极限下，物质场部分可以重新标度为A。_A。／e，妒j移／e，这时，我it],-／以认为物质场相比较引力场而言非常小，物质场作为微扰来出现。而度规，也就是物质场存在的时空背景完全由前两项(引力场的部分)来决定。求解爱因斯坦方程，发现其实解就是平的施瓦茨一反的德西塔黑涧铲一拊膨2+篙+r2(dx2+dy2)，(1．2．】8)其中，=丢一了M．(1．2．19)L是AdS半径，它和M一起给出黑洞的霍金温度：T=厕3MV347rL．(1．2．2。)4／3、7在最初的文章中，他们考虑如F的势能y(㈨：幽L里2．(1．2．21) 南京大学博士学位论文9其中m2=一2。考虑一个平面对称的拟设，霍=皿(r)，标量场的运动方程为n(手+争+薯霍+南霍-o，(1．2．22，其中标势At=圣。而4=Az=As，=0，麦克斯韦方程告诉我们皿的相位是个常数，可以认为皿是实数．标势圣的运动方程为矿+昙n孚圣：0，(1．2．23)r，、其中2雪2是和r相关的质量。这个带电荷的凝聚是引力这边理论的希格斯机制．在视界处，r=ro，因为圣毗必须是有限的，圣=0，以及(1．2．22)意味着霍=一3ro皿7／2．积分方程到无穷远，方程解的行为是皿：半+警+．-．．∽2．24)rr正和币：p一旦+⋯．(1．2．25)对皿来说，皿(1)和霍(2)都是可规格化的，，所以有两种情况，两者必须有一个为零。对偶的场论的性质由解的在无穷远处的行为来得到。圣的展开式给出化学势弘以及电荷密度P．场论中对偶于皿的算符O的凝聚为(O{)=扼删，i=1，2(1．2．26)方程的精确解很明显是皿=0and圣=肛一p／r。而超导解可以由数值方法打靶法来得出。在图给出序参量和温度的依赖关系，疋r●——疋，●——疋图1．5s波全息超导体凝聚(序参量)和温度的关系． 10右边的这个图和BCS是非常类似的，而且这个图在很多材料中也得到了证实，在温度趋向于零温时凝聚变成一个常数。我们可以得到结论，当T+2Z1罐磐从C。的厄米性和(3．2．34)(3．2．35)(3．2．36)(3．2．37)(3．2．38)钿2=等无(3．2．39)我们可以看出方程的第一项等于零，其中Eq．(3．2．39)是西2的运动方程。用到嘉2=E是}，而本征值的一阶项为露2=e茜+D(E2)，其中Ⅳ=2小戆圣。and。=小碲最终，我们得到超导相关长度为专=嵩信州，。c(1一∥胆．可以看出，这里的临界指数(一1／2)和今兹堡一朗道理论是一致的。3．3穿透深度(3．2．40)(3．2．41)(3．2．42)为了计算穿透深度，我们需要加一个均匀的外加磁场，我们假设一个非零的6A；(z，z)=b(z)x，其中1im：-÷0跗；(z，z)=Bx．这样场论这边的磁场强度为BV=良6如=B21．如果我们只关心在z=o附近的行为，6(z)的运动方程可以认为是和西退耦合的，(芝m)瓦d一∽6(名)=o，(3．3．43) 其中6(z)必须在视界上满足正规化的边界条件。这个方程同样可以用之前的方法微扰求解，我们把6(z)展开为b(z)=bo(z)+Ebl(Z)+⋯．(3．3．44)把这个展开式以及Eq．(3．2．16)代人Eq．(3．3．43)，我们得到方程，dh(z)磊d6|D(z)=。，(3．3．45)乏m)乏61(z)一非椭(z)=o．满足边界条件的方程Eq．(3．3．45)的解为6；D(z)=C，(3．3．46)(3．3．47)其中C=B是常数，这是Fhf必,须满足lim：_÷0b(z)=B的边界条件。所以方程Eq．(3．3．46)的解为．堕dz=一志h(zJ■位㈨1，⋯”1。”厂积分之后我1l。⋯z，19№)=B-eBfo。丽dzlf出。酿褂D(∈2)．因为B=lhn。-+o6(2)，6A；‘o’@)=lim。_+o跗；(z，z)，我们重写Eq．(3．3．49)为雌3一划：3㈣㈤(1一eZz志fd删(徇))+D(E2)．根据AdS／CFT词典：我们得到瓦附近的流为(山(z))《删=一磊(等)(1一丢)小㈣坶o)(卅。(E2)，或者(五，(z))。一疋E6Ai(o’(z)．这和现实超导体的伦敦方程类似．‘，：一兰至妒2A：一e+佗。A，7n‘(3．3．48)(3．3．49)(3．3．50)(3．3．51)(3．3．52)(3．3．53) 南京大学博士学位论文其中e。and，7k分别是有效电荷和序参量的有效质量，n。是超流密度。比较方程Eq．(3．3．52)和Eq．(3．4．84)，我们发现在临界点附近的超流密度为穿透深度入为我们得到A在临界温度附近的行为，和今兹堡一朗道理论是一样的。他s—ETc—Tc—T．入一1／4h-；．AⅨ(Tc—T)一m／，3．4阿贝尔全息超导体的关联长度和穿透深度(3．3．54)(3．3．55)(3．3．56)阿贝尔全息超导体的穿透深度和关联长度最早是K．Maeda和T．Okamura研究的。21通过以上章节的讨论可知，两个模型的差别在于作用量中包含的物质场是不同的。在阿贝尔模型中，是一个复的标量场和与其耦合的电磁场，由对偶词典可知，引力理论的电场对应于场论这边的化学势和电荷密度，标量场的凝聚破坏了U(1)对称性。对于Su(2)模型来说，没有电磁场，但我们把它的一个予群视为电磁场，这样，剩下的两个生成元对应的场的凝聚导致超导。以下我们回顾K．Maeda和T．Okamura的工作，首先，我们用微扰的方法重新给出阿贝尔模型的超导解。此时，背景仍然是AdS4旌瓦茨黑洞ds2=一，(r)dt2+而dr2+百r2(如2+咖2)，，(r)=丢(1一薯)，(3．4．57)其中r0是视界，L是AdS半径．霍金温度T为T=旦瓦r04．(3．4．58)nL2、7为了方便我们引入一个新的坐标让：---ro／r，此时度规(4．4．46)变成d82-丁L2a2(T)(-h㈤肌如2+们+焉，h(u)-1。，(3．4．59)其中a(T)：=47rT／3=ro／L2． 阿贝尔全息超导模型的拉氏量为￡=杀厅(丢∥％一岫12_m2⋯2)，巩：=钆一洱．(3．4．60)和HartIlDⅡ的文章类似，只考虑L2m2=一2的情形，并且不考虑物质场对度规(4．4．46)的影响．所以，Ap和皿的运动方程为0：D2卫一m2霍．通过如下拟设运动方程(3．4．61)变成皿=皿(缸)，0=Vp耳y—t[(啡皿)’皿一皿’(吼皿)]．(3．4．61)Ap=西(t￡)(dop，(3．4．62)。=(u2盖警盖一字)画+盖量，。叫u)亲一学蚤．其中蚕：=釜／a(T)和西：=L皿是无维度的物理量．无毛的解(正常态解)为(3．4．63)(3．4．64)量=0，面=V／Q(T)一qu-7--q(1一u)，(3．4．65)其中p是对偶的(2+1)维规范场的外源。无维度的常数g和场论的电荷密度相关，它和p的关系为．(jt㈤，=譬毒产lu=O=币L2(等)2口．(3．4．66，超导解在边界处的行为是西=逦(一)u△一+每(+),aA++⋯，蚕=#／a(T)一qu+⋯，(3．4．67)其中△士：=(34-x／—9+4L—2m2)／2．XCL2"12=一2的情形，我们有△一=1andA+=2，之前的讨论告诉我们这两个都是可正规化的．每个系数量(士)正比于标量场算符(p士)的凝聚，其共形维度为△士．要得到稳定的解，必须有量(一)：0或量(+)=0。所以量在边界上的渐进行为是量=量(7)tt△7【1+o(u2)]，(3．4．68) 南京大学博士学位论文其中I=士对于(D士)．由数值计算可知，期待值(01)在临界温度附近的行为是量(7)o((Os)一(1一T／Tc)1／2(3．4．69)在极限T-÷正下，E：=口／口c一1(>0)是一个很小的参量；方程(3．4．63)和(3．4．64)雕j超导解可以用E来展开．考虑到解的连续性，方程在临界点的解为皿。=0，圣c=qe(1一让)．(3．4．70)所以，我们可以把皿和圣展开为量(u)=el／2西1(t1)+ca／2量2(让)+⋯，毒(u)=蚕。(u)+e毒l(让)+⋯．(3．4．71)把(3．4．71)代人(3．4．63)以及(3．4．64)我们得到量1和面1的方程：0=￡心皿l，o：磐一嘤禁，(3．4．72)。d札2私2忽(札)’、⋯‘其中算符￡吐t为印一udh(u)d：一丁L27122+蔫)．(3t4．73)通过强加上边界上的条件击垫I=一型一，(3．4．74du3)画1．一一’7我们找到满足条件mac．对I=+的情形，口c一4．077这和Hartnoll文中的数值计算的结果是一致的．现在我们来计算关联长度，方法和非阿贝尔的模型是一样的，我们可以发现，对于阿贝尔模型，就连很多方程都具有类似的形式。通过加入z方向的涨落3Ap(让，z)出p=lA卫(珏，后)dx+Ay(让，k)dy+西(缸，七)dtIe‘妇，洲邺)=南[卿，后)+i移(钍㈨】e讹，(3．4．75)通过从(3．4．61)推出的微扰方程，我们得到咖，砂，andA掣的线性方程：鼬=udh(u)d：一丁L2m2+羔卜需西，鳓=㈦嘉一喾卜警妒，阮封=㈢钍孛d喾卜(3．4．76)(3．4．77)(3．4．78) 其中七：=七／Q(T)．作为超导体很重要的一个参量，超导相干长度由序参量在傅立叶空间的静态关联函数的复极点来给出。(p@)p(一后”～订南’(3．4．79)之后求解本征值k的方法和非阿贝尔模型完全一致，最后他们得到的结果是超导关联长度在临界点附近的行为是∈=嵩信+D(El／2)Ⅸ去(1一∥胆．(3．4．80，其中D和Ⅳ是无量纲的常数，这个结论和非阿贝尔模型是一致的。接下来我们计算穿透深度，考虑如下拟设6AV(t|，z)=b(u)x(引力理论的磁场强度Bv=九5AⅣ=6(让))．6(锃)的运动方程(瓦dm，瓦d～2量2(U))u2№，=。，c3蚴，这个方程同样能用E的展开来计算，我们把b展开为6(钍)=60(u)4-ebl(u)+D(E2)，(3．4．82)接下来的计算和非阿贝尔模型是一样的，他们得到的结论是(山(z))一一Tce5A(o’(z)Ⅸ一l(DJ)126A50’(z)．(3．4．83)其中山(z)是流，这和真实超导体的伦敦方程是类似的J=一喜}妒2A：一e+佗。A，(3．4．84)，n★、其中e。andm。分别是有效电荷和序参量的有效质量，‰是超流密度。我们发现在临界点附近的超流密度为‰一∈露一正一T．(3．4．85)穿透深度A为A一1／佤．(3．4．86) 南京大学博士学位论文我们得到入在临界湿度附近的行为，和今兹堡-朗道理论是一样的。3．5小节入。((疋一T)一m／，(3．4．87)对p波背景的爱因斯坦．杨一米尔斯理论，我们研究了凝聚解的线性涨落。通过用微扰方法求解线性化的本征方程，我们得到关联长度在临界点以∈一(1一T／疋)．1／2的形式发散。我们还得到穿透深度在临界点的行为为入一(疋一T)--1／2。这些结果和今兹堡一朗道理论一致，支持了全息超导这个思想的正确性。我们的结果和8波全息超导体也是一样的2l，至于为什么两类完全不同的模型会有类似的结果还需要进一步的研究。尽管全息超导模型取得了很多好的结果，但是为什么会和今兹堡一朗道理论一致(临界指数和平均场的结果一致)还需要进一步研究。一般认为，因为我们在使用的是在大N极限T的AdS／CFT，在这个极限下，量子涨落被压制了，但实际上，现有的工作表明，即使在大N极限有限模型的临界指数也能出现非平均场的行为。到现在为止，我们都只假设所以的物理量只是额外维r的函数，这意味着我们考虑的空间均匀的超导／超流，接下来去研究非阿贝尔全息超导体在磁场下的和空闷分布相关的解将是一个很有意思的工作，这是下一章的任务。 参考文献【1】J．M．Maldacena，Adv．Theor．Math．Phys．2(1998)231．[2】S．S．Gubser，I．R．KlebanovandA．M．Polyakov；Phys．Lett．B428，105(1998)．【3】E．Witten，Adv．Theor．Math．Phys．2，253(1998)．[4】O．Aharony,S．S．Gubser，J．M．Maldacena，H．Ooguri，andY．Oz，Phys．Rept．323，183(2000)．[5】S．A．Hartnoll，C．P．HerzogandG．T．Horowitz，Phys．Rev．Lett．101，031601(2008)．[6】E．NakanoandW．Y．Wen，Phys．Rev．D78，046004(2008)．f7】T．AlbashandC．V．Johnson：J．HighEnergyPhys．09(2008)121．【8】K．MaedaandT．Okamura，Phys．Rev．D78，106006(2008)．【9】S．A．Hartnoll，C．P．HerzogandG．T．Horowitz：J．High．EnergyPhys．12(2008)015．【10]C．P．Herzog：P．K．KovtunandD．T．Son：Phys．Rev．D79：066002(2009)．【II】G．T．HorowitzandM．M．Roberts：Phys．Rev．D78126008(2008)．【12】S．Franco，A．Garcia-Garcia，D。Rodriguez—Gomez，arXiv：0906。1214．【13】I．Amado，M．Kaminski，K．Landsteiner，J．№ghEnergy．Phys．05(2009)021．[xa]K．Maeda，M．Natsuume，T．Okamura，Phys．Rev．D79，126004(2009)．【15】YoungmanKim：YumiKo，Sang-JinSin，arXiv：0904．4567．【16】T．Albash，C．V．Johnson，arXiv：0906．0519．[17】T．Albash，C．V．Johnson，arXiv：0906．1795．f18]M．Montull：A．Pomarol，P．J．Silva：Phys．Rev．Lett．103，091601(2009)． 南京大学博士学位论文【191K．Maeda，M．Natsuume，T．Okamura，arXiv：0910．4475．【20】V．Keranen，E．Keski-Vakkuri，S．Nowling，K．P．Yogendran，arXiv：0912．4280．【21】T．Nishioka，S．Ryu，T．Takayanagi，arXiv：0911．0962．【22]A．Konoplya，A．Zhidenko；arXiv：0909．2138．【2alG．T．Horowitz，M．M．Roberts，J．High，EnergyPhys。11(2009)015．【24]S．S．Gubser，A．Nellore，arXiv：0908．1972．【25]S．J．Sin，S．S．Xu，Y．Zhou，arXiv：0909．4857．【26]E．J．Brynjolfason，U．H．Danmlsson，L．Thorlaeius，T．Zingg，arXiv：0908．2611．【27]O．C．Umeh，J．HighEnergyPhys．08(2009)026．[2s]C．P．Herzog，A．Yarom，arXiv：0906．4810．【29】V．Keranen，E．Keski—Vakkuri，S．Nowling，K．P．Yogendran，arXiv：0906．5217．【30】V．Keranen：E．Keski—Vakkuri，S．Nowling，K．P．Yogendran，arXiv：0911．1866[31】J．W．Chen：Y．J．KaoandW．Y．Wen,"Peak—Dip．HumpfromHolographicSuperconduc-tivity,”arXiv：0911．2821．【32]S．S．GubserandS．S．Pufu，J．High．EnergyPhys．11(2008)033．[33]M．M．RobertsandS．A．Hartnoll，J．HighEnergyPhys．08(2008)035．【34】M．Ammon，J．Erdmenger，M．KaminskiandP．Kerner，Phys．Lett．B680：516(2009)．p5】M．Ammon，J。Erdmenger，M．KaminskiandP．Kerner。J．HighEnergyPhys．10(2009)067．【36】P．Basu，J．He，A．MukherjeeandH．H．Shieh，arXiv：0810．3970．[37]C．P．HerzogandS．S．Pufu：J．HighEnergyPhys．04(20091126．【3s]J．Sonner，Phys．Rev．D80：084031(2009)． 【39】H．Zeng，Z．Fan，Z．Ren，Phys．Rev．D80，066001(2009)．[40】K．Peeters，J．Powell，M．Zamaklar，J．HighEnergyPhys．09(2009)101．[41】C．P．Herzog，J．Phys．A42(2009)343001．【42】P．Basu，J．He，A．Mukherjee，H．H．Shieh，arXiv：0911．4999．[43】M．Ammoll，J．Erdmenger：V．Grass，P．Kerner，A．O’Bannon，arXiv：0912．3515．f44】S．S．Gubser，Phys．Rev．D78，065034(2008)．[45】S．S．Gubser，Phys．Rev．Lett．i01，191601(2008)． 第4章非阿贝尔全息超导／超流液滴解和超流Fulde—Ferrell—Larkin—Ovchinnikov4．1研究背景在前两章的讨论中，所有的物理量只是额外维r的函数，并没有考虑物理量对空间坐标z，耖的依赖关系，这说明我们考虑的对偶的超流／超导体是空间均匀的。我们知道，根据其在磁场中的性质，真实世界超导体可分为两类，第一类超导体和第二类超导体。第一类超导体在磁场中时，磁场不能进入超导体内部，这就是麦斯那效应。对于第二类超导体，磁场可以进入超导体内部，形成三角或四方型的旋涡，在旋涡的中间是正常态，磁场能穿过超导体，在旋涡的外面是超导态，磁场不能进入超导体。对于一些特殊的第一类超导体，比如重费米子超导体，它们在磁场下可能会进入另一种非均匀的超导态，FFLO态，在这个态中，序参量在空问的分布是三角函数的形式，是空间周期变化的。所以，考虑全息超导体在磁场中的性质时，我们自然想知道序参量在空间分布的性质，是第一类还是第二类超导体?有没有类似FFLO的态出现?4．2超导液滴解和在磁场下的相图首先，我们需要推导和空间分布相关的运动方程。整个爱因斯坦．杨一米尔斯理论的作用量为既Ⅷ=／厅∥。[去(R+昙)一互磊L2nc以ⅣF炒，]，c42l，其中耵M是规范耦合常数，乃Ⅳ=丁旺％=钆Ap一巩A肛一l陋p，Ap】规范场的场强，A=A弘如p=T—a叫Aad一_尘．g．对于su(2)规范对称性，【P，Tbl=ien6cP以及n(T8T6)=606／2，其中∈n6c是全反对称张量E123=1．在probe极限下，也就是物质场相对于弓|力部分很小的情形下，他们二者是退耦合的，实际上这个问题就变成了在黑洞背景下研究su(2)规范场的性质。这时，黑洞背景全由第一项来决定，其度规是(1s2=一f(r)dt2+而dr2-4-r2(磷+均，(4‘2．2) 其中，(r)为舱)：丢一了M．L和M分别是AdS空间的曲率半径和黑洞的质量。他们决定了黑洞的霍金温度印3Ml／31—47rL4／3’同时这也是对偶的边界上的场论的温度。我们做一个坐标变换z=ro／r，度规就变成舻一L2卢z22(T)、t删肌如2+妒)+焉，规范场在弯吐背景下的运动方程由拉格朗日方程给出了一Ⅳo(v巧Fnpp)+·_一abcA。bi=,掣p=o·我们采用p+移波背景：包含空间依赖关系的拟设为，(4．2．3)(4．2．4)(4．2．5)(4．2．6)A=妒(z，z，y)T3dt++Ⅲ(z，z，y)T1如+w(z，z，y)T2dy，(4．2．7)如果要在边界上加上一个均匀磁场，我们还需假设不为零的矢势A：(z，z，秒)和钨(z，2，!，)．通过求解拉格朗日方程，我们得到Ju7，多，A；，A：的运动方程为：2QOz(hO。叫)+i1。2O；)W+而2≯2叫一兰埘3一五3训％～3+否3即％^3譬一三堋A：)2+(A∞=o(4．2．8)一Q砖痧一赢1L％2≯+霹≯)+纛伽2=o(4．2．9)三谚A；+2Q优(九晚A；)一三以(吼A：)+兰硼以"一laW2A；：o(4．2．10)1nD—v2．A．z3+QO。(hOzA3)一三吼(改A；)一兰彬良彬一五1伽2A：=o边界条件为：(i)对tl，来说，在AdS边界处，其的渐进行为是伽：鸳z+⋯．、／2(4．2．11)(4．2．12) 南京大学博士学位论文其中(o)是超导的序参量．由于我们要求场论中的归)没有源项，(2．12)中的常数项等于零。(ii)对于电磁规范场≯，鬈and钨，在边界处我们有≯=芦／p(T)一qz+⋯，B(x)=如A哥3一岛A：，(4．2．13)其中膊化学势，q是电荷密度，B(x)边界场论中的磁场．在视界处，我们要求≯=0，A：以及A：都是正规化的．有了这些边界条件，接下来我们的任务就是求解这个非线性微分方程组来得到对偶的超导体的性质。要完全求解这个方程组是非常困难的，但是在上临界场上；c2附近，我们可以用微扰展开的方法来解析求解。首先我们定义参量E=(如一B)／B以，然后我们在如附近级数展开≯，A：andA；：眇=E1／2W1+E3／2W2+⋯(4．2．14)多=≯(o)+E≯(1)+⋯A；=Ay3‘o’+eA3(1’+⋯(4．2．15)(4．2．16)A：=A：(oJ+cA3(1)+⋯(4．2．17)在这里一定要注意所有的物理量都是z，Y，z的函数。在上临界场Bc2处的零阶解为≯=弘(1一名)，A；(o)=Bc2z，A3(o)=0．(4．2．18)把这个解已经级数展开式代入似的方程，并做一个变量分离协(g，Y，Z)=eiPYm(x，z；p)．对于一个确定的常娄勋，我们得到m(z，z；p)的方程【2a2晓(危馥)+掣】m(z，z；力=【一磋+矿+磁2z2+3如】m(z，z；p)(4．2．19)再做一个变量分离mn(茁，z；彩=pn(z)"／n(x；p)，其中分离常数为k．pn(z)和％的运动方程分别为：(一面02+-∥T+差+昙)饰；彩：鲁仲；p)’(4．2．20)L一石雨++磊云+虿夕‰(z；纠2警％(z；p)，(4220)和嘶酬硼=(一譬(1叫2+口2警)腓)(4．2．21) 其中x：=、／夏器云z和口：=p／Q都是无维度的物理量．(4．2．20)给出序参量在空间分布的性质，ffil(4．2．21)给出上临界磁场的值．很容易看出，满足边界条件的(4．2．20)的解由厄米多项式来给出：玩：％(z；p)=e-X2／4碥(x)，(4．2．22)对应的本征值入n为k=2n+4+瓦p2，(4．2．23)佗是非零整数。我们看到(4．2．22)和p无关，这和8波全息超导模型不一样．对8．波情形，这个空间分布的解是也是P的函数，而涡旋晶格解可以有不同的礁的解的线性叠加来得到。这个差别让我们得到结论在非阿贝尔全息超导模型中，得不到和真实世界第二类超导体的涡旋晶格的解，造成这种差别的物理原因将会在本章最后给予讨论。很容易看出这个解是液滴解，因为序参量在酬方向指数衰减。单个的液滴解可以引入另一个零阶解来得到，在之前的零阶解中，我们考虑的是朗道规范，现在我们考虑对称规范的零阶解。西=p(1一z)，A3(o)=Bc2x／2，Aaz(o)=一B。2y／2．(4．2．24)这也是合理的：因为这属于另一个规范而已，而且A一3(o)和《3(o)都满足各自的运动方程。同样的方法，通过一个变量分离w(x，Y，z)=％(z)，y机(秒)JDm，椎(z)，我们得到这三个场的运动方程(一丽02+百X2+兰)铽z)：每7m(咄(4．2．25)I一丽+百+虿J％n(z)_詈7m(。)，(4．2’25)(一丽02+iy2+兰)伽)：等仲)，I一否再+i+五J％(秽)2专％(z)，刚‰“砌=(吲q21叫2+92掣)胁㈤其中x：=、I／趸瓦z，Y：=v"2-B-夏y和口：=,／a都是无维度的量。1锄p)和％@)的解为％(z；p)=e-X2／8巩(x)，^，m(矽；p)：e-Y2／8Hm(X)，(4．2．26)(4．2．27)(4．2．28)(4．2．29) 南京大学博士学位论文51对应的本征值An是Am=2m+4，入，l=2n+4，(4．2．30)(4．2．31)超导体的序参量的值由况伽(z)=晓Pm，n％@)‰(!，)的边界值来给出(在z=o处的值)。pm，n由方程(4．2．27)决定，与茁和秒无关，上临界磁场鼠：2由这个方程有一个满足边界条件的非零解的条件来给出。这可以用数值计算方法来给出，对于一个确定的q，也就是一个确定的温度，我们能找到如／肛2，当磁场比它大时，方程只有伽=0的解．最大的临界磁场由m=住=0给出，这时(k+入m)为最小值。当m=71,=0时，％0)1h(影)=e-Y2／8e-X2／8，这就是液滴解．在图4．1中我们给出了相图1．OO．8O．6及2／JLl20．4O．2O．O0．00．20．40．60．81．O飞}Tco图4．1非阿贝尔全息超导体在磁场下的相图。我们发现，当温度接近临界温度时，上临界磁场反2OC(1一T／Tc)：这和BCS理论的结论是一致的。事实上：单个的液滴解可以通过在z一耖平面上引入极坐标来得到。通过变量分离w(z，Y，2)=妒(茁，!，)pm，竹(z)，我们得到妒(z，秒)的运动方程(一羔十!一旦+一y2+3)讹沪x飙∽珐(4．2．328Oy28)＼狱2‘⋯／"nr洲7刖n⋯"H”驯’7 52蛳晚加删=(一譬(1叫2+q2等)胁此)(4．2．ss)在极坐标(r，伊)下，而且我们假设《’仇(。，Y)和p无关，妒的运动方程变成(一言鲁cr争等+3)嘶hm帅，，仕2删通过求解这个方程，我们得到单个的液滴解，如图4．2，这个解也可以解释成超流液滴图4．2非阿贝尔全息超导体在磁场下的液滴解，横坐标是r，纵坐标是妒。态，这时A；(o)=如z／2，A≥o)=一Bc2Ⅳ／2应解释为超流体外界的旋转，其临界角速度为％=(zc2／2)1／2。现实超流体的液滴解在文献中有详细的讨论。当然，我们还是希望能有旋涡解，所以我们假设讥n(z，Y)=够(r)ei佃，其中n是缠绕数，这时方程变成：(一；1刃0(r鲁)+虿r2+篝+3)‰(r)：xm‰(吐(4．2．35)n=1的解如图4．3所示，不幸的是，这不是一个旋涡解。也许通过完全求解四个非线性偏微分方程组可以得到旋涡解。 南京大学博士学位论文图4．3n=l时方程(4．2．35)的解。4．3超流Fulde—Ferrell—Larkin—Ovchinnikov态严格来说，爱因斯坦．样一米尔斯理论应该叫做全息超流模型，但是我们可以认为在边界理论上是弱规范的，从而可以用来研究超导。在之前的讨论中，我们都是把它理解成超导模型，在这一节中，我们要研究超流的非均匀解一Fulde—Ferrell—Larkin—Ovdainnikov态。15FFLO态最早是在超导体中提出的，他们四个物理学家发现，对于一些特殊的第一类的超导体，在磁场下由于向上自旋和向下自旋的塞曼能的差异会使超导体进入一个非均匀的超导态，其序参量的形式为Ao(cos(k．r)，破坏了空间旋转对称性，而且序参量的符号是有正负的。对于8波以及d波超导体，通过数值求解Bogoliubov—de-Gennes(BdG)方程，的确得到了空间分布呈三角函数的解，如图4．4和4．5。16在超流系统中，特别是超冷费米原子系统中也有类似的解。在超流情况下，两种超流成分的密度差类似于超导情形的塞曼劈裂，因此也有FFLO解。17我们发现，对于爱因斯坦．杨一米尔斯理论的超流解释，的确有类似于FFLO的状态出现，尽管物理原因和真实世界超流出现FFLO态的原因完全不相同。这个非阿贝尔全息模型可以解释为超流，区别在于我们把∥在边界上的值解释为超流速度，而不是边界场论中的矢势。第一个全息超流的模型由C．P．Herzog}及其合作者 0．06O．03O一0．03．0．060．2O．1O—O．1—0．2O．2O．1O．O．1一O-2O．5O—O．5图4．4d波超导体的FFLO态。1632图4．5sN超导体的FFLO态。16O．060．030—0．03—0．060．2()．1O—O．I一0．216O．2O0．2(J．6()3f)一0．3_(’．6 南京大学博士学位论文给出，他们采用的是阿贝尔的模型，对于非阿贝尔模型的超流解释，在文献【6】中也有详细的讨论。我们知道，对于超流体有一个临界速度％，当超流速度大于临界速度时超流就被破坏了。类似于前一节的讨论在临界速度附近我们引入一个小的参量E=(％一v)／vc，然后我们在％附近级数展开多，鬈andA：：伽=E1／2tt，l+E3／2W2+⋯(4．3．36)≯=≯(o)+E≯(1)+⋯A；=鬈‘o’+EA；‘1’+⋯(4．3．37)(4．3．38)A：=A：(o’+EA笋1’+⋯(4．3．39)在这里一定要注意所有的物理量都是。，Y，z的函数。在％处的零阶解为≯=p(1一z)，A：(o)=％，A多o)=0．(4．3．40)这相当于假设超流的速度my方向，通过变量分离w(z，Y，名)=妒(z，y)pm，n(名)，我们得到运动方程(一未一暴+1)帅M硝删训L(4．3．41，蝴包帅㈤)=(吲q2l刊2+92訾)胁㈨(4．3m)其中X：=VeX，Y：=％妙是无维度的物理量。我们假设样品的大小是a×b，容易得到方程(4．3．41)1拘解为‰，n(z，Y)=cos(k口X+by)，(4．3．43)其中‰=2mTr／a，‰=2n"r／b，m=1，2，．．．，佗=1，2，．．．，这是由周期性边晃条件来决定的。对应的本征值为xm，n=砖+砖+1(4．3．44)m=n=1．临界速度最大，而序参量空间分别的方式为妒m，”(z，Y)=COS(2Tr／aX+27r／bY)，(4．3．45) 这就是FFLO态序参量的形式。同时我们也看到，FFLO态在全息超流模型中出现的原因和现实超流体是完全不一样的，不管怎么样，我们用全息原理的方法也同样得到了类似的态。4．4阿贝尔全息超导体模型的旋涡晶格解对阿贝尔全息超导模型，也就是8波全息超导体，其在磁场下的非均匀解已经得到比较成熟的研究。找到了单个的液滴解，旋涡解，已经涡旋晶格解。特别是涡旋晶格解，K。Maeda，M．Natsuume，T．Okamura使用微扰解析求解的方法指出，s波的全息超导体在磁场下会进入涡旋晶格解，其中三角形的分布的自由能最低。27这和金兹宝一廊道理论，也就是和Abrekosov对第二类超导体的讨论是一致的。我们简单回顾一下他们的工作。对阿贝尔模型的讨论的方法与我们对非阿贝尔模型的讨论方法类似，但是不同的是解的形式有很大的不同，这种不同导致了阿贝尔全息超导模型能有涡旋晶格解。此时，背景仍然是AdS4施瓦茨黑洞ds2=一m)dt2+而dr2+百r2(如2+咖2)，其中％是视界，L是AdS半径．霍金温度T为T=要器．／(r，=丢(1一箬)，(4．4．46，为了方便我们引入一个新的坐标仳：=ro／r，此时度规(4．4．46)变成(4．4．47)ds2=丁L2a2(T)(-h(缸)出2+如2+咖2)+箬籍，危(u)=l—u3，(4．4．4s)其中a(T)：=47rT／3=ro／L2．阿贝尔全息超导模型的拉氏量为c=茹厅(一虿1P％一ID9212__1it2㈦2)，巩：=钆一嗨．(4．4．49)和Hartnoll的文章类似，只考虑L2m2=一25j情形，并且不考虑物质场对度规(4．4．46)$J影响．当 南京大学博士学位论文57我们考虑空间分布相关的拟设时，运动方程变成，(Ⅱ2瓦O孑h丽O+鑫一万m2L2)皿一去舻DtD恐(积杀+△)忙学州2，(i0ot2h_彘-+△)A—a(∥七岛A七)L2012．2一瓦rA，吼(∥反也)一2L20t2U3m(皿t鼠霍)，——FJml掣4魄掣I，‘＼／(4．4．50a)(4．4．50b)(4．4．50c)(4．4．50d)其中{，歹，k=z，Y，A=磋+痧嘲．之后的讨论和非阿贝尔模型完全类似，先在比附近做一个级数展开，代入运动方程后，通过分离变量的方法来求解。其级数展开为皿(茁，U)=el／2妒l(z，u)-4-e3／2妒2(z，让)+⋯，Ap(z，t正)=A∥’(z，钆)+EA譬’(z，u)+⋯，jt,(x，珏)=E帮’(z，仳)+E2"，-p(2’(z，让)+⋯，其中z=(z，剪)．类似的，零阶解为A?=p(1一u)，Azo=0，A：=Bc2z．(4．4．51a)(4．4．51b)(4．4．51c)(4．4．52)把方程(4．4．52)代入方程(4．4．50a)并使用如下拟设仇(z，缸)=e咖≯(z，u；p)／L，p是常数，妒l的运动方程为障(警品)+筹一譬卜邺，=卦差地一酬2k鲫卜再把痧分离变量如(z，u；p)=pn(u)1：n(x；p)／L，k是常数．砌和％。的方程为：(一是+筹)仲泐=5L--y．(卿，，碱(，u)_(2h+3u2)p：(钍)=(字一譬c1刊2w警)加，(4．4．53)(4．4．54a)(4．4．54b) 其中x：=∥疆夏扛一p／Bc2)，q：=u／